BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTO BOOLE

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Huy BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTO BOOLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Huy BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTO BOOLE Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138 LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để gửi lời tri ân chân thành sâu sắc đến T.S Trần Huyên, người thầy hướng dẫn, động viên giúp đỡ mặt nghiên cứu trình thực hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Tổ Đại Số Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn bạn lớp cao học đại số khóa 22 có đóng góp, trao đổi trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình mình, người bên cạnh động viên, giúp đỡ suốt trình học tập luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU TỔNG QUAN CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.1 Các khái niệm 10 1.2 Một số ví dụ poset có hạng 11 1.3 Poset P = B vectơ Boole 13 1.4 Các kết TS Trần Ngọc Danh TS Trần Huyên poset B - vectơ Boole với thứ tự tuyến tính V 15 1.4.1 Thứ tự dồn V 15 1.4.2 Kết TS Trần Ngọc Danh 16 1.4.3 Kết TS Trần Huyên 17 CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ BOOLE19 2.1 Bóng đầy đoạn poset vectơ Boole 19 2.2 Bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole 23 2.3 Bóng đoạn poset vectơ Boole 32 KẾT LUẬN 36 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT x1 x2 xk : Vectơr ( x1 , x2 , , xk ) A : Số phần tử tập A x  y : y trội x r ( x ) : Hạng vectơ x ω ( x ) : Trọng lượng vectơ x B ( n ) : Tập hợp tất vectơr hạng n B ( n, k ) : Tập hợp tất vectơr hạng n trọng lượng k ∆x : Bóng vectơ x ∆A : Bóng tập hợp A δ i x : Bóng thứ i vectơ x ∆ f x : Bóng đầy vectơ x ∆ d x : Bóng khuyết vectơ x ∆ f A : Bóng đầy tập hợp A ∆ d A : Bóng khuyết tập hợp A luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 of 138 [ x, y ] : Đoạn = h1 : max = {i : xi 1} = h0 : max = {i : xi 0} = l1 : = {i : xi 1} = l0 : = {i : xi 0} x*:= δ h0 x *x := δ l0 x x* := δ h1 x * x := δ l1 x = A*: { x*: x ∈ A} = * A: { * x : x ∈ A} = *A : {*x : x ∈ A} luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 of 138 MỞ ĐẦU Lý thuyết Combinatorics ngày quan tâm nhiều nhà toán học, với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin làm cho Combinatorics học tập nghiên cứu hình thức Toán rời rạc phân ngành Lý thuyết đồ thị, Lý thuyết mã,… Lý thuyết K-poset lý thuyết Combinatorics, trong điều kiện xác định K-poset bóng đoạn đầu lại đoạn đầu Các nhà toán học xây dựng poset xem xét chúng có phải Kposet hay không, việc nghiên cứu bóng đoạn đầu việc làm quan trọng Do nghiên cứu cấu trúc bóng đoạn poset trở thành hướng nghiên cứu thú vị Luận văn với đề tài “Bóng đoạn poset vectơ Boole” đặt mục tiêu xem xét lại cấu trúc bóng đoạn poset vectơ Boole Luận văn gồm chương sau: Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm Chương II Bóng đoạn poset vectơ Boole Đây chương luận văn, chương gồm phần sau: Phần 1: Bóng đầy đoạn poset vectơ Boole Phần nêu lên kết mà TS.Trần Huyên đạt việc nghiên cứu cấu trúc bóng đầy đoạn poset vectơ Boole đồng thời bổ sung thêm số kết cần dùng việc chứng minh điều kiện cần đủ để bóng đoạn đoạn luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 of 138 Phần 2: Bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole Phần xem xét nghiên cứu kết liên quan đến cấu trúc bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole Phần 3: Bóng đoạn poset vectơ Boole Tổng hợp kết đạt việc nghiên cứu cấu trúc bóng đầy bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole để chứng minh điều kiện cần đủ để bóng đoạn poset vectơ Boole lại đoạn Mặc dù có nhiều nỗ lực, cố gắng khó tránh sai sót hạn chế, kính mong quý thầy cô bạn sẵn sàng góp ý Xin chân thành cảm ơn luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 of 138 TỔNG QUAN Vào đầu năm 1960, Kruskal – Katona trang bị thêm cho poset tập hợp hữu hạn S thứ tự tuyến tính gọi thứ tự tuyến tính nén, biến poset thành K -poset Với thứ tự nén này, hiển nhiên bóng đoạn đầu đoạn đầu Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở TS Trần Huyên đặt vấn đề mở rộng kết cho đoạn K -poset tập tập hữu hạn S − n phần tử đạt kết trọn vẹn Đề tài nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ để bóng đoạn K -poset đoạn Vào năm 1990, nhà toán học Anh Daykin, D.E học trò Trần Ngọc Danh xây dựng K -poset mới: K -poset vectơ Boole = x x1 x2 xn , n ∈ N , xi ∈ {0,1} với thứ Poset B vectơ Boole bao gồm vectơ tự phận xác định cách tự nhiên sau: x =x1 x2 xn ≤ y1 y2 ym =y n ≤ m tồn dãy số i1 < i2 < < in cho = x1 y= yi2 , , = xn yin i1 , x2 Hạng vectơ x = x1 x2 xn , kí hiệu r ( x ) số thành phần vectơ x , tức r ( x ) = n Tập vectơ hạng n kí hiệu B ( n ) Bóng ∆x vectơ x ∈ B ( n ) tập hợp tất vectơ B ( n − 1) , có từ x bỏ thành phần x Nếu x = x1 xi −1 xi xi +1 xn thì= phần tử x′ x1 xi −1 xi +1 xn ∈ ∆x , có từ x bỏ thành phần thứ i , gọi bóng thứ i , kí hiệu δ i x Như vậy: = ∆x  {δ i x :1 ≤ i ≤ n} luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi10 of 138 Để xây dựng cho poset B vectơ Boole thứ tự tuyến tính để biến thành K -poset Daykin, D.E Trần Ngọc Danh đưa thêm vào khái niệm trọng lượng vectơ x = x1 x2 xn là: ω ( x ) = x1 + x2 + + xn Thứ tự tuyến tính mà Daykin, D.E Trần Ngọc Danh đưa vào poset B gọi thứ tự dồn, xác định sau: x= x1 x2 xn < L y1 y2 ym = y n < m x =x1 x2 xm < L y1 y2 ym =y ω ( x ) < ω ( y ) ω ( x ) = ω ( y ) tồn số t cho xi = yi với i < t xt =1 > = yt Daykin, D.E Trần Ngọc Danh chứng minh poset B vectơ Boole với thứ tự dồn K -poset, nói riêng, bóng đoạn đầu theo thứ tự dồn lại đoạn đầu Đề tài nghiên cứu “Bóng đoạn số K -poset” TS Trần Huyên tìm kiếm điều kiện cần đủ để bóng đoạn K -poset vectơ Boole với thứ tự dồn lại đoạn Trong đề tài này, khác biệt cấu trúc bóng, tác giả đưa vào khái niệm bóng đầy, bóng khuyết phần tử, tập hợp sau: x : ∆ f x  {δ= • Bóng đầy phần tử ω ( x )} = i x : ω (δ i x ) • Bóng khuyết phần = tử x : ∆ d x  {δ i x : ω (δ i x ) < ω ( x )} • Bóng đầy tập hợp A : ∆ f A =  {∆ f x : x ∈ A} • Bóng khuyết tập hợp A : ∆ d A =  {∆ d x : x ∈ A} luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi10 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi26 of 138 = x′ g 0i −1 gz ∈ [ a′; b′] , tồn Chọn = x g 0i gz ≤ b mà x′ ∈ ∆ d x Muốn x′ ∈ ∆ d [ a; b ] cần phải có a =g 0i u ≤ g 0i gz =x , u = gz nghĩa a = g 0i gz Vậy điều kiện mệnh đề cần • Bây ta điều kiện đủ: tức chứng minh [ ∆ d a; max ∆ d b] ⊂ ∆ d [ a; b] Trong trường hợp ∆ d a = a′ = g 0i gz max ∆ d b = b′ = g 0i −1 wg Lấy x′ ∈ [ a′; b′] Có khả cho x′ : Hoặc x′ = g 0i −1 d với d ≤ wg Khi chọn x = g 0i d hiển nhiên x ∈ [ a; b ] x′ ∈ ∆ d x Hoặc x′ = g 0i c , bổ sung vào x′ tọa độ tương ứng tọa độ vectơ w b ta x ∈ [ a; b ] mà x′ ∈ ∆ d x Vậy trường hợp ta có x′ ∈ ∆ d [ a; b ] nên ∆ d [ a; b ] hay ∆ d [ a; b ] đoạn [ ∆ d a; max ∆ d b] = Về khả a = g 0i +1 u b = g 0i v , trước hết ta có kết sau: Mệnh đề 2.2.2 Trong B ( n, k ) cho a = g 0i +1 u < g 0i v = b Khi ∆ d [ a; b ] đoạn thỏa hai điều kiện sau: (i ) a = g 0i +1 gz ( ii ) b = g 0i zg Chứng minh (i ) Khi a = g 0i +1 gz theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có a′ = ∆ d a = g 0i +1 gz b′= max ∆ d b= g 0i −1 v Lấy x′ ∈ [ ∆ d a; max ∆ d b ] Khi có ba khả xảy cho x′ sau: 24 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi26 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi27 of 138 • x′= g 0i −1 w ≤ b′= max ∆ d b= g 0i −1 v ( w ≤ v ) Chọn x = g 0i w ≤ g 0i v = b Hiển nhiên x > a x′ ∈ ∆ d x ⊂ ∆ d [ a; b ] • x′ = g 0i +1 s′ Chọn x = g 0i +1 s cho x′ ∈ ∆ d x a≤ x a x′ ∈ ∆ d x ⊂ ∆ d [ a; b ] ( ii ) x′ = g 0i +1 s′ ≥ a′ = min∆ d a = g 0i +1 u′ ( s′ ≥ u′ ) Chọn x = g 0i +1 s x có từ x′ bổ sung thêm tọa độ vị trí tọa độ a bị bỏ để có ∆ d a Hiển nhiên a ≤ x < b x′ ∈ ∆ d x ⊂ ∆ d [ a; b ] ( iii ) x′ = g 0i w′ , có hai trường hợp xảy sau đây: + Tồn = x g 0i w ≤ b x′ ∈ ∆ d x ⊂ ∆ d [ a; b ] ta có điều cần chứng minh + Với x = g 0i w mà x′ ∈ ∆ d x x>b Nói riêng = x g 0i w′1 > b ≥= a∗ g 0i u1 Khi chọn x = g 0i +1 w′ > g 0i +1 u = a x′ ∈ ∆ d x ⊂ ∆ d [ a; b ] Vậy với x′ ∈ [ ∆ d a; max ∆ d b ] ta có x′ ∈ ∆ d [ a; b ] hay nói cách khác ∆ d [ a; b ] =[ ∆ d a; max ∆ d b ] Do ∆ d [ a; b ] đoạn Còn a, b mệnh đề 2.2.3 mà b < a∗ tồn số b =g 0i w1 j h < g 0i w0 j m =a∗ Khi ta có kết quả: 26 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi28 of 138 j mà luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi29 of 138 Mệnh đề 2.2.4 Cho a, b ∈ B ( n, k ) mà b =g 0i w1 j h < g 0i w0 j m =a∗ Khi ∆ d [ a; b ] đoạn ω ( w ) < r ( w ) ω ( w ) = r ( w ) b = g 0i g1 j ng với ω ( n ) = Chứng minh Lấy x′ ∈ [ ∆ d a; max ∆ d b ] , ta cần tồn x ∈ [ a; b ] mà x′ ∈ ∆ d x Thật vậy: Trường hợp b = g 0i w1 j h với ω ( w ) < r ( w ) ; gọi t số bé mà i < t < j để at = Nếu x′ có thành phần từ i + đến t − ta bổ sung vào x′ tọa độ số t để x ∈ [ a; b ] hiển nhiên x ∈ ∆ d x Và x′ có thành phần khoảng từ i + đến t − ta chọn x cách bổ sung tọa độ trước i ( x = g 0i+1 w′) x ∈ [ a; b ] x′ ∈ ∆ d x Trường hợp ω ( w ) = r ( w ) ; tức at = với i < t < j Khi x′ có tọa độ nằm x x′ ∈ [ a; b ] x′ ∈ ∆ d x Còn tọa độ x′ nằm giữa hai số i; j = hai số i; j bổ sung thêm tọa độ vào x′ số t ứng với tọa độ n để có x mong muốn Với khả a = g 0t u < g 0i v = b với t > i + ; xem hệ trực tiếp mệnh đề 2.2.2, ta có kết luận sau: Mệnh đề 2.2.5 Trong B ( n, k ) a = g 0t u < g 0i v = b với t > i + ∆ d [ a; b ] luôn đoạn Chứng minh i + m ( m ≥ 2, m ∈ N ) Ta chứng minh quy nạp theo m Vì t > i + nên t = 27 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi29 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi30 of 138 Trường hợp t= i + , chọn c = g 0i +1 zg d = g 0i +1 gz Khi ∆ d [ a; b ] = ∆ d [ a; c ]  ∆ d [ d ; b ] [ a; c ] [ d ; b ] thỏa mãn điều kiện mệnh đề 2.2.2 nên ta có ∆ d [ a; c ] ∆ d [ d ; b ] đoạn Hơn nữa, theo cách chọn rõ ràng ∆ d [ a; c ]  ∆ d [ d ; b ] ≠ ∅ ∆ d [ a; b ] đoạn Giả sử mệnh đề với t =i + m − , ta chứng minh ∆ d [ a; b ] đoạn với t = i + m ∆ d [ a; c ]  ∆ d [ d ; b ] Vì ∆ d [ a; c ] Chọn c = g 0i +1 zg d = g 0i +1 gz , ∆ d [ a; b ] = ∆ d [ d ; b ] đoạn không rời nên ∆ d [ a; b ] đoạn Trường hợp b = b1b2 bn mà b1 = , có hai khả xảy cho a = a1a2 an a1 = hay a1 = c 1zg ∈ [ a; b ] , ∆ d [ a; c ] ⊂ ∆ d [ a; b ] ⊂ [ ∆ d a; zg ] Khi a1 = , ý có= nên ∆ d [ a; b ] đoạn ∆ d [ a; c ] =[ ∆ d a; zg ] Và đẳng thức cuối xảy ∆ d [ a; c ] đoạn, a, c thõa mãn điều kiện tọa độ đầu , nên xem hệ trực tiếp mệnh đề 2.2.1, 2.2.2 2.2.5 ta có: Mệnh đề 2.2.6 Trong B ( n, k ) cho a = gu < zv = b Khi ∆ d [ a; b ] đoạn thỏa mãn điều kiện sau: ( i ) Hoặc a = 10 gz ( ii ) Hoặc a = g 0i u với i ≥ Khi a1 = , khả xảy là: a =z1i u < z 0i zv =b Khi tồn = c z 0i1zg ∈ [ a; b ] với max ∆ d c = z 0i zg 28 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi30 of 138 Dễ thấy ∆ d [ a; c ] ⊂ ∆ d [ a; b ] ⊂ luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi31 of 138 [ ∆ d a; max ∆ d c ] Với d ′ = z 0i w ∈ [ ∆ d a; max ∆ d c ] , ta chọn d = z 0i1w d ′ ∈ ∆ d d ⊂ ∆ d [ a; c ] Vậy ∆ d [ a; c ] đoạn, ∆ d [ a; b ] đoạn, tức ta có: Mệnh đề 2.2.7 Trong B ( n, k ) cho a = z1 j u < z 0i v = b với j < i Khi ∆ d [ a; b ] đoạn Khả xảy a =z1i u < z 0i gv = b cho ta kết sau: Mệnh đề 2.2.8 Trong B ( n, k ) cho a =z1i u < z 0i gv = b Khi ∆ d [ a; b ] đoạn u = gz u = gw Chứng minh = c z1i zg ∈ [ a; b ] Chọn max ∆ d c = zg với ∆ d [ a; c ] ⊂ ∆ d [ a; b ] ⊂ [ ∆ d a; max ∆ d c ] , ∆ d [ a; b ] Dễ đoạn thấy [ ∆ d a; max ∆ d c ] ⊂ ∆ d [ a; c ] Trước hết, xét trường hợp a = z1i gw : Lấy x′ ∈ [ ∆ d a; max ∆ d c ] Có hai khả xảy cho x′ : • Hoặc tọa độ thứ i x′ , ta bổ sung vào x′ tọa độ vị trí tọa độ a bỏ để có ∆ d a dễ thấy x ∈ [ a; c ] • Hoặc tọa độ thứ i x′ ; ta bổ sung vào x′ tọa độ vị trí thứ i (tọa độ đẩy lên vị trí thứ i + ) để x x ∈ [ a; c ] Vậy kết luận rõ với giả thiết thứ 29 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi31 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi32 of 138 Xét trường hợp a = z1i gz ; với x′ ∈ [ ∆ d a; max ∆ d c ] xét hai khả tọa độ thứ i x′ trên, ta chọn x ∈ [ a; c ] tương tự cho khả đó, việc chọn tương tự hợp lý Trường hợp a = z 0i g j u < z 0i g j v = b Ta có kết sau: Mệnh đề 2.2.9 Trong B ( n, k ) cho a = z 0i g j u < z 0i g j v = b với j > i + Khi ∆ d [ a; b ] đoạn v = wg với ω ( w ) = u = gz Chứng minh Hiển nhiên với a, b ∆ d [ a; b ] ⊂ [ ∆ d a; max ∆ d b ] với ∆ d a = z 0i g j u ′ max ∆ d b = z 0i g j −1 v với= u′ ∆ d a x′ z 0i g j −1 gz ∈ [ ∆ d a; max ∆ d b ] Tồn duy= = x z 0i g j gz < b Chọn mà x′ ∈ ∆ d x Từ điều kiện x ≥ a buộc a = z 0i g j gz hay u = gz y′ z 0i g j zg ∈ [ ∆ d a; max ∆ d b ] Khi muốn có y ∈ [ a; b ] mà Lại chọn= y′ ∈ ∆ d y buộc b = z 0i g j wg với w chứa tọa độ tức ω ( w ) = Vậy điều kiện nói mệnh đề cần Ta chứng minh điều kiện đủ để ∆ d [ a; b ] đoạn Với a =z 0i g j gz < z 0i g j wg =b ∆ d [ a; b ] ⊂ [ ∆ d a; max ∆ d b ] ∆ d a = z 0i g j gz max ∆ d b = z 0i g j −1 wg Lấy x′ ∈ ∆ d [ a; b ] , có khả xảy cho x′ : 30 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi32 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi33 of 138 x′ z 0i g j e′ ∈ ∆ d [ a; b ] ta chọn x = z 0i g j e e có từ e′ = Hoặc cách bổ sung tọa độ vị trí tọa độ w b Khi x′ ∈ ∆ d x x ∈ [ a; b ] = Hoặc x′ z 0i g j −1 f ∈ ∆ d [ a; b ] với f ≤ wg Chọn x = z 0i g j f x′ ∈ ∆ d x x ∈ [ a; b ] Trường hợp a = z 0i g1 j u < z 0i g j v = b Khi ta có: Mệnh đề 2.2.10 Trong B ( n, k ) cho a = z 0i g1 j u < z 0i g j v = b với j > i + Khi ∆ d [ a; b ] đoạn v = wg ω ( w ) = Chứng minh Vì ∆ d a = z 0i g1 j u′ max ∆ d b = z 0i g j −1 wg nên có ba khả xảy cho x′ ∈ [ ∆ d a ; max ∆ d b ] sau: = x′ z 0i g1 j e′ ∈ ∆ d [ a; b ] Khi ta chọn x ∈ [ a ; b ] cách bổ sung vào x′ Hoặc tọa độ vị trí tọa độ a bỏ để có ∆ d a = x′ z 0i g j k ′ ∈ ∆ d [ a; b ] Khi ta chọn x ∈ [ a ; b ] cách bổ sung vào Hoặc x′ tọa độ vị trí tọa độ w x′ z 0i g j −1 f ∈ ∆ d [ a; b ] Khi chọn x = z 0i g j f x′ ∈ ∆ d x = Hoặc x ∈ [ a ; b] 31 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi33 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi34 of 138 Cuối để kết thúc phần này, ta xét trường hợp đặc biệt a phần tử bé b phần tử lớn B ( n, k ) Ta có kết sau: Mệnh đề 2.2.11 Trong B ( n, k ) cho a phần tử bé b phần tử lớn Khi đó, với x ∈ B ( n, k ) , ta có: (i ) ∆ d [ a ; x ] đoạn B ( n − 1, k − 1) ( ii ) ∆ d [ x ; b ] đoạn B ( n − 1, k − 1) Chứng minh ( i ) Nếu x có tọa đầu theo mệnh đề 2.2.6 ta có điều cần chứng minh Còn x có tọa độ đầu ∆ d [ a ; x ] ⊂ [ ∆ d a ; max ∆ d x ] Khi với y′ ∈ [ ∆ d a ; max ∆ d x ] , ta bổ sung vào y′ tọa độ vị trí tọa độ x bị bỏ để có max ∆ d x Hiển nhiên y ∈ [ a ; x ] y′ ∈ ∆ d y ( ii ) Hiển nhiên trường hợp ta có ∆ d [ x ; b ] ⊂ [ ∆ d x ; max ∆ d b ] Với y′ ∈ [ ∆ d x ; max ∆ d b ] Ta bổ sung vào y′ tọa độ vị trí tọa độ x bị bỏ để có ∆ d x y ∈ [ x ; b ] y′ ∈ ∆ d y 2.3 Bóng đoạn poset vectơ Boole Dựa kết đạt được, ta chứng minh điều kiện cần đủ để bóng đoạn lại đoạn B ( n, k ) Định lý 2.3.1 Trong B ( n, k ) cho x < y Bóng ∆ [ x ; y ] đoạn B ( n − 1) = x v= z; y mu , 32 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi34 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi35 of 138 v ∈ B ( k + 1, k ) ; m ∈ B ( n − k + 1, 1) Chứng minh Bởi ∆[ x ; y] = ∆ f [ x ; y] ∪ ∆d [ x ; y] với ∆ d [ x ; y ] ⊂ B ( n − 1, k − 1) ∆ f [ x ; y ] ⊂ B ( n − 1, k ) nên muốn ∆ [ x ; y ] đoạn B ( n − 1) buộc ∆ d [ x ; y ] phải chứa phần tử lớn B ( n − 1, k − 1) , ∆ f [ x ; y ] phải chứa phần tử bé B ( n − 1, k ) Những đòi = a v= z; b mu với hỏi này, buộc đoạn [ x ; y ] phải chứa vectơ z ∈ B ( n − k − 1, ) ; v ∈ B ( k + 1, k ) ; u ∈ B ( k − 1, k − 1) ; m ∈ B ( n − k + 1, 1) Điều buộc x, y phải thỏa mãn = x v= z; y mu Như điều kiện cho x, y nói định lý hiển nhiên cần Ta chứng minh điều kiện đủ để ∆ [ x ; y ] đoạn B ( n − 1) Vì max ∆ d b  ∆ f a nên để chứng minh ∆ [ x ; y ] đoạn B ( n − 1) ta việc chứng minh bóng đầy ∆ f [ x ; y ] bóng khuyết ∆ d [ x ; y ] đoạn Thật vậy, x y thỏa mãn yêu cầu định lý có trường hợp sau xảy ra: • x= g 0i gz < 1zg= y : Theo mệnh đề 2.1.7 2.1.10 ∆ f [ x ; y ] đoạn Theo mệnh đề 2.2.1, 2.2.3 2.2.5 ∆ d [ x ; y ] đoạn 33 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi35 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi36 of 138 • x = g 0i gz < z1 j zg = y : Lần lượt theo mệnh đề 2.1.6 2.2.6 ∆ f [ x ; y ] ∆ d [ x ; y ] đoạn • x =0 gz < z1i zg =y : Theo mệnh đề 2.1.1, 2.1.3 2.1.5 ∆ f [ x ; y ] đoạn Theo mệnh đề 2.2.7 2.2.10 ∆ d [ x ; y ] đoạn • Với trường hợp đặc biệt x = gz hay y = zg theo mệnh đề 2.1.11 2.2.11 ∆ f [ x ; y ] ∆ d [ x ; y ] đoạn Vậy tất trường hợp ta có bóng đầy ∆ f [ x ; y ] bóng khuyết ∆ d [ x ; y ] đoạn Điều dẫn đến việc ∆ [ x ; y ] đoạn B ( n − 1) Để kết thúc luận văn này, ta xét trường hợp x y không nằm B ( n, k ) Ta có định lý sau đây: Định lý 2.3.2 Trong poset B vectơ Boole theo thứ tự dồn, cho x < y Khi đó, bóng ∆ [ x ; y ] đoạn xảy trường hợp sau: ( i ) r ( x ) = r ( y ) ω ( y ) − ω ( x ) ≥ ( ii ) r ( x ) < r ( y ) Chứng minh ( i ) Giả sử ω ( x ) = k tử bé phần k + m ( m ≥ ) Gọi xi yi phần ω ( y ) = tử lớn y ] [ x; y0 ] ∪ [ x1; y1 ] ∪ ∪ [ xm−1; ym−1 ] ∪ [ xm ; y ] [ x ;= B ( n, k + i ) Khi ta có Khi theo mệnh đề 2.1.11 2.2.11 rõ ràng bóng đầy bóng khuyết đoạn [ xi ; yi ] [ xm ; y ] , [ x; y0 ] 34 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi36 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi37 of 138 đoạn Do bóng đầy ∆ f [ x ; y ] bóng khuyết ∆ d [ x ; y ] đoạn Hơn nữa, max ∆ d y ∈ B ( n, k + m − 1) ∆ f x ∈ B ( n, k ) với m≥2 nên ∆ d x < ∆ f x < max ∆ d y < max ∆ f y Từ dẫn đến việc đoạn bóng đầy bóng khuyết không rời Vậy ∆ [ x ; y ] đoạn trường hợp ( ii ) Giả sử bé x ∈ B ( n, k ) y ∈ B ( n + m, k ′ ) Gọi xi yi phần tử phần tử lớn B(n + i) Khi ta có y ] [ x; y0 ] ∪ [ x1; y1 ] ∪ ∪ [ xm−1; ym−1 ] ∪ [ xm ; y ] Theo kết từ ( i ) rõ ràng [ x ;= ∆ [ xi ; yi ] ∆ [ xm ; y ] , ∆ [ x; y0 ] đoạn (trường hợp ω ( y ) − ω ( x ) < điều hiển nhiên) Do ∆ [ x ; y ] đoạn r ( x ) < r ( y ) 35 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi37 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi38 of 138 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đưa chứng minh kết có liên quan đến cấu trúc bóng đoạn poset B – vectơ Boole bổ sung thứ tự tuyến tính ∨ , cụ thể kết sau: Trong poset B – vectơ Boole với thứ tự tuyến tính ∨ : Các điều kiện cần đủ để bóng đầy đoạn lại đoạn Các điều kiện cần đủ để bóng khuyết đoạn lại đoạn Kiểm tra điều kiện cần đủ để bóng đoạn lại đoạn theo hướng chứng minh mới, kết hợp kết phần 36 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi38 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi39 of 138 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ Nguyễn Hoàng Huy Trần Huyên (2013), “Bóng khuyết đoạn poset vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (47), tr.17 -24 37 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi39 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi40 of 138 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Ngọc Danh (2001), Cấu Trúc Của V Thứ Tự Và Định Lý Kiểu KRUSKAL – KATONA, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia, Thành Phố Hồ Chí Minh Trần Huyên (2009), “Bóng đoạn K-poset vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (18), tr.3-9 Trần Huyên (2013), “Bóng đầy đoạn poset vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (43), tr.58 -62 Tiếng Anh Ian Anderson (1989), Combinatorics of finite sets, Clarendon Press, Oxford Trần Ngọc Danh and Daykin, D.E (1997), “Set of 0,1 vectors with minimal set subvectơrs”, Rostock Math, Kollog (50), pp 47-52 Daykin, D.E (1996), “To find all suitable order of 0,1 vectors”, Congr Numer (113) , pp.55-60 38 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi40 of 138 ... 17 CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ BOOLE1 9 2.1 Bóng đầy đoạn poset vectơ Boole 19 2.2 Bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole 23 2.3 Bóng đoạn poset vectơ Boole ... hoi8 of 138 Phần 2: Bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole Phần xem xét nghiên cứu kết liên quan đến cấu trúc bóng khuyết đoạn poset vectơ Boole Phần 3: Bóng đoạn poset vectơ Boole Tổng hợp kết đạt... su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi21 of 138 CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ BOOLE 2.1 Bóng đầy đoạn poset vectơ Boole Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả, trước hết