Đây là bài giảng toán rời rạc bằng tiếng anh dành cho giáo viên, sinh viên tham khảo để ôn tập tốt môn toán rời rạc.
University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr Michael P Frank Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications (5th Edition) by Kenneth H Rosen Slides are online at http://www.cise.ufl.edu/~mpf/cot3100lecs 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Module #0: Tổng quan Course Overview A few general slides about the subject matter of this course 14 slides, ½ lecture 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Toán học thực tế gì? • Đây khơng phải số! • Tốn học thực tế nhiều thế: Tốn học, nói tổng quát, nghiên cứu chân lý tuyệt đối khái niệm định nghĩa cách đắn • Nhưng, khái niệm số, ký hiệu, đối tượng, hình ảnh, âm hay khác! 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Physics from Mathematics • Starting from simple structures of logic & set theory, – Mathematics builds up structures that include all the complexity of our physical universe… • Except for a few “loose ends.” • One theory of philosophy: – Perhaps our universe is nothing other than just a complex mathematical structure! • It’s just one that happens to include us! From Max Tegmark, ‘98 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Vậy môn học dạy gì? Cấu trúc “rời rạc” gì? • “Discrete” - rời rạc gồm phần riêng biệt (Đối nghịch với liên tục) rời rạc:liên tục :: kỹ thuật số:tương tự • “Cấu trúc” – Các đối tượng xây dựng từ đối tượng đơn giản nhờ mẫu xác định • “Tốn rời rạc” – nghiên cứu cấu trúc đối tượng toán học rời rạc 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Chúng ta học Mệnh đề - Propositions Vị từ - Predicates Chứng minh - Proofs Tập hợp - Sets Hàm số - Functions Tốc độ tăng - Orders of Growth • Thuật tốn - Algorithms • Số nguyên - Integers • Lấy tổng - Summations • • • • • • 05/08/21 • • • • • • • • Dãy - Sequences Xâu - Strings Hoán vị - Permutations Tổ hợp - Combinations Quan hệ - Relations Đồ thị - Graphs Cây - Trees Mạch logic - Logic Circuits • Ơtơmat - Automata (c)2001-2004, Michae Mối quan hệ cấu trúc • “→” :≝ “Can be defined in terms of” Programs Proofs Groups Trees Operators Complex Propositions numbers Graphs Real numbers Strings Functions Integers Matrices Relations Natural numbers Sequences Infinite Bits n-tuples Vectors ordinals Sets Not all possibilities 05/08/21 (c)2001-2004, Michae are shown here Một số ký hiệu mà ta học ¬p ∃x P ( x) ∅ f :A→ B p∧q p⊕q {a1 , , an } Z, N, R S ⊆T f −1 ( x) |S| f g p→q p⇔q ∀x P( x) ∴ {x | P ( x)} x∉S A∪ B x n A aα ∑ α ∈S O , Ω, Θ min, max a /| b gcd, lcm ( a k a0 ) b [aij ] AT AΟ ⋅B A[ n ] C (n; n1 , , nm ) p( E | F ) R∗ ∆ [a ]R 05/08/21 (c)2001-2004, Michae mod A i i =1 n ∏a i i =1 a ≡ b (mod m) n r deg + (v) Tại phải học Tốn rời rạc? • Cơ sở q trình xử lý thơng tin kỹ thuật số là: Thao tác rời rạc cấu trúc rời rạc nhớ • Là ngơn ngữ khái niệm sở cho thức khác Khoa học máy tính • Các khái niệm toán rời rạc dùng rộng rãi Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, Sinh học, … • Là cơng cụ có ích nói chung cho suy nghĩ hợp lý! 05/08/21 (c)2001-2004, Michae Ứng dụng Tốn rời rạc Khoa học máy tính • Cấu trúc liệu giải thuật • Chương trình dịch • Mạng máy tính Computer networks • Hệ điều hành Operating systems • Kiến trúc máy tính Computer architecture 05/08/21 • Hệ quản trị sở liệu • Mã hố-Cryptography • Lập trình chỉnh lỗi Error correction codes • Cơ chế trị chơi, thuật tốn mơ đồ họa… • Mọi lĩnh vực! (c)2001-2004, Michae 10 Instructors: customize topic content & order for your own course Course Outline (as per Rosen) 10 11 12 Logic (§1.1-4) Proof methods (§1.5) Set theory (§1.6-7) Functions (§1.8) Algorithms (§2.1) Orders of Growth (§2.2) Complexity (§2.3) Number theory (§2.4-5) Number theory apps (§2.6) Matrices (§2.7) Proof strategy (§3.1) Sequences (§3.2) 05/08/21 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Summations (§3.2) Countability (§3.2) Inductive Proofs (§3.3) Recursion (§3.4-5) Program verification (§3.6) Combinatorics (ch 4) Probability (ch 5) Recurrences (§6.1-3) Relations (ch 7) Graph Theory (chs 8+9) Boolean Algebra (ch 10) Computing Theory (ch.11) (c)2001-2004, Michae 11 Một số chủ đề bỏ qua Do học môn khác: Lý thuyết số (ch 8) - học mơn an tồn thơng tin Ứng dụng lý thuyết số (ch 9) 10 Ma trận: Đại số tuyến tính 13 Tính tổng: Giải tích 19 Xác suất: Mơn Xác suất & thống kê 24 Đại số trừu tượng: An tồn thơng tin - Groups, rings, fields, vector spaces, algebras, etc 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 12 Mục đích mơn học • Học xong mơn sinh viên có thể: – – – – Lập luận suy luận logic đơn giản (chứng minh) Kiểm tra tính đắn thuật toán đơn giản Tự xây dựng suy luận thuật tốn đắn Mơ tả định nghĩa tính chất nhiều kiểu cấu trúc liệu rời rạc – Hiểu, biểu diễn phân tích đắn nhiều kiểu cấu trúc liệu rời rạc sử dụng khái niệm chuẩn 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 13 Kế hoạch học tập • • • • • • • • Tuần 1: Logic Tuần 2: Logic (tiếp) Tuần 3: Chứng minh Tuần 4: Tập hợp Tuần 5: Hàm số Tuần 6: Quan hệ Tuần 7: Thuật toán Tuần 8: Cấp độ tăng độ phức tạp thuật tốn 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 14 Kế hoạch học (tiếp) • • • • • • • Tuần 9: Qui nạp & Đệ qui Tuần 10: Kiểm chứng & Truy hồi Tuần 11: Tổ hợp Tuần 12: Đồ thị Tuần 13: Đồ thị (tiếp) Tuần 14: Đại số Bool Tuần 15: Mơ hình & Tổng ơn 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 15 Kế hoạch tập, thực hành, kiểm tra • • • • • • • • Mỗi tuần có tiết chữa tập Trong tuần nộp cài đặt 1, Trong tuần 7: nộp tập đợt Trong tuần 8: kiểm tra kỳ 20% Trong tuần 9: nộp cài đặt 3, Trong tuần 13: nộp tập đợt Trong tuần 14: nghiệm thu cài đặt 1-6 20% Thi viết: phần đầu trắc nghiệm, phần sau tự luận 60% = 20% + 40% 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 16 A Proof Example • Theorem: (Pythagorean Theorem Pythagoras of Samos (ca 569-475 B.C.) of Euclidean geometry) For any real numbers a, b, and c, if a and b are the baselength and height of a right triangle, and c is the length of its hypotenuse, then a2 + b2 = c2 c = a2 + b2 b • Proof: See next slide a 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 17 Proof of Pythagorean Theorem • Proof Consider the below diagram: – Exterior square area = c2, the sum of the following regions: • The area of the triangles = 4(ẵab) = 2ab ã The area of the small interior square = (b−a)2 = b2−2ab+a2 – Thus, c2 = 2ab + (b2−2ab+a2) = a2 + b2 ■ c a ½ab b b (b−a)2 ½ab c a b 05/08/21 b a ½ab c c ½ab a Note: It is easy to show that the exterior and interior quadrilaterals in this construction are indeed squares, and that the side length of the internal square is indeed b−a (where b is defined as the length of the longer of the two perpendicular sides of the triangle) These steps would also need to be included in a more complete proof (c)2001-2004, Michae Areas in this diagram are in boldface; lengths are in a normal font weight 18 Finally: Have Fun! 05/08/21 (c)2001-2004, Michae 19 ... “Tốn rời rạc? ?? – nghiên cứu cấu trúc đối tượng toán học rời rạc 05/08/21 (c)200 1-2 004, Michae Chúng ta học Mệnh đề - Propositions Vị từ - Predicates Chứng minh - Proofs Tập hợp - Sets Hàm số - Functions... tăng - Orders of Growth • Thuật tốn - Algorithms • Số nguyên - Integers • Lấy tổng - Summations • • • • • • 05/08/21 • • • • • • • • Dãy - Sequences Xâu - Strings Hoán vị - Permutations Tổ hợp -. .. Max Tegmark, ‘98 05/08/21 (c)200 1-2 004, Michae Vậy môn học dạy gì? Cấu trúc ? ?rời rạc? ?? gì? • “Discrete” - rời rạc gồm phần riêng biệt (Đối nghịch với liên tục) rời rạc: liên tục :: kỹ thuật số:tương