tính liên thông của những nhóm ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM  VÕ VĂN VINH QUANG ĐỀ TÀI: TÍNH LIÊN THƠNG CỦA NHỮNG NHĨM MA TRẬN CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC GVHD: TS NGUYỄN HÀ THANH TP.HCM, 2012 Lời cảm ơn Trước hết tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người Thầy dẫn dắt tơi bước vào đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn lời động viên, bảo Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn người bạn tơi chia khó khăn kinh nghiệm có thời gian làm luận văn TPHCM, Ngày 15 tháng 05 năm 2012 Võ Văn Vinh Quang Lời mở đầu Trong hình học nói riêng Tốn học nói chung lý thuyết nhóm Lie đóng vai trò quan trọng nhóm Lie đa tạp khả vi nên nghiên cứu cách sử dụng giải tích vi phân, mà điều khơng thể làm với nhóm tơpơ tổng qt Một ý tưởng lý thuyết nhóm Lie, đề suất Sophus Lie ( nhà tốn học người Nauy ) thay cấu trúc tồn cụccấu trúc nhóm cấu trúc khác mang tính chất địa phương mà Lie gọi “nhóm cực nhỏ”, biết đến đại số Lie Trong luận văn ta khảo sát đại số Lie nhóm tương đối quen thuộc nhóm ma trận, từ ta tạo bước đệm để nghiên cứu đại số Lie vài nhóm tương đối phức tạp Như ta biết đại số Lie ứng dụng hình học đại ln thu hút nghiên cứu nhà tốn học giới Bên cạnh nhóm Lie cung cấp phương tiện tự nhiên để phân tích tính đối xứng liên tục phương trình vi phân ( lý thuyết Picard – Vessiot ), đóng vai trò nhóm hốn vị sử dụng lý thuyết Galois để phân tích tính đối xứng rời rạc phương trình đại số Điều cho thấy nhóm Lie xuất lĩnh vực đại số Vậy phương diện giải tích sao? Nhóm Lie xem khơng gian tơpơ với chuẩn sup, khơng gian tơpơ ta thường khảo sát vài tính chất quan trọng như: tính đóng, mở, tính compact, tính đầy đủ, tính liên thơng,…Vì điều kiện có hạn nên ta khơng thể nghiên cứu tất tính chất nên luận văn dành phần để khảo sát tính liên thơng vài nhóm ma trận đặc biệt ứng dụng phổ biến hình học Và thế: Luận văn với đề tài: “ Tính liên thơng nhóm ma trận ” chia làm bốn chương Chương 1: Trình kiến thức sở đại số giải tích để người học hiểu rõ nội dung cốt lõi trình bày chương sau Chương 2: Đưa định nghĩa nhóm ma trận, nhóm ma trận qua giới thiệu nhóm ma trận đặc biệt mà ta thường khảo sát hình học Qua ta tìm hiểu mối quan hệ nhóm ma trận thực nhóm ma trận phức Chương 3: Giới thiệu khái niệm đường cong, khơng gian tiếp xúc, đại số Lie để từ đưa vài đại số Lie nhóm ma trận đặc biệt đề cập chương Bên cạnh ta tiến hành khảo sát mối qua hệ đặc biệt nhóm SO ( 3) SU ( ) Chương 4: Khảo sát tính liên thơng, liên thơng đường nhóm ma trận đặc biệt Mục Lục Trang bìa Lời cảm ơn Lời mở đầu Mục lục Chương 1: Kiến thức Kiến thức đại số Kiến thức giải tích 5 11 Chương 2: Những nhóm ma trận thực phức Nhóm ma trận Nhóm ma trận khơng gian mêtric Nhóm ma trận Một số ví dụ nhóm ma trận Những nhóm ma trận phức nhóm ma trận thực Những đồng cấu liên tục nhóm ma trận Những tác động nhóm liên tục Hàm lũy thừa logarit ma trận 16 16 16 20 21 25 25 27 27 Chương 3: Đại số Lie nhóm ma trận Phương trình vi phân ma trận Nhóm tham số Đường cong, khơng gian tiếp xúc đại số Lie Một vài đại số Lie nhóm ma trận Nhóm SO ( 3) SU ( ) 32 32 33 34 37 42 Chương 4: Sự liên thơng nhóm ma trận Sự liên thơng đa tạp Ví dụ nhóm ma trận liên thơng đường Những thành phần liên thơng đường nhóm Lie 47 47 48 50 Kết luận Nội dung luận văn Hướng nghiên cứu 53 53 54 Tài liệu tham khảo 55 Chương I: Kiến thức Để giúp người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn chương chủ yếu đưa kiến thức đại số giải tích Trước hết vài định nghĩa, kết Đại số 1.Kiến thức Đại số Định nghĩa 1.1: Ta gọi phép tốn hai ngơi (hay gọi tắt phép tốn) tập hợp X ánh xạ f từ X × X đến X Giá trị f ( x, y ) f ( x, y ) gọi hợp thành x y Định nghĩa 1.2: Một phận A X gọi ổn định (đối với phép tốn hai ngơi X) xy ∈ A với x, y ∈ A Định nghĩa 1.3: Một phép tốn hai ngơi tập hợp X gọi kết hợp ta có ( xy ) z = x( yz ) với x, y, z ∈ X ; giao hốn ta có xy = yx với x, y ∈ X Định nghĩa 1.4: Giả sử cho phép tốn hai ngơi tập hợp X Một phần tử e X gọi đơn vị trái phép tốn hai ngơi ex = x với x ∈ X Tương tự, phần tử e X gọi đơn vị phải phép tốn hai ngơi xe = x với x ∈ X Trong trường hợp phần tử e X vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải, e gọi đơn vị, phần tử trung lập phép tốn hai ngơi Định nghĩa 1.5: Ta gọi nửa nhóm tập hợp X với phép tốn hai ngơi kết hợp cho X Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hốn phép tốn giao hốn Định nghĩa 1.6: Ta gọi nhóm nửa nhóm X có tính chất sau: a) Có phần tử trung lập b) Với x ∈ X , có x ' ∈ X cho x= ' x xx =' e (phần tử x ' gọi phần tử đối xứng hay nghịch đảo x) Như vậy, nhóm vị nhóm mà phần tử có nghịch đảo Nếu tập hợp X hữu hạn ta bảo ta có nhóm hữu hạn số phần tử X gọi cấp nhóm Nếu phép tốn hai ngơi X giao hốn ta bảo ta có nhóm giao hốn hay nhóm aben Định lý 1.7: Mỗi phần tử nhóm có phần tử đối xứng Trong trường hợp phép tốn hai ngơi nhóm kí hiệu dấu (dấu cộng +), phần tử đối xứng x kí hiệu x −1 ( − x ) gọi nghịch đảo x (đối x) Từ định nghĩa phần tử nghịch đảo (phần tử đối) ta có nghịch ( x −1 ) −1 = x , ( −(− x) =x ) Nếu nhóm aben phép tốn nhóm kí hiệu dấu (dấu +) phần tử xy −1 = y −1 x ( x + (− y ) = (− y ) + x ) kí hiệu x / y ( x − y ) gọi thương x y (hiệu x y) Định lý 1.8: Một nửa nhóm X nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: a) X có đơn vị trái e b) Với x ∈ X , có x ' ∈ X cho x ' x = e Định lý 1.9: Một nửa nhóm khác rỗng X nhóm phương trình ax = b ya = b có nghiệm X với a, b ∈ X Định nghĩa 1.10: Một phận ổn định A nhóm X nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm, kí hiệu A ≤ X Định lý 1.11: Một phận A nhóm X nhóm X điều kiện sau thỏa mãn: a) Với x, y ∈ A, xy ∈ A b) e ∈ A , với e phần tử trung lập X c) Với x ∈ A, x −1 ∈ A Hệ 1.12: Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: a) A nhóm X b) Với x, y ∈ A, xy ∈ A x −1 ∈ A c) Với x, y ∈ A, xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.13: Giả sử U phận nhóm X Nhóm A bé X chứa U gọi nhóm sinh U Trong trường hợp A = X , ta nói U hệ sinh X X sinh U Kí hiệu nhóm sinh tập hợp U U Định nghĩa 1.14: Một nhóm X gọi xyclic X sinh phần tử a ∈ X Phần tử a gọi phần tử sinh X Như nhóm X xyclic phần tử lũy thừa a λ , λ ∈  , phần tử a ∈ X , kí hiệu là= a {a λ } | λ ∈ Định nghĩa 1.15: Giả sử a phần tử nhóm X A nhóm sinh a Phần tử a gọi có cấp vơ hạn A vơ hạn; trường hợp khơng có số ngun dương n cho a n = e Phần tử a gọi có cấp m A có cấp m; trường hợp m số ngun dương bé cho a m = e Một phần tử a ∈ X có cấp a = e Định nghĩa 1.16: Giả sử A nhóm nhóm X, ta định nghĩa quan hệ ~ tập hợp X sau: với x, y ∈ A , x ~ y x −1 y ∈ A Bổ đề 1.17: Quan hệ ~ X quan hệ tương đương Với phần tử x ∈ X , ta kí hiệu lớp tương đương chứa x x kí hiệu phận X gồm phần tử có dạng xa với a chạy khắp A xA , tức = xA { xa | a ∈ A} Bổ đề 1.18: x = xA Định nghĩa 1.19: Các phận xA gọi lớp trái nhóm A X Tương tự lớp phải Ax A X phận mà phần tử có dạng ax với a ∈ A Cũng lớp trái, ta chứng minh lớp phải A lớp tương đương theo quan hệ tương đương: x ~ y xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.20: Tập hợp thương X quan hệ tương đương ~ gọi tập hợp thương nhóm X nhóm A, kí hiệu X / A Các phần tử X / A lớp trái xA Số l lớp trái xA (hay lớp phải Ax ) gọi số nhóm A X Định nghĩa 1.21 (chuẩn hóa): Chuẩn hóa S nhóm (nửa nhóm) G định N G ( S ) =∈ gS } Khi N G ( S ) ≤ G { g G | Sg = Định nghĩa 1.22: Một nhóm A nhóm X gọi chuẩn tắc x −1ax ∈ A với a ∈ A x ∈ X Kí hiệu A  X Định lý 1.23: Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X, thì: a) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X / A × X / A đến X / A b) X / A với phép tốn hai ngơi ( xA, yA)  xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Định lý 1.24: Giả sử A nhóm nhóm X Các điều kiện sau tương đương: a) A chuẩn tắc b) xA = Ax với x ∈ X Do định lý trên, từ A chuẩn tắc ta khơng phân biệt lớp trái, lớp phải A gọi lớp trái (hay lớp phải) A lớp A Định nghĩa 1.25: Một đồng cấu (nhóm) ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y cho f (ab) = f (a ) f (b) với a, b ∈ X Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu X Một đồng cấu mà đơn ánh gọi đơn cấu, đồng cấu tồn ánh gọi tồn cấu, đồng cấu song ánh gọi đẳng cấu, tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu ~ f : X → Y đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y người ta viết f : X → Y (Trong trường hợp X Y nửa nhóm, ta định nghĩa đồng cấu (nửa nhóm) có khái niệm tương tự) Mệnh đề 1.26: Nếu f : X → Y đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ánh xạ ngược f −1 : Y → X đẳng cấu Định nghĩa 1.27: Nếu có đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ta bảo hai nhóm X Y đẳng cấu với nhau, ta viết X ≅ Y Định nghĩa 1.28: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, phần tử trung lập X Y kí hiệu theo thứ tự eX eY Ta kí hiệu Im f = f ( X ) Kerf = eY } = f −1 (eY ) { x ∈ X | f ( x) = gọi Im f ảnh đồng cấu f , Kerf hạt nhân đồng cấu f Định lý 1.29: Giả sử X , Y , Z nhóm f : X → Y g : Y → Z đồng cấu Thế ánh xạ tích gf : X → Z đồng cấu Đặc biệt tích hai đẳng cấu đẳng cấu Định lý 1.30: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì: a) f (eX ) = eY b) f ( x −1 ) = [ f ( x)]−1 với x ∈ X Định lý 1.31: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A nhóm X B nhóm chuẩn tắc Y Thế thì: a) f ( A) nhóm Y b) f −1 ( B) nhóm chuẩn tắc X Hệ 1.32: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế Im f nhóm Y Kerf nhóm chuẩn tắc X Định lý 1.33: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì: a) f tồn ánh Im f = Y b) f đơn ánh Kerf = {eX } Định nghĩa 1.34: Giả sử X nhóm, ta gọi tâm X phận C ( X ) = {a ∈ X | ax = xa, ∀x ∈ X } Mệnh đề 1.35: C(X) nhóm giao hốn X nhóm C(X) nhóm chuẩn tắc X Định nghĩa 1.36: Giả sử X nhóm, x y hai phần tử X Ta gọi hốn tử x y phần tử xyx −1 y −1 Định nghĩa 1.37: Ta gọi vành tập hợp X với hai phép tốn hai ngơi cho X kí hiệu theo thứ tự cấu dấu +  (người ta thường kí hiệu vậy) gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: a) X với phép cộng nhóm aben b) X với phép nhân nửa nhóm c) Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa là:  x( y + z ) = xy + xz ∀x, y, z ∈ X :  ( y + z ) x =yx + zx Phần tử trung lập phép cộng kí hiệu gọi phần tử khơng Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) phần tử x kí hiệu − x gọi đối x Nếu phép nhân giao hốn ta bảo vành X giao hốn Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị X thường kí hiệu e hay (nếu khơng có nhầm lẫn) Định nghĩa 1.38: Trường X-vành giao hốn, e ≠ phần tử x ≠ có nghịch đảo x −1    Định nghĩa 1.39: Cho tập hợp V mà phần tử kí hiệu α , β , γ  trường  mà phần tử kí hiệu x, y, z Giả sử V có hai phép tốn: - Phép tốn trong, kí hiệu + : V ×V → V     (α , β )  α + β - Phép tốn ngồi, kí hiệu  :  ×V → V   ( x, α )  xα    thỏa mãn tiên đề sau với α , β , γ ∈ V với x, y ∈        1) α + β + γ =α + β + γ       2) Có ∈ V cho + α = α + = α        3) Với α ∈ V tồn α ' ∈ V cho α ' + α = α + α ' =     4) α + β = β + α    5) ( x + y )α =xα + yα     6) x α + β = xα + x β   7) x yα = ( xy )α   8) 1.α = α (1 phần tử đơn vị  ) Khi V với hai phép tốn nói gọi khơng gian vectơ trường  hay  -khơng gian vectơ  Định nghĩa 1.40: Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) V gọi hệ vectơ độc lập tuyến tính   ∑ xi α i = ⇒ xi = 0, ∀i ∈ I ( ) ( ) ( ) ( ) i∈I Một hệ vectơ gọi phụ thuộc tuyến tính khơng độc lập tuyến tính   Định nghĩa 1.41: Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) gọi độc lập tuyến tính tối đại hệ vectơ B = α i ∈ V , i ∈ I { } B chứa hệ đó, hệ độc lập tuyến tính vectơ B biểu thị tuyến tính qua vectơ hệ  Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) gọi hệ sinh hệ vectơ B vectơ B biểu thị tuyến tính qua vectơ hệ Nếu B hữu hạn sinh (nghĩa có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử) B có hệ độc lập tuyến tính tối đại gồm hữu hạn phần tử số phần tử hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại B Số gọi hạng hệ vectơ B Nếu B = V số gọi số chiều khơng gian vectơ V kí hiệu dimV Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại V gọi sở V    Định nghĩa 1.42: Giả sử e1 , , en sở V, vectơ x ∈ V viết ( ) cách    = x x1 e1 +  xn en    Bộ n số ( x1 , , xn ) gọi tọa độ x sở e1 , , en ( ) Định nghĩa 1.43: Một tập khác rỗng W V gọi khơng gian vectơ V ổn định hai phép tốn V, nghĩa là:     ∀ x, y ∈ W λ x + µ y ∈ W với ∀λ , µ ∈  Định nghĩa 1.44: Cho X ⊆ V giao khơng gian vectơ V chứa X gọi bao tuyến tính X V kí hiệu X Nếu X ≠ ∅ X tập tổ hợp tuyến tính hệ (hữu hạn)  vectơ X ∅ =0 {} Định nghĩa 1.45: Tổng họ khơng gian vectơ V: {Wi } , i ∈ I , kí hiệu: bởi: ∑W i∈I i = ∑W i∈I i xác định W i i∈I  Khi ∀α ∈ ∑ Wi , viết dạng i∈I    = α ∑ α i , α i ∈ Wi , i ∈ I i∈I Nếu cách viết tổng gọi tổng trực tiếp họ {Wi } , i ∈ I kí hiệu: ⊕ Wi Nếu I = {1, , n} tổng viết là: W1 ⊕  ⊕ Wn Đặc biệt W1 + W2 tổng trực tiếp  W1  W2 = i∈I {} Nếu V= W ⊕ Z Z gọi bù tuyến tính W V Giả sử W Z hai khơng gian vectơ khơng gian vectơ hữu hạn chiều V dim W + dim= Z dim(W + Z ) + dim(W  Z ) Định nghĩa 1.46: Giả sử V, W  -khơng gian vectơ Ánh xạ f : V → W bảo tồn hai phép tốn  -khơng gian vectơ, tức là:       f (α + β )= f (α ) + f ( β ) , ∀α , β ∈ V , k ∈    f (kα ) = kf (α ) gọi ánh xạ tuyến tính từ V đến W Định nghĩa 1.47: Một ma trận A loại (cấp) m × n trường  bảng chữ nhật gồm m × n phần tử  viết thành m dòng n cột sau:  a11  a1n  A =       am1  amn  aij ∈  phần tử vị trí dòng i, cột j A Đơi A viết ngắn gọn A = (aij ) m×n hay ( A) m×n Các ma trận thường kí hiệu A, B, C tập hợp ma trận loại m × n trường  kí hiệu M m×n () Ma trận khơng cấp m × n (ma trận zero), kí hiệu 0m×n ma trận mà phần tử Nếu m = n A gọi ma trận vng cấp n  Tập hợp tất ma trận vng cấp n  kí hiệu M n () Ma trận cấp 1× n gọi ma trận hàng; ma trận cấp m ×1 gọi ma trận cột Nếu A ∈ M n () đường chứa phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo A Định nghĩa 1.48: Nếu A ∈ M n () vết A (kí hiệu tr(A)) cho tr ( A) = a11 + a22 +  + ann = n ∑a i =1 ii Định nghĩa 1.49: Ma trận chéo ma trận vng phần tử khơng nằm đường chéo Ta thường dùng kí hiệu diag (a1 , a2 , , an ) để ma trận đường chéo cấp n có phần tử nằm đường chéo a1 , a2 , , an 1   Định nghĩa 1.50: Ma trận đơn vị I n ma trận có dạng I n =      0   Định nghĩa 1.51: Cho= A (aij ),= B (bij ) ∈ M m×n () Ta nói A = B a= bij , ∀i, j ij Định nghĩa 1.52: Cho= A (aij ) ∈ M m×n () Ta nói= B (bij ) ∈ M n×m () chuyển vị A (kí hiệu B = AT ) a= b ji , ∀i, j ij Định nghĩa 1.53: Cho= A (aij ) ∈ M n () thì= A∗ Hecmit với A, nghĩa A) ( A )∈ M (= T (A ) ∗ ij T n () gọi ma trận liên hợp = a ji Định nghĩa 1.54: Cho A ∈ M n () Khi AT = A ta nói A ma trận đối xứng, AT = − A ta nói A ma trận phản xứng Định nghĩa 1.55 (phép nhân số với ma trận): Cho A = (aij ) ∈ M m×n (), a ∈  Ta gọi tích a A (kí hiệu aA) ma trận= C (cij ) ∈ M m×n () xác định cij = aaij Nếu a = −1 ta kí hiệu (−1) A − A gọi ma trận đối A Định nghĩa 1.56 (phép cộng hai ma trận): Cho= A (aij ),= B (bij ) ∈ M m×n () Ta gọi tổng A B (kí hiệu A + B ) ma trận= aij + bij C (cij ) ∈ M m×n () xác định c= ij Tổng A + (− B ) kí hiệu A − B gọi hiệu ma trận A B Tính chất 1.57: Cho A = (aij ) ∈ M m×n (); α , β ∈  Khi đó: a) (ab) A = a (bA) b) (aA)T = aAT c) Tổng hai ma trận có tính chất giao hốn: A + B = B + A d) Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + ( B + C ) = ( A + B) + C e) Tồn ma trận 0m×n cho: A + = + A = A f) Tồn ma trận đối A cho: A + (− A) = (− A) + A = g) Phép nhân vơ hướng có tính chất phân phối: α ( A + B) = α A + α B;(α + β ) A = α A + β A h) Chuyển vị tổng tổng chuyển vị: ( A + B)T =AT + BT Định nghĩa 1.58 (phép nhân hai ma trận): Cho ma trận= B (bkj ) ∈ M n× p () A (aik ) ∈ M m×n () và= Tích hai ma trận A B ma trận= C (cij ) ∈ M m× p () (kí hiệu C = A.B ), xác định cij= ai1b1 j + 2b2 j +  + aik bkj Nếu A, B ∈ M n () AB = BA A B gọi giao hốn Định nghĩa 1.59: Nếu A, B ∈ M n () AB = BA = I n B gọi ma trận khả nghịch A kí hiệu B = A−1 Lúc ta nói ma trận A khả nghịch hay A khơng suy biến Tính chất 1.60: Nếu A ∈ M n () AI = I= A n nA Tính chất 1.61: Cho A, A ' ∈ M m×n (); B, B ' ∈ M n× p (); B ∈ M p×q () Ta có: a) Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: ( AB )C = A( BC ) b) A.0n× p = 0m× p ; 0r×m A = 0r×n c) Phép nhân ma trận có tính chất phân phối: A( B ± B ') = AB ± AB ';( A ± A ') B = AB ± A ' B d) ( AB)T = BT AT e) α ( AB = ) (α A = ) B A(α B), ∀α ∈  Định nghĩa 1.62 (định thức): Cho= A (aij ) ∈ M n () Định thức ma trận A (kí hiệu detA hay A ) giá trị tính cơng thức: det A = A = a11 A11 + a12 A12 +  + a1n A1n đó: Aij = (−1)i + j det( M ij ).M ij ma trận vng cấp n − nhận từ ma trận A cách bỏ dòng thứ i cột thứ k Đại lượng Aij gọi phần bù đại số aij Định lý 1.63: Với ma trận vng cấp n ( n ≥ ) ta khai triển định thức theo dòng cột theo cơng thức sau: - Theo dòng i: det A = A = ai1 Ai1 + Ai +  + ain Ain - Theo cột j: det A = A = a1 j A1 j + a2 j A2 j +  + anj Anj với Aij phần bù đại số phần tử aij xác định Chứng minh cách sử dụng dạng tắc Jordan: Nếu S ∈ GLn (  ) , det exp ( SAS −1 ) = det ( S exp ( A ) S −1 ) = det S det exp ( A ) det S −1 = det exp ( A ) Và −1 etrSAS = etrA Vì đủ để chứng minh đơn vị cho SAS −1 cho lựa chọn phù hợp ma trận S khả nghịch Đó ví dụ lý thuyết dạng tắc Jordan, có lựa chọn ma trận S phù hợp mà: B= SAS −= D+N Với D đường chéo, N tam giác ngặt N ij = i ≥ j Khi N lũy linh, tức là: N k = 0n với k lớn Ta có: k exp ( B ) ∑ ( D + N ) = k ≥0 k ! ( ) 1   k +1 =  ∑ Dk  + ∑ ( D + N ) − D k +1  k ≥0 k !  k ≥0 ( k + 1) ! N ( D k + D k −1 N +  + N k ) = exp ( D ) + ∑ k ! + ) k ≥0 ( Vì k ≥ nên ma trận N ( D k + D k −1 N +  + N k ) tam giác ngặt, từ đó: exp = ( B ) exp ( D ) + N ' , Với N ' ma trận tam giác ngặt Nếu D = diag ( λ1 , , λn ) , cách tính định thức ta tìm det exp ( A ) = det exp ( B ) = det exp ( D ) ( = det diag eλ1 , , eλn ) = eλ1 eλn = eλ1 ++ λn Từ trD = λ1 +  + λn , có nghĩa det exp ( A ) = etrD □ Sử dụng bổ đề với hàm α , ta có:  sln= (  ) TI SLn= (  ) ker tr ⊆ M n (  ) ,  ) n2 − dim SLn ( = Làm việc  ta có:  sln= (  ) TI SLn= (  ) ker tr ⊆ M n (  ) ,  ) n2 − 1, dim  SLn ( =  = ) 2n2 − dim SLn (  b Đại số Lie UTn (𝕜) SUTn (𝕜): Cho n ≥ 𝕜 = ,  , nhớ lại ma trận tam giác nhóm lũy đơn GLn (𝕜) Đặt: α : ( −ε , ε ) → UTn (  ) Là cung khả vi với α ( ) = I Khi α ' ( t ) ma trận tam giác trên, sử dụng lý luận cho GLn (𝕜) ta thấy cho ma trận tam giác A ∈ M n (𝕜), có cung: α : ( −ε , ε ) → UTn (𝕜) ; α ( t )= I + tA, Với ε > nhỏ tùy ý cho trước α ' ( ) = A Khi ta có: = tập hợp ma trận tam giác M n (  ) utn (  ) T= I UTn (  )    n + 1 dim utn (  ) =   dim      Một ma trận tam giác A ∈ M n (𝕜) ma trận tam giác ngặt tất phần tử đường chéo 0, tức là: aii = Khi đó: c = tập hợp ma trận tam giác nghiêm ngặt M n (  )  sutn (  ) T= I SUTn (  )   n dim sutn (  ) =   dim      Đại số Lie O ( n ) SO ( n ) : Đặt O ( n ) nhóm ma trận trực giao cấp n × n , tức là: O (n) = I } ≤ GLn (  ) { A ∈ GLn (  ) : AT A = Cho cung α : ( a, b ) → O ( n ) thỏa α ( ) = I ta có: d T α (t ) α (t ) = dt Và thế: α ' (t ) α (t ) + α (t ) α ' (t ) = T Điều có nghĩa là: T α ' ( 0) + α ' ( 0) = T Do ta có: α ' ( ) = −α ' ( ) , tức α ' ( ) đối xứng lệch Do đó: T 𝔬 (= n ) TI O ( n ) ⊆ Sk − Symn (  ) tập hợp ma trận thực đối xứng lệch cấp n × n Mặt khác, A ∈ Sk − Symn (  ) , với ε > , ta xét cung: α : ( −ε , ε ) → GLn (  ) ; α ( t ) = exp ( tA ) Khi đó: α ( t ) α ( t ) = exp ( tA ) exp ( tA ) T T = exp ( tAT ) exp ( tA ) = exp ( −tA ) exp ( tA ) =I Từ ta xem α cung α : ( −ε , ε ) → O ( n ) Từ α ' ( ) = A , điều cho thấy là: Sk − Symn (  ) ⊆ 𝔬 ( n ) = TI O ( n ) Và thế: Chú ý A ∈ Sk − Symn (  ) thì: 𝔬 ( n= ) TI O ( n=) Sk − Symn (  ) trA = trAT = tr ( − A ) = −trA Suy trA = Bằng bổ đề 3.20 ta có: det exp ( tA ) = Từ đó: α : ( −ε , ε ) → SO ( n ) với SO ( n ) nhóm ma trận trực giao đặc biệt cấp n × n Vì ta có: 𝔰𝔬 ( n ) T= 𝔬 ( n= = ) TI O ( n=) Sk − Symn (  ) I SO ( n ) d Đại số Lie U ( n ) SU ( n ) : Bây ta xét nhóm unitary cấp n × n : U (n) = I} { A ∈ GLn (  ) : A∗ A = Cho cung α U ( n ) thỏa α ( ) = I , ta thu được: α ' ( 0) + α ' ( 0) = ∗ Và thế: α ' ( ) = −α ' ( ) , tức α ( ) ma trận Hermit lệch Vì thế: ∗ 𝔲 (= n ) TIU ( n ) ⊆ Sk − Hermn (  ) tập hợp tất ma trận Hermit lệch cấp n × n Nếu H ∈ Sk − Hermn (  ) cung: exp ( tH ) η : ( −ε , ε ) → GLn (  ) ; η ( t ) = Thỏa: η ( t ) η ( t ) = exp ( tH ) exp ( tH ) ∗ ∗ = exp ( tH ∗ ) exp ( tH ) = exp ( −tH ) exp ( tH ) =I Từ ta xem η cung η : ( −ε , ε ) → U ( n ) Từ η ' ( ) = H cho thấy là: Sk − Hermn (  ) ⊆ u ( n ) = TIU ( n ) Từ đó: 𝔲 (= n ) TIU ( n ) ⊆ Sk − Hermn (  ) Nhóm unitary đặc biệt SU ( n ) làm với cách tương tự Và ta có: 𝔰𝔲= ( n ) TI SU ( n ) ⊆ Sk − Hermn (  ) Nhưng η : ( a, b ) → SU ( n ) cung với η ( ) = I phân tích cho SLn (  ) , trη ' ( ) = Và: Sk − Hermn0 (  ) = { H ∈ Sk − Hermn (  ) : trH = 0} , Điều cho ta: G ≤ GLn (  ) Mặt khác H ∈ Sk − Hermn0 (  ) cung: η : ( −ε , ε ) → U ( n ) ; η ( t ) = exp ( tH ) , nhận giá trị SU ( n ) bổ đề 3.20 η ' ( ) = H Từ đó: 𝔰𝔲= ( n ) TI SU ( n ) ⊆ Sk − Hermn0 (  ) Chú ý 3.21: Sau ta thấy cho nhóm ma trận, điều theo sau dùng việc xác định đại số Lie nhóm ma trận • Hàm expG : g → GLn (  ) ; expG ( X ) = exp ( X ) , có ảnh G , expG 𝔤 ⊆ G , bình thường ta viết: expG : 𝔤 → G cho hàm mũ G chí ghi exp • • Nếu G compact liên thơng expG 𝔤 = G Có đĩa mở N 𝔤 ( O, r ) ⊆ 𝔤 mà exp đơn ánh cho đồng phơi exp:N 𝔤 ( O, r ) → expN 𝔤 ( O, r ) với expN 𝔤 ( O; r ) ⊆ G tập mở thật Nhóm SO(3) SU (2) Trong phần ta thảo luận nhóm SO ( 3) SU ( ) đại số Lie chúng Đại số Lie khơng gian vectơ thực chiều, có ví dụ sau: 0 −1  0 −1 0 0        𝔰𝔬 ( 3= ) : P 1 0=  , Q 0 0=  , R 0 −1 0 0  1 0  0  i  = , E 0 −i  Những ngoặc Lie khơng tầm thường là: = , [ Q, R ] [ P, Q ] R= = 𝔰𝔲 ( ) : H  1 0 i  = , F    −1   i  P= , [ R, P ] Q = , [ E , F ] H= , [F, H ] E [ H , E ] F= Điều có nghĩa đẳng cấu: ϕ : su ( ) → so ( 3) ; ϕ ( xH + yE + zF ) = xP + yQ + zR ( x, y, z ∈  ) Thỏa: ϕ ([U ,V ]) = ϕ (U ) , ϕ (V )  Do đẳng cấu đại số  − Lie Vì đại số Lie giống đại số Điều cho thấy có mối quan hệ đóng nhóm với Trước xét điều đó, ý đại số Lie ví dụ 3.12, phép biến đổi  - tuyến tính  → so ( 3) ; xe1 + ye2 + ze3  xP + yQ + zR, đẳng cấu đại số  − Lie cơng thức (3.2) Bây ta xây dựng đồng cấu Lie SU ( ) → SO ( 3) mà đạo hàm I ϕ Nhớ lại tác dụng liên hợp Ad SU ( ) 𝔰𝔲 ( ) bởi: −1 = Ad= AUA AUA∗ A (U ) ( A ∈ SU ( ) , U ∈ 𝔰𝔲 ( ) ) Khi Ad A đẳng cấu  - tuyến tính 𝔰𝔲 ( ) → 𝔰𝔲 ( ) ( (X Y) = Ta định nghĩa tích thực Giới thiệu phần tử: ) 𝔰𝔲 ( ) bởi: −tr ( XY ) ( X , Y ∈𝔰𝔲 ( ) ) 1    1  0 i  E = 2E F = 2F 0 −i  , =  −1  , =  , 2 2  i 0   Ta thu đẳng cấu  - tuyến tính:  + yE  + zF  ( 3.13) θ :  → 𝔰𝔲 ( ) ; θ ( xe1 + ye2 + ze3 ) = xH , E , F  dạng trực giao 𝔰𝔲 ( ) theo ( Là phép đẳng cự, từ H ) , tức là:  = H = 2H  F    E  H E F ) (= ) ) (= ( H=   F   E F E ( H= ) ( H= ) ) (= Chú ý 3.22: Có lẽ tự nhiên để nói tích ( ) , H , E , F vectơ đơn vị Điều làm cho nhiều cơng thức theo sau gọn giống ngoặc Lie SU ( ) , tương ứng với tích có hướng  Tuy nhiên, chọn lựa ( ) phải đồng ý với quy ước SU ( n ) Mệnh đề 3.23: bất biến: ( ) dạng song tuyến tính thực 𝔰𝔲 ( ) xác định dương Nó có số chiều ([ Z , X ] Y ) + ( X [ Z , Y ]) = ( X , Y , Z ∈ su ( ) ) Chứng minh: Ta có  - song tuyến tính giống dạng đối xứng Về vấn đề xác định dương, cần ý là: cho x, x ', y, y ', z , z ' ∈  thì: ( xH + yE + zF x ' H + y ' E + z ' F ) = xx '+ yy '+ zz ' Và đặc biệt: ( xH + yE + zF xH + yE + zF ) =x + y + z 2 ≥0 Với dấu " = " xảy x= y= z= Tính bất biến kiểm tra việc tính tốn Cho A ∈ SU ( ) X , Y ∈ su ( ) , ( AXA ∗ ) □ AYA∗ = −tr ( AXA∗ AYA∗ ) = −tr ( AXYA∗ ) = −tr ( AXYA−1 ) = −tr ( XY ) =(X Y) Do Ad A thật phép biến đổi tuyến tính trực giao với tích Việc sử dụng ma , E , F  , ta đồng su ( ) với  ( trận trực giao sở H ) với tích sử dụng, Ad A tương ứng với thành phần O ( 3) mà ta viết Ad A Và dễ dàng nhìn thấy hàm: Ad : SU ( ) → O ( 3) ; Ad ( A ) = Ad A ∈ O ( 3) Là đồng cấu liên tục nhóm Thật sự, SU ( ) đường dẫn liên thơng, giống SO ( 3) , từ: Ad ( I ) = I , AdSU ( ) ⊆ SO ( 3) Từ ta định nghĩa lại: Ad : SU ( ) → O ( 3) ; Ad ( A ) = Ad A Mệnh đề 3.24: Đồng cấu liện tục nhóm ma trận: Ad : SU ( ) → O ( 3) ; Ad ( A ) = Ad A , trơn, có ker Ad = {± I } tồn ánh Chứng minh: Ta cho chứng minh trực tiếp: ker Ad tồn ánh để minh họa cho vài khía cạnh hình học đặc biệt quan trọng ví dụ Ta xem thành phần su ( ) giống vectơ  dựa vectơ trực giao sở , E , F  với e , e , e Từ phương trình (2.11), ngoặc khơng tằm thường vectơ sở H chúng là:   , F , H  , E  = , E , F H = 2F = 2H 2E       Ngoại trừ , điều giống tích có hướng  +y E +z F , U = x H +y E +z F  ∈ 𝔰𝔲 ( ) ; Mệnh đề 3.25: Cho U = x H 1 [U1 ,U= 2]  y 2  y2 Chứng minh: Điều xuất phát từ cơng thức: xe1 + ye2 + ze3 = = 2 z1  x1 H− z2 x2 z1  x1 E+ z2 x2 y1   F y2  ( x1e1 + y1e2 + z1e3 ) × ( x2e1 + y2e2 + z2e3 ) y1 y2 z1 x e1 − z2 x2 z1 x e2 + z2 x2 y1 e y2 □ Ta tính tốn tương tự tích thành phần 𝔰𝔲 ( ) tích có hướng tích vectơ Tuy nhiên cần lưu ý cách tổng qt: U1 , U ∈ 𝔰𝔲 ( ) U1U ∉ 𝔰𝔲 ( ) +y E +z F     Mệnh đề 3.26: Cho U1 = x1 H 1 , U = x2 H + y2 E + z2 F ∈ 𝔰𝔲 ( ) (x x + y y + z z )   y1 U1U = − 2 I+  2   y2 z1  x1 H− z2 x2 z1  x1 E+ z2 x2 (U1 U ) I + U ,U = − [ 2] 2 y1    F  y2   Hệ 3.27: Nếu U1 , U ∈ 𝔰𝔲 ( ) trực giao, tức (U1 U ) = thì: [U1 ,U ] ∈ 𝔰𝔲 ( ) Tiếp theo ta kiểm tra ảnh hưởng A ∈ SU ( ) giống phép biến đổi  - tuyến tính 𝔰𝔲 = U1U ( ) mà ta đồng với 3 Chú ý A viết dạng:  u v A=   −v u  Với u , v ∈  u + v = Điều cho phép ta biểu diễn A dạng: = A cos θ I + S , Với S ma trận Hermit lệch Re u = cos θ với θ ∈ [ 0, π ] sin θ ≥ Ta có: 2 ( − sin θ I )I = θ ( 3.4 ) − ( Imu ) + v S2 = ( S S ) = 2sin 2 Và từ A ∈ SU ( ) , ta có: Chú ý cho t ∈  thì: −1 ∗ A= A= cos θ I − S = Ad A ( tS ) A= ( tS ) A−1 tS Mặt khác, U ∈ 𝔰𝔲 ( ) với ( S U ) = , với kết ta có: Ad A (U ) = ( cos θ I + S )U ( cos θ I − S ) = ( cos θU + SU )( cos θ I − S ) = cos θU + cos θ SU − cos θUS − SUS = cos θU + cos θ [ S , U ] − SUS Tính chất tích vectơ cho ta: SUS = Bằng phương trình (3.4), ( S U ) = ta có: (S S )U Ad A (U ) =( cos θ − sin θ ) U + cos θ [ S , U ] = = ( cos 2θ )U + cos θ [ S ,U ] ( cos 2θ )U + s in2θ S × U , S độ dài đơn vị Chú ý U S × U trực giao với S , ta thấy ảnh hưởng sin θ Ad A U quay mặt phẳng trực giao với S ( tạo U S × U ) với góc θ Với S = □ Ta nhìn thấy với phần tử R ∈ SO ( 3) có dạng Ad A cho vài A ∈ SU ( ) Điều giá trị riêng R có modul det R = Kết nối điều cho ta thấy phải có e ±ϕi cos ϕ ± i sin ϕ giá trị riêng R với vectơ riêng v tương ứng, thứ có dạng = ϕ  = với vài giá trị ϕ Bây ta lấy A cos   I + S với S ∈ su ( ) chọn tương ứng với 2 ϕ  bội v ( S S ) = 2sin   Nếu ta chọn −ϕ thay cho ϕ ta thu − A thay cho A 2 Lấy B ∈ 𝔰𝔲 ( ) Khi cung: Sẽ phát triển thành cung: □ β :  → SU ( ) ; β ( t ) = exp ( tB ) , β :  → SO ( 3) ; β ( t ) = Ad β (t ) Ta phân biệt β t = để có phần tử 𝔰𝔬 ( 3) mà  xác định với 𝔰𝔲 ( ) cơng thức: d = β ' ( )( X ) exp ( tB ) X exp ( −tB )|t =0 dt = BX − XB = [ B, X ] Ví dụ B = H , [ H , H ] = 0, [ H , E ] = F , [ H , F ] = − E , Từ ma trận H su ( ) quan hệ với ma trận sở H , E , F là: Tương tự: 0 0  0 −1 =   R 0  , − F , [ E, E ] = 0, [ E , F ] = H [ E, H ] = Cho ma trận:  0 1  0 0 = Q    −1 0  Và: E, [ F , E ] = −H , [ F , F ] = 0, [F, H ] = Cho ma trận: 0 −1  1 0  = P   0 0  Với ánh xạ đạo hàm tương ứng là: d Ad : 𝔰𝔲 ( ) → 𝔰𝔬 ( 3) ; d Ad ( xH + yE + zF ) = xR + yQ + zP , Ngoại trừ thay đổi thứ tự, rõ ràng có đẳng cấu đại số Lie chúng Để tóm tắt, ta chứng minh điều sau Định lý 3.28: Cho Ad : SU ( ) → SO ( 3) đồng cấu Lie tồn ánh với ker Ad = {± I } Hơn nữa, ánh xạ đạo hàm d Ad : 𝔰𝔲 ( ) → 𝔰𝔬 ( 3) đẳng cấu đại số  − Lie Chương IV: Sự liên thơng nhóm ma trận Tính liên thơng tính chất thường khảo sát tơpơ nên phần cuối luận văn trình bày tính liên thơng nhóm ma trận đặc biệt đề cập chương Sự liên thơng đa tạp Định nghĩa 4.1: Một khơng gian tơpơ X liên thơng X = U  V với U , V ≠ ∅ , U  V ≠ ∅ Định nghĩa 4.2: Một khơng gian tơpơ X liên thơng đường ∀x, y ∈ X , có đường liên tục p :[0,1] → X với p (0) = x p (1) = y X liên thơng đường địa phương điểm chứa lân cận mở liên thơng đường Kết sau cho giải tích thực Mệnh đề 4.3: Mọi khoảng [a, b],[a, b), (a, b], (a, b) ⊆  liên thơng đường liên thơng Đặc biệt,  liên thơng đường liên thơng Mệnh đề 4.4: Nếu X khơng gian tơpơ liên thơng đường X liên thơng Chứng minh: Giả sử X khơng liên thơng Khi X = U  V U , V ⊆ X khơng rỗng U  V = ∅ Lấy x ∈ U y ∈ V Theo tính liên thơng đường X, có ánh xạ liên tục p :[0,1] → X với p (0) = x p (1) = y Khi [0,1] = p −1U  p −1V biểu thị [0,1] hợp tập mở khơng có phần tử chung Nhưng điều lại mâu thuẫn với dự liên thơng [0,1] Vì X phải liên thơng Mệnh đề 4.5: Cho X khơng gian tơpơ liên thơng mà liên thơng đường địa phương Khi X liên thơng đường Chứng minh: Lấy x ∈ X , đặt X x ={ y ∈ X : ∃p :[0,1] → X liên tuc cho p (0) = x p(1) = y} □ Khi với y ∈ X x , có lân cận mở liên thơng đường U y Nhưng với điểm z ∈ U y có đường liên tục từ tới z qua y, U y ⊆ X x Điều cho thấy = Xx U y ⊆X y∈ X x mở X Tương tự, w ∈ X − X x , X w ⊆ X − X x mở Nhưng X − Xx =  Xw w∈ X − X x Vì= X X x  ( X − X x ) , theo tính liên thơng, X x = ∅ X − X x = ∅ Vì X liên thơng đường Mệnh đề 4.6: Nếu khơng gian tơpơ X Y liên thơng đường tích chúng X × Y liên thơng đường Hệ 4.7: Với n ≥ ,  n liên thơng đường liên thơng Nó hữu ích cho việc ghi nhận kết tiêu chuẩn sau Mệnh đề 4.8: i) Cho n ≥ Hình cầu đơn vị  n −1 ⊆  n liên thơng đường Trong  ={±1} ⊆  , tập {1} □ {−1} liên thơng đường Tập hợp vectơ khác  n0 ⊆  n liên thơng đường ii) Với n ≥ , tập hợp số phức khác vectơ quaternion  n0 ⊆  n  0n ⊆  n liên thơng đường Mệnh đề 4.9: Mọi đa tạp liên thơng đường địa phương Vì đa tạp liên thơng liên thơng đường Chứng minh: Mọi điểm chứa lân cận mở đồng phơi với tập mở  n mà xem đĩa mở liên thơng đường Còn phát biểu thứ hai chứng minh dựa theo mệnh đề 4.5 □ Định lý 4.10: Cho M đa tạp liên thơng N ⊆ M đa tạp khơng rỗng mà tập đóng Nếu dim N = dim M N = M Chứng minh: Khi N ⊆ M đóng M − N ⊆ M mở Nhưng N ⊆ M mở phần tử chứa tập mở M nằm N; M − N ⊆ M đóng Khi M liên thơng, M − N = ∅ □ Mệnh đề 4.11: Cho G nhóm Lie H ≤ G nhóm đóng Nếu G / H H liên thơng, G liên thơng Chứng minh: Đầu tiên ta ý điều sau: với g ∈ G , ánh xạ tịnh tiến trái L g : H → gH cho ta đồng cấu khơng gian này, gH liên thơng H liên thơng Giả sử G khơng liên thơng, cho U , V ⊆ G tập mở khơng rỗng mà U  V = ∅ U  V = G Phép chiếu π : G → G / H ánh xạ mở tồn ánh, π U , π V ⊆ G / H tập mở mà π U  π V = G / H Khi G / H liên thơng, có phần tử gH nằm π U  π V Trong G ta có gH = ( gH  U )  ( gH  V ) ( gH  U ), ( gH  V ) ⊆ gH tập mở khơng gian tơpơ gH U , V mở G Theo tính liên thơng gH , điều xảy gH  U = ∅ gH  V = ∅ , chúng tập mở U , V mà khơng có phần tử chung Khi −1 π= gH { gh : h ∈ H } điều sai, ( gH  U )  ( gH  V ) ≠ ∅ suy U  V ≠ ∅ Điều mâu thuẫn với giả định gốc U , V □ Mệnh đề 4.12: Cho G nhóm Lie H ≤ G nhóm đóng Nếu G / H H liên thơng G liên thơng đường Ví dụ nhóm ma trận liên thơng đường Trong phần ta khảo sát tính liên thơng đường nhóm ma trận quen thuộc Ví dụ 4.13: Với n ≥ , SLn () liên thơng đường Chứng minh: Với trường hợp thực, ta tiến hành phương pháp quy nạp theo n Lưu ý SL1 () = {1} chắn liên thơng Bây giả sử SLn −1 () liên thơng đường với n ≥ Nhớ lại SLn () tác động liên tục  n phép nhân ma trận Xét hàm liên tục f : SLn () →  n ; f ( A) = Aen = =  − {0} vectơ v ∈  mở rộng thành sở Ảnh f imf v1 , , −1, = v n n n  n , ta nhân v1 đại lượng vơ hướng thích hợp để đảm bảo ma trận Av với vectơ cột có định thức Khi Av en = v Lưu ý Pen = en Q  P=   w 1 Q có cấp (n − 1) × (n − 1) với det Q = , (n − 1) ×1 vectơ khơng w 1× (n − 1) vectơ tùy ý Tập hợp tất ma trận ổn định en , StabSLn (  ) (en ) , mà nhóm đóng SLn () Tổng qt hơn, Aen = v A = Av P với P ∈ StabSLn (  ) (en ) Vì khơng gian đồng SLn () / StabSLn (  ) (en ) đồng phơi tới  n0 Khi n ≥ , tiếng  n0 liên thơng đường, liên thơng Điều suy SLn () / StabSLn (  ) (en ) liên thơng Nhóm SLn −1 () ≤ StabSLn (  ) (en ) đóng ánh xạ định nghĩa tốt T Q  −1  w  SLn −1 ()  wQ   vi phơi khơng gian đồng StabSLn (  ) (en ) / SLn −1 () đồng phơi tới  n−1 Do với giả StabSLn (  ) (en ) / SLn −1 () →  n −1 ; ( ) thuyết quy nạp, StabSLn (  ) (en ) liên thơng đường Ta kết hợp điều với liên thơng  n0 để kết luận SLn () liên thơng đường □ + n Ví dụ 4.14: Với n ≥ , GL () liên thơng đường Chứng minh: Khi SLn () ≤ GL+n () , đủ để thấy GL+n () / SLn () liên thơng đường Nhưng với điều ta sử dụng định thức để định nghĩa ánh xạ liên tục det : GL+n () →  + =(0, ∞) tồn ánh khơng gian liên thơng đường Khơng gian đồng GL+n () / SLn () vi phơi tới  + liên thơng đường Vì GL+n () liên thơng đường Điều cho thấy □ GLn () = GL+n ()  GL−n () phân tích GLn () thành hai thành phần liên thơng đường Ví dụ 4.15: Với n ≥ , SO(n) liên thơng đường Do O(n) = SO(n)  O(n) − phân tích O(n) thành hai thành phần liên thơng đường Chứng minh: Với n = , SO(1) = {1} Vì ta giả định n ≥ tiến hành phương pháp quy nạp theo n Do giả định SO(n − 1) liên thơng đường Xét tác động liên tục  n phép nhân bên trái Sự ổn định en SO(n − 1) ≤ SO(n) coi nhóm đóng ma trận có dạng  P 0 0T    với P ∈ SO(n − 1) ma trận khơng cấp (n − 1) ×1 Quỹ đạo en hình cầu đơn vị  n−1 mà liên thơng đường Khi khơng gian quỹ đạo vi phơi tới SO(n) / SO(n − 1) ta có bước quy nạp Ví dụ 4.16: Với n ≥ , U (n) SU (n) liên thơng đường Chứng minh: Với n = , U (1) hình tròn đơn vị  SU (1) = {1} , hai liên thơng đường Giả định U (n − 1) SU (n − 1) liên thơng đường với n ≥ □ Khi U (n) SU (n) tác động  n phép nhân ma trận ta có: StabU ( n ) (= en ) U (n − 1) StabSU ( n= SU (n − 1) ) (en ) Ta có = OrbU ( n ) (en ) Orb =  n −1 SU ( n ) (en )  n −1 ⊆  n ≅  n ký hiệu hình cầu đơn vị gồm vectơ đơn vị Khi  n−1 liên thơng đường, ta kết luận U (n) SU (n) vậy, điều cho ta chứng minh bước quy nạp □ Những thành phần liên thơng đường nhóm Lie Cho G nhóm Lie Ta nói hai phần tử x, y ∈ G nối với đường G có đường liên tục p : [ 0,1] → G với p ( ) = x p (1) = y Ta ký hiệu là: x  y G Bổ đề 4.17:  mối quan hệ tương đương G G Cho g ∈ G , ta xét lớp tương đương g , thành phần liên thơng đường g G , G= g { x ∈ G : x  g} G Mệnh đề 4.18: Thành phần liên thơng đường phần tử đồng nhóm chuẩn tắc vừa đóng vừa mở G , G1  G ; từ nhóm Lie đóng chiều dim G Gg gG = G1 g đa tạp Thành phần liên thơng đường Gg thống với lớp g theo G1 , = đóng G Chứng minh: Theo mệnh đề 4.9, Gg chứa lân cận mở g G Điều cho thấy thành phần đa tạp thật G với số chiều với dim G Lý luận sử dụng chứng minh mệnh đề 4.5 cho thấy Gg thật tập vừa đóng vừa mở G Lấy x, y ∈ G1 Khi có đường liên tục p, q : [ 0,1] → G với p ( )= 1= q ( ) , p (1)= x q (1) = y Đường tích là: r : [ 0,1] → G; r ( t ) = p (t ) q (t ) có r ( ) = r (1) = xy Vì G1 ≤ G Cho g ∈ G , đường: s : [ 0,1] → G, s ( t ) = gp ( t ) g −1 có s ( ) = s (1) = gxg −1 , từ G1  G Nếu z ∈ gG1 = G1 g , g −1 z ∈ G1 có đường liên tục h : [ 0,1] → G với h ( ) = h (1) = g −1 z Thì đường: gh : [ 0,1] → G; gh ( t ) = g ( h (t )) có gh ( ) = g gh (1) = z Vì lớp gG1 liên thơng đường, gG1 ⊆ Gg Để có đẳng thức, giả sử g nối đường k : [ 0,1] → G G đến w ∈ Gg Thì đường g −1k liên thơng tới g −1w , g −1w ∈ G1 , cho w ∈ gG1 Điều cho thấy là: Gg ⊆ gG1 Nhóm thương G / G1 nhóm thành phần liên thơng đường G , mà ta ký hiệu π 0G Ví dụ 4.19: Ta có nhóm đường thành phần sau: = = = π 0= SO ( n ) π SL π 0= SU ( n ) π= π SL π 0GL {1} n () 0U ( n ) n () n () π 0O ( n ) ≅ π 0GLn (  ) ≅ {±1} Ví dụ 4.20: Cho  cos θ − sin θ      T   sin θ cos θ  : θ ∈   ≤ SO ( 3) =      Và lấy G N SO(3) (T ) ≤ SO ( 3) chuẩn hóa Thì T G nhóm Lie SO ( 3) = π 0G ≅ {±1} Chứng minh: Ta có:   − cos θ sin θ  N SO(3) (T ) =T ∪   sin θ cos θ  0  Chú ý T đẳng cấu đến đường tròn đơn vị, 0   −1 0     : θ ∈   =T ∪   T   0 −1 −1  □ cos θ − sin θ  T ≅ 𝕋 ;  sin θ cos θ  ↔ eθ i  0  Điều chứng tỏ T liên thơng đường abel 𝕋 Hàm: ϕ : G → × ; ϕ  aij  = a33 ( ) liên tục với  −1 0  ϕ  T= = , ϕ  T    0 −1 chúng tập vừa đóng vừa mở Điều cho thấy thành phần liên thơng đường G là:  −1 0  GI = T ,   T  0 −1 −1 + −1 − Do đó: π 0G ≅ {±1} Chú ý N SO(3) (T ) tác động liên hợp T thật phần tử T  N SO(3) (T ) tác động tầm thường T abel Từ π 0G tác động T với tác động lớp khơng tầm thường cho  −1 0  liên hợp theo ma trận   ,  0 −1 −1  −1 0  cos θ − sin θ   −1 0   cos θ sin θ  cos θ − sin θ     sin θ cos θ    =    sin θ cos θ       − sin θ cos θ  =    0 −1   0   0 −1   0  mà tương ứng với đồng cấu ngược đường tròn đơn vị 𝕋 ≅ T { } −1 Ví dụ 4.21: Cho T = x1 + yi : x, y ∈ , x + y =1 ≤ Sp (1) , nhóm quaternion đơn vị Lấy 2 □ = G N Sp(1) (T ) ≤ Sp (1) chuẩn hóa Khi T G nhóm Lie Sp (1) π 0G ≅ {±1} Chứng minh: Ta có: G =T ∪ { xj − yk : x, y ∈ , x + y =1} =T ∪ jT T đẳng cấu đến đường tròn đơn vị nên liên thơng đường abel Hàm: θ : G → ; θ ( t1 + xi + yj + zk ) = y + z , liên tục và: = θ −1 ( ) T= , θ −1 (1) jT Từ thành phần liên thơng đường G T , jT Vì π 0G ≅ {±1} Sự tác động liên hợp G T có phần tử T tác động cách tầm thường, π 0G tác động T Sự tác động lớp khơng tầm thường cho liên hợp với j , j ( x1 + yi ) j −1 = x1 − yi tương ứng với ánh xạ ngược đường tròn đơn vị 𝕋 ≅ T Kết luận 1.Nội dung luận văn Chương I: Nhắc lại vài kiến thức đại số giải tích Chương II: Cho ta vài kết quan trọng: GLn (), SLn () nhóm phép nhân ma trận, khơng gian mêtric chuẩn sup Liên quan đến mêtric tơpơ tự nhiên xây dựng M n () Sau có cấu trúc tơpơ ta tiến hành khảo sát tính liên tục số hàm quan trọng như: hàm liên đới, hàm định thức, hàm vết,… bên cạnh tính chất đóng, mở GLn () , SLn () Tiếp đến, thơng qua định nghĩa nhóm tơpơ ta đến kết luận: nhóm GLn () , SLn () nhóm tơpơ với ánh xạ nhân ánh xạ ngược Sau đó, ta đưa định nghĩa nhóm ma trận, nhóm ma trận đưa vài ví dụ quan trọng nhóm ma trận như: nhóm ma trận tam giác UTn () nhóm ma trận đơn lũy SUTn () , nhóm ma trận trực giao O(n) nhóm ma trận trực giao đặc biệt SO(n) , nhóm ma trận unita U (n) nhóm ma trận unita đặc biệt SU (n) Sau ta đưa định nghĩa quan trọng dùng để bổ trợ cho kiến thức chương sau như: định nghĩa tính đồng cấu liên tục nhóm ma trận, tác động nhóm liên tục, định nghĩa hàm lũy thừa hàm logarit ma trận Chương III: Phát biểu chứng minh định lý nghiệm cho phương trình vi phân cấp ma trận Tiếp đến ta đưa định nghĩa nhóm tham số, mối quan hệ đặc biệt đường cong, khơng gian tiếp xúc đại số Lie; thơng qua ta giới thiệu vài đại số Lie nhóm ma trận quen thuộc đề cập chương II: đại số Lie nhóm ma trận tuyến tính tổng qt GLn () , đại số Lie nhóm ma trận tam giác UTn () nhóm ma trận đơn lũy SUTn () , đại số Lie nhóm ma trận trực giao O(n) nhóm ma trận trực giao đặc biệt SO(n) , đại số Lie nhóm ma trận unita U (n) nhóm ma trận unita đặc biệt SU (n) Và cuối cùng, ta khảo sát mối quan hệ đặc biệt hai nhóm SO ( 3) SU ( ) Chương IV: Thơng qua định nghĩa vài kết quan trọng tính liên thơng, liên thơng đường mà ta biết tơpơ đại cương, ta định nghĩa liên thơng đa đạp qua ta đưa ví dụ nhóm ma trận quen thuộc có tính chất liên thơng đường như: SLn (  ) , GL+n (  ) , SO ( n ) , U ( n ) , SU ( n ) Sau cùng, ta đưa định nghĩa thành phần liên thơng đường nhóm Lie, kèm theo vài ví dụ quan trọng 2.Hướng nghiên cứu Thơng qua kiến thức mà ta có luận văn đại số Lie nhóm ma trận ta muốn nghiên cứu đại số Lie nhóm khác như: nhóm đa thức hay nhóm khơng gian vectơ,… qua ta đặt câu hỏi tính liên thơng vài nhóm đặc biệt đại diện cho nhóm □ Tài liệu tham khảo [1] J.F.Adams, Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press (1969) [2] J.F.Adams, Lectures on Exceptional Lie Groups, University of Chicago Press (1996) [3] R.Carter, G.Segal, I.Macdonald, Lectures on Lie Groups and Lie algebras, Cambridge University Press, (1995) [4] M.L.Curtis, Matrix Groups, Springer-Verlag (1984) [5] R.Howe, Very basic Lie theory, Amer Math Monthly 90 (1983) 600 – 623; correction: Amer Math Monthly 91 (1984) 247 [6] I.R.Porteous, Topological geometry, Van Nostrand Reinhold Co (1969) [7] J – P.Serre, Complex Semisimple Lie Algebras, Springer – Verlag (1987) [8] S.Sternberg, Group Theory and Physics, Cambridge University Press (1994) [9] F.W.Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer – Verlag (1983) [10] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục (1972) [11] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (2009) [12] Khu Quốc Anh – Nguyễn Anh Kiệt – Tạ Mân – Nguyễn Dỗn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (1999) [...]... phải mọi nhóm con ma trận chuẩn tắc đóng N  G của một nhóm ma trận G đều nâng lên thành một nhóm ma trận G / N ; có những ví dụ mà G / N là một nhóm Lie nhưng khơng phải là một nhóm ma trận Đây là một trong những khác biệt quan trọng nhất giữa những nhóm ma trận và những nhóm Lie (ta sẽ thấy sau này là mọi nhóm ma trận đều là một nhóm Lie) Một hệ quả chắc chắn quan trọn là những nhóm ma trận có thương... ρ n liên tục) 6 Những đồng cấu liên tục của những nhóm ma trận Tính chất đồng cấu là một tính chất khá quan trọng mà ta thường khảo sát trong tốn học, đặc biệt là trong giải tích học Chính vì vậy phần này của chương sẽ đi khảo sát tính chất liên tục của những đồng cấu nhóm ma trận Định nghĩa 2.24: Cho G, H là hai nhóm ma trận Một đồng cấu nhóm ϕ : G → H là một đồng cấu liên tục của những nhóm ma trận. .. nó là một nhóm con ma trận Ví dụ 2.18: SLn () ≤ GLn () là một nhóm ma trận trên  □ Chứng minh: Theo mệnh đề 2.13, SLn () là đóng trong M n () và SLn () ⊆ GLn () □ Định nghĩa 2.19: Một nhóm con đóng H ≤ G của nhóm ma trận G thì được gọi là nhóm con ma trận của G Mệnh đề 2.20: Một nhóm con ma trận H ≤ G của một nhóm ma trận G là một nhóm ma trận Chứng minh: Đây là hệ quả trực tiếp của mệnh đề... khơng gian con của SUT2 () Bất cứ lúc nào ta có một đồng cấu của những nhóm ma trận ϕ : G → H là một đồng phơi (nghĩa là một song ánh với nghịch đảo liên tục) ta nói ϕ là một đẳng cấu liên tục của những nhóm ma trận và coi như G và H được đồng nhất về bản chất như những nhóm ma trận Mệnh đề 2.27: Cho ϕ : G → H là một đồng cấu liên tục của những nhóm ma trận Khi đó ker ϕ ≤ G là một nhóm con đóng,... của x và y là ( x | y) Tích vơ hướng là một hàm liên tục từ E × E →  Chương II: Những nhóm ma trận thực và phức Ở chương I ta đã được trang bị một vài kiến thức cơ bản để ta có thể hiểu rõ hơn về những tính chất, định lý… được đề cập trong luận văn này Để đi sâu vào việc khảo sát tính liên thơng của những nhóm ma trận thì trước hết ta phải biết thế nào là nhóm ma trận, nhóm ma trận thực là gì? Nhóm. .. riêng của A đều khác khơng thì A khả nghịch f) Nếu λ là giá trị riêng của ma trận A thì λ k là giá trị riêng của ma trận Ak Định nghĩa 1.67 (ma trận đồng dạng): Hai ma trận A, B vng cấp n được gọi là đồng dạng nhau nếu tồn tại một ma trận khơng suy biến S sao cho B = S −1 AS Kí hiệu A ~ B Định nghĩa 1.68 (ma trận chéo hóa được): Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận. .. ) exp( A) Chương III: Đại số Lie của những nhóm ma trận Ở chương này ta sẽ tìm hiểu về những khía cạnh đặc biệt của những nhóm ma trận mà nổi bậc và khá phổ biến là khái niệm: đại số Lie Đại số Lie của mỗi nhóm ma trận đều có những đặc trưng riêng và những đặc trưng đó thì được ứng dụng khá nhiều trong hình học Như ở chương trước thì ta đã đề cập đến một vài nhóm ma trận đặc biệt thì ở chương này ta... Nhóm ma trận Một nhóm muốn trở thành một nhóm ma trận trên 𝕜 thì cần phải có những điều kiện gì? Và tương tự như thế, tiêu chuẩn để thành một nhóm con ma trận là gì? Để trả lời câu hỏi đó ta sẽ tìm hiểu phần sau đây Định nghĩa 2.16: Một nhóm con G ≤ GLn () đồng thời là một khơng gian con đóng thì được gọi là một nhóm ma trận trên  hay một  - nhóm ma trận Nếu chúng ta muốn nhấn mạnh đến giá trị của. .. là những nhóm dưới phép nhân ma trận Hơn nữa SLn () là nhóm con của GLn () ,tức là SLn () ≤ GLn () GLn () được gọi là nhóm tuyến tính tổng qt n × n , trong khi SLn () được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt n × n hay nhóm đơn mơđun n × n Khi  =  hoặc  =  chúng ta sẽ xem GLn () và GLn () như những nhóm tuyến tính tổng qt thực và phức Đương nhiên, chúng ta cũng xét những nhóm con của những nhóm. .. trận thực là gì? Nhóm ma trận phức là gì? Và trong hình học thì có những nhóm ma trận đặc biệt nào? Trong chương này ta sẽ lần lượt tìm hiểu về những vấn đề đó 1 Nhóm của các ma trận Trong luận văn này chúng ta thường xét các trường hợp trường  =  hay  =  Cho M m ,n () là tập hợp của những ma trận m × n với các phần tử lấy trong  Chúng ta ký hiệu phần tử (i, j ) của một ma trận A có kích thước ... 2: Những nhóm ma trận thực phức Nhóm ma trận Nhóm ma trận khơng gian mêtric Nhóm ma trận Một số ví dụ nhóm ma trận Những nhóm ma trận phức nhóm ma trận thực Những đồng cấu liên tục nhóm ma trận. .. định nghĩa nhóm ma trận, nhóm ma trận đưa vài ví dụ quan trọng nhóm ma trận như: nhóm ma trận tam giác UTn () nhóm ma trận đơn lũy SUTn () , nhóm ma trận trực giao O(n) nhóm ma trận trực giao đặc... liên thơng nhóm ma trận trước hết ta phải biết nhóm ma trận, nhóm ma trận thực gì? Nhóm ma trận phức gì? Và hình học có nhóm ma trận đặc biệt nào? Trong chương ta tìm hiểu vấn đề Nhóm ma trận Trong