ứng dụng định lý krasnoselskii trong phương trình vi phân và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Võ Thị Duy Diệp ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Võ Thị Duy Diệp ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kết điểm bất động không gian Banach 1.2 Không gian lồi địa phương .4 1.3 Không gian lồi địa phương Fréchet 1.4 Không gian Banach sinh nón CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII 2.1 Định lý điểm bất động không gian lồi địa phương 2.2 Định lý điểm bất động không gian lồi địa phương FRÉCHET 21 2.3 Định lý điểm bất động ánh xạ nén giãn 39 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 50 3.1 Ứng dụng vào phương trình vi phân 50 3.2 Ứng dụng vào phương trình tích phân 60 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG  Tập hợp số tự nhiên * Tập hợp số tự nhiên khác + Tập hợp số nguyên không âm ∂Ω Biên Ω Ω Bao đóng Ω (X,.) Không gian Banach X với chuẩn C [ a, b ] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [ a, b ] C ([ a, b ] , E ) Không gian hàm liên tục u : [ a, b ] → E Kết thúc chứng minh LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động xuất từ đầu kỷ 20 gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học lớn Brouwer, Banach, Schauder, Kakutami, Tikhonow, Browder, Ky Fan… Trong đó, định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu phát triển 50 năm qua Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii có ứng dụng rộng rãi không gian Banach, không gian Fréchet, không gian lồi địa phương….Trong lý thuyết phương trình không gian có thứ tự định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii ánh xạ nén giãn mặt nón có vai trò quan trọng tương tự định lý Banach ánh xạ co hay định lý Schauder lý thuyết điểm bất động Định lý công cụ chủ yếu để chứng minh tồn nghiệm dương nhiều lớp phương trình vi phân tích phân Luận văn trình bày ứng dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii phương trình vi phân tích phân Nội dung luận văn gồm chương CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị CHƯƠNG 2: Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii CHƯƠNG 3: Ứng dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii phương trình vi phân tích phân.Trong chương luận văn trình bày tồn nghiệm phương trình vi phân tích phân sau: Bài toán giá trị hai điểm biên: − =  u '' f ( t , h1 , T1h2 , T2 h2 ) − M ( u − h1 ) + N1 (T1u − T1h2 ) + N (T2u − T2 h2 )  = x1 u ( ) x= ; u (1) Phương trình tích phân: (I) = x(t ) t t 0 ∫ f (s, x(s))ds + ∫ g (t , s, x(s))ds + φ (t ), t ≥ 0, t (II) x ( t ) =e ∫ s −t a f ( s, x( s ))ds + ∫ e − t g (t , s, x( s ))ds, t ∈ [ 0, a ] , e − tφ (t ) + e s −t [ f ( s, x( s )) + g (t , s, x( s )) ] ds, t ∈ [ 0, a ] , (III) x(t ) = ∫ t t ∫ a ∫ (IV) x(t ) = f ( s, x( s ))ds + K (t , s ) g ( s, x( s ))ds, a > 0 Cuối em xin chân thành cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa, Thầy giới thiệu đề tài, tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn tất Thầy Cô Khoa Toán Tin trường Đại học Sư Phạm TP HCM truyền đạt cho em kiến thức quý báu trình em học Cao học em gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè hỗ trợ, động viên em thời gian qua CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài kết điểm bất động không gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho (X,d) không gian mêtric T : X → X  T ánh xạ co với x ≠ y, d (Tx, Ty ) < kd ( x, y ) với k <  T thỏa điều kiện Lipschitz hay T ánh xạ Lipschitz tồn số k ≥ cho ∀x, y ∈ X , d (Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y )  Số k(T) bé thỏa mãn bất đẳng thức gọi hệ số Lipschitz T k(T) < T ánh xạ k-co  Điểm x0 ∈ X điểm bất động T Tx0 = x0  Nếu T ánh xạ co T liên tục điểm bất động T có Nguyên lý ánh xạ co Banach Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ k-co Khi T có điểm bất động nhất, ghi x0 lim T n x= x0 , ∀x ∈ X n →∞ kn Hơn d x0 , T x ≤ d ( x, Tx ) ∀x ∈ X 1− k ( n ) Hệ 1.1 Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ Lipschitz Giả sử tồn p ∈ * cho k (T p ) < Khi T có điểm bất động nhất, ghi x0 lim T n x= x0 , ∀x ∈ X n →∞ Hệ 1.2 Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ Lipschitz 1   n n n     Giả sử = inf   k T  n , n ∈ *  < k∞ (T ) lim  k= T  n →∞   ( ) ( ) Khi T có điểm bất động nhất, ghi x0 lim T n x= x0 , ∀x ∈ X n →∞ Hệ 1.3 Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X cho T r ánh xạ k-co với r số nguyên dương Khi T có điểm bất động Định lý 1.1 Cho ( X , ) không gian Banach , T : X → X ánh xạ Lipschitz Với y ∈ X đặt Ty : X → X định Ty ( x= ) Tx + y Giả sử k∞ (Ty ) < với y ∈ X Khi (I-T) song ánh ánh xạ ngược (I-T)-1 liên tục (I ánh xạ đồng nhất) 1.2 Không gian lồi địa phương Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian vectơ tôpô trường K Nếu U sở lân cận ∈ X thì: a) Với U ∈ U tập hấp thụ , tức ∀x ∈ X , ∃ε > : λ x ∈ U , ∀ λ < ε b) Với U ∈ U tồn V ∈ U để V + V ⊂ U c) Với U ∈ U tồn lân cận W X cho W ∈ U λW ⊂ W , ∀ λ ≤ d) Lân cận W thỏa mãn λW ⊂ W , ∀ λ ≤ gọi lân cận cân Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ tôpô gọi không gian lồi địa phương phần tử X có sở lân cận thành lập từ tập lồi Mệnh đề 1.2 Giả sử X không gian lồi địa phương Khi ∈ X có sở lân cận U thỏa mãn: a) αU ∈ U , ∀α ∈ K , α ≠ 0, ∀U ∈ U b) Với U ∈ U lồi cân Mệnh đề 1.3 Giả sử X không gian vectơ Khi  x  a) Với tập lồi cân, hấp thụ A dạng p A ( x )= inf λ > : ∈ A xác định nửa λ   chuẩn p X thỏa mãn { p ( x ) < 1} ⊂ A ⊆ { p ( x ) ≤ 1} A A Nửa chuẩn p A xác định với tập lồi, cân, hấp thụ A gọi hàm cỡ hay phiếm hàm Minskowski kết hợp với A b) Với nửa chuẩn p X , tập dạng { p ( x ) < r} { p ( x ) ≤ r} lồi, cân, hấp thụ Hơn p= U1 ( x ) pU ( x ) ∀x ∈ X ,= { p ( x ) ≤ 1} 1.3 Không gian lồi địa phương Fréchet Không gian lồi địa phương Fréchet không gian lồi địa phương X với tôpô sinh mêtric d bất biến qua phép tịnh tiến (X,d) đầy đủ Một cách thuận lợi để xây dựng không gian dựa khái niệm nửa chuẩn Mỗi không gian vectơ X với họ đếm nửa chuẩn ( X , n ) có tính chất ∀x ∈ X , x ≠ 0, ∃n ∈ * : x n ≠ , không gian mêtric đầy đủ với mêtric x− yn ta có X , n không gian Fréchet n n =1 + x − y n ∞ ( d ( x, y ) = ∑ ) Ánh xạ Lipschitz không gian Fréchet Cho ( X , n ) không gian Fréchet T : X → X  T ánh xạ Lipschitz với n ∈ * tồn kn ≥ cho ∀x, y ∈ X , Tx − Ty n ≤ kn x − y n Với n ∈ * số kn (T ) bé thỏa mãn bất đẳng thức gọi hệ số Lipschitz T  Nếu kn (T ) < ∀n ∈ * T gọi ánh xạ kn - co  Nếu S, T : X → X ánh xạ Lipschitz ( ) kn (T S ) ≤ kn (T ) kn ( S ) đặc biệt kn T m ≤  kn (T )  ∀m, n ∈ * m Sự hội tụ không gian Fréchet:  Dãy { xm }m X hội tụ x nếu: ∀n ∈ * , lim xm − x n = m →∞  Dãy { xm }m X dãy Cauchy nếu: ∀n ∈ * , ∀ε > 0, ∃m0 : ∀p, q ≥ m0 , x p − xq < ε n 1.4 Không gian Banach sinh nón Định nghĩa 1.4 Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: (i) K tập đóng (ii) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ > (iii) K ∩ ( − K ) ={0} Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Mỗi x ∈ K \ {0} gọi dương Mệnh đề 1.4 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón K Khi : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y ∀z ∈ K , ∀λ ≥ ( ) xn ≤ yn ( n ∈ * ) , lim xn = x, lim yn = y ⇒ x ≤ y Nếu { xn }n dãy tăng , hội tụ x xn ≤ x, ∀n ∈ * Chứng minh Sử dụng thứ tự " ≤ " sinh nón tính chất (ii) định nghĩa 1.4 Ta có lim ( yn − xn ) =y − x mà yn − xn ∈ K ⇒ y − x ∈ K ( tính chất đóng K) n →∞ Cho m → ∞ bất đẳng thức xn ≤ xn + m ta có xn ≤ x, ∀n ∈ * t U ( x)(t ) = ∫ f ( s, x( s ))ds t C = ( x)(t ) ∫ g (t , s, x(s))ds + φ (t ), t ≥ 0 Rõ ràng U ( x) C ( x) liên tục [ 0,∞ ) Để chứng minh định lý 3.2, cần kết hỗ trợ bổ đề sau: Bổ đề 3.4 Cho f thỏa mãn (I.1) U xác định (1) Khi với a > (ka ) n pa ( x − y ) z ∈ X , pa (U ( x) − U ( y )) ≤ n! n z n z ∀n ∈  Chứng minh (kt ) n Chúng ta chứng minh U ( x)(t ) − U ( y )(t ) ≤ pa ( x − y ) ∀t ∈ [ 0, a ] n! n z n z t Thật vậy, với n = 1, vì: U z ( x)(= t ) U ( x)(t ) + z (= t) ∫ f (s, x(s))ds + z (t ) , t Khi đó: U z ( x)(t ) − U z ( y )(t ) ≤ f ( s, x( s )) − f ( s, y ( s )) ds, t ∈ [ 0, a ] ∫ t t 0 ≤ k ∫ x( s ) − y ( s ) ds ≤ k ∫ pa ( x − y )ds ≤(kt ) pa ( x − y ) Giả sử (16) với n Khi ta có: U n +1 z ( x)(t ) − U n +1 z t ( y )(t ) ≤ ∫ f ( s,U zn x( s )) − f ( s,U zn y ( s )) ds t ≤ k ∫ U zn x( s ) − U zn y ( s ) ds (ks ) n pa ( x − y )ds n! ≤ k∫ ≤ t (kt ) n+1 pa ( x − y ), ∀t ∈ Ω [ 0, a ] , (n + 1)! (16) Như (16) chứng minh (ka ) n Từ (16) suy ra: pa (U ( x) − U ( y )) ≤ pa ( x − y ), ∀n n! n z n z Bổ đề 3.5 Cho g thỏa mãn (I.2) cho C xác định sau: p (t ) = C ( x)(t ) ∫ g (t , s, x( s ))ds + φ (t ) , t ∈ [ 0, a ] , a > 0 ρ : [ 0,a ] → R hàm liên tục cho ≤ ρ (t ) ≤ a , ∀t ∈ [ 0, a ] Khi C toán tử hoàn toàn liên tục không gian Banach X a = C ([ 0, a ] , E ) { } với = chuẩn x a sup x(t ) : t ∈ [ 0, a ] Chứng minh Rõ ràng C : X a → X a Trước hết ta chứng minh C liên tục {x (s) : s ∈ [0, a ], n ∈ } Cho { xn }n dãy X a cho lim xn = x0 Đặt B = { } Ta thấy B tập compact E Thật vậy, xét xni (ti ) + n n→∞ ∞ i = ≤ B Ta giả sử lim ti = t0 lim xni = x0 Ta có: i →∞ i →∞ xni (ti ) − x0 (t0 ) ≤ xni (ti ) − x0 (ti ) + x0 (ti ) − x0 (to ) ≤ xni − x0 + x0 (ti ) − x0 (t0 ) , Điều lim xni (ti ) = xo (t0 ) , B tập compact i →∞ Với ε > cho trước, g liên tục tập compact [ 0,a ] × B , nên ∃δ > : x − y < δ , g (t , s, x) − g (t , s, y ) < ε a Vì lim xn = x0 X a , : n→∞ ∃n0 : n ≥ n0 , xn ( s ) − x0 ( s ) < δ ∀s ∈ [ 0, a ] ∀s, t ∈ Ω [ 0, a ] Điều suy ra: ρ (t ) C ( xn )(t ) − C ( x0 )(t ) ≤ ∫ g (t , s, xn ( s )) − g (t , s, x0 ( s )) ds, ∀t ∈ [ 0, a ] ρ (t ) < ∫ ε a ds= ε a ε ρ (t ) ≤ a= ε a Do C ( xn ) − C ( x0 ) < ε ∀n ≥ n0 , chứng tỏ C liên tục  Chứng minh C hoàn toàn liên tục { x(s) : x ∈ Ω, s ∈ [0, a ]} Đặt A Cho Ω tập bị chặn X a = Do A bị chặn E Vì g hoàn toàn liên tục, nên tập g ([ 0, a ] × A) tập compact tương đối E Với t1 , t2 ∈ [ 0, a ] x ∈ Ω , ta có ρ ( t1 ) ∫ C ( x)(t1 ) − C= ( x)(t2 ) g (t1 , s, x( s ))ds − ρ ( t2 ) = ∫ g (t1 , s, x( s ))ds + ≤ p ( t2 ) ∫ ρ ( t1 ) ∫ ρ ρ ( t2 ) ∫ g (t2 , s, x( s ))ds g (t1 , s, x( s ))ds − ( t2 ) ρ ( t2 ) ∫ g (t2 , s, x( s ))ds g (t1 , s, x( s )) − g (t2 , s, x( s )) ds + ρ ( t2 ) ∫ ρ g (t1 , s, x( s ))ds ( t1 ) Vì g(t,.,.) liên tục theo t [ 0,a ] × A g ([ 0, a ] × A) bị chặn (vì 2 tập compact tương đối), bất đẳng thức C (Ω) liên tục đồng bậc [ 0,a ] Cho K co  g ([ 0, a ] × A) ∪ {0} ( coA kí hiệu bao lồi đóng tập A), =   K tập compact E Vì g (t , s, x( s )) ∈ K ∀s, t ∈ [ 0, a ] x ∈ Ω , ta suy  ρ (t )  = C (Ω)(t )  ∫ g (t , s, x( s ))ds + φ (t ) : x ∈ Ω  ⊂ ρ (t ) K + φ (t ) ∀t ∈ [ 0, a ]   Khi theo kết Ambrosetti, C (Ω) tập compact tương đối X a Vì C hoàn toàn liên tục X a Bây ta trở lại chứng minh định lý 3.2 Chứng minh Theo bổ đề 3.4, với z∈ X m ∈  , ta có (km) n pm (U ( x) − U ( y )) ≤ pm ( x − y ) ∀n ∈  n! n z n z (km) n (km) n cho trước, (I.3) suy ra: ∃γ > : g (t , s, x) ε ∀x : x ≥ γ s, t ∈ Ω [ 0, m ] Vì g hoàn toàn liên tục, < x 2m nên tồn M cho g (t , s, x) ≤ M , ∀s, t ∈ [ 0, m ] x : x ≤ γ Chọn γ cho M γ1 < ε 2m Với x ∈ X m : x m ≥ γ , ta có m C ( x)(t ) φ (t ) ≤ + g t s x s ds ( , , ( ) xm x m ∫0 xm ≤ φ (t )    ∫I g (t , s, x( s )) ds + ∫I g (t , s, x( s )) ds + , x m  x m  I1 = {s ∈ [0, m] : x(s) ≤ γ } Do s ∈ I1 ⇒ x( s ) ≤ γ ⇒ g (t , s, x( s ) ≤ M I = [ 0, m ] \ I1 ⇒ ∫ I2 1 Mm ( I1 ⊂ [ 0, m ] ) g (t , s, x( s )) ds ≤ M ∫ ds ≤ ∫ x m I1 x m I1 xm x( s ) g (t , s, x( s ) ε x( s ) ε εm ds < ∫ ds ≤ ∫ ds ≤ xm x( s ) 2m x m 2m 2m I2 I2 Điều suy Cx(t ) φ (t )   ≤  ∫I g (t , s, x( s )) ds + ∫I g (t , s, x( s )) ds +  xm x m  x m  ≤ Mm ε m φ (t ) + + x m 2m xm ≤ε + φ (t ) x , ∀t ∈ [ 0, m ] , ( x ≥ γ1 ⇒ m m Điều lim pm ( x )→∞ Mm Mm ε m ) ≤ < γ 2m xm pm (C ( x)) =0 pm ( x) Ta chứng minh U C thỏa mãn điều kiện định lý 2.3, theo định lý tồn xo X cho = xo U ( xo ) + C ( xo ), Nghĩa xo nghiệm (I) [ 0,∞ ) 3.2.2 Phương trình II Bây cho K tập lồi đóng bị chặn không gian Banach E Xét phương trình tích phân: t (II) x ( t ) =e ∫ s −t a f ( s, x( s ))ds + ∫ e − t g (t , s, x( s ))ds, t ∈ [ 0, a ] , Trong (II.1) f : [ 0, a ] × K → E liên tục tồn số k > thỏa mãn: f ( s, x ) − f ( s, y ) ≤ k x − y ∀x, y ∈ K (II.2) g : [ 0, a ] × K → E hoàn toàn liên tục cho g(t,.,.) liên tục theo t Ta có định lý tồn nghiệm cho phương trình (II) sau Định lý 3.3 Giả sử f thỏa mãn (II.1), g thỏa mãn (II.2) có thêm (II.3) ag ( t , s, x ) ∈ K f ( s, x) ∈ K ∀x ∈ K s, t ∈ [ 0, a ] Khi phương trình (II) có nghiệm [ 0,a ] Chứng minh Cho X không gian Banach hàm liên tục [ 0,a ] vào E với chuẩn = x sup { x( s ) : s ∈ [ 0, a ]} D= Cho { x ∈ X : x(s) ∈ K , ∀s ∈ [0, a ]} Khi D tập lồi đóng bị chặn X Định nghĩa toán tử U C D sau: t U ( x )( t ) = ∫ e s −t f ( s, x( s ))ds a C ( x )( t ) = ∫ e − t g (t , s, x( s ))ds Khi theo bổ đề 3.5, C hoàn toàn liên tục D theo bổ đề 3.4 (II.3), ta kiểm tra U thỏa mãn điều kiện (A) C ( D ) sau: Trước tiên, ta nói U ( x) + C ( y ) ∈ D, ∀x, y ∈ D Thật vậy, theo (II.3) ag (t , s, y ) ∈ K , ∀y ∈ K s, t ∈ [ 0, a ] K lồi, đóng dẫn a đến ∫ g (t , s, y(s))ds ∈ K , ∀y ∈ D t ∈ [ 0, a ] Với t ,0 < t ≤ a, cho so = < s1 < s2 < < sn = t phân hoạch [0,t ] , với si= it , ∀i= 0,1,2, , n n Cho f n hàm đơn giản xác định sau: =  fn (s) f (si , x (si )) neáu s ∈ [ si , si +1 )   fn (t ) = f (t, x (t )), Khi ta có : e = −t e −t a t 0 ∫ g (t , s, y(s))ds + ∫ e a = e ∫ a f n ( s )ds n −1 s ∫ g (t , s, y(s))ds + e ∑ f (s , x(s ))(∫ e ds) −t s i =0 −t s −t i i s1 (e si +1 − e si ) g (t , s, y ( s ))ds +s (e − 1)∑ f ( si , x( si )) (et − 1) i =0 −t n −1 t K , ∀i 0,1, , n − Vì f ( si , x( si ) ) ∈ = ∫ a g (t , s, y ( s ))ds ∈ K K lồi đóng, nên vế phải phép đồng thuộc K Cho n → ∞ , ta có U ( x)(t ) + C ( y )(t ) ∈ K , ∀x, y ∈ D t ∈ [ 0, a ] Do U ( x ) + C ( y ) ∈ D, ∀x, y ∈ D nói Vì U ( D ) + C ( D ) ⊂ D , nên U thỏa mãn điều kiện (A) C ( D ) Vì theo định lý 2.2, U + C có điểm bất động xo D , mà xác nghiệm (II) [ 0,a ] 3.2.3 Phương trình III Cho E không gian Banach thực với chuẩn | | cho Ω tập mở, lồi bị chặn E Xét phương trình tích phân (III) x(t ) = e − tφ (t ) + e s −t [ f ( s, x( s )) + g (t , s, x( s )) ] ds, t ∈ [ 0, a ] , ∫ t Trong đó: (III.1) f : [ 0, a ] × E → E liên tục cho tồn số k thỏa mãn f ( s, x) − f ( s, y ) ≤ k x − y , ∀x, y ∈ E (III.2) g : [ 0, a ] × E → E hoàn toàn liên tục cho g (t ,.,.) liên tục theo t Định lý 3.4 Giả sử f thỏa mãn (III.1), g thỏa mãn (III.2) có thêm (III.3)  f ( s, x) + g (t , s, x) ∈ Ω,∀x ∈ Ω  φ (t ) ∈ Ω, ∀t ∈ [ 0, a ] Và s, t ∈ [ 0, a ] Khi phương trình (III) có nghiệm [ 0,a ] Chứng minh Để chứng minh định lý 3.4, sử dụng tính chất bậc BrowderNausbaum sau: Cho G miền không gian Banach thực X , cho H , F ánh xạ từ G vào X thỏa mãn điều kiện sau: a) Với v cố định G , ánh xạ Sv : G → X xác định sau: S= H (u ) + F (u ) phép đồng phôi từ G vào tập mở Gv X , G v (u ) đồng phôi với G v b) Ánh xạ v → Sv ánh xạ compact địa phương từ G vào không gian đồng phôi G X với tôpô hội tụ G Cho T= (u ) H (u ) + F (u ) với u ∈ G Giả sử T −1 (0) tập compact G Khi deg (T , G,0) xác định Mệnh đề 3.1 (i) Nếu bậc (T , G ,0) ≠ tồn x ∈ G : T ( x) = (ii) Cho A, B ánh xạ liên tục từ G × [ 0,1] → X cho A(., t ) B (., t ) liên tục theo t [ 0,1] , với t, ≤ t ≤ , ánh xạ At (.) ≡ A(., t ) phép đồng phôi từ G vào tập mở Gt X , G đồng phôi với G t ánh xạ Bt (.) ≡ B (., t ) toán tử hoàn toàn liên tục G lên X Giả sử với t, ≤ t ≤ cặp At , Bt thỏa mãn điều kiện b) Giả sử thêm với t [ 0,1] , ( At + Bt ) −1 (0) ∩ ∂G =φ , tập hợp 0} bị chặn G × [ 0,1] {( x, t ) : A ( x) + B ( x) = t t bậc ( A1 + B1 , G ,0) Khi Bậc ( Ao + Bo , G ,0 ) = Chứng minh Cho X không gian Banach thực hàm liên tục [ 0,a ] vào E với chuẩn x sup { x( s ) : s ∈ [ 0, a ]} Cho = G= { x ∈ X : x(s) ∈ Ω, ∀s ∈ [0, a ]} Khi G tập mở lồi bị chặn X { } G ⊂ x ∈ X : x( s ) ∈ Ω, ∀s ∈ [ 0, a ] Xác định toán tử U : G → X sau: t U ( x)(t ) = ∫ e s −t f ( s, x( s ))ds Và C : G → X sau: C ( x)(t ) = t ∫e s −t g (t , s, x( s ))ds + e − tφ (t ) Bổ đề 3.4-3.5 suy U liên tục đều, thỏa mãn điều kiện (A) X C hoàn toàn liên tục G Điều suy theo định lý 2.1, ( I − U ) −1 phép đồng phôi X −1 ( I − U ) −1  ( A) với tập hợp A X, ( I − U ) Vì ( I − U )( A) = phép đồng phôi từ G vào tập mở ( I − U )(G ) , G đồng phôi với ( I − U ) (G ) Như định lý 3.2, ta kiểm tra U ( x) + C ( x) ∈ G, ∀x ∈ G ( Ở ta có U ( x) + C ( x) ∈ G, ∀x ∈ G ) Từ định nghĩa U rõ ràng với ≤ α ≤ 1,αU thỏa mãn điều kiện (A) X ( I − αU ) phép đồng phôi X Nếu I − (U + C ) không triệt tiêu biên ∂G G , G lồi, với xo cố định G ,phép đồng luân I − α (U + C ) − (1 − α ) x0 ,0 ≤ α ≤ , không triệt tiêu ∂G Áp dụng mệnh đề 3.1, ta có Bậc ( I − (U + C ) , C ,0 ) = bậc ( I − xo , G,0 ) = Do ∃x ∈ G = : x U ( x) + C ( x) nghiệm (III) [ 0,a ] 3.2.4 Phương trình IV Cho E không gian Banach với chuẩn | | Xét phương trình tích phân : t a ∫ ∫ (IV) x(t ) = f ( s, x( s ))ds + K (t , s ) g ( s, x( s ))ds, a > , 0 Trong (IV.1) f : [ 0, a ] × E → E liên tục tồn số k cho f ( s, x) − f ( x, y ) ≤ k x − y , ∀x, y ∈ E (IV.2) lim x →∞ f ( s, x ) = theo s ∈ [ 0, a ] x (IV.3) g : [ 0, a ] × E → E hoàn toàn liên tục g ( s, x ) − x ≤ φ ( s ) x 1−α + ψ ( s ), ∀s ∈ [ 0, a ] φ ,ψ hàm liên tục nhận giá trị thực [ 0,a ] < α < (IV.4) K : [ 0, a ] → E liên tục cho max ∫ [ ] [ t∈ 0,a 0,a ] n K (t , sn ) K ( sn , sn−1 ) K ( s2 , s1 ) ds1ds2 dsn < Định lý 3.5 Cho f , g , K thỏa mãn (IV.1)-(IV.4) Khi phương trình (IV) có nghiệm [ 0,a ] Chứng minh ( { ) } Cho X = C [ 0, a ] , E với= chuẩn x sup x( s ) : s ∈ [ 0, a ] cho U , C toán tử X xác định sau: t U ( x)(t ) = ∫ f ( s, x( s ))ds a C ( x)(t ) = ∫ K (t , s ) g ( s, x( s ))ds Khi theo bổ đề 3.4-3.5, U thỏa mãn điều kiện (A) X , U liên tục C hoàn toàn liên tục Hơn từ (IV.2), ta chứng minh U = Vì đủ để chứng minh C tuyến tính tiệm cận C n < Đặt a B ( x ) (t ) = ∫ K (t , s ) x( s )ds Khi B toán tử hoàn toàn liên tục X Hơn 1 Cx(t ) − Bx(t ) ) ≤ ( x x K (t , s ) g ( s, x( s ) − x( s ) ds x ≤ ≤ ∫ a ∫ a K (t , s ) φ ( s ) x( s )  M N + α, x x a Trong M = max ∫ K ( t , s )ψ ( s ) ds t∈[ 0,a ] a N = max ∫ K (t , s )φ ( s ) ds t∈[ 0,a ] Điều lim x →∞ C ( x) − B( x) x =0 1−α + ψ ( s )  ds  Theo qui nạp ∀m ∈  B m x(t ) = ∫ [0,a ]m K ( t , sm )K ( sm , sm−1 ) K ( s2 , s1 ) x ( s1 ) ds1 dsm (17) Dùng (IV.4), đồng thức (3) suy B n x(t ) ≤ ∫ K ( t , sn ) K ( sn , sn−1 ) K ( s2 , s1 ) x( s1 ) ds1ds2 dsn ≤β x Trong β = max t∈[ 0,a ] ∫[ 0,a ] n K ( t , sn ) K ( sn , sn−1 ) K ( s2 , s1 ) ds1ds2 dsn B n ( x) B n x(t ) = ≤ β [...]... ∈ M ) ⇒ ( x ∈ M ) Định lý 2.9 (Định lý Schaefer) Cho X là không gian lồi địa phương và H : X → X là ánh xạ compact Khi đó: Hoặc phương trình x = λ Hx có nghiệm với λ = 1 Hoặc tập { x ∈ X : x= λ Hx, λ ∈ ( 0,1)} không bị chặn Sử dụng kết quả của định lý Schaefer, Burton và Kirk đã chứng minh được định lý sau đây Định lý 2.10 Cho ( X , ) là không gian Banach, A : X → X là ánh xạ co và C : X → X là ánh... so sánh với định lý 2.2 ở chỗ U là φ -co, C là toán tử hoàn toàn liên tục với cả U và C đều xác định trên tập con G mở, lồi, không bị chặn của X, thỏa mãn i),iii) của b) và sao cho T = U+C, T : G → G 2.2 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương FRÉCHET Định lý 2.5 Cho ( X , n ) là không gian Fréchet và T : X → X là ánh xạ kn -co Khi đó T có duy nhất điểm bất động, ghi là x0 và lim T m... tục và U : D → X là ( ε − δ ) co Giả sử rằng: U ( x) + C ( y) ∈ D ∀x, y ∈ D (8) Khi đó U+C có điểm bất động trong D Chứng minh Vì U : D → X là ( ε − δ ) co, khi đó từ (8) suy ra U thỏa mãn điều kiện (A) trên C ( D ) với r = 1 và k = 0 Do đó theo định lý 2.2, U+C có điểm bất động trong D Định lý 2.3 Cho X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử U và C...CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII 2.1 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương Giới thiệu Cho X là không gian Banach và K là tập con lồi đóng bị chặn của X Cho U là ánh xạ co trên K ( nghĩa là U ( x ) − U ( y ) ≤ k x − y , 0 ≤ k < 1 ) và C là toán tử compact trên K sao cho U ( x ) + C ( y ) ∈ K với mọi x, y ∈ K Khi đó một định lý nổi tiếng của Krasnoselskii phát... lim T m x= x0 , ∀x ∈ X trong ( X , n ) Định lý được chứng minh m →∞ Định lý 2.7 Cho ( X , n ) là không gian Fréchet và T : X → X là ánh xạ Lipschitz Với y ∈ X đặt Ty : X → X định bởi Ty ( x= ) Tx + y Giả sử k n (Ty ) < 1 ∀y ∈ X , ∀n ∈ * Khi đó ∞ −1 ( I − T ) là song ánh và ( I − T ) liên tục Chứng minh  ( I − T ) là song ánh Với y ∈ X , do k (T ) < 1 , ∀n ∈  nên theo định lý 2.6 T ∞ * y y n có... ) là tập compact tương đối −1 Theo định lý Schauder- Tychonoff thì ∃u ∈ M : u = ( I − A) −1 ( I − A) −1 C có điểm bất động trong M, tức là: C (u ) ⇔ u = A (u ) + C (u ) Vậy A+C có điểm bất động trong M Định lý được chứng minh Hệ quả 2.2 (Định lý Krasnoselskii) Cho M là tập lồi, đóng, khác rỗng, bị chặn của không gian Fréchet ( X , n ) A và C là hai ánh xạ từ X vào X thỏa: i) A là ánh xạ kn -co ii)... bất động trong K Ta thiết lập một vài định lý điểm bất động cho những toán tử dạng U+C trên một tập con lồi đóng bị chặn của không gian lồi địa phương, trong đó C là toán tử compact và U thỏa mãn điều kiện (A) được xác định như sau: ĐIỀU KIỆN (A) Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X , D là một tập con của X và U : D → X Với bất kì a ∈ X , ta định nghĩa:... Ta có một vài kết quả sau: Định lý 2.4 Cho X là không gian Banach và T : X → X là toán tử dạng T = U+C, trong đó U liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X và C hoàn toàn liên tục Nếu một trong hai trường hợp sau đúng thì T có điểm bất động a) U + C < 1 b) i) U = 0 ii) lim C ( x) − B ( x) x →∞ x =0 iii) C k < 1 với k nào đó k ≥ 1 , trong đó B ≠ 0 là toán tử tuyến tính bị chặn trên X Chứng minh... ta có ( I − A ) là song ánh và ( I − A ) liên tục −1 x Phương trình x= λ A   + λCx ⇔ x= λ ( I − A ) Cx λ Đặt H= ( I − A) −1 −1 C Do ( I − A ) liên tục và C là ánh xạ compact nên H là ánh xạ compact Vậy theo −1 định lý Schaefer thì ta có: Hoặc phương trình x = λ Hx có nghiệm với λ = 1 Hoặc tập { x ∈ X : x= λ Hx, λ ∈ ( 0,1)} không bị chặn Nghĩa là ta có: x Hoặc phương trình = x λ A   + λCx có... Theo định lý 2.7 thì ( I − A ) là song ánh và ( I − A ) liên tục đối với họ nửa chuẩn −1 n , suy ra −1 ( I − A) liên tục đối với họ nửa chuẩn n x Phương trình x= λ A   + λCx ⇔ x= λ ( I − A ) Cx λ Đặt H= ( I − A) −1 C −1 Do ( I − A ) liên tục và C là ánh xạ compact nên H là ánh xạ compact −1 Theo giả thiết tập { x ∈ X : x= λ Hx, λ ∈ ( 0,1)} bị chặn , do đó theo định lý Schaefer phương trình ... CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 50 3.1 Ứng dụng vào phương trình vi phân 50 3.2 Ứng dụng vào phương trình tích phân ... Schauder lý thuyết điểm bất động Định lý công cụ chủ yếu để chứng minh tồn nghiệm dương nhiều lớp phương trình vi phân tích phân Luận văn trình bày ứng dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii phương. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Võ Thị Duy Diệp ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số