Toán rời rạc chương 5 bài toán liệt kê

Thu t toán quay lui.

TOÁN R I R C

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580

BÀI TOÁN LI T KÊ

N I DUNG CH NG 5

5.1 Gi i thi u bài toán

5.2 Nh c l i ki n th c đ quy

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p

5.4 Thu t toán quay lui Bài toán x p h u 5.5 Bài t p ch ng 5

5.1 Gi i thi u bài toán (1/3)

 C n có gi i thu t đ l n l t xây d ng đ c t t c các

c u hình đang quan tâm BÀI TOÁN LI T KÊ

 i v i bài toán li t kê, c n đ m b o 2 nguyên t c:

 Không đ c l p l i m t c u hình

 Không đ c b sót m t c u hình

 Khó kh n chính c a ph ng pháp này là s

“ bùng n t h p ”!

5.1 Gi i thi u bài toán (2/3)

5.1 Gi i thi u bài toán (3/3)

 Các gi i thu t đ qui th ng đ c xây d ng qua hai b c:

 b c phân tích

5.2 Nh c l i ki n th c đ quy (4/9)

5.2.1 nh ngh a b ng đ quy (4/4)

Ví d 5.2.5: T p h p đ nh ngh a b ng đ quy:

 nh ngh a đ quy t p các xâu: Gi s * là t p các xâu trên

b ch cái Khi đó * đ c đ nh ngh a b ng đ quy nh sau:

 *, trong đó là xâu r ng

 wx * n u w * và x *

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (1/20)

5.3.1 Gi i thi u thu t toán sinh (1/4)

a. Xây d ng m t c u hình t h p ban đ u tho mãn các đi u

ki n đã cho

b. a ra c u hình đã có

c. T các thông tin c a c u hình đã có, xây d ng c u hình

m i c ng tho mãn các đi u ki n đã cho:

 n u sinh đ c c u hình m i ta ti p t c l p l i b c b,

đ c thì d ng l i

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (2/20)

5.3.1 Gi i thi u thu t toán sinh (2/4)

Gi mã c a ph ng pháp sinh :

void Generate( void ) {

<Xây d ng c u hình ban đ u> ; stop = false;

< a ra c u hình đang có> ; Sinh_K _Ti p;

}

}

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (3/20)

5.3.1 Gi i thi u thu t toán sinh (3/4)

Ví d 5.3.1 : Li t kê các dãy nh phân có đ dài 3

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (4/20)

5.3.1 Gi i thi u thu t toán sinh (4/4)

Trong ví d 5.3.1, gi mã thu t toán sinh k ti p đ c mô t trong th t c sau:

void Next_Bit_String( int *B, int n ){

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (5/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (1/9)

 M i ph n t c a t p n ph n t  b t k đ u có th t ng ng m

t-m t v i t p các s nguyên

A = 1, 2, …, n

 li t kê các hoán v c a t p  ta có th sinh ra các hoán v c a

t p A , sau đó thay th các s nguyên b ng các ph n t c a  có

ch s t ng ng

 Ph ng pháp li t kê các hoán v c a t p A đ c s d ng: ph ng

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (6/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (2/9)

Khái ni m v ph ng pháp sinh hoán v theo th t t đi n :

 Hoán v a1a2…an đ c g i là đi tr c (nh h n) hoán v b1b2…bn

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (7/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (3/9)

Ví d 5.3.2:

 Xét t p A = 1, 2, 3, 4, 5, khi đó:

 Hoán v 23145 c a t p là đi tr c hoán v 23514,

 vì nh ng hoán v này trùng nhau hai v trí đ u tiên, nh ng s 1 v trí th ba c a hoán v đ u nh h n s 5 c ng v trí th ba c a hoán

v sau

 Hoán v 41532 là đi tr c 52143

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (8/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (4/9)

Thu t toán sinh ra các hoán v :

 Ph ng pháp d a trên vi c xây d ng hoán v k ti p theo th t t đi n c a hoán v cho tr c a 1 a 2 …a n

 Phân tích bài toán:

1. Gi s a n-1 < a n, n u đ i ch a n-1 và a n s nh n đ c hoán v m i đi

ngay sau hoán v đã cho

2. N u a n-1 > a n thì không th nh n đ c hoán v l n h n b ng cách đ i

ch hai s h ng này trong hoán v đã cho

3. V i tr ng h p c a ý 2: xem xét ba s h ng cu i cùng trong hoán

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (9/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (5/9)

 Phân tích bài toán (ti p):

4. N u a n-2 < a n-1 thì có th s p x p l i ba s cu i cùng đ có th nh n

đ c m t hoán v m i li n sau hoán v xu t phát Trong hai s a n-1 và

a n ta ch n s nh h n đ t vào vào v trí n - 2, sau đó đ t s nguyên còn l i và s a n - 2 vào hai v trí cu i cùng theo th t t ng d n

5. N u a n-2 > a n-1 (và a n-1 > a n), thì không th nh n đ c hoán v l n h n

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (10/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (6/9)

1 Tìm c p s nguyên li n k đ u tiên tính t ph i sang bên trái

c a hoán v mà s đ u nh h n s sau, t c là tìm các s nguyên aj và aj+1 sao cho aj < aj+1 và aj+1 > aj+2 > …>an

2 nh n đ c hoán v li n sau, ta đ t vào v trí th j s nguyên

nh nh t trong các s > aj c a t p aj+1, aj+2, …, an, r i li t kê

theo th t t ng d n c a các s còn l i c a a , a , …, a vào

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (11/20)

5.3.2 Sinh các hoán v (7/9)

Thu t toán sinh hoán v k ti p:

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (12/20)

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (13/20)

 Ti p theo, vì 3 > 2 và 1 < 3 nên ph i xét c 3 s trong nhóm hoán v này

 t s nh nh t trong hai s 3 và 2 (s 2) vào v trí th nh t, sau đó là hai s còn l i (1 và 3) vào v trí th 2 và th 3 theo th t t ng d n, t c là ta có 213

 i ch 1 và 3 cho nhau vì 1 < 3 đ c 231 Vì 2 < 3 nên đ c đ t 3 vào v trí đ u tiên và sau đó là 1 và 2, t c là 312

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (14/20)

 M t xâu nh phân ng v i m t t p con, t i ví trí k , s có s 1 ho c

s 0 tu theo ph n t ak thu c vào t p con đó hay không

 N u có th li t kê t t c các xâu nh phân đ dài n thì ta s nh n

đ c t t c các t p con c a t p n ph n t (và c ng chính là các t

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (15/20)

5.3.3 Sinh các t h p (2/9)

Gi i thi u chung v sinh các t h p (ti p):

 M t khác, m t xâu nh phân đ dài n c ng là khai tri n nh phân c a m t

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (16/20)

5.3.3 Sinh các t h p (3/9)

Thu t toán t o t h p ch p k t n ph n t {1, 2,…, n}:

 M i t h p ch p k có th bi u di n b ng m t xâu t ng, do v y có th li t kê các t h p theo th t t đi n

 Theo th t t đi n:

 T h p đ u tiên là (1, 2, , k) và

 T h p cu i cùng là (n-k+1, n-k+2, ,n)

 Gi s (a1a2…ak) là t h p đang có ch a ph i là t h p cu i cùng theo th t

t đi n, có th xây d ng b ng cách th c hi n các quy t c bi n đ i sau đ i v i

t h p đang có:

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (17/20)

5.3.3 Sinh các t h p (4/9)

Thu t toán li t kê t p con k ti p m ph n t c a t p n ph n t :

void Next_Combination( int *A, int n){

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (18/20)

5.3.3 Sinh các t h p (7/9)

Ví d 5.3.5:

Tìm xâu nh phân li n sau c a 1 0001 1111

L i gi i:

 Bit đ u tiên t bên ph i sang b ng 0 là bit th 6,

 Thay nó b ng s 1 và 5 bit 1 bên ph i nó đ c thay b ng s 0,

 T đó ta đ c xâu nh phân li n sau c a xâu đã cho là:

1 0010 0000

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (19/20)

5.3 Sinh hoán v - Sinh t h p (20/20)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (1/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (1/9)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (2/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (2/9)

 Chú ý:

 i m quan tr ng c a thu t toán là ph i ghi nh t i m i

b c đã đi qua, nh ng kh n ng nào đã th đ tránh trùng

l p

 Nh ng thông tin này c n đ c l u tr theo c c u ng n

x p (stack)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (3/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (3/9)

Gi mã c a gi i thu t quay lui, xác đ nh ph n t th i:

void Try( int i ) {

int j;

for ( j = 1; j < n i ; j ++) {

if ( <Ch p nh n j >) { <Xác đ nh x i theo j>

if (i==n)

else Try(i+1);

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (4/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (4/9)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (5/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (5/9)

Ví d 5.4.1 (ti p): Li t kê các dãy nh phân đ dài n

Gi i thích b ng đ th :

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (6/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (6/9)

Ví d 5.4.1 (ti p): Li t kê các dãy nh phân đ dài n

Mã ch ng trình:

#include <conio.h>

#include <iostream>

void Result( int *B, int n){

for ( int i=0;i<n;i++)

cout<< " " <<B[i]<< " " ;

cout<<endl;

}

void Init( int *B, int n){

void Try( int i, int *B, int n){

void main( void ){

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (7/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (7/9)

 Sau khi gán j cho pi c n đ c ghi nh n false cho bj và ph i gán l i

true khi th c hi n xong vi c in giá tr ho c khi th ti p ph ng án m i

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (8/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (8/9)

B[j]=FALSE;

if (i==n) In_K t_Qu ; else Try(i+1);

B[j]=TRUE;

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (9/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (8/9)

Ví d 5.4.2:

Li t kê các hoán v c a {1,2, ,n}

Minh h a b ng đ th :

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (10/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (9/9)

 Các giá tr đ c cho ci : { ci-1+1 , n-k+i }

 đi u này đúng cho c tr ng h p i = 1, c n thêm vào c0 v i

c0 = 0

 Các giá tr đ c này m c nhiên đ c ch p nh n

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (11/15)

5.4.1 Gi i thu t quay lui (9/9)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (12/15)

5.4.2 Bài toán s p h u (1/4)

Bài toán: Li t kê t t c các cách x p 8 quân H u trên bàn c 8x8

sao cho chúng không n đ c l n nhau

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (13/15)

5.4.2 Bài toán s p h u (2/4)

M t vài cách đ t 8 con h u lên bàn c (trong s 92 l i gi i)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (14/15)

5.4 Gi i thu t quay lui Bài toán s p h u (15/15)

5.5 Bài t p ch ng 5

Bài 1 Li t kê t t c các t p con c a t p 1, 2, ,n

Bài 2 Li t kê t t c các xâu nh phân đ dài n có t ng các bít 1 đúng b ng