Bóng của một đoạn trong multiset

Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Bộ Môn: Đại Số Đề tài: Bóng Của Một Đoạn Trong Multiset Giáo Viên Hướng Dẫn: TS.Trần Huyên Sinh Viên: Phạm Văn Trí MSSV: K34101098 TP Hồ Chí Minh Tháng – 2012 Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Bộ Môn: Đại Số Đề tài: Bóng Của Một Đoạn Trong Multiset Giáo Viên Hướng Dẫn: TS.Trần Huyên Sinh Viên: Phạm Văn Trí MSSV: K34101098 TP Hồ Chí Minh Tháng – 2012 Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học LỜI MỞ ĐẦU Khái niệm bóng tập tập n phần tử đề xuất sử dụng có hiệu lần nhà toán học Sperner vào năm 1928, ông tìm cách giải toán ước lượng độ lớn cho hệ antichain poset P(S) – poset tập tập S hữu hạn gồm n phần tử Khái niệm bóng tập hợp Sperner sử dụng kỹ thuật để đánh giá thành công cận cho độ lớn antichain, sau tìm nhiều ứng dụng lý thuyết combinatorics Đặc biệt năm 1963, nhà toán học Kruskal kết hợp khái niệm bóng với thứ tự tuyến tính, mà sau biết đến với tên gọi thứ tự nén cho kết tiếng lý thuyết combinatorics Đó định lý Kruskal – Katona liên quan tới việc đánh giá cận cho độ lớn bóng tập lực lượng Về sau, nhà toán học mở rộng khái niệm bóng cho tập thứ tự đạt nhiều kết Trong luận văn này, chủ yếu giải vấn đề: Với điều kiện cần đủ bóng đoạn đoạn multiset Để giải vấn đề trên, ta xem xét giải yêu cầu đặt môi trường tập đơn bội, sau phát triển giải vấn để môi trường tập đa bội Và tất nhiên, sau giải vấn đề ,chúng ta nhìn nhận so sánh điểm tương đồng sai khác hai trường hợp xem xét rằng: liệu kết trường hợp tập đa bội có với trường hợp tập đơn bội hay không ? “Vạn khởi đầu nan”, việc tiếp cận với kiến thức vô khó khăn, phải trải qua trình để tìm hiểu nhận thức Và trình em vô biết ơn dạy tận tình, nhiệt huyết thầy Trần Huyên, giáo viên Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học hướng dẫn luận văn tốt nghiệp môn Đại số Em xin phép gửi đến thầy lời chúc sức khỏe lời cảm ơn chân thành Qua giai đoạn tìm hiểu giải vấn đề, em cảm thấy vô phấn khởi mong muốn có nhiều hội để phát triển vấn đề tương lai Mặc dù cố gắng chắn nhiều sai sót, em mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn bè Mọi chi tiết xin liên hệ email: dongdoi1902@yahoo.com.vn Xin chân thành cảm ơn nhiều TP.HCM, ngày 22 tháng năm 2012 Sinh viên: Phạm Văn Trí Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Poset (partially ordered set) II Hàm hạng: III Mức: IV Bóng: V Đoạn, đoạn đầu: 10 VI Thứ tự từ điển: .10 VII Sơ lược lịch sử dẫn đến vấn đề: .10 CHƯƠNG II: BÓNG CỦA ĐOẠN TRONG MULTISET 13 I Bóng đoạn poset tập tập đơn bội: 14 Từ tập tập đơn bội vector tọa độ: 14 Các kết chính: 16 2.1 Các Bổ Đề: 16 2.2 Các Định Lý: 19 II Bóng đoạn multiset: 26 Mệnh đề 1: 27 Mệnh đề 2: 31 Mệnh đề 3: 33 Mệnh đề 4: 34 Mệnh đề 5: 35 CHƯƠNG III: NHỮNG ĐIỂM TƯƠNG ĐỒNG VÀ SAI KHÁC TRONG HAI TRƯỜNG HỢP TRÊN 43 Bóng đoạn đầu: 43 Bóng đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không nhau: 44 Bóng đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không khác nhau: 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO .46 Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Poset (partially ordered set) Poset: Poset tập hợp với thứ tự phận, tức P = ( S ,  ) với  thứ tự phận S Ví dụ 1.1: ( ,|) poset * Thật vậy: ∀x ∈ * , ta có x | x ( thỏa tính phản xạ) a | b b | a Giả sử:  = b ka l ⇒ ⇒ a =lka ⇒ lk =1 ⇒  ⇒ a =b ( thỏa tính phản xứng) a lb = k   a | b b = ka ⇒ ⇒ c = lka ⇒ a | c ( thỏa tính bắc cầu) = b | c c lb   Giả sử  Và rõ ràng quan hệ ước số " | " thứ tự phận Vậy ( ,|) poset * Ví dụ 1.2: (,|) không poset không thỏa tính chất phản xứng 2 | −2 −2 ≠ | −  Chẳng hạn lấy  Ví dụ 1.3: Gọi P ( S ) tập hợp chứa tất tập S Và ⊂ thứ tự bao hàm ( P ( S ), ⊂) poset Thật vậy: A ⊂ A, ∀A ∈ P( S ) (phản xạ) Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học A ⊂ B ⇒ A= B (phản xứng) B ⊂ A Giả sử  A ⊂ B ⇒ A ⊂ C (bắc cầu) B ⊂ C  Giả sử  Và rõ ràng quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự phận Vậy ( P ( S ), ⊂) poset Trội, trội trực tiếp: Xét Poset ( S ,  ) x, y ∈ S i) Nếu x  y ta nói y trội x hay x trội y ii) Ta nói y trội trực tiếp x y trội x không tồn z ≠ x, y cho: x  z  y Phần tử tối đại, tối tiểu: Trong poset ( S ,  ) , phần tử m gọi tối đại (tương ứng tối tiểu) m trội thực ( tương ứng không trội thực phần tử cả) Hay: ∀x ∈ A,(m  x) ⇒ (m =x) (tương ứng ∀x ∈ A,( x  m) ⇒ ( x =m) ) Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất: Trong poset ( S ,  ) , a gọi phần tử lớn (tương ứng nhỏ nhất) : x  a, ∀x ∈ S (tương ứng a  x, ∀x ∈ S ) Ví dụ 4.1: Poset ( P ( S ), ⊂) có phần tử nhỏ ∅ , phần tử lớn S Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Poset (* |) có phần tử nhỏ  Lưu ý: Trong poset, phần tử lớn tồn phần tử tối đại (tương tự cho phần tử nhỏ tối tiểu) Trong poset hữu hạn, có phần tử tối đại phần tử lớn (tương tự cho phần tử nhỏ tối tiểu) II Hàm hạng: Cho poset P = ( S ,  ) , giả sử có ánh xạ r từ poset P vào  cho: r (a ) = a phần tử tối tiểu P , (b) r (a ) + b trội trực tiếp a Và r= Thì r gọi hàm hạng P Khi đó, P gọi poset có hạng III Mức: Cho poset P = ( S ,  ) có hàm hạng r Ta định nghĩa mức thứ k P là: Pk = {a ∈ P : r (a ) = k} IV Bóng: Cho P poset có hạng với mức P0 , P1 , P2 , Với k ≥ a ∈ Pk , bóng a định nghĩa là: ∆a = {x ∈ Pk −1 : a trội trực tiếp x} Và bóng A ⊂ Pk là: ∆A =  ∆a a∈A Sau số Ví dụ poset có hạng mà ta dùng đến phần Như thông lệ, ta ký hiệu A số phần tử A Và để đơn giản ký hiệu, vector ( x1 , x2 , , xk ) viết x1 x2 xk nhầm lẫn Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Ví dụ 4.1: Poset ( P ( S ), ⊂) , với P ( S ) tập hợp tập S = {1, 2, , n} poset có hạng với đặc trưng: Phần tử: a tập S Thứ tự phận: a ⊂ b Hàm hạng: r ( a ) = a số phần tử a {a ⊂ S : a = k} Mức thứ k : Pk ( S ) = {b a : b = k − 1} Bóng a ∈ Pk ( S ) =⊂ Ví dụ 4.2: Poset S ( k1 , k2 , , kn ) tập tập đa bội gồm n phần tử, phần tử thứ i lặp ki lần k1 ≤ k2 ≤ ≤ kn , ki ∈  , với quan hệ " ≤ " * poset có hạng với đặc trưng sau: Phần tử: x = x1 x2 xn với ≤ xi ≤ ki , xi ∈  = Thứ tự phận: với x x= x2 xn , y * y1 y2 yn x ≤ y ⇔ xi ≤ yi , ∀i =1, , n Hàm hạng: r ( x) = x1 + x2 + + xn k} {x ∈ S : r ( x ) = Mức thứ k : Pk = = Bóng x x1 x2 xn ∈ Pk : Trước hết ta định nghĩa bóng thành phần thứ i x là: ∆i x = ∅ xi = và= ∆ i x x1 x2 ( xi − 1) xn xi > Thì: ∆x = ∪∆ i x Ví dụ 4.3: Poset Β vector Bool x x1 x2 xk , k ∈  , xi ∈ {0,1} Phần tử:= * Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học y1 y2 yn x ≤ y k ≤ n = Thứ tự phận: với x x= x2 xk , y ∃i1 < i2 < < i= yi1 , = xk yik k : x1 Hàm hạng: Với x = x1 x2 xk r ( x)= k= dim x {x ∈ B : dim x = k}, P0 = {∅} Mức thứ k : Pk = = Bóng x x1 x2 xk ∈ Pk : Gọi ∆ j x vector có cách bỏ x j thì: ∆x = {∆ j x,1 ≤ j ≤ n} V Đoạn, đoạn đầu: Cho poset có hạng P , mức mức Pk , ta trang bị thêm thứ tự tuyến tính " ≤ " , với a, b ∈ Pk , ta định nghĩa: Đoạn [ a; b] = {x ∈ Pk : a ≤ x ≤ b} , {x Pk : x ≤ a} Đoạn đầu xác định a là: IS (a ) =∈ VI Thứ tự từ điển: = b1b2 bn ,ta nói a < b ∃s ∈ ,1 ≤ s ≤ n cho: Cho a a= 1a2 an , b = at bt , t < s as < bs VII Sơ lược lịch sử dẫn đến vấn đề: n k  n k  Chúng ta ký hiệu   = Cnk n ≥ k ,và   = n < k Từ năm 1928, Sperner chứng minh : n k  n   A − k   Nếu A ⊂ Pk ( S ) với S = {1, 2, , n}, ta có:   ∆A ≥  Vấn đề tự nhiên đặt tìm cận lớn ∆A Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Vấn đề trở nên phức tạp đầu mút a, b không chung tọa độ khác Sau đây, ta xét vài kết liên quan tới đầu mút a, b có tọa độ khác thứ i , nhiên ≠ bi Đầu tiên, ta xét trường hợp đơn giản sau: Mệnh đề 3: Trong mức S k cho a = zai u < zbi v = b với = bi − ≠ = b zbi hi +1 (k − bi ) z Nếu  ∆[a; b] đoạn =  a zai zl (k − ) Chứng minh: += Nếu b zbi hi +1 (k − bi ) z a, b] [a, a '] ∪ [a ', b] = a ' zbi zl (k − bi ) phân tích: [= Chọn [∆ a ', ∆ b] Theo mệnh đề 2: ∆[ a ', b] = l h [ a, ∆ a ') ∪ [∆ a ', ∆ b] Khi đó: ∆[ a, b] ⊂ [ ∆ a, ∆ b] =∆ l h l l l h Ta lại có: ∆[a, b] ⊃ ∆[a ', b] ∪ ∆[a, a '] ⊃ [∆ l a ', ∆ hb] ∪ ∆[a, a ') [ l a ', ∆ hb] ∪ [∆ l a, ∆ l a ') =∆ [ l a, ∆ h b] =∆ [ a, ∆ b] Vậy, ∆[a, b] =∆ l h += Nếu a zai zl ( k − ) a, b] [a, a '] ∪ [a ', b] = a ' zai hi +1 (k − ) z , phân tích: [= Chọn [ a, ∆ a '] Theo mệnh đề 2: ∆[ a, a '] =∆ l h Ta có: ∆ [ a ', b] ⊃ [ zbi zl (k − bi − 1), ∆ b] h h Để ý ∆ a ' có trội trực tiếp zbi zl ( k − bi − 1) h Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Ta có: ∆[a, b] ⊃ ∆[a, a '] ∪ ∆ h [a ', b] ⊃ ∆[a, a '] ∪ [ zbi zl (k − bi − 1), ∆ hb] [ l a, ∆ h a '] ∪ [ zbi zl (k − bi − 1), ∆ hb] =∆ [ l a, ∆ h b] =∆ Suy ra: ∆[ a, b] ⊃ [ ∆ a, ∆ b] l h Hiển nhiên: ∆[ a, b] ⊂ [ ∆ a, ∆ b] l h [ a, ∆ b] Như vậy, ∆[a, b] =∆ l h  Xem hệ trực tiếp mệnh đề 3, ta có: Mệnh đề 4: = a zai u < zbi v với ≤ < bi − Khi ∆[a; b] đoạn Trong mức S k cho Chứng minh: + k Vì ≤ < bi − nên tồn k ≥ cho b= i Ta chứng minh mệnh đề phương pháp qui nạp + Với k = : + Suy b= i + Đặt c= i = c zci zl (k − ci ) Và  ∈ Sk = − ( ) d zc h k c z i i +1 i  a , b ] [ a , d ] ∪ [c, b ] Ta phân tích: [= Suy ra: ∆[a, b] = ∆[a, d ] ∪ ∆[c, b] Theo mệnh đề 3: ∆[a, d ], ∆[c, b] đoạn  ∆ h d zci hi +1 (k − ci − 1) z = h l , tức ∆ d > ∆ c Mà:  l  ∆ c= z (ci − 1) zl (k − ci )= zai zl (k − − 1) Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Nên ∆[a, b] đoạn + Giả sử định lý với k ≥ Ta chứng minh với k =' k + Đặt bi ' = + k ' = + (k + 1) Và b ' = zbi ' v ' k c ' zci ' zl (k − ci ') Đặt ci=' + = Dễ dàng nhận thấy c ' ≤ b , nên ta phân tích: [a= , b '] [a, b] ∪ [c ', b '] Suy ∆[a, b '] = ∆[a, b] ∪ ∆[c ', b '] Theo giả thiết ta có: ∆[a, b] đoạn, theo mệnh đề ta có ∆[c ', b '] đoạn h  zbi q ∆ b = h l Mà  ,tức ∆ b ≥ ∆ c ' l  ∆ c '= z (ci '− 1) zl (k − ci ') Suy ∆[a, b '] đoạn Vậy mệnh đề   Lưu ý: Các kết phát biểu cho mức S k với độ lớn k thích hợp Chẳng hạn mệnh đề 4, với điều kiện: ≤ < bi − bi > nên k > Khi độ lớn k bé cần có điều chỉnh định Chẳng hạn k = , ta có kết cụ thể hơn: Mệnh đề 5: Trong mức S cho a < b Khi đó: Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học  b = z 2i z i z b = z11 h i) Nếu ∆ a = ∆ hb = z1i z ∆[a; b] đoạn  h  z1i z ∆ b = h ii) Nếu  ∆[ a; b] =IS ( ∆ b) ∆ h a z1i +t z (t > 1)  = h  z1i z ∆ b = h iii) Nếu  ∆[ a; b] =IS ( ∆ b) khi: h z1i +1 z  ∆ a = ∆l b ≥ ∆l a  l l  ∆ b < ∆ a  =   b z1i z1i +2 z    a = z 2i +1 z  =    b z1i z1i +t z (t ≥ 1)    a = z1i +1 z1i +l z (l ≥ 2, t =+ l 1)  Chứng minh: Chứng minh i) h Vì ∆ a = ∆ hb = z1i z nên a có dạng: z1i z1k z (k ≥ i + 1) (Vì a < b b lớn : z 2i z , nên a ≠ z 2i z ) Để dễ dàng chứng minh, ta chia làm trường hợp sau: + Trường hợp 1: k = i + Suy a = z11 i i +1 z Khi đó, b là: b = z 2i z Lúc đó, theo mệnh đề 3, suy ∆[a, b] đoạn Vậy trường hợp này, i) + Trường hợp 2: k = i + Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học b = z11 i i +1 z  b = z 2i z Khi đó, b là:  - Nếu b = z11 i i +1 z theo định lý 1.2 phần I, suy ∆[ a, b] đoạn - Nếu b = z 2i z theo mệnh đề 3, suy ∆[a, b] đoạn Vậy trường hợp này, i) + Trường hợp 3: k > i + , a = z1i z1k z  b = z 2i z  Khi đó, b là: b = z11 i i +1 z b z1i z1 j z (i + ≤ j < k ) =  - Nếu b = z 2i z theo mệnh đề 3, suy ∆[a, b] đoạn - Nếu b = z11 i i +1 z theo định lý 1.2 phần I, suy ∆[ a, b] đoạn - Nếu b z1i z1 j z (i + ≤ j < k ) theo định lý 1.2 phần I, suy ∆[a, b] = không đoạn Vậy trường hợp này, i) Chứng minh ii) ∆ hb = z1i z a, b là: Nếu  h a z1i +t z (t > 1) ∆=  b = z 2i z  a = z 2i + t z  a z1 z1 z (l ≥= t ) b z11 = i i + k z ( k ≥ 1) i +t i +l  Hiển nhiên: ∆[ a, b] ⊂ IS ( ∆ b) h Ta chứng minh: IS (∆ b) ⊂ ∆[ a, b] h Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Lấy x ' ∈ IS (∆ b) ⇒ x ' ≤ ∆ b h h + Trường hợp 1: x ' = ∆ b= z1i z h = x z1i z1n ∈ [a, b] Lấy Suy x ' = ∆ n x hay x ' ∈ ∆[ a, b] + Trường hợp 2: x ' < ∆ b h  x ' = z1i +1 z =  x ' z1i +k z (k ≥ 2) Suy  = x z1i+1 z1n ∈ [a, b] - Nếu x ' = z1i +1 z , chọn Suy x ' = ∆ n x hay x ' ∈ ∆[ a, b] = - Nếu x ' z1i + k z (k ≥ 2)= , chọn x z1i +1 z1i + k z ∈ [ a, b] Suy x ' = ∆ i +1 x hay x ' ∈ ∆[ a, b] Vậy trường hợp, ta có x ' ∈ ∆[ a, b] , nên IS (∆ b) ⊂ ∆[ a, b] h Vậy trường hợp này, ta kết luận: ∆[ a, b] =IS ( ∆ b) h Chứng minh iii) h  z1i z ∆ b = nên a, b là: Vì  h z1i +1 z  ∆ a =  a = z 2i +1 z  b = z 2i z  a z1 z1 z (l ≥= = 2) b z1i z1i +t z (t ≥ 1) i +1 i +l  Hiển nhiên ta có: ∆[ a, b] ⊂ IS ( ∆ b) h Ta xem xét : trường hợp thì: IS (∆ b) ⊂ ∆[ a, b] ? h Lấy x ' ∈ IS (∆ b) ⇒ x ' ≤ ∆ b = z1i z h h Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Ta xem xét trường hợp x ' : • Trường hợp 1: x ' = z1i z Ta = lấy x z1i z1n ∈ [ a, b] , suy x ' = ∆ n x hay x ' ∈ ∆[ a, b] • Trường hợp 2: x ' < z1i z = Suy x ' z1i + k z (k ≥ 1) Ta chia làm khả nhỏ: - Khả 1: k = Suy x ' = z1i +1 z = x z 2i+1 z ∈ [a, b] ⇒ x ' = ∆ i+1 x hay x ' ∈ ∆[a, b] Chọn = - Khả 2: k ≥ Viết lại x ' z1i + k z (k ≥ 2) Lúc này, ta chia a, b làm trường hợp nhỏ, trường hợp ta xem xét x ' ∈ ∆[ a, b] a = z 2i +1 z = , chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] = b z z i  TH 1:  Suy x ' = ∆ i x ⇒ x ' ∈ ∆[ a, b] trường hợp này, ta có ∆ b > ∆ a l l = a z1i +1 z1i +l z (l ≥ 2) = TH 2:  , chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] = b z z i  Suy x ' = ∆ i x ⇒ x ' ∈ ∆[ a, b] trường hợp này, ta có ∆ b > ∆ a l l a = z 2i +1 z Trong TH này, ta chia làm khả năng: = ≥ b z z z t 1 ( 1) i i +t  TH 3:  a = z 2i +1 z i i +1 z b = z11 + Khả 1: ∆ b ≥ ∆ a , suy t = ⇒  l l Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học = Chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] , suy x ' = ∆ i x ⇒ x ' ∈ ∆[ a, b] ( thực t = ⇒ ∆ a = ∆ b ) l l + Khả 2: ∆ b < ∆ a ⇒ t ≥ l l :Chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] , suy x ' = ∆ i x ⇒ x ' ∈ ∆[ a, b] - Nếu t = = - Nếu t ≥ : , chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] , suy x ' = ∆ i x ⇒ x ' ∈ ∆[ a, b] Khi k ≥ t = ∆ m x (m = 1, n) Khi ≤ k ≤ t , không tồn x ∈ [a, b] : x ' = Như vậy, trường hợp này, ta chọn khả 1, khả với t = x ' ∈ ∆[ a, b] = a z1i +1 z1i +l z (l ≥ 2) TH 4:  Ở trường hợp này, ta chia làm khả năng: = ≥ b z z z t 1 ( 1) i i +t  + Khả 1: ∆ b ≥ ∆ a ⇒ ≤ t ≤ l Ta phân hoạch k sau: l l , chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] (*) - Nếu k ≥ t = - Nếu ≤ k ≤ = t , chọn x z1i +1 z1i +k z ∈ [a, b] (chỉ áp dụng t ≥ , t = 1, ⇒ k ≥ t làm (*) ) + Khả 2: ∆ b < ∆ a ⇒ t > l ≥ ⇒ t ≥ l + l l - Nếu t = l + 1: Khi k ≥ t = l + 1= , chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] Khi ≤ k ≤ = l , chọn x z1i +1 z1i +k z ∈ [a, b] - Nếu t ≥ l + : Khi k ≥ t= chọn x z1i z1i + k z ∈ [ a, b] ∆ m x (m = 1, n) Khi l < k < t , không tồn x ∈ [a, b] : x ' = Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Khi ≤ k ≤ = l , chọn x z1i +1 z1i +k z ∈ [a, b] Như vậy, TH này, ta chọn khả khả với t = l + x ' ∈ ∆[a, b] Như vậy, qua phân tích trên, ta rút kết luận iii) Vậy ta chứng minh xong mệnh đề  Ta lấy Ví Dụ cho mệnh đề 5.iii) b = 01010 a 00101 =  Ví Dụ 2.4: Trong S cho :  h l   012 000 00010 ∆ b = ∆ b = Thì ta có:   h l 001300 00001   ∆ a = ∆ a = Tức ∆ b > ∆ a l l Ta có: [a, b] = {00101,00110,00200,01001,01010} Và ∆[a, b] ={00001,00010,00100,01000} =[00001,01000] =IS (∆ hb) b = 012 014 = a 002 00  Ví Dụ 2.5: Trong S cho :  h l   012 000 00010 ∆ b = ∆ b = Thì   h l 001300 00100   ∆ a = ∆ a = Tức ∆ b < ∆ a l l Ta có [a, b] = {00200,01001,01010} Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Thì : ∆[a, b] ={00001,00010,00100,01000} =[00001,01000] =IS (∆ hb)  Lưu ý: Cũng Ví Dụ 2.5 ta thay đổi b chút sau: b = 012 0015 a = 002 00  Trong S cho :  Thì [a, b] = {00200,01001} {00001,00100,01000} Và ∆[a, b] = Nhận thấy : 00010 ∉ ∆[ a, b] nên ∆[a, b] không đoạn b = 012 00150 a = 001314 00 Ví Dụ 2.6: Trong S cho :  Ta có : [a, b] = {001100,002000,010001,010010} Và : ∆[a, b] = {000001,000010,000100,001000,010000} = [000001,010000] = IS (∆ hb)  Lưu ý: Cũng Ví Dụ 2.6 trên, ta thay đổi b chút sau: b = 012 00016 = a 001 00  Trong S cho :  Thì [a, b] = {001100,002000,010001} {000001,000100,001000,010000} Và : ∆[a, b] = Nhận thấy: 000010 ∉ ∆[ a, b] nên ∆[a, b] không đoạn  Lưu ý: Như đề cập trên, xét môi trường tập đa bội, khó khăn hai đầu mút a, b [ a; b] không chung tọa độ khác không Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Qua mệnh đề vừa rồi, ta xét trường hợp a, b có chung tọa độ khác không đầu tiên, a = zai u < zbi v = b Điều có nghĩa ta giải phần mà chưa giải cách trọn vẹn trường hợp xảy môi trường CHƯƠNG III: NHỮNG ĐIỂM TƯƠNG ĐỒNG VÀ SAI KHÁC TRONG HAI TRƯỜNG HỢP TRÊN Qua việc khảo sát tìm hiểu hai trường hợp với trường hợp thứ trường hợp đặc biệt trường hợp thứ hai, ta nhìn nhận: liệu trường hợp tập đa bội có với trường hợp tập đơn bội hay không? Bóng đoạn đầu: - Trước hết cách định nghĩa đoạn đầu: + Trường hợp tập đơn bội viết: [a; b] = {x ∈ B(n; k ) : a ≤ x ≤ b} Tuy nhiên, a = 00 1n−k +11n−k + 1n−11n ,là phần tử nhỏ B (n; k ) theo thứ tự từ điển [ a; b] gọi đoạn đầu ký hiệu : IS (b) Tức : + Ở tập đa bội viết: IS (b) = {x ∈ B(n; k ) : x ≤ b} Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học IS (b) =∈ {x Sk : x ≤ b} Ta nhận thấy cách viết trường hợp tập đa bội tổng quát Nhưng trường hợp tập đơn bội, phần tử nhỏ viết cách tường minh hơn, trường hợp tập đa bội đưa phần tử nhỏ cách chung nhất, phụ thuộc vào giá trị ki cụ thể - Cả hai trường hợp khẳng định rằng: Bóng đoạn đầu mức lại đoạn đầu mức khác: ∆IS (b) = IS (b ') với b ' = ∆ hb Bóng đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không nhau: Như đề cập, trường hợp tập đa bội ta xét bóng đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không nhau, trường hợp ta có mệnh đề 2,3,4 ; trường hợp tập đơn bội ta xét hết khả có hai đầu mút có trường hợp hai đầu mút có tọa độ khác không - Ở tập đơn bội, ta ý định lý = a z1i u= , b z1i v ∈ B(n, k ) Cho ∆[a; b] đoạn khi: =  a z11 i i +1 zl ( k − 2) = b z1i hi +1 (k − 1) z vaø  =  a z1i z1t q (t > i + 1) - Ở tập đa bội, ta ý mệnh đề 2,3,4 Đặc biệt mệnh đề Trong mức S k cho a = zai u < zai v = b Khi đó, ∆[a; b] đoạn = b zai hi +1 (k − ) z , a ≤ a* = zai u * mà zai zl (k − − 1) = ∆ j a * với j ≥ i + Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Ta nhận thấy: - Định lý trường hợp đặc biệt mệnh đề Bóng đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không khác nhau: Như đề cập, trường hợp tập đa bội ta chưa giải khả này, mà ta giải cách trọn vẹn bên tập đơn bội nên phần này,ta chưa thể so sánh Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tran Huyen, Le Cao Tu (2007) Some problem on the shadow of segments in finite Boolean rings VNU journal of Science Math – phys – 23 [2] Anderson, I (1989): Combinatorics of finite set, Clarendon press, Oxford [3] Clement, G F and Lindstrom, B (1969), A generalization of a combinatorial theorem of Macaulay J Combinat Theory [4] Trần Ngọc Danh (2001): Cấu Trúc V- thứ tự định lý kiểu KruskalKatona Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học [...]... a; b]}  CHƯƠNG II: BĨNG CỦA ĐOẠN TRONG MULTISET Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Trước khi xem xét bóng của một đoạn trong multiset, ta xem xét bóng của một đoạn trong poset các tập con của tập đơn bội, và xem đây là một trường hợp đặc biệt của poset các tập con của tập đa bội (multiset) Đây được xem là phần tương đối quan trọng của bài luận văn vì nó cho phép người đọc tiếp... thứ tự từ điển lại là một đoạn đầu trong Sk −1 Vấn đề được đặt ra là: Những đặc trưng nào của một số các tập con của 1 poset thì còn giữ lại được qua bóng ? Luận văn này nhằm giải quyết một phần rất nhỏ của vấn đề trên: Với những điều kiện nào thì bóng của một đoạn lại là một đoạn trong multiset ? Để giải quyết vấn đề trên, trước tiên ta hệ thống lại một vài khái niệm và đưa ra một số ký hiệu như sau:... trường hợp đã đặt ra ban đầu Điều đó cũng có nghĩa là ta đã giải quyết một cách trọn vẹn các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đầu mút a, b của đoạn [ a, b] trong mơi trường tập đơn bội II Bóng của đoạn trong multiset: Bây giờ, ta đi vào giai đoạn chính của vấn đề Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Ta xét bóng ∆[a, b] mà a, b có tọa độ khác 0 đầu tiên là như nhau, tức là a =... b] có là 1 đoạn hay khơng Mệnh đề 1 được sử dụng như là một mệnh đề phụ trong việc hỗ trợ các chứng minh sau này, và trong các chứng minh sau này, ta quan tâm đến việc : trong những điều kiện nào thì ∆[a, b] là đoạn Nên ở đây, ta khơng đi sâu vào việc tìm hiểu trong những điều kiện cần và đủ nào thì ∆ [a, b] là đoạn h  Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Bây giờ , trong mức S... Dụ 1.2: Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học B(5;3) = {00111,01011,01101,01110,10011, 10101,10110,11001,11010,11100} 2 Các kết quả chính: Lấy a = z1i u và = b z1 j v ∈ B (n, k ) So sánh hai chỉ số i, j xảy ra các trường hợp sau: i i= j ii i= j + 1 iii i > j +1 Trong mỗi trường hợp, ta sẽ nghiên cứu các điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn là một đoạn Trước hết ta cần một vài... 1: IS (∆ b) với ∆ b ∈ B(n; k − 1) b z1i u ∈ B(n; k ) thì: ∆IS (b) = Cho= h h Hay nói cách khác, bóng của một đoạn đầu trong B (n; k ) là một đoạn đầu trong B(n; k − 1) Đây là kết quả quan trọng đã được chứng minh và nó là một trong những trường hợp đặc biệt của những kết quả tổng qt sau này và mục tiêu của chúng ta là thể hiện và chứng minh những điều tổng qt đó 2.1.2 Bổ đề 2: Lấy= a z1i u= , b z1... ( p + 1 < s) Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học 1i + p là tọa độ bằng 1 cuối cùng của b trong chuỗi liên tiếp các tọa độ bằng 1 sau 1i Và rõ ràng, 1i + p là số 1 thứ ( p + 1) kể từ 1i Gọi 1l là số 1 thứ ( p + 1) trong số các tọa độ bằng 1 của a kể từ 1i+1 Gọi 1m là số 1 thứ ( p + 2) trong số các tọa độ bằng 1 của a kể từ 1i+1 Tức là 1l và 1m là 2 số 1 liên tiếp trong tất cả... , hạng của x được ký hiệu và xác định là : x = x1 + x2 + + xn Hạng của một vector cho ta biết số thành phần khác khơng của vector đó = Với mỗi phần tử x x1 x2 xn ∈ B ( n) , bóng thứ i của x được ký hiệu và định nghĩa là: 1  x1 x2 ( xi − 1) xn nếu xi = ∆i x =  nếu xi = 0 ∅ Bóng của phần tử x là: ∆x =  ∆ i x Nếu A ⊂ B (n) thì bóng của A là: ∆A =  ∆a a∈A Với 0 ≤ k ≤ n cho trước, mức hạng k trong. .. '] là đoạn đầu (theo bổ đề 1.3) Suy ra: Y= {x + 1i + p + 1i + p −1 + + 1i +1 : x ∈ ∆[ g ', h ']} là 1 B(n, k − 1) (theo bổ đề 1.2) Theo cách đặt, ta có: d = z1i +1 1i + p z1i + s q Ta có: zl ( k − p − 1) ≤ z1i + s q ≤ zhi + p +1 (k − p − 1) z (vì s > p + 1 ) Suy ra : z1i + s q ∈ ∆[ g ', h '] , nên d ∈ Y Suy ra : IS (d ) ∪ Y là một đoạn trong B (n, k − 1) (1) đoạn trong Bóng của đoạn trong Multiset. . .Bóng của đoạn trong Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Một cách tổng qt, với Pk là mức thứ k của poset có hạng P và m ∈  cho trước, tìm A ⊂ Pk sao cho A = m và : ∆A= min{ ∆B : B ⊂ Pk , B= m} Để giải quyết bài tốn này, thường người ta tìm một thứ tự tồn phần trên Pk mà ta gọi là thứ tự tuyến tính và chứng minh rằng tập A phải tìm gồm m phần tử đầu tiên của Pk trong thứ tự tuyến ... zai u ' ∈ ∆[ a; b]}  CHƯƠNG II: BĨNG CỦA ĐOẠN TRONG MULTISET Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học Trước xem xét bóng đoạn multiset, ta xem xét bóng đoạn poset tập tập đơn bội, xem trường... IV Bóng: V Đoạn, đoạn đầu: 10 VI Thứ tự từ điển: .10 VII Sơ lược lịch sử dẫn đến vấn đề: .10 CHƯƠNG II: BĨNG CỦA ĐOẠN TRONG MULTISET 13 I Bóng đoạn. . .Bóng đoạn Multiset Luận văn tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Bộ Mơn: Đại Số Đề tài: Bóng Của Một Đoạn Trong Multiset