• Định lý:Định lý:
“Có vô hạn số nguyên tố.”
“Có vô hạn số nguyên tố.”
• Mọi tập hữu hạn số phải chứa phần tử lớn nhất, vì Mọi tập hữu hạn số phải chứa phần tử lớn nhất, vì
vậy ta sẽ chứng minh được định lý, nếu chỉ ra rằng
vậy ta sẽ chứng minh được định lý, nếu chỉ ra rằng
không có số nguyên tố lớn nhất.
không có số nguyên tố lớn nhất.
• Tức làTức là, chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố, sẽ có số , chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố, sẽ có số
lớn hơn cũng là nguyên tố.
lớn hơn cũng là nguyên tố.
• Tổng quát hơn: Với mọi số, Tổng quát hơn: Với mọi số, ∃∃ số nguyên tố lớn số nguyên tố lớn hơn.
hơn.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank
36
Module #2 - Proofs
Chứng minh sử dụng chia trường hợp• Cho trước Cho trước nn>0, chứng minh có số nguyên tố >0, chứng minh có số nguyên tố pp>>nn. . • Cho trước Cho trước nn>0, chứng minh có số nguyên tố >0, chứng minh có số nguyên tố pp>>nn. . • Xét Xét x x = = nn!+1. Vì !+1. Vì xx>1, ta biết >1, ta biết
(
(xx nguyên tố) nguyên tố)∨∨((x không nguyên tốx không nguyên tố).).
• Case 1:Case 1: xx nguyên tố. Rõ ràng nguyên tố. Rõ ràng xx>>nn, nên G/s , nên G/s pp==xx và và
ta đã c.m xong.
ta đã c.m xong.
• Case 2:Case 2: xx có thừa số nguyên tố có thừa số nguyên tố pp. Nhưng nếu . Nhưng nếu
p
p≤≤nn, thì x mod p = 1, mâu thuẫn với x chia hết , thì x mod p = 1, mâu thuẫn với x chia hết
cho p. Vậy
08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank
37
Module #2 - Proofs