Toán rời rạc - Bài 2 Proofs pptx

chứng minh• Trong toán học, chứng minh là: – Diễn giải đúng đắn suy luận được, đúng về logic và hoàn chỉnh rõ ràng, chi tiết để xác định chân lý của khẳng định toán học một cách không t

University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100

Applications of Discrete Structures

Dr Michael P Frank

Slides for a Course Based on the Text

Discrete Mathematics & Its Applications

(5 th Edition)

by Kenneth H Rosen

chứng minh

• Trong toán học, chứng minh là:

– Diễn giải đúng đắn (suy luận được, đúng về logic) và

hoàn chỉnh (rõ ràng, chi tiết) để xác định chân lý của khẳng định toán học một cách không từ chối được và chặt chẽ.

• Tại sao diễn giải cần đúng đắn và hoàn chỉnh?

– Đúng đắn ngăn chúng ta khỏi bị lừa chính mình.– Hoàn chỉnh cho phép bất kỳ ai có thể kiểm chứng kết

quả.

• Trong môn này (& cũng như các môn toán) đòi hỏi

chuân rất cao về chứng minh tính đúng đắn và hoàn chỉnh!!

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 4

Tổng quan về §1.5

• Các phương pháp chứng minh có thể được

hình thức hoá trong thuật ngữ các luật suy diễn logic (rules of logical inference)

• Chứng minh toán học có thể tự biểu diễn

hình thức như cấu trúc rời rạc

• Chúng ta có thể xem lại các suy diễn đúng

đắn và sai lầm và một số phương pháp chứng minh

Các ứng dụng chứng minh

• Như bài tập trong trao đổi rõ ràng về các suy luận

logic trong bất cứ lĩnh vực học tập nào.

• Hoạt động cơ bản của toán học là khám phá và

làm sáng tỏ thông qua chứng minh các định lý mới lý thú.

• Chứng minh định lý có ứng dụng trong kiểm

chứng chương trình, an toàn máy tính và các hệ suy luận tự động, v.v

• Chứng minh định lý cho phép ta tin cậy vào tính

đúng đắn của nó ngay cả trong tình huống căng thẳng nhất.

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 6

Proof Terminology

• Định lý

– Khẳng định cần được chứng minh đúng đắn.

• Tiên đề, nguyên lý, giả thuyết, giả thiết

– Các đề xuất (thường không được chứng minh)

xác định cấu trúc mà ta đang suy luận về chúng.

• Các luật suy diễn

– Mẫu suy luận đúng từ giả thiết đến kết luận

Nói thêm về thuật ngữ

• Giả thuyết - khẳng định mà giá trị chân lý đúng

của nó chưa được chứng minh

của nó chưa được chứng minh (Tuy nhi (Tuy nhi ên, giả thuyết có thể được tin tưởng rộng rãi vào tính đúng đắn

đúng đắn) )

• Lý thuyết – tập tất cả các định lý mà được chứng

minh từ tập các tiên đề

minh từ tập các tiên đề .

Luật suy diễn - Dạng tổng quát

• Luật suy diễn là

– Mẫu xác lập rằng nếu chúng ta biết tập các tiền

đề (antecedent) ở một dạng nào đó là đúng, thì chúng ta có thể suy luận một cách đúng đắn rằng các mệnh đề kết quả (consequent) là đúng

• antecedent 1

antecedent 2 …

∴ consequent “∴” nghĩa là “khi đó”

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 10

Luật suy diễn và phép kéo theo

• Mỗi luật suy diễn đúng tương ứng với phép

Một số luật suy diễn

“the mode of denying”

Luật tam đoạn luận

• p→q Luật tam đoạn luận kéo theo

q→r Rule of hypothetical syllogism

∴p→r

• p ∨ q Luật tam đoạn luận tuyển

¬p Rule of disjunctive syllogism

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 14

Chứng minh hình thức

• Chứng minh hình thức của kết luận C, cho

trước tiền đề p1, p2,…,p n bao gồm dãy các bước, mỗi bước áp dụng một luật suy diễn cho một tiền đề hoặc các mệnh đề đã được chứng minh trước (antecedents) để tạo ra mệnh đề đúng tiếp theo (the consequent)

• Chứng minh chứng tỏ rằng nếu tiền đề đúng

thì kết luận sẽ đúng

Ví dụ chứng minh hình thức

• Giả sử ta có các tiền đề sau:

“Tr ời không nắng và trời lạnh ”

“Để ch úng ta bơi được thì trời cần phải nắng ”

“N ếu chúng ta không bơi, thì chúng ta sẽ đi cano ”

“N ếu chúng ta đi cano, thì chúng ta sẽ về nhà sớm ”

• Cho trước các tiền đề, chứng minh định lý

“Ch úng ta sẽ về nhà sớm ” sử dụng các luật suy diễn.

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 16

Chứng minh tiếp theo.

• G/s ta viết tắt:

– sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”;

swim = “We will swim”; canoe = “We will canoe”; early = “We will be home early”.

• Khi đó các tiền đề được viết như sau:

(1) ¬sunny ∧ cold (2) swim (2) swim → sunny

(3) ¬swim → canoe (4) canoe (4) canoe → early

Proof Example cont.

1 ¬sunny ∧ cold Premise #1.

2 ¬sunny Simplification of 1.

3

3 swim swim→sunny Premise #2.

4 ¬swim Modus tollens on 2,3.

5 ¬swim→canoe Premise #3.

Nguỵ biện chung

• Nguỵ biện là luật suy diễn hoặc chứng minh

khác mà không đúng về logic

– Nguỵ biện có thể dẫn đến kết luận sai!

• Nguỵ biện về ngộ nhận kết luận:

– “p→q là đúng, và q là đúng, vậy p cần phải đúng.”

• Nguỵ biện phủ nhận giả thiết:

– “p→q là đúng, và p là sai, vậy q cần phải là

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 20

Suy luận vòng quanh

• Ngụy biện giả thiết tường minh hay ẩn ngay chính

mệnh đề đang cần phải chứng minh tính đúng đắn

Ví dụ:

• Chứng minh số nguyên ứng minh số nguyên n l à chẵn, nếu à chẵn, nếu n2 l à chẵn à chẵn

• Th ử chứng minh: ử chứng minh : “G/s n2 l à chẵn Khi à chẵn Khi đó đó n2 =2k

với số nguyên k nới số nguyên k n ào đó Chia c ào đó Chia cả hai vế cho nả hai vế cho n được

n = (2k)/n = 2(k/n) Vậy có số nguyên jậy có số nguyên j (ký hiệu

thay

thay k k/n) sao cho n=2j Vì vậy ì vậy n l à chẵn” à chẵn ”

– Đã có suy luận vòng quanh trong chứng minh trên Ở

Chứng minh đúng

Ta biết n cần phải là lẻ hoặc chẵn Nếu n là

lẻ, thì n2 cần phải là lẻ, (vì số lẻ nhân với số lẻ luôn được số lẻ) Vì n2 là chẵn, nó không lẻ,

(vì không có số nào vừa là chẵn vừa là lẻ)

Nên, theo modus tollens, n không là số lẻ

được Vậy, theo tam đoạn luận tuyển

(disjunctive syllogism), n cần phải là chẵn ■

This proof is correct, but not quite complete,

(mod m) và cà c≡d (mod m) thì acì ac≡bd (mod m), v ới ới

a=c=n v à b à b=d=1. Bây giờ n2 ≡ 1 (mod 2) suy ra n2

mod 2 = 1 Vậy theo Luật tam đoạn luận kéo theo, (n mod 2 = 1) suy ra (n2 mod 2 = 1) Vì ta biết n2

mod 2 = 0 ≠ 1, bằng Luật modus tollens 1, bằng Luật modus tollens ta biết rằng

n mod 2 ≠ 1 Vậy theo tam đoạn luận tuyển ta có n

mod 2 = 0 ∴ 2|n ∴ n là chẵn.

Uses some number theory we haven’t defined yet.

Các phương pháp chứng minh kéo theo

Để chứng minh kéo theo p→q, ta có:

• Ch ứng minh trực tiếp: ứng minh trực tiếp: G/s p G/s p đúng, vđúng, v à c/m à c/m q.

• C/m phản chứng:ản chứng: G/s ¬q, v à c/m à c/m ¬p.

• Chứng minh trống rỗng:ứng minh trống rỗng: c/m c/m t t ự có ¬p.

• Chứng minh hiển nhiên:ứng minh hiển nhiên: C/m t C/m tự có qự có q.

• Chứng minh phân trường hợp:ứng minh phân trường hợp:

Chỉ ra

Chỉ ra p→ (a ∨ b), v à ( à (a→q) v à ( à (b→q).

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 24

Ví dụ chứng minh trực tiếp

• Định nghĩa: Số n Số n gọi là lẻ iff n gọi là lẻ iff n=2k+1 với k

nguyên;

nguyên; n n là chẵn iff n là chẵn iff n=2k với k nguy với k nguy ên.

– Có thể chứng minh từ các tiên đề đơn giản hơn

• Định lý: (Với mọi số n (Với mọi số n ) Nếu n) Nếu n là lẻ, thì n là lẻ, thì n2 là số

nguyên lẻ.

• C/m: nếu n nếu n lẻ, thì n lẻ, thì n = 2k+1 với k nguy với k nguy ên nào đó

Vậy,

Vậy, n n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 Nên

Nên n n2 có dạng 2 có dạng 2j + 1 (với j bằng 2 bằng 2k2 + 2k ), vậy n), vậy n2

là lẻ □

vừa chỉ ra rằng ¬( ¬(n is odd)→¬(3n+2 is odd), vậy

mệnh đề phản đảo của nó là (3 (3n+2 is odd)

→ (n is odd) cũng là đúng □

Ví dụ chứng minh hiển nhiên

của hai số nguyên tố thì hoặc n là lẻ hoặc n

là chẵn

• C/m: Mọi số nguyên n hoặc là lẻ hoặc là

chẵn Vì vậy kết luận của định lý là đúng bất kể tiền đề có đúng hay không Vậy phép kéo theo hiển nhiên đúng □

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 28

Chứng minh bằng mâu thuẫn

• Phương pháp chứng minh p.

• G/s ¬p, và ta chứng minh khi đó cả q và ¬q đúng với q là mệnh đề nào đó (có thể là bất

Ví dụ chứng minh mâu thuẫn

– C/m: Giả sử 21/2 là hữu tỉ Điều đó có nghĩa là

có hai số nguyên i, j không có ước chung sao cho 2 1/2 = i/j Bình phương hai vế, 2 = i2 /j2 , nên

2j2 = i2 Vậy i2 là chẵn; suy ra i là chẵn G/s

i=2k Vậy 2j2 = (2k) 2 = 4k2 Chia cả hai vế cho

2, j2 = 2k2 Vậy j2 là chẵn, nên j là chẵn

Nhưng khi đó i và j có ước chung, chẳng hạn

là 2, vậy ta có mâu thuẫn □

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 30

Ôn tập: Các phương pháp chứng minh

• Các chứng minh trực tiếp, gián tiếp, trống

rỗng, và hiển nhiên của khẳng định dạng

p→q

• Chứng minh bằng mâu thuẫn của khẳng

định bất kỳ.

• Tiếp theo: Chứng minh có tính xây dựng và

chứng minh tồn tại không xây dựng

Chứng minh tồn tại

• Chứng minh khẳng định dạng ∃x P(x) được gọi là chứng minh tồn tại

• Nếu chứng minh chỉ ra cách tìm cụ thể hoặc

xây dựng phần tử cụ thể a sao cho P(a) đúng, thì nó gọi là chứng minh xây dựng

• Ngược lại, gọi là không xây dựng

(nonconstructive)

Chứng minh tồn tại không xây dựng

“Có vô hạn số nguyên tố.”

• Mọi tập hữu hạn số phải chứa phần tử lớn nhất, vì

vậy ta sẽ chứng minh được định lý, nếu chỉ ra rằng không có số nguyên tố lớn nhất.

• Tức là, chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố, sẽ có số

lớn hơn cũng là nguyên tố

• Tổng quát hơn: Với mọi số, ∃ số nguyên tố lớn

hơn.

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 36

Chứng minh sử dụng chia trường hợp

• Cho trước n>0, chứng minh có số nguyên tố p>n

• Xét x = n!+1 Vì x>1, ta biết

(x nguyên tố) ∨ (x không nguyên tố).

ta đã c.m xong.

p≤n, thì x mod p = 1, mâu thuẫn với x chia hết cho p Vậy p>n, và ta chứng minh xong.

Bài toán dừng (Turing‘36)

học đầu tiên được chứng minh không

có thuật toán tính nó!

giá trị chân lý của khẳng định:

– Chương trình P, với đầu vào I, có chắc chắn dừng hay

không “Program P, given input I, eventually terminates.”

– Tức là, không tồn tại thuật toán A nào đó mà tính đúng

Alan Turing 1912-1954

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 38

Chứng minh

• Cho chương trình tùy ý H(P,I),

• Xét thuật toán Breaker, xác định như sau:

halts := H(P,P)

if halts then while T begin end

• Nhận thấy Breaker(Breaker) halts iff

Giới hạn của chứng minh

• Một số khẳng định rất đơn giản của lý thuyết

số không thể chứng minh được hoặc bác bỏ!

– VD Giả thuyết Goldbach: Mọi số nguyên n≥2

chính xác là trung bình cộng của hai số nguyên tố nào đó.

∀n≥2 ∃ primes p,q: n=(p+q)/2.

• Có những khẳng định về lý thuyết số mà

không bao giờ có thể chứng minh (hoặc bác

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 40

Ví dụ thêm về chứng minh

• Câu hỏi thưởng 1a: Lập luận sau đúng hay sai?

– “Mọi trợ giảng (TA) soạn các bài toán thưởng dễ

Ramesh là TA Suy ra, Ramesh soạn bài toán thưởng dễ.”

• Trước hết, tách tiền đề khỏi kết luận:

– Tiền đề #1: Mọi TA soạn bài toán thưởng dễ.

– Tiền đề #2: Ramesh là TA.

– Kết luận: Ramesh soạn bài toán thưởng dễ.

Trả lời

Viết ví dụ trên trong ký hiệu logic

• Tiền đề #1: Mọi trợ giảng (TA) soạn bài

toán thưởng dễ

– G/s vũ trụ U.D = mọi người– G/s T(x) :≡ “x là trợ giảng (TA)”

– G/s E(x) :≡ “x soạn bài toán thưởng dễ”

– Khi đó tiền đề #1 cho biết: ∀x, T(x)→E(x)

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 42

Tiếp trả lời…

• Tiền đề #2: Ramesh là trợ giảng TA.

– G/s R :≡ Ramesh– Khi đó tiền đề #2 cho biết: T(R)– Và kết luận là: E(R)

• Lập luận đúng, vì có thể suy ra từ một dãy

áp dụng liên tiếp các luật suy diễn như sau:

Chứng minh chi tiết

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 44

Ví dụ khác

• Câu hỏi thưởng 2b: Đúng hay không đúng: Ít nhất

một trong 280 sinh viên trong lớp là học giỏi xuất sắc (intelligent) Y là một sinh viên trong lớp

Vậy Y học giỏi xuất sắc.

• Trước hết: Tách tiền đề và kết luận,

và dịch sang logic:

– Premises: (1) ∃x InClass(x) ∧ Intelligent(x)

(2) InClass(Y)

– Conclusion: Intelligent(Y)

Trả lời

• Không, lập luận trên là sai; Ta có thể phản bác với

phản ví dụ như sau:

• Xét trường hợp chỉ có một sinh viên X học giỏi

xuất sắc trong lớp đó, và X≠Y.

– Khi đó tiền đề ∃x InClass(x) ∧ Intelligent(x) là đúng,

do khái quát tồn tại của

– Nhưng kết luận Intelligent(Y) là sai, vì X là sinh viên

giỏi duy nhất trong lớp, và Y≠X.

• Do đó, Tiền đề không suy ra được kết luận.

Trả lời

• Sau đó, nghĩ lại về các định nghĩa của các

khái niệm trong khẳng định của định lý:

∀ reals r: Rational(r) ↔

∃ Integer(i) ∧ Integer(j): r = i/j.

∀ reals r: Irrational(r) ↔ ¬Rational(r)

• Bạn luôn cần các định nghĩa của các khái

niệm để chứng minh định lý!

• Bây giờ, xem một chứng minh đúng:

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 48

What you might write

∀ x , y : Rational( x ) ∧ Irrational( y ) ) → → Irrational( x + y )

• Pr oof : G/s x , y t ương ứng l à các số vô tỉ và hữu

tỉ … (Khái quát vũ trụ)

• Bây giờ ta biết gì về x và y? Bạn cần quay về định

nghia số hữu tỉ:

• … Vì x l à hữu tỉ , ta bi ết (t ừ định nghĩa số hữu tỉ l)

r ằng có các số nguyên i v à j sao cho x = i / j Gi ả

sử ix, jx l à các số như vậy …

• Ta cho chúng tên cụ thể để sau này sử dụng chúng.

Cái gì tiếp theo?

• Ta biết gì về y? Chỉ là y là vô tỉ: ¬∃ các số nguyên

i,j: y = i/j.

• Nhưng, khó nhìn thấy chứng minh trực tiếp trong

trường hợp này Ta thử chứng minh gián tiếp, nhưng trong trường hợp này đơn giản hơn là dùng chứng minh mâu thuẫn (rất giống với gián tiếp).

• Vậy, ta cần chỉ ra điều gì? Chỉ là x+y là vô tỉ Tức

là, ¬ ∃i,j: (x + y) = i/j.

• Điều gì xảy ra nếu ta giả thiết phủ định của khẳng

định trên?

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 50

Viết tiếp…

• G/s x +y không là vô tỉ Khi đó x+y

phải là hữu tỉ, vì vậy có tồn tại các số nguyên i,j: x +y = i/j Vậy, g/s is và js là các số như vậy: x +y = is /js

• Khi đó, ta có (ix/jx) + y = (is/js)

• Hãy quan sát! Chúng ta có đủ thông tin để

kết luận điều gì đó về y không Hãy giải phương trình trên cho y

Kết thúc chứng minh

= (isjx – ixjs)/(jsjx)

Vì tử số và mẫu số của biểu thức trên là hai

số nguyên, do đó theo định nghĩa số hữu tỉ, y

là số hữu tỉ Điều này mâu thuẫn với giả thiết

y là số vô tỉ Vậy giả thiết x +y là hữu tỉ là sai, và như vậy định lý được chứng minh

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 52

Ví dụ về trả lời sai

• 1 là hữu tỉ √2 là vô tỉ 1+√2 là vô tỉ Do

đó, tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ

là một số vô tỉ (Direct proof.)

• Tại sao câu trả lời này không có điểm?

– Sinh viên tìm cách dùng ví dụ để chứng minh

khẳng định với mọi Điều đó luôn sai!

– Ngay cả ví dụ cũng chưa hoàn chỉnh, vì sinh

viên chưa chứng minh được 1+√2 là vô tỉ!

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 54

Ví dụ dùng luật chứng minh

Chứng minh R đúng

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 56

dấu * ký hiệu mâu thuẫn

Một số luật của Logic vị từ

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 58

Ứng dụng Logic

Hình thức hóa-Chuyển sang hệ logic

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 60

Dùng bảng chân lý

08/14/14 (c)2001-2003, Michae 62