Toán rời rạc-Chương 3: Bài toán đếm potx

TOÁN RI RC Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com CHNG 3 BÀI TOÁN M 1 @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NI DUNG @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2 3.1. Gii thiu bài toán. 3.2. Nguyên lý Bù tr. 3.3. Bin đi v bài toán đn gin. 3.4. Quan h gia tp hp và dãy nh phân. 3.5. H thc truy hi. 3.6. Bài tp. 3.1. Gii thiu bài toán (1/3) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3  Vi mt tp hp nào đó, cn đm s phn t trong tp đó.  S dng công thc toán hc đ biu din.  Nói chung, đ đm, thng đa v dng đã bit nh thit lp quan h 1-1 gia chúng.   đm, có th s dng  nguyên lý cng,  nguyên lý nhân hay  nguyên lý bù tr. 3.1. Gii thiu bài toán (2/3) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4 Ví d 1: Có bao nhiêu cách xp 5 ngi đng thành mt hàng ngang sao cho A không đng cnh B Gii:  m s cách xp A đng cnh B.  Xem A và B nh mt v trí ta có 4! = 24 cách xp.  S này cn đc nhân 2 vì A có th đng bên trái cng nh bên phi B, nên s cách là 48.  Mt khác tng s cách xp 5 ngi thành mt hàng ngang là 5! = 120 cách.  Vy s cách mà A không đng cnh B là 120 - 48 = 72 cách. 3.1. Gii thiu bài toán (3/3) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 5 Ví d 2: Trên t x s có:  Phn đu gm 2 ch cái ly t A đn Z ( 26 ch cái) và  Phn sau gm 4 ch s ly t 0 đn 9 (10 ch s).  Hi xác sut đ trúng gii đc đc là bao nhiêu? Gii:  S t có th phát hành: 26 2 x 10 4 = 6 760 000.  Xác sut đ trúng gii đc đc là, nu có 1 t đc đc: 1/6 760 000  1,48×10 -7 3.2. Nguyên lý Bù tr (1/9) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6 3.2.1. Gii thiu v nguyên lý bù tr Gi s có 2 tp A và B, khi đó:  S các phn t trong hp ca hai tp A và B đc tính:  Tng các phn t ca tp A và tp B  Tr s phn t ca giao tp A và B.  Công thc: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB). 3.2. Nguyên lý Bù tr (2/9) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 7 Ví d 1 v nguyên lý bù tr:  Trong k thi hc sinh gii cp thành ph, mt trng PTCS có 20 hc sinh đt gii môn Toán , 11 hc sinh đt gii môn Vn, trong s đó có 7 em đt gii đng thi c Vn và Toán. Hi trng có bao nhiêu hc sinh đt gii hc sinh gii? Li gii:  A là tp các hc sinh đt gii môn Toán.  B là tp các hc sinh đt gii môn Vn.  Tng s hc sinh đt gii ca trng: N(AB).  S các hc sinh đt gii c hai môn Vn và Toán: N(A  B).  Do vy, N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 20 + 11 - 7 = 24 3.2. Nguyên lý Bù tr (3/9) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 8 Ví d 2 v nguyên lý bù tr:  Xác đnh s lng các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9 hoc 11? Li gii:  A: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9.  B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 11.  A  B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9 hoc 11  A  B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho c 9 và 11.  Lc lng ca A: [1000/9].  Lc lng ca B: [1000/11].  9 và 11 là hai s nguyên t cùng nhau nên s nguyên chia ht cho c 7 và 11 là s nguyên chia ht cho 9.11=99. S các s này là [1000/99].  T đó ta có: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) 1000 1000 1000 111 90 10 191 91199     3.2. Nguyên lý Bù tr (4/9) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 9 Ví d 3 v nguyên lý bù tr:  Gi s mt trng đi hc có 1503 sinh viên nm th nht. Trong s đó có 453 sinh viên tham gia Câu lc b (CLB) tin hc, 267 sinh viên tham gia CLB toán hc và 99 sinh viên tham gia c hai CLB. Hi có bao nhiêu sinh viên không tham gia c CLB toán hc cng nh CLB tin hc? Li gii:  S sinh viên không tham gia CLB toán hc cng nh CLB tin hc s bng tng s sinh viên tr đi s sinh viên tham gia mt trong hai CLB.  A: tp các sinh viên nm th nht tham gia CLB tin hc.  B: tp các sinh viên tham gia CLB toán hc.  Khi đó ta có N(A) = 453, N(B) = 267 và N(AB) = 99. S sinh viên tham gia hoc CLB tin hc hoc CLB toán hc là: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 453 + 267 - 99 = 621.  Do vy có 1503 - 621 = 882 sinh viên nm th nht không tham gia CLB toán cng nh tin hc. 3.2. Nguyên lý Bù tr (5/9) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 10 3.2.2. Nguyên lý bù tr:  Cho A 1 , A 2 , …, A n là các tp hu hn. Khi đó  n 1i nkji1 kji nji1 ji n 1i ii AAANAANANAN     )()()()( )()(  n 1i i 1n AN1    [...]... Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán i v i các bài toán tr n gi n (1/13) m, có th a v các bài toán ng d ng nguyên lý Bù n gi n h n Trong ph n này xem xét m t s bài toán: Bài toán b th Bài toán s p khách Lucas 15 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (2/13) Bài toán b th : Có n lá th và n phong bì ghi s n a ch B ng... Bi n i v bài toán n gi n (3/13) L i gi i bài toán b th : Có t t c n cách b th C n tìm s cách b th sao cho không có lá th nào úng a ch G i X là t p h p t t c các cách b th và Ak là tính ch t lá th th k b úng a ch Theo h qu c a nguyên lý bù tr ta có: N 17 N N1 N 2 ( 1) n N n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (4/13) L i gi i bài toán b th... 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (8/13) L i gi i (ti p): L p 2 Các cách mà a1 không c ch n, khi ó b a1 i ta bài toán l y k ph n t t n-1 ph n t x p trên 1 s cách thu c l p này là k Cn k V y theo nguyên lý c ng s cách c n tìm là C 22 k 1 n k 1 C k n k n n k k Cn k @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University av ng th ng theo b 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (9/13) L i gi i bài toán Lucas:... Technical University a ch , khi ó, 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (5/13) Bài toán s p khách c a Lucas: Có m t bàn tròn xung quanh có 2n gh C n s p ch cho n c p v ch ng sao cho các ông ng i xen k các bà và không có c p v ch ng nào ng i c nh nhau H i t t c bao nhiêu cách x p? 19 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n B i v bài toán n gi n (6/13) 1: Có bao nhiêu cách l y ra... Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (10/13) L i gi i bài toán Lucas (ti p): ánh s các bà ( ã x p) t 1 ánh s các ông t n n ng ng v i các bà (ông i là ch ng bà i) ánh s các gh tr ng theo nguyên t c: gh s i n m gi a bà i và bà i+1 (chú ý vì s p tròn: n+1=1) M i cách x p các ông 遡 兄 噺 啓 có ngh a: gh i t p (1,2, ,n) v i quy Theo c bi u di n b ng m t phép th u bài, c: c x p cho ông j ph i tho... x p cho ông j ph i tho mãn (i) i và (i) Nh v y Un là s t t c các phép th 24 t i+1(*) tho mãn i u ki n (*) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (11/13) L i gi i bài toán Lucas (ti p): Xét t p h p t t c các phép th c a {1,2, ,n} Trên t p này, g i Pi là tính ch t (i) = i và Qi là tính ch t (i) = i+1 拍 Un = 窪 = n! - N1 + N2 - Nh v y, t ng s tính ch... nguyên lý bù tr : Trong ó Nk là t ng s t t c các phép th tho mãn k tính ch t l y t 2n tính ch t ang xét 25 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (12/13) L i gi i bài toán Lucas (ti p): Không th x y ra ng th i tho mãn: Pi và Qi ho c Pi+1 và Qi Nh v y, trong các cách l y ra k tính ch t t 2n tính ch t ang xét c n thêm vào i u ki n các Pi và Qi ho c... n n) ta có (n-k)! phép th c: Nk =g(2n,k).(n-k)! và Un=n!-g(2n,1).(n-1)!+g(2n,2).(n-2)!- +(-1)ng(2n,n) 26 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.3 Bi n i v bài toán n gi n (13/13) L i gi i bài toán Lucas (ti p): Tính g(2n,k), k=1,2, ,n? X p 2n tính ch t ang xét trên m t vòng tròn theo th t P1, Q1, P2, Q2, ,Pn, Qn, ta th y r ng g(2n,k) chính là s cách l y ra k ph n t trong... hóa khi l p trình @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (3/5) Xem xét bài toán: Cho A là m t t p h u h n, B1, B2 là các t p con c a A Khi ó t ng ng v i B1 và B2 là các dãy nh phân S1, S2 Xét các phép toán sau: Phép h p: H p c a B1và B2 t ng ng là phép c ng logic các ph n t t ng ng c a hai dãy S1, S2 Ví d : Cho A = {a1, a2, a3, a4, a5,... kho ng t các kho ng này s t ch n k ph n t tho mãn yêu c u ã nêu V y s cách c n tìm là k Cn k 1 20 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University u) ng ng v i m t cách 3.3 Bi n B i v bài toán n gi n (7/13) 2: Có bao nhiêu cách l y ra k ph n t trong n ph n t x p trên sao cho không có 2 ph n t k nhau cùng ng tròn c l y ra? L i gi i: Gi s t p các ph n t trên là {a1, a2, , an }, c nh ph . mt s bài toán:  Bài toán b th.  Bài toán sp khách Lucas. 3.3. Bin đi v bài toán đn gin (2/13) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 16 Bài toán b. Gii thiu bài toán. 3.2. Nguyên lý Bù tr. 3.3. Bin đi v bài toán đn gin. 3.4. Quan h gia tp hp và dãy nh phân. 3.5. H thc truy hi. 3.6. Bài tp. 3.1. Gii thiu bài toán (1/3). đi v bài toán đn gin (1/13) @Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 15  i vi các bài toán đm, có th ng dng nguyên lý Bù tr đ đa v các bài toán đn