Chương II: Cho ta một vài kết quả quan trọng: GLn( ), SLn( ) là những nhĩm dưới phép nhân ma trận, và cũng chính là khơng gian mêtric trên chuẩn sup. Liên quan đến mêtric đĩ là một tơpơ tự nhiên được xây dựng trên Mn( ) . Sau khi cĩ được cấu trúc tơpơ ta tiến hành khảo sát tính liên tục của một số hàm quan trọng như: hàm liên đới, hàm định thức, hàm vết,… và bên cạnh đĩ là tính chất đĩng, mở của GLn( ) ,
( )
n
SL . Tiếp đến, thơng qua định nghĩa nhĩm tơpơ ta đi đến kết luận: mỗi nhĩm GLn( ) ,SLn( ) là một nhĩm tơpơ với ánh xạ nhân và ánh xạ ngược. Sau đĩ, ta đưa ra định nghĩa về nhĩm ma trận, nhĩm con ma trận và đưa ra một vài ví dụ quan trọng về nhĩm ma trận như: nhĩm ma trận tam giác trên UTn( ) và nhĩm ma trận đơn lũy SUTn( ) , nhĩm ma trận trực giao O n( ) và nhĩm ma trận trực giao đặc biệt SO n( ), nhĩm ma trận unita U n( ) và nhĩm ma trận unita đặc biệt SU n( ). Sau cùng ta đưa ra những định nghĩa quan trọng được dùng để bổ trợ cho kiến thức ở những chương sau như: định nghĩa về tính đồng cấu liên tục của những nhĩm ma trận, những tác động của nhĩm liên tục, định nghĩa hàm lũy thừa và hàm logarit của ma trận.
Chương III: Phát biểu và chứng minh định lý duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân cấp 1 của ma trận. Tiếp đến ta đưa ra định nghĩa nhĩm con một tham số, mối quan hệ đặc biệt giữa đường cong, khơng gian tiếp xúc và đại số Lie; thơng qua đĩ ta giới thiệu một vài đại số Lie của những nhĩm ma trận quen thuộc được đề cập ở chương II: đại số Lie của nhĩm ma trận tuyến tính tổng quát GLn( ) , đại số Lie của nhĩm ma trận tam giác trên UTn( ) và nhĩm ma trận đơn lũy SUTn( ) , đại số Lie của nhĩm ma trận trực giao O n( ) và nhĩm ma trận trực giao đặc biệt SO n( ), đại số Lie của nhĩm ma trận unita U n( ) và nhĩm ma trận unita đặc biệt SU n( ). Và cuối cùng, ta khảo sát mối quan hệ đặc biệt giữa hai nhĩm SO( )3 và SU( )2 .
Chương IV: Thơng qua định nghĩa và một vài kết quả quan trọng về tính liên thơng, liên thơng đường mà ta đã biết trong tơpơ đại cương, ta định nghĩa sự liên thơng của một đa đạp và qua đĩ ta đưa ra ví dụ của những nhĩm ma trận quen thuộc cĩ tính chất liên thơng đường như:SLn( ) ,GL+n( ) ,SO n U n SU n( ) ( ), , ( ). Sau cùng, ta đưa ra định nghĩa những thành phần liên thơng đường của một nhĩm Lie, kèm theo đĩ là một vài ví dụ quan trọng.