Toán rời rạc-Chương 3: Bài toán đếm potx

TOÁN R I R C

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com

3.1 Gi i thi u bài toán (1/3)

3.1 Gi i thi u bài toán (2/3)

3.1 Gi i thi u bài toán (3/3)

3.2 Nguyên lý Bù tr (2/9)

Ví d 1 v nguyên lý bù tr :

h c sinh đ t gi i môn Toán, 11 h c sinh đ t gi i môn V n, trong

 A: t p các s nguyên d ng nh h n ho c b ng 1000 chia h t cho 9

 B: t p các s nguyên d ng nh h n ho c b ng 1000 chia h t cho 11

 A  B: t p các s nguyên d ng nh h n ho c b ng 1000 chia h t cho 9 ho c 11

 A  B: t p các s nguyên d ng nh h n ho c b ng 1000 chia h t cho c 9 và 11

3.2 Nguyên lý Bù tr (4/9)

Ví d 3 v nguyên lý bù tr :

 Gi s m t tr ng đ i h c có 1503 sinh viên n m th nh t Trong s đó có 453 sinh viên tham gia Câu l c b (CLB) tin h c, 267 sinh viên tham gia CLB toán h c và 99 sinh viên tham gia c hai CLB H i có bao nhiêu sinh viên không tham gia c CLB toán h c c ng nh CLB tin h c?

L i gi i:

 S sinh viên không tham gia CLB toán h c c ng nh CLB tin h c s b ng t ng s sinh viên tr đi s sinh viên tham gia m t trong hai CLB

 A: t p các sinh viên n m th nh t tham gia CLB tin h c

 B: t p các sinh viên tham gia CLB toán h c

 Khi đó ta có N(A) = 453, N(B) = 267 và N(AB) = 99 S sinh viên tham gia ho c CLB tin h c ho c CLB toán h c là:

N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 453 + 267 - 99 = 621

 Do v y có 1503 - 621 = 882 sinh viên n m th nh t không tham gia CLB toán c ng

) (

A N

N(X) - N(A1A2 Am) = N - N1+ N2- +(-1)m Nm

 Trong đó N k là t ng s các ph n t c a X tho mãn k tính

ch t l y t m tính ch t đã cho

3.2 Nguyên lý Bù tr (8/9)

Ví d :

 Bi t r ng có 1 202 sinh viên h c ti ng Anh

 813 sinh viên h c ti ng Pháp

 114 sinh viên h c ti ng Nga

 103 sinh viên h c c ti ng Anh và ti ng Pháp

 23 h c c ti ng Anh và ti ng Nga

 14 h c c ti ng Pháp và ti ng Nga

 N u t t c 2 092 sinh viên đ u theo h c ít nh t m t ngo i

ng , thì có bao nhiêu sinh viên h c c ba th ti ng?

N N

N   1  2   (  1 )

!

! )!

(

k

n k

n C

1 1

1 1

n N

3.3 Bi n đ i v bài toán đ n gi n (5/13)

Bài toán s p khách c a Lucas:

 Có m t bàn tròn xung quanh có 2n gh

 C n s p ch cho n c p v ch ng sao cho các ông ng i xen

k các bà và không có c p v ch ng nào ng i c nh nhau

 H i t t c bao nhiêu cách x p?

3.3 Bi n đ i v bài toán đ n gi n (6/13)

 Có bao nhiêu cách l y ra k ph n t trong n ph n t x p trên đ ng

th ng sao cho không có 2 ph n t k nhau cùng đ c l y ra?

L i gi i:

 Khi l y ra k ph n t ta còn n-k ph n t

 Gi a n-k ph n t này có n-k+1 kho ng tr ng (k c 2 đ u)

 M i cách l y ra k kho ng t các kho ng này s t ng ng v i m t cách

ch n k ph n t tho mãn yêu c u đã nêu

 V y s cách c n tìm là

k

1 k

n



C 

k k n

k k n

k k

k n

n C

C k n

n k

2

3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (1/5)

3.4.1 Bi u di n t p con b ng dãy nh phân

 Cho A = {a1, a2, .,an} là m t t p h u h n,

 Gi s BA,

 Khi đó m i t p B có th bi u di n t ng ng m t dãy nh phân S có đ dài n đ c xây d ng nh sau:

i

i

i

a if 0

a if 1

3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (2/5)

Ví d :

 Cho A = {1, 3, 4, 6, 7, 10} và B = { 3, 6, 7, 10},

 Khi đó dãy nh phân t ng ng s là S = 010111

 Cách bi u di n trên làm đ n gi n hóa khi l p trình

3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (3/5)

Xem xét bài toán:

3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (4/5)

3.4 Quan h gi a t p h p và dãy nh phân (5/5)

n 2

k n C n 0 k







3.5 H th c truy h i (1/26)

3.5.1 Khái ni m và các ví d

 Trong m t qu n th vi sinh v t s l ng các cá th t ng g p đôi sau

m i gi Sau 4 gi s l ng chúng là bao nhiêu, n u ban đ u có t t c

5 cá th ?

 Gi i:

 Ta gi s s vi sinh v t sau n gi là an

 Vì s vi sinh v t t ng g p đôi sau m i gi nên ta có quan h an = 2an-1

v i n là s nguyên d ng tu ý, v i đi u ki n ban đ u a0 = 5

 T đây ta có th d dàng xác đ nh duy nh t an đ i v i m i n không âm

 C th , v i n=4 ta có: a4 = 2a3 = 2.2a2 = 2.2.2a1 = 2.2.2.2a0 = 2 4 5=80

3.5 H th c truy h i (2/26)

3.5.1 Khái ni m và các ví d

 Khái ni m:

 Xét dãy s an

 N u có m t công th c bi u di n an qua m t hay nhi u s

h ng đi tr c c a dãy a1, a2, …, an-1 v i  n nguyên và n 

n0, trong đó n0 là nguyên không âm, thì công th c đó đ c

g i h th c truy h i (công th c truy h i, bi u th c truy h i)

đ i v i dãy an

 Dãy s an đ c g i là l i gi i hay là nghi m c a h th c truy h i n u các s h ng c a nó tho mãn h th c truy h i này

3.5 H th c truy h i (4/26)

3.5.1 Khái ni m và các ví d

 Ví d :

 Dãy an, v i an = 3n v i m i n nguyên không âm có là l i gi i c a h

th c truy h i an = 2an-1 - an-2 v i n = 2, 3, 4, …, hay không? Câu h i

 Gi s , an = 2 n v i m i n nguyên không âm Rõ ràng a0 = 1, a1 = 2 và a2 = 4 Vì

a2 2a1 - a0 = 2.2 - 1 = 3, do v y dãy an trong đó an = 2 n không là m t l i gi i

c a h th c truy h i đã cho

 Gi s , an = 5 v i m i n nguyên không âm Khi đó v i n  2 ta th y a n = 2an-1 - a

n-2 = 2.5 - 5 = 5 Do đó, dãy an trong đó an = 5 là l i gi i c a h th c truy h i đã cho

 N u cho tr c k đi u ki n đ u: a0=C0, a1=C1,…,ak-1=Ck-1 , thì theo nguyên lý th hai c a quy n p toán h c, dãy s tho

mãn h th c truy h i nêu trong đ nh ngh a s đ c xác đ nh

k n n

n

a  1 1  2  2   c k 

 H th c an = an-1 + (an-2) 2 không là h th c truy h i tuy n tính

r1  

2

5 1



n 2

n 1

n

2

5 1

2

5 1

n

2

5 1

5

1 2

5 1

 Nghi m duy nh t c a h th c truy h i này tho mãn các đi u ki n ban đ u

đã cho là dãy an:

a n = 1 - 2 n + 2.3 n

n m

m n

r n

n

r n

n

r n

n a

t 1

2

1 1

, 2 1

, 2 0

, 2

1

1 1

, 1 1

, 1 0

, 1

1 1

 Nghi m duy nh t c a h th c truy h i này tho mãn các đi u ki n ban đ u

đã cho là dãy a :

3.5 H th c truy h i (24/26)

 L i gi i ví d 06:

 Ta có an(h) = 3 n

cn + d = 3(c(n-1)+d) + 2n

 (2+2c)n + (2d – 3c) = 0 v i m i n

 c = -1; d = -3/2

V y an(p) = - n – 3/2 Nghi m c a h h i quy:

a n = a n (p) + a n (h) = – n – 3/2 + 3 n

L u ý: t gi i và tìm 

3.5 H th c truy h i (26/26)

 L i gi i ví d 07:

 Ta có an(h) = 13n + 22n

 V i F(n) = 7n, nên nghi m riêng có d ng C.7n

 H n n a, nghi m này th a h h i quy, nên ta có:

C.7n = 5.C.7n-1 - 6.C.7n-2 + 7n

C = 49/20

V y an(p) = (49/20) 7n Nghi m c a h h i quy:

a n = a n (p) + a n (h) = (49/20) 7 n + 1 3 n + 2 2 n

L u ý: t gi i và tìm 1 và 2