Toán rời rạc - Bài 2 Proofs pptx

08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 1 Module #2 - Proofs University of Florida Dept. of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr. Michael P. Frank Slides for a Course Based on the Text Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications Discrete Mathematics & Its Applications (5 (5 th th Edition) Edition) by Kenneth H. Rosen by Kenneth H. Rosen 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 2 Module #2 - Proofs Bài 2: Các phương pháp chứng minh cơ bản Rosen 5 Rosen 5 th th ed., §1.5 ed., §1.5 48 slides, ~3 lectures 48 slides, ~3 lectures 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 3 Module #2 - Proofs Bản chất và tầm quan trọng của chứng minh • Trong toán học, chứng minh là: Trong toán học, chứng minh là: – Diễn giải đúng đắn (suy luận được, đúng về logic) và Diễn giải đúng đắn (suy luận được, đúng về logic) và hoàn chỉnh (rõ ràng, chi tiết) để xác định chân lý của hoàn chỉnh (rõ ràng, chi tiết) để xác định chân lý của khẳng định toán học một cách không từ chối được và khẳng định toán học một cách không từ chối được và chặt chẽ. chặt chẽ. • Tại sao diễn giải cần đúng đắn và hoàn chỉnh? Tại sao diễn giải cần đúng đắn và hoàn chỉnh? – Đúng đắn ngăn chúng ta khỏi bị lừa chính mình Đúng đắn ngăn chúng ta khỏi bị lừa chính mình . . – Hoàn chỉnh cho phép bất kỳ ai có thể kiểm chứng kết Hoàn chỉnh cho phép bất kỳ ai có thể kiểm chứng kết quả quả . . • Trong môn này (& cũng như các môn toán) đòi hỏi Trong môn này (& cũng như các môn toán) đòi hỏi chuân rất cao về chứng minh tính đúng đắn và hoàn chuân rất cao về chứng minh tính đúng đắn và hoàn chỉnh!! chỉnh!! 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 4 Module #2 - Proofs Tổng quan về §1.5 • Các phương pháp chứng minh có thể được Các phương pháp chứng minh có thể được hình thức hoá trong thuật ngữ các luật suy hình thức hoá trong thuật ngữ các luật suy diễn logic ( diễn logic ( rules of logical inference) rules of logical inference) . . • Chứng minh toán học có thể tự biểu diễn Chứng minh toán học có thể tự biểu diễn hình thức như cấu trúc rời rạc. hình thức như cấu trúc rời rạc. • Chúng ta có thể xem lại các suy diễn đúng Chúng ta có thể xem lại các suy diễn đúng đắn và sai lầm và một số phương pháp đắn và sai lầm và một số phương pháp chứng minh. chứng minh. 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 5 Module #2 - Proofs Các ứng dụng chứng minh • Như bài tập trong trao đổi rõ ràng về các suy luận Như bài tập trong trao đổi rõ ràng về các suy luận logic trong bất cứ lĩnh vực học tập nào. logic trong bất cứ lĩnh vực học tập nào. • Hoạt động cơ bản của toán học là khám phá và Hoạt động cơ bản của toán học là khám phá và làm sáng tỏ thông qua chứng minh các định lý làm sáng tỏ thông qua chứng minh các định lý mới lý thú. mới lý thú. • Chứng minh định lý có ứng dụng trong kiểm Chứng minh định lý có ứng dụng trong kiểm chứng chương trình, an toàn máy tính và các hệ chứng chương trình, an toàn máy tính và các hệ suy luận tự động, v.v suy luận tự động, v.v • Chứng minh định lý cho phép ta tin cậy vào tính Chứng minh định lý cho phép ta tin cậy vào tính đúng đắn của nó ngay cả trong tình huống căng đúng đắn của nó ngay cả trong tình huống căng thẳng nhất. thẳng nhất. 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 6 Module #2 - Proofs Thuật ngữ chứng minh Proof Terminology • Định lý Định lý – Khẳng định cần được chứng minh đúng đắn. Khẳng định cần được chứng minh đúng đắn. • Tiên đề Tiên đề , nguyên lý, giả thuyết, , nguyên lý, giả thuyết, giả thiết giả thiết – Các đề xuất (thường không được chứng minh) Các đề xuất (thường không được chứng minh) xác định cấu trúc mà ta đang suy luận về chúng. xác định cấu trúc mà ta đang suy luận về chúng. • Các luật suy diễn Các luật suy diễn – Mẫu suy luận đúng từ giả thiết đến kết luận. Mẫu suy luận đúng từ giả thiết đến kết luận. 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 7 Module #2 - Proofs Nói thêm về thuật ngữ • Bổ đề - định lý nhỏ sử dụng như bước đệm để Bổ đề - định lý nhỏ sử dụng như bước đệm để chứng minh định lý chính chứng minh định lý chính . . • Hệ quả - định lý nhỏ được chứng minh bằng cách Hệ quả - định lý nhỏ được chứng minh bằng cách suy luận dễ dàng từ định lý chính. suy luận dễ dàng từ định lý chính. • Giả thuyết - khẳng định mà giá trị chân lý đúng Giả thuyết - khẳng định mà giá trị chân lý đúng của nó chưa được chứng minh của nó chưa được chứng minh . . (Tuy nhi (Tuy nhi ên, giả ên, giả thuyết có thể được tin tưởng rộng rãi vào tính thuyết có thể được tin tưởng rộng rãi vào tính đúng đắn đúng đắn ) ) • Lý thuyết – tập tất cả các định lý mà được chứng Lý thuyết – tập tất cả các định lý mà được chứng minh từ tập các tiên đề minh từ tập các tiên đề . . 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 8 Module #2 - Proofs Trực quan bằng đồ thị … Various Theorems Various Theorems The Axioms The Axioms of the Theory of the Theory A Particular Theory A Particular Theory A proof A proof 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 9 Module #2 - Proofs Luật suy diễn - Dạng tổng quát • Luật suy diễn là Luật suy diễn là – Mẫu xác lập rằng nếu chúng ta biết tập các tiền Mẫu xác lập rằng nếu chúng ta biết tập các tiền đề ( đề ( antecedent) antecedent) ở một dạng nào đó là đúng, thì ở một dạng nào đó là đúng, thì chúng ta có thể suy luận một cách đúng đắn chúng ta có thể suy luận một cách đúng đắn rằng các mệnh đề kết quả ( rằng các mệnh đề kết quả ( consequent) consequent) là đúng. là đúng. • antecedent 1 antecedent 1 antecedent 2 … antecedent 2 … ∴ ∴ consequent consequent “ “ ∴ ∴ ” nghĩa là “khi đó” ” nghĩa là “khi đó” 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 10 Module #2 - Proofs Luật suy diễn và phép kéo theo • Mỗi luật suy diễn đúng tương ứng với phép Mỗi luật suy diễn đúng tương ứng với phép kéo theo là hằng đúng. kéo theo là hằng đúng. • antecedent 1 Luật suy diễn antecedent 1 Luật suy diễn antecedent 2 … antecedent 2 … ∴ ∴ consequent consequent • Hằng đúng tương ứng: Hằng đúng tương ứng: (( (( ante. 1 ante. 1 ) ) ∧ ∧ ( ( ante. 2 ante. 2 ) ) ∧ ∧ …) …) → → consequent consequent [...]... Suy ra p là đúng 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 28 Module #2 - Proofs Ví dụ chứng minh mâu thuẫn 2 • Định lý: 2 là số vô tỉ – C/m: Giả sử 21 /2 là hữu tỉ Điều đó có nghĩa là có hai số nguyên i, j không có ước chung sao cho 21 /2 = i/j Bình phương hai vế, 2 = i2/j2, nên 2j2 = i2 Vậy i2 là chẵn; suy ra i là chẵn G/s i=2k Vậy 2j2 = (2k )2 = 4k2 Chia cả hai vế cho 2, j2 = 2k2 Vậy j2 là chẵn, nên j là chẵn Nhưng... 1 = 2( 2k2 + 2k) + 1 Nên n2 có dạng 2j + 1 (với j bằng 2k2 + 2k), vậy n2 là lẻ □ 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 24 Module #2 - Proofs Ví dụ chứng minh phản chứng • Định lý: (Với mọi số nguyên n) Nếu 3n +2 là lẻ, thì n là lẻ • C/m: Giả sử kết luận là sai, tức là, n là chẵn Khi đó n=2k với k nguyên nào đó Vậy 3n +2 = 3(2k) +2 = 6k +2 = 2( 3k+1) Do đó 3n +2 là chẵn, vì nó bằng 2j với j = 3k+1 Vậy 3n +2 không... identify what they are? (c )20 0 1 -2 003, Michae 21 Module #2 - Proofs Một phương án c/m dài dòng nữa Uses some number theory we haven’t defined yet G/s n2 là chẵn 2| n2 ∴ n2 mod 2 = 0 Tất nhiên n mod 2 bằng 0 hoặc 1 Nếu bằng 1, thì n≡1 (mod 2) , khi đó n2≡1 (mod 2) , sử dụng định lý nếu a≡b (mod m) và c≡d (mod m) thì ac≡bd (mod m), với a=c=n và b=d=1 Bây giờ n2≡1 (mod 2) suy ra n2 mod 2 = 1 Vậy theo Luật tam... (c )20 0 1 -2 003, Michae 23 Module #2 - Proofs Ví dụ chứng minh trực tiếp • Định nghĩa: Số n gọi là lẻ iff n=2k+1 với k nguyên; n là chẵn iff n=2k với k nguyên • Định lý: Mọi số nguyên hoặc là chẵn hoặc là lẻ – Có thể chứng minh từ các tiên đề đơn giản hơn • Định lý: (Với mọi số n) Nếu n là lẻ, thì n2 là số nguyên lẻ • C/m: nếu n lẻ, thì n = 2k+1 với k nguyên nào đó Vậy, n2 = (2k+1 )2 = 4k2 + 4k + 1 = 2( 2k2... b=d=1 Bây giờ n2≡1 (mod 2) suy ra n2 mod 2 = 1 Vậy theo Luật tam đoạn luận kéo theo, (n mod 2 = 1) suy ra (n2 mod 2 = 1) Vì ta biết n2 mod 2 = 0 ≠ 1, bằng Luật modus tollens ta biết rằng n mod 2 ≠ 1 Vậy theo tam đoạn luận tuyển ta có n mod 2 = 0 2| n ∴ n là chẵn 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 22 Module #2 - Proofs Các phương pháp chứng minh kéo theo Để chứng minh kéo theo p→q, ta có: • Chứng minh trực...Module #2 - Proofs Một số luật suy diễn • p ∴ p ∨q • p ∧q ∴p • p q ∴ p ∧q 08/14/14 Luật cộng Luật đơn giản Luật hội (c )20 0 1 -2 003, Michae 11 Module #2 - Proofs Modus Ponens & Tollens • p ∴q • ¬q p→q ∴¬p Luật suy xét độc lập (Rule of modus ponens) “the mode of p→q affirming” Luật cách từ chối (Rule of modus tollens) “the mode of denying” 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 12 Module #2 - Proofs Luật tam... 1 Premise #2 Modus tollens on 2, 3 Premise #3 Modus ponens on 4,5 Premise #4 Modus ponens on 6,7 (c )20 0 1 -2 003, Michae 17 Module #2 - Proofs Các luật suy diễn lượng tử ∀ ∀x P(x) ∴P(o) (thế đối tượng cụ thể bất kỳ o) • P(g) (cho p/tử tổng quan g từ u.d.) ∴∀x P(x) ∀ ∃x P ( x ) ∴P(c) (thế hằng mới c) • P(o) (thế đối tượng hiện có bất kỳ o) ∴∃x P(x) 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 18 Module #2 - Proofs Nguỵ... chẳng hạn là 2, vậy ta có mâu thuẫn □ 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 29 Module #2 - Proofs Ôn tập: Các phương pháp chứng minh • Các chứng minh trực tiếp, gián tiếp, trống rỗng, và hiển nhiên của khẳng định dạng p→q • Chứng minh bằng mâu thuẫn của khẳng định bất kỳ • Tiếp theo: Chứng minh có tính xây dựng và chứng minh tồn tại không xây dựng 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 30 Module #2 - Proofs Chứng minh... 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 19 Module #2 - Proofs Suy luận vòng quanh • Ngụy biện giả thiết tường minh hay ẩn ngay chính mệnh đề đang cần phải chứng minh tính đúng đắn Ví dụ: • Chứng minh số nguyên n là chẵn, nếu n2 là chẵn • Thử chứng minh: “G/s n2 là chẵn Khi đó n2=2k với số nguyên k nào đó Chia cả hai vế cho n được n = (2k)/n = 2( k/n) Vậy có số nguyên j (ký hiệu thay k/n) sao cho n=2j Vì vậy n... odd)→¬(3n +2 is odd), vậy mệnh đề phản đảo của nó là (3n +2 is odd) → (n is odd) cũng là đúng □ 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae 25 Module #2 - Proofs Ví dụ chứng minh trống rỗng • Định lý: (Với mọi n) Nếu n cả là chẵn và lẻ, thì n2 = n + n • C/m: Khẳng định “n là cả chẵn và lẻ” là chắc chắn sai, vì không có số nào có thể như vậy cả Vậy, Định lý là đúng trống rỗng (không nói lên điều gì cả) □ 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, . Edition) Edition) by Kenneth H. Rosen by Kenneth H. Rosen 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae l P. Frank 2 Module #2 - Proofs Bài 2: Các phương pháp chứng minh cơ bản Rosen 5 Rosen 5 th th ed., §1.5 . Rule of disjunctive syllogism ∴ ∴ q q Aristotle (ca. 38 4-3 22 B.C.) 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae l P. Frank 14 Module #2 - Proofs Chứng minh hình thức • Chứng minh hình thức của kết luận. đúng. 08/14/14 (c )20 0 1 -2 003, Michae l P. Frank 15 Module #2 - Proofs Ví dụ chứng minh hình thức • Giả sử ta có các tiền đề sau: “Trời không nắng và trời lạnh.” “Để chúng ta bơi được thì trời cần phải