Th vi tích phân b1 tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CNTT MÔN TH Vi tích phân B1 ( TÍCH PHÂN ) MỤC LỤC Phần I LÝ THUYẾT 4 1 Định nghĩa tích phân 4 2 Các tính chất 4 3 Định lý cơ bản của giải tích 5 4 Quy tắc tính tí[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CNTT  MƠN: TH Vi tích phân B1 TÍCH PHÂN TP HCM - 12/2016 MỤC LỤC Phần I LÝ THUYẾT Định nghĩa tích phân Các tính chất Định lý giải tích .Quy tắc tính tích phân a Một số nguyên hàm thường gặp: b Quy tắc đổi biến c Quy tắc tích phân phần 5.Tích phân suy rộng a Tích phân suy rộng loại I b Tích phân suy rộng loại II c Tiêu chuẩn so sánh d Tiêu chuẩn so sánh Phần II BÀI TẬP Trang ST T MSSV Họ tên BT 1-> 6->10 11->15 16->20 21->25 26->30 31->36 Đánh giá Trang Phần I LÝ THUYẾT Định nghĩa tích phân Với hàm f xác định [a,b], ta chia [a,b] thành n đoạn có độ dài ¿ ∆ x=(b−a)/n với điểm biên x 0=a , x i=a+i ∆ x ( i=1 , n ) Gọi x i điểm mẫu đoạn [ x i−1 , x i ] Tích phân từ a đến b củaf định nghĩa là: b n lim ∑ f ( x ¿i ) Δ x ∫ f ( x ) dx= n→ ∞ i=1 a Khi giới hạn tồn tại, ta nói fkhả tích [a,b] Các tính chất: b 1.∫ cdx=c ( b−a ) a b b b 2.∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx a b a a b 3.∫ cf ( x ) dx=c ∫ f ( x ) dx a b a c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx a a c (c số bất kỳ.) Trang Định lý giải tích Như tên gọi nó, nói lên mối liên hệ hai phép tính quan trọng giải tích đạo hàm tích phân Giả sử f hàm số liên tục đoạn [a,b] Hàm số g định x g ( x )=∫ f ( t ) dt , x ∈[a , b] a Liên tục [a,b], có đạo hàm (a,b) g' ( x ) =f ( x ) Viết cách khác x d ∫ f ( t ) dt=f ( x ) dx a Nếu F nguyên hàm f, nghĩa F ' =f , b ∫ f ( x )=F ( b )−F( a) a Quy tắc tính tích phân a Một số nguyên hàm thường gặp: a 1.∫ x dx= x a+ +C , a ≠ a+ dx =ln|x|+C x 3.∫ e x dx=e x +C 8.∫ 2.∫ ax +C lna 5.∫ sinx dx =−cosx+C 6.∫ cosx dx=sinx+C dx 7.∫ =tanx+C cos x x ∫ a dx= 9.∫ dx =−cotx+C sin x dx √1−x =arcsinx+C 10.∫ dx x =arcsin +C , a> 2 a √ a −x 11 ∫ dx =arctanx +C 1+ x 12.∫ dx x = arctan +C , a> a a +x a () () Trang b Quy tắc đổi biến  Định lý 1) Nếu g hàm số khả vi mà miền giá trị g khoảng, hàm f liên tục khoảng ∫ f [ g ( x ) ] g ' ( x ) dx=∫ f ( u ) du 2) Nếu g ' liên tục [a,b] f liên tục miền giá trị g g (b ) b ∫ f [ g ( x ) ] g ' (x) dx= ∫ f ( u ) du a g (a ) (Trong u=g ( x)) c Quy tắc tích phân phần  Định lý 1) Nếu hai hàm số f g có đạo hàm ∫ f ( x ) g' ( x ) dx=f ( x ) g ( x )−∫ f ' ( x ) g ( x ) dx Hoặc ta có: ∫ udv=uv−∫ vdu 2) Nếu hai đạo hàm f ' g ' liên tục [a,b] b b ' b ∫ f ( x ) g ( x ) dx= f ( x ) g ( x )|a−∫ f ' ( x ) g ( x ) dx a a Tích phân suy rộng b Trong định nghĩa tích phân ∫ f ( x ) dx , hàm số f xác định a điểm đoạn hữu hạn [a,b] - Nếu cận tích phân a hay b thay vơ cực tích phân gọi tích phân suy rộng loại I - Nếu cận tích phân a b số thực hữu hạn, đoạn [a,b] chứa điểm gián đoạn vô cực hàm f, f không xác định điểm thuộc [a,b], tích phân gọi tích phân suy rộng loại II a Tích phân suy rộng loại I t - Nếu t ∫ f ( x ) dx tồn ∀ t ≥ a vàtồn lim ∫ f ( x ) dx Ta nói tích phân suy t→∞ a ∞ rộng a ∫ f ( x ) dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu a ∞ t ∫ f ( x ) dx=lim ∫ f ( x ) dx t→∞ a a Nếu giới hạn không tồn tại, ta nói tích phân suy rộng ∞ ∫ f ( x ) dx phân kỳ a Trang b - Nếu b ∫ f ( x ) dx tồntại ∀ t ≤b tồn tạit lim ∫ f ( x ) dx Ta nói tích phân suy →−∞ t t b rộng ∫ f ( x ) dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu −∞ b b ∫ f ( x ) dx= lim ∫ f ( x ) dx t →−∞ t −∞ Nếu giới hạn khơng tồn tại, ta nói tích phân suy rộng b ∫ f ( x ) dx phân kỳ −∞ ∞ - Nếu hai tích phân suy rộng a ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx hội tụ a −∞ ∞ ta nói tích phân ∫ f ( x ) dx hội tụ, đồng thời ký hiệu −∞ ∞ a ∞ ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx+∫ f ( x ) dx −∞ a −∞ ∞ Nếu hai tích phân a ∫ f ( x ) dx hay ∫ f ( x ) dx phân kỳ, a −∞ ∞ ta nói tích phân ∫ f ( x ) dx phân kỳ −∞ b Tích phân suy rộng loại II lim t - Nếu tồn ∀ t ∈¿ tồn giới hạn ∫ f ( x ) dx a ¿ t t → b−¿ ∫ f ( x ) dx¿ , ta nói a b tích phân suy rộng ∫ f ( x ) dx hội tụ, đồng thời ký hiệu a b ∫ f ( x ) dx= a lim ¿ t t →b −¿ ∫ f ( x ) dx ¿ a Nếu giới hạn không tồn tại, ta nói tích phân suy rộng b ∫ f ( x ) dx phân kỳ a lim b - Nếu tồn ∀ t ∈¿ tồn giới hạn ∫ f ( x ) dx t ¿ b t→a ∫t f ( x ) dx¿ +¿ , ta nói b tích phân suy rộng ∫ f ( x ) dx hội tụ, đồng thời ký hiệu a b ∫ f ( x ) dx= a lim ¿ b t →a +¿ ∫ f ( x )dx ¿ t Trang Nếu giới hạn không tồn tại, ta nói tích phân suy rộng b phân kỳ ∫ f ( x ) dx a - Giả sử f xác định (a,b) Với c ∈( a , b) bất kỳ, hai tích c phân suy rộng b ∫ f ( x ) dx a b phân suy rộng b ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx hội tụ ta nói tích c hội tụ, đồng thời ký hiệu a b c ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx a a c c Nếu hai tích phân b ∫ f ( x ) dx hay∫ f ( x ) dx phân kỳ ta a c b nói tích phân ∫ f ( x ) dx phân kỳ a - Giả sử f xác định ¿ ∪¿ Nếu hai tích phân suy rộng c b b và∫ f ( x ) dx hội tụ ta nói tích phân ∫ f ( x ) dx a c ∫ f ( x ) dx hội tụ a c Tiêu chuẩn so sánh 1) Giả sử f, g hai hàm số thoả f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ 0, ∀ x ≥ M (M số bất kỳ) ∞  Nếu ∫ f ( x ) dx ∞ hội tụ a ∞  Nếu ∫ g ( x ) dx hội tụ a ∞ ∫ g ( x ) dx phân kỳ a ∫ f ( x ) dx phân kỳ a a Ta có cách so sánh tương tự ∫❑ −∞ b 2) Giả sử b ∫ f ( x ) dx a ∫ g ( x ) dx hai tích phân suy rộng loại II, a c ∈ [ a , b ] điểm kỳ dị tích phân Hơn f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ với x thuộc lân cận c Khi b  Nếu ∫ f ( x ) dx b hội tụ a b ∫ g ( x ) dx hội tụ a  Nếu ∫ g ( x ) dx phân kỳ a b ∫ f ( x ) dx phân kỳ a d Tiêu chuẩn so sánh Trang 1) Nếu f (x) =L ∈ ( , ∞ ) g (x ) lim x→ ∞ ∞ ∞ Thì ∫ f ( x ) dx a ∫ g ( x ) dx hội tụ phân kỳ a a Ta có cách so sánh tương tự ∫❑ −∞ 2) Cho f, g hàm số dương b Nếu b ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx tích phân suy rộng loại II với c ∈[a ,b ] a a điểm kỳ dị tích phân, lim x →c f (x) =L∈ ( , ∞ ) g(x) b Thì b ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx hội tụ phân kỳ a a Trang Phần II BÀI TẬP Xác định xem tích phân sau hội tụ hay phân kỳ Tính giá trị tích phân hội tụ ∞ ∫ ( x−2 ) t Xét ∫ 3 dx t ( x−2 ) dx=∫ ( x −2 ) −3 ( x−2 ) dx= −3 +1 −3 t | t | −2 −2 ¿ = +2 √ x−2 √ t−2 t dx Suy lim ∫ t →∞ ∞ Vậy ∫ dx ( x−2 ) ( x−2 ) =2 ∞ hội tụvà ∫ 3 dx ( x−2 ) =2 ∞ dx √ ( 1+ x ) ∫4 t t −1 t | 4 Xét ∫ dx=∫ ( 1+ x ) dx = ( 1+ x ) = ( 1+ t ) − 3 0 √ ( 1+ x ) t Suy lim ∫ dx=∞ t →∞ √ ( 1+ x ) ∞ Vậy ∫ dx phân kì √ ( 1+ x ) Trang 10 dx ∫ 3−4 x −∞ 0 Xét ∫ t −1 −1 dx= ln ( 3−4 x ) = ( ln 3−ln ( 3−4 t ) ) 3−4 x 4 t | dx=¿ ∞ ¿ ∫ 3−4 x t →−∞ Suy lim t dx phân kì −∞ 3−4 x Vậy ∫ ∞ dx x+1 ) t t t −1 −3 −2 Xét ∫ dx= ( x +1 ) dx= ( x+1 ) ∫ 1 ( x +1 ) ∫( | ¿− t Suy lim ∫ t →∞ ∞ Vậy ∫ 1 + ( t+1 ) 36 1 dx= 36 ( x+ ) ∞ 1 dx hộitụ ∫ dx = 3 36 ( x +1 ) ( x +1 ) ∞ ∫ e−5 p dp t t −5 p X ét ∫ e −2 −1 −5 p −1 −5 t −10 −1 dp= e = e + e = t + 10 5 5e 5e | t Suy lim ∫ e−5 p dp= t →∞ ∞ ∞ −5 p Vậy ∫ e 10 5e dp hội tụvà ∫ e−5 p dp= e 10 Trang 11 ∫ 2r dr −∞ Xét ∫ 2r dr= t 2t − ln ln 2r dr= ∫ ln t →−∞ Suy lim t 0 ln Vậy ∫ 2r dr hội tụ ∫ 2r dr= −∞ −∞ ∞ ∫ x2 dx √ 1+ x2 x2 Đặt f ( x )= , g ( x )=x √ x +1 ∀ x ∈ [ ,+ ∞ ) , f , g ≥ lim x→ ∞ ∞ Do f (x) =lim g ( x ) x→ ∞ ∞ ∫ f ( x ) dx x =1 √ x2 +1 ∫ g ( x ) dx chất (1) Mặt khác t ∞ t2 =∞=¿ ∫ g ( x ) dx phân kỳ (2) lim ∫ g ( x ) dx=lim t→∞ t →∞ ∞ Từ (1), (2) =>∫ f ( x ) dx phân kỳ ∞ ∫ ( y −3 y 2) dy −∞ Ta có: ∫ ( y 3−3 y ) dy= y4 − y +C ∞ a ∞ ∫ ( y −3 y 2) dy=∫ ( y 3−3 y ) dy+∫ ( y 3−3 y ) dy −∞ a −∞ t Xét lim ∫ ( y 3−3 y ) dy=lim t→∞ t→∞ ( t y − y =lim t −t =∞ t →∞ |) ( ) Trang 12 ∞ ∞ Do đó∫ ( y 3−3 y ) dy phân kì ∫ ( y 3−3 y ) dy phân kì −∞ Trang 13 ∞ −x ∫ x e dx =∫ x e −∞ −x ∞ −∞ t Xét lim ∫ x e− x dx= t→∞ 0 − x2 dx+∫ x e−x dx Ta có ∫ x e dx=∫ −1 − x −1 −x e d (−x )= e +C 2 2 −1 lim (e−t −e 0)= t →∞ 2 −1 −1 x e−x dx= lim ( e 0−e−t ) = ∫ t →−∞ t →−∞ lim t ∞ −x Vậy ∫ x e ∞ dx hộitụ ∫ x e−x dx= −∞ −∞ −1 + =0 2 10 ∞ e−√ x ∫ √ x dx e−√ x Tacó ∫ dx=2∫ e−√ x d ( √ x )=−2 e−√ x +C √x t ∞ ∞ e−√ x e− √ x e− √ x Xét lim ∫ dx=−2 lim ( e− √ t−e√ )= Vậy ∫ dx hội tụ ∫ dx= e e t→∞ √ x t→∞ √x √x 11 ∞ ∫ sin b b sin 2b a daTacó :∫ sin2 α dα = − Hữu hạn với ∀ b ≥ b +∞ b sin b sin2 α dα=¿ lim ( − =+∞ ¿ ¿ ∫ ) b →+∞ b →+ ∞ Do : ∫ sin α dα =¿ lim 0 Vậy tích phân phân kì Trang 14 12 +∞ a +∞ ∫ cos πtt dt=∫ cos πtt dt + ∫ cos πtt dt a −∞ −∞ b sin bπt−sin aπt πt a Hữu hạn với ∀ b ≥ a Đặt ∫ cos πtt dt = b +∞ sin bπt −sin aπt cos πtt dt= lim ( ∫ )=+∞ ¿ πt b →+∞ b →+∞ Do : ∫ cos πtt dt=¿ lim a a Vậy tích phân phân kì 13 b b dx 1 T a có : ∫ =¿∫ − dx=ln|2 b|−ln|b+1|¿ x +1 x +x x Hữu hạn với ∀ b ≥1 +∞ Do : ∫ ( ) b dx dx =¿ lim ∫ =¿ lim ( ln|2 b|−ln|b+1|) ¿ ¿ b →+∞ x + x b→+ ∞ x +x 1 ¿ lim − (Quy tắc L' Hospital) b+1 b →+∞ b ¿0 ( ) Vậy tích phân hội tụ 14 b b dv 1 1 =¿ ∫ − dv = ¿ ¿ v−1 v +3 v + v−3 Hữu hạn với ∀ b ≥ +∞ b dv dv Do : ∫ =¿ lim ∫ ¿ b →+∞ v +2 v−3 v +2 v −3 ¿ lim ¿ ¿ b →+∞ 1 ¿ lim − (Quy tắc L' Hospital ) v −1 v+ b →+∞ ¿0 Tacó :∫ ( ) [( )] Trang 15 15 ( 1−2 a ) e a Tacó :∫ z e dz= − 4 a Hữu hạn với ∀ a ≤ 2z 0 Do : ∫ z e z dz=¿ lim ∫ z e2 z dz=¿ lim a →−∞ a −∞ a →−∞ [ ( 1−2 a ) e a − ¿¿ 4 2a e ' ¿ lim (Quy tắc L Hospital) a →−∞ ] =0 16 ∞ ∫ y e−3 y dy −1 −3 y −3 y y e + e +C t t −1 −3 y −3 y X ét lim ∫ y e−3 y dy=lim ye + e =−∞ t→∞ t→∞ Ta có :∫ y e−3 y dy= ( |) ∞ Vậy ∫ y e−3 y dy phân kì 17 ∞ dx ∫ lnx x lnx dx=∫ lnx d (lnx )= ln x +C x t t lnx Xét lim ∫ dx=lim ln x =lim ln t=∞ x t→∞ t →∞ t→∞ Ta có ∫ ( |) ∞ Vậy ∫ lnx dx phân kì x 18 ∞ ∫ x e−3 x dx −∞ −1 −3 x −1 −3 x e d (−3 x )= e +C 4.3 12 t −1 −3 x −1 −3 t 1 dx=lim e =lim e + = 12 12 t → ∞ 12 t →∞ 12 Ta có ∫ x3 e−3 x dx=∫ t Xét lim ∫ x e−3 x lim t→∞ 0 −3 x ∫x t →−∞ t ∞ e 4 ( ( −1 −3 x dx= lim e t →−∞ 12 ∞ |) ( |) = lim t t →−∞ Vậy ∫ x e−3 x dx hộitụ ∫ x e−3 x dx= −∞ −∞ ( −1 −3 x + e 12 12 ) )=−112 1 − =0 12 12 19 Trang 16 ∞ x2 ∫ dx −∞ 9+ x x2 x3 −πt πt 2 Ta có ∫ dx ,đặt =tanu , u ∈ , =¿ x dx=( 1+ tan u ) du 2 9+ x ∫ x dx3 = 19 ∫ du= 19 u+C= 19 arctan x3 +C x 1+ ( ) ( ) ( ( )) x2 x3 Xét lim ∫ dx= lim arctan t →−∞ t →−∞ t 9+ x t ( ( )| )= 19 πt2 = 18πt x2 x3 lim ∫ dx= lim arctan t →∞ t → ∞ 9+ x ( ∞ t t ( )| )= 19 πt2 = 18πt x πt πt πt dx hộitụ có giá trị + = 18 18 9+ x Vậy ∫ −∞ 20 ∞ x ∫ e 2ex +3 dx ex ex πt ex dx , đặ t =tanu , u ∈ 0, =¿ dx= ( 1+ tan u ) du 2x 3 e +3 √ √ x e 1 ex dx = du= u+C= arctan +C ∫ ∫ √3 x 3 √ √ √ e +1 √3 [ ) Ta có :∫ ( ) (( ) ) t ex ex Xét lim ∫ x dx= lim arctan t → ∞ e +3 √3 t → ∞ √3 ∞ Vậy ∫ 21 ( t ( )| ) = πt πt = √3 2 √ x e πt dx hội tụ có giá trị √3 e +3 2x ∞ ∫ xl 1n3 x dx e 1 −1 dx=∫ d (lnx)= +C ln x xl n x ln x t t −1 −1 1 1 Xét lim ∫ dx=lim =lim + = ln x e t → ∞ ln t ln e t → ∞ e xl n x t →∞ Ta có ∫ ( ∞ Vậy ∫ e |) ( ) 1 dx hội tụ có giá trị xl n x Trang 17 22 ∞ dx ∫ x arctanx 2 ( 1+ x ) πt =¿ dx=( 1+ tan u ) du arctanx u u ∫ x 1+ x dx=∫ tanu 2 ( 1+ x ) du=∫ tanu 1+ tan2 u du ( 1+ x ) ¿ ∫ ( sinu cosu ) u du= ∫ sin 2u u du −1 Đặt dv=sin u du , v= cos 2u arctanx 1 1 ¿>∫ x dx= ∫ ( sin 2u ) u du= ∫ udv = uv− ∫ vdu 2 2 2 ( 1+ x ) 1 −1 ¿− u cos 2u+ ∫ cos u du= u cos 2u+ sin 2u 4 1 ¿− arctanx cos (2 arctanx ) + sin ( arctanx ) +C t arctanx Xét giới hạn lim ∫ x dx  t→∞ ( 1+ x ) [ ) Tìm nguyên hàm: Đặt x=tanu , u ∈ 0,  −1 ¿ lim arctanx cos ( arctanx )+ sin ( 2arctanx ) t→∞ −1 ¿ lim arctant cos ( arctant ) + sin ( arctant ) t→∞ πt πt πt πt ¿− cos + sin = 2 8 ( ( Vậy ∫ x arctanx 2 ( 1+ x ) )| ) ( ) ∞ t dx hội tụ có giá trị ( ) πt 23 ∫ x35 dx Xét lim ¿ t →0 ∫ dx = t x +¿ t →0 +¿ lim = ( −3 x )| t Vậy ∫ ¿¿ lim ¿¿¿ t→ +¿ −3 + =∞ 4.1 4t ( ) dx phân kì x Trang 18 24 dx ∫ √ 3−x Xét t t →3−¿ ∫ lim dx= √ 3− x t→ ¿ lim −¿ ¿¿ ¿¿ t (−2 √3−x )|2 =−2 t →3 Vậy ∫ −¿ lim ¿¿ (√ 3−t− √ 3−2 )= dx hộitụ có giá trị √ 3−x 25 14 dx −2 √ ( x +2 ) Xét lim ¿ ∫4 t →¿ ¿ lim ¿ t → (−2 ) ¿ ¿¿ 14 dx 24 Vậy ∫ hộitụ có giá trị là− −2 √ ( x+ ) ¿− +¿ 26 ∫( dx x−6 ) Xét lim ¿ t →6 ∫ dx= t ( x−6 ) t →6 lim +¿ Vậy ∫ +¿ −2 = ( x−6 )2 t t→ +¿ | ¿¿ lim ( (8 −6 ) ¿¿ −2 ) + =∞ ¿ ( t −6 ) dx phân kì ( x−6 )3 27 3 ∫ x14 dx=∫ x14 dx+∫ x14 dx −2 −2 Xét lim t t →0 −¿ ∫ −2 Vậy ∫ −2 dx= x lim ¿ ¿ ¿¿¿ t t →0 ( |) −¿ −1 = lim 3 x −2 t → 0−¿ −1 + ( 3t ¿¿ =∞ 3 (− ) ) dx phân kì x4 28 Trang 19 ∫ dx √ 1−x Tìm nguyên hàm ∫ √1−x2 dx : −πt πt , = ¿ dx=cosu du 2 cosu dx=∫ du=∫ du=u+C=arcsinx +C ∫ √ 1−x √ 1−sin2 u Xét lim ¿ Đặt x=sinu , u∈ t t →1+ ¿∫ Vậy ∫ √1− x2 [ ] dx = lim ¿¿ +¿ πt t→ (arcsint−arcsin )= ¿ πt dx hội tụ có giátrị 2 √1−x 29 9 ∫ dx=∫ dx +∫ dx √ ( x−1 ) √ ( x−1 ) √ ( x−1 ) Tìm nguyên hàm: −1 2 23 3 ( ) ( ) dx= x−1 dx= x −1 +C= √( x−1 ) +C ∫3( ) ∫ 3 √ x−1 Xét lim ¿ t t →1−¿ ∫ Xét √ ( x−1) dx= 2 lim ¿− ¿¿ t →1 ( √ (t−1) − √(0−1) ) −¿ t lim ¿ dx= lim ¿ ¿¿¿ t →1 ( √( 9−1) −√ (t−1) ) = √( x−1) t →1+ ¿∫ +¿ 3 2 −2 dx= + =2 Tích phân hội tụ 3 √ ( x −1 ) Vậy ∫ 30 5 w w w dw=∫ dw +∫ dw ∫ w−2 0 w−2 w−2 Tìm nguyên hàm: ∫ w−2 dw=2 ln ∨w−2∨¿+ C ¿ w 2 dw=∫ 1+ dw=w+C+∫ dw=w+2 ln |w−2|+ C ∫ w−2 w−2 w−2 Xét lim ¿ ( t t →2 −¿ ∫ w dw= w−2 t→ −¿ lim ¿ ) lim t ¿¿ ( w+ ln|w−2|)|0¿ ¿ t → 2−¿ (t +2 ln |t−2|−0−2 ln|0−2|)=−∞ ¿ Vậy ∫ w dw phân kì w−2 Trang 20 ... ( x ) dx a a Tích phân suy rộng b Trong định nghĩa tích phân ∫ f ( x ) dx , hàm số f xác định a điểm đoạn hữu hạn [a,b] - Nếu cận tích phân a hay b thay vơ cực tích phân gọi tích phân suy rộng... loại I - Nếu cận tích phân a b số th? ??c hữu hạn, đoạn [a,b] chứa điểm gián đoạn vô cực hàm f, f không xác định điểm thuộc [a,b], tích phân gọi tích phân suy rộng loại II a Tích phân suy rộng loại... hai tích phân b ∫ f ( x ) dx hay∫ f ( x ) dx phân kỳ ta a c b nói tích phân ∫ f ( x ) dx phân kỳ a - Giả sử f xác định ¿ ∪¿ Nếu hai tích phân suy rộng c b b và∫ f ( x ) dx hội tụ ta nói tích phân