Bài giảng về toán rời rạc

TOÁN RỜI RẠC Giảng viên: Ths Phạm Thị Thuận LOGO NỘI DUNG PHẦN 1: ĐẠI SỐ LOGIC CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CHƯƠNG 2: LOGIC MỆNH ĐỀ CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ BOOLE CHƯƠNG 4: SUY DIỄN VÀ CHỨNG MINH PHẦN 2: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ CHƯƠNG 1: ĐỒ THỊ HỮU HẠN CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH CHƯƠNG 3: CÂY Thời lượng môn học  Môn học trình  Số kiểm tra  phép nghỉ buổi Tài liệu tham khảo Giáo trình Toán rời rạc, Trường đại học Kinh Doanh & Công Nghệ, tác giả TS Hoàng Xuân Thảo KHÁI NIỆM TOÁN RỜI RẠC  Các bạn học môn toán nào?  Toán rời rạc nói tổng quát nghiên cưú chân lý tuyệt đối, khái niệm (như hình ảnh, âm thanh…) định nghĩa cách đắn Khái niệm: TRR nghiên cứu đối tượng không liên tục (rời rạc), toán học dành cho tin học Toán học nghiên cứu lĩnh vực gì? Lý thuyết tổ hợp Lý thuyết đồ thị Tập hợp Ứng dụng toán rời rac Logic suy luận toán học nghiên cứu luật, phép biến đổi, suy luận, logic, logic mờ, ứng dụng nhiều môn trí tuệ nhân tạo Đồ thị nghiên cứu mô hình đồ thị, biểu diễn đồ thị Ứng dụng thiết lập sơ đồ mạng Hàm: biểu diễn phép biến đổi ánh xạ phần tử sang phần tử ứng dụng phân tích độ phức tạp thuật toán Toán rời rạc học Số nguyên: nghiên cứu tính chia hết, UCLN, BCNN, số học đồng dư Ứng dụng mật mã, hàm băm Đại số Boole nghiên cứu phép toán quy tắc tập (0,1) Ứng dụng mạch logic, mạch cộng CPU Quan hệ: nghiên cứu mô hình quan hệ, biểu diễn quan hệ phần tử tập hợp, ứng dụng môn csdl CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM: A TẬP I Khái niệm Tập hợp khái niệm không định nghĩa mà mô tả, tập hợp xác định đưa qui tắc, qui luật để phân biệt đối tượng phần tử thuộc hay không Ví dụ: số nguyên dương tạo thành tập số tự nhiên N, N, số phần tử tập phần tử tập hợp - Dùng chữ nhỏ a, b, x, y Để phần tử - Dùng chữ lớn A, B, X, Y, Để Tập II Quan hệ phần tử với tập tập với Nhận biết phần tử tập hợp - x gọi phần tử thuộc A ta viết x ∈ A A → x đọc “ A chứa x” - x phần tử không thuộc A ta viết x A A x ∈ đọc A không chứa x ∋ Tập Tập A gọi tập tập hợp X, phần tử A phần tử X ký hiệu A⊆X (A⊆X ↔ ∀x∈A → x ∈X) Đọc “ X bao hàm A” A tập X → số phần tử tập, gọi số hay bậc luống tập Tập hợp Tập A gọi tập B, phần tử A phần tử B ngược lại phần tử B phần tử A A=B ↔∀x∈A ↔∀x∈B *) Chú ý : số phần tử tập hợp gọi số bậc luống Lực lượng Lực lượng tập A số phần tử A Kí hiệu |A| N(A) Ví dụ: T={a, b, c} suy N(T)=3 Tập tập Cho A tập hợp, tập tập A bao gồm tập rỗng A, ký hiệu p(A), tập phần tử tập A Ví dụ: A={2,4,6} P(A)={{2},{4},{6},{2,4},{4.6},{2,4,6},{∅}} Các định nghĩa a Ánh xạ: Cho tập X Y không rỗng Một ánh xạ f từ X vào Y quy tắc đặt tương ứng phần tử X với phần tử Y Ký hiệu: f: X Y x y=f(x) X: gọi tập nguồn (Miền xác định) Y: gọi tập đích (Miền giá trị) - y=f(x) : gọi ảnh x qua ánh xạ f - x mà f(x) =y gọi tạo ảnh y, ký hiệu x=f-1(y) Chú ý: - Mỗi x∈ X có ảnh có ảnh y=f (x) ∈ Y - Mỗi y ∈ Y có thể: + Không có tảo ảnh nào: + Có nhiều tạo ảnh: Như vậy, với ảnh có tập ảnh f-1(y)={x ∈ X / f(x) =y} Ví dụ Hàm số y=x3-1 ánh xạ: f: X Y x y=f(x) =x3-1 Hàm số y = x − ánh xạ f: [1, +∞) x Ví dụ: xét ánh xạ f: X x Y y=f(x) =x2 f-1(0)={0} f-1(1)={-1,1} f-1(-1)= φ nghịch ảnh [0, +∞) y=f(x) = x − Ảnh tạo ảnh Cho ánh xạ: f: X Y x y=f(x) Với A ⊂ X f(x)={f(x) / x ∈A } ⊂ Y Gọi ảnh tập A qua ánh xạ f Với B ⊂ Y f-1(B)={ x ∈A / f(x) ∈B} Gọi tạo ảnh tập B Ví dụ Cho Z tập số nguyên, N + ={0,1,2, } Xét ánh xạ f: Z N+ N f(n)=n2+1 Với A={-2,-1,0,1,2,3} f(A) ={1,2,5,10} Với B={1,2,3,4,5} f-1(B)={-2.-1,0,1,2} f : X →Y Các loại ánh xạ a Đơn ánh - Ánh xạ gọi đơn ánh với hai phần tử khác x1 x2 X - Nói cách khác, f đơn ánh phần tử tập đích có tối đa tạo ảnh tập nguồn  Để chứng minh f đơn ánh ta chứng minh: Ví dụ Ánh xạ f: Z Z b Toàn ánh - Ánh xạ - Để - Ví dụ: ánh xạ f: R R xác định công thức f(x)=cosx không ∈ toàn ánh tồn ∈ R mà x ∈ R để cos x=2 c Song ánh Nếu ánh xạ f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh f song ánh Ví dụ: xét ánh xạ f: f-1(1)={-1,1} f-1(-1) = φ R R x y=f(x) =x2 f không đơn ánh f không toàn ánh f không song ánh VI ĐẠI SỐ TỔ HỢP Đại số tổ hợp phần quan trọng toán rời rạc,đối tượng phương pháp lựa chọn phần tử phần tử tập hợp hữu hạn Kết sở để xây dựng nhiều thuật toán có hiệu thuật toán vét cạn, thuật toán lựa chọn phương án tối ưu… Chỉnh hợp lặp Chỉnh hợp lặp chập k tập n phần tử cách xếp có thứ tự k phần tử lấy từ tập gồm n phần tử cho, phần tử lấy lặp lại Ký hiệu: Akn =nk Ví dụ: Bộ môn Khoa học máy tính có thành viên Anh, Bình, Dũng ký hiệu (A, B, D) có cách xếp giáo viên dạy hai môn học buổi Giải : Mỗi cách giáo viên chỉnh hợp lặp chập phần tử Ta có 32 =9 cụ thể (A,A), (A,B), (B,B),(D,D),(A,D),(B,D),(B,A), (D,A),(D,B) Chỉnh hợp không lặp Chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử (chỉnh hợp chập k) cách xếp có thứ tự k phần tử tập n phần tử, phần tử không lấy lặp lại Ký hiệu: Pkn = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n! /(n-k)! Ví dụ: có số có chữ số khác chọn từ số sau{1,3,4,5,6,7} Giải : ký hiệu số có bốn chữ số a1a2a3a4 a1 có khả để lựa chọn, a2 có khả để lựa chọn, a3 có khả lựa chọn, a4 có khả năng, có S=6 x 5x 4x 3=360 Hoán vị Hoán vị n phần tử khác cách xếp có thứ tự n phần tử Ký hiệu Pn=n(n-1)(n-2) 1=n! Ví dụ: Có phong bì gửi bưu ảnh gửi cho người, có phương án lựa chọn để gửi bưu ảnh cho người Giải: phương án lựa chọn bưu ảnh bỏ phòng bì để gửi hoán vị phần tử, số phương án 5!=120 Tổ hợp Tổ hợp chập k từ n phần tử cách chọn không phân biệt thứ tự k phần tử lấy từ tập n phần tử cho, phần tử không lấy lặp lại Ký hiệu Ckn=n! / (n-k)!k! Ví dụ: Cho tập A={1,2,3,4,5} Thì (2,3,5) ) la tổ hợp chập Còn (1,1,2) (2,3,2) tổ hợp chập từ phần tử cho  So sánh cấu hình tổ hợp Khái niệm Kể đến thứ tự lấy Lặp lại Công thức Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử Có Có Akn=nk Chỉnh hợp không lặp Có chập k từ n phần tử Không Pkn=n!/(n-k)! Tổ hợp chập k từ n phần tử Không Không Ckn=n!/(n-k)!k! Hoán vị Có không Pn=n! [...]... B={-1,2,3,5} Bài 5:⊂cho A ={-2,1,0,3,4} 1 Xác định các tập 2 Tìm các tập con của AA và ∪ Bcủa , A ∩BB, A \ B, B \ A, A∆B  Bài 5: cho A={-2,1,0,1,2}, B={0,1,2} Xác định các tập sau: a {(x,y) AxB ∈ |x ... liệu tham khảo Giáo trình Toán rời rạc, Trường đại học Kinh Doanh & Công Nghệ, tác giả TS Hoàng Xuân Thảo KHÁI NIỆM TOÁN RỜI RẠC  Các bạn học môn toán nào?  Toán rời rạc nói tổng quát nghiên... tượng không liên tục (rời rạc) , toán học dành cho tin học Toán học nghiên cứu lĩnh vực gì? Lý thuyết tổ hợp Lý thuyết đồ thị Tập hợp Ứng dụng toán rời rac Logic suy luận toán học nghiên cứu luật,... tổ hợp phần quan trọng toán rời rạc, đối tượng phương pháp lựa chọn phần tử phần tử tập hợp hữu hạn Kết sở để xây dựng nhiều thuật toán có hiệu thuật toán vét cạn, thuật toán lựa chọn phương án