dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông

Luận án có các mục tiêu chính: a Nghiên cứu quan niệm học sinh về khái niệm hàm số liên tục, b Nghiên cứu quan niệm của giáo viên về khái niệm hàm số liên tục trên phương diện sư phạm và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN ANH DŨNG

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN ANH DŨNG

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số chuyên ngành: 62.14.01.11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS LÊ VĂN TIẾN

2 PGS TS ANNIE BESSOT

TP Hồ Chí Minh – Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

TRẦN ANH DŨNG

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN 8

DANH MỤC CÁC BẢNG 9

DANH MỤC HÌNH VẼ 10

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ 12

MỞ ĐẦU 13

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 13

1.1 Về bản thân đối tượng nghiên cứu 13

1.2 Về quan điểm khoa học luận và sư phạm 14

1.3 Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin 14

1.4 Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục” 15

1.4.1 Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài 15

1.4.2 Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam 17

1.4.3 Định hướng nghiên cứu của chúng tôi 19

2 CƠ SỞ LÝ LUẬN 19

3 MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 19

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 21

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 21

6 NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ 22

7 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 22

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 23

1.1 THUYẾT KIẾN TẠO 23

1.2 DIDACTIC TOÁN 24

1.2.1 Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán 25

1.2.2 Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán 26

1.2.2.1 Phân tích khoa học luận một tri thức 26

1.2.2.2 Lý thuyết nhân chủng học (théorie anthropologique) 29

1.2.2.3 Lí thuyết tình huống 31

1.2.2.4 Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại 36

1.3 CHƯỚNG NGẠI VÀ SAI LẦM 39

1.3.1 Chướng ngại 39

1.3.2 Sai lầm 42

1.3.2.1 Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi 42

1.3.2.2 Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo 43

1.3.2.3 Sai lầm từ quan điểm của Didactic toán 44

1.4 CÁC CƠ SỞ LÍ LUẬN KHÁC 46

1.4.1 Tiến trình dạy học khái niệm toán học 46

1.4.2 Vài thuật ngữ khác về cách tiếp cận một khái niệm 48

1.4.3 Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT 48

CHƯƠNG 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 52

2.1 MỤC ĐÍCH CỦA CHƯƠNG 52

2.2 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 52

2.2.1 Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 52

2.2.1.1 Quan niệm Hy lạp cổ đại 52

2.2.1.2 Thời trung cổ 54

2.2.1.3 Thời phục hưng 55

2.2.1.4 Kết luận về quan niệm nguyên thủy (QNT) 55

2.2.2 Giai đoạn 2 (Thế kỷ 17 và 18): Quan niệm hình học về sự liên tục - khái niệm hàm số liên tục là một khái niệm cận toán học (notion paramathématique) 56 2.2.2.1 René Descartes (1595 – 1650) và quan niệm hình học của Descartes (QHD)56 2.2.2.2 Isaac Newton (1642 – 1727) 57

2.2.2.3 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 58

2.2.2.4 Leonard Euler (1707 – 1783) và quan niệm hình học của Euler (QHE) 59

2.2.2.5 Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) 61

2.2.2.6 Louis Arbogast (1759 – 1803) 62

2.2.2.7 Kết luận về quan niệm hình học 64

2.2.3 Giai đoạn 3 Từ thế kỷ 19 – Quan niệm số hóa, quan niệm tôpô 66

2.2.3.1 Joseph Fourier (1768 – 1830) 66

2.2.3.2 Bernard Bolzano (1781 – 1848) 67

2.2.3.3 Augustine Louis Cauchy (1785 – 1857) và quan niệm số hóa (QSC) 68

2.2.3.4 Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) 69

2.2.3.5 Karl Weierstrass (1815 – 1897) – quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW)70 2.2.3.6 Bernard Riemann (1826 – 1866) 72

2.2.3.7 Richard Dedekind (1831 – 1916) 72

2.2.3.8 Quan niệm Baire (QSB) 73

2.2.3.9 Félix Haussdorff và quan niệm tôpô (QT) 74

2.2.3.10 Kết luận về quan niệm số hóa và quan niệm tôpô 75

2.3 KẾT LUẬN 78

2.3.1 Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm liên tục 79

2.3.2 Những chướng ngại khoa học luận đã được nhận dạng 80

2.3.3 Cơ chế hoạt động của khái niệm hàm số liên tục 80

2.3.4 Ý nghĩa triết học và toán học của khái niệm hàm số liên tục 82

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM VÀ MỘT SỐ NƯỚC 86

3.1 MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 86

3.2 PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA VIỆT NAM 86

3.2.1 Giai đoạn ngầm ẩn 86

3.2.2 Giai đoạn tường minh 89

3.2.2.1 Tình huống định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm 90

3.2.2.2 Tình huống định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn 93

3.2.2.3 Tình huống đưa vào các nhận xét, định lí làm cơ sở cho sự đại số hóa tính liên tục của hàm số 95

3.2.2.4 Tình huống đưa vào định lí giá trị trung gian - cơ sở cho khái niệm hàm số liên tục tác động với cơ chế công cụ 96

3.2.2.5 Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học 97

3.2.2.6 Dự đoán những sai lầm và nguyên nhân 101

3.2.3 Hàm số liên tục ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh 102

3.2.3.1 Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học 103

3.2.3.2 Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân 104

3.2.4 Tính liên tục trong hình học 104

3.2.5 Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục ở sách giáo khoa Việt Nam105 3.3 KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC 107

3.3.1 Thời kì 1945 - 1960 107

3.3.2 Thời kì 1960 – 1970 109

3.3.3 Thời kì 1970 – 1976 110

3.3.4 Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Maroc 111

3.4 KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ 114 3.4.1 Giai đoạn ngầm ẩn 114

3.4.2 Giai đoạn tường minh 116

3.4.3 Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong Precalculus 118

3.5 KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK PHÁP119 3.5.1 Thời kỳ 1970 – 1980 119

3.5.2 Thời kỳ 1980 - 1990 120

3.5.3 Thời kỳ 1990 – 2000 121

3.5.4 Thời kỳ sau năm 2000 122

3.5.5 Vài kết luận về SGK Pháp 123

3.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 126

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH 128

4.1 MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 128

4.2 BIẾN DẠY HỌC 128

4.3 PHẠM VI KIỂM CHỨNG SAI LẦM CỦA CÁC BÀI TOÁN 129

4.4 CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM 129

4.4.1 Thực nghiệm A (dành cho HS lớp 10 và lớp 11) 129

4.4.2 Thực nghiệm B 131

4.5 PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM 132

4.5.1 Các bài toán 1A, 2A và 5A (kiểm chứng SL1) 132

4.5.2 Các bài toán 6A và 2B (kiểm chứng SL1, SL2 và SL7) 136

4.5.3 Các bài toán 3A, 4A và 1B (kiểm chứng SL4, SL5) 140

4.5.4 Bài toán 3B (kiểm chứng SL8) 143

4.6 PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM 144

4.6.1 Ghi nhận tổng quát 145

4.6.2 Sai lầm 1 147

4.6.3 Sai lầm 2 151

4.6.4 Sai lầm 4 và sai lầm 5 151

4.6.5 Sai lầm 7 153

4.6.6 Sai lầm 8 154

4.7 KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 155

CHƯƠNG 5: CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG 156

A – GIẢI PHÁP SƯ PHẠM 156

5.1 CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 156

5.2 CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM 156

5.2.1 Giải pháp 1: Khai thác tối đa đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT

trong việc tổ chức các kiến thức trong chương trình và sách giáo khoa 156

5.2.2 Giải pháp 2: Tăng cường quan điểm thực nghiệm 160

5.2.3 Giải pháp 3: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin 162

5.2.4 Giải pháp 4: Khắc phục sai lầm 164

B- THỰC NGHIỆM 168

5.3 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM 168

5.4 TÌNH HUỐNG 1 169

5.4.1 Mục đích của tình huống 1 169

5.4.2 Hình thức thực nghiệm 170

5.4.3 Phân tích tiên nghiệm 171

5.4.3.1 Các biến dạy học được sử dụng trong xây dựng tình huống 1 171

5.4.3.2 Chiến lược có thể dự kiến 172

5.4.3.3 Quan hệ giữa biến - chiến lược và cái có thể quan sát được 173

5.4.3.4 Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm 174

5.4.4 Phân tích hậu nghiệm 176

5.4.5 Kết luận về tình huống 1 179

5.5 TÌNH HUỐNG 2 180

5.5.1 Mục đích của tình huống 2 180

5.5.2 Hình thức thực nghiệm 180

5.5.3 Phân tích tiên nghiệm 180

5.5.3.1 Các biến được sử dụng trong xây dựng tình huống 2 180

5.5.3.2 Chiến lược và lời giải có thể dự kiến 181

5.5.3.3 Quan hệ giữa biến-chiến lược và cái có thể quan sát được 184

5.5.3.4 Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm 185

5.5.4 Phân tích hậu nghiệm 188

5.5.5 Kết luận về tình huống 2 190

5.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 5 191

KẾT LUẬN 193

A Những đóng góp của luận án 193

1 Về lí luận 193

2 Về thực tiễn 193

B Kết luận 194

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 195

TÀI LIỆU THAM KHẢO 196

Tiếng Việt 196

Tiếng Pháp 201

Tiếng Anh 203

PHỤ LỤC 205

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC BẢNG

1.1 Quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm 39 2.1 Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm

3.2 Bảng thống kê số bài tập, ví dụ liên quan tới các kiểu nhiệm vụ 103

3.4 Các tổ chức toán học ở giai đoạn sau khi khái niệm HSLT được giảng dạy

tường minh

106

3.6 Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Việt Nam 108 3.7 Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Maroc 114 3.8 Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong Precalculus 122 3.9 Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong SGK Pháp 128 4.1 Phạm vi kiểm chứng sai lầm của các bài toán thục nghiệm 132 4.2 Thống kê số học sinh tham gia thực nghiệm, thời điểm thực nghiệm 148

5.1 Nội dung, thời lượng đề xuất gia tăng vào SGK Đại Số và Giải Tích 11 161 5.2 Phân bố số học sinh của các nhóm thực nghiệm tình huống 1 174

5.8 Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T1 và T2 192 5.9 Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T3 193

DANH MỤC HÌNH VẼ

1.2 Quan hệ giữa thể chế tạo ra tri thức, thể chế chuyển đổi tri thức và thể chế

dạy học

27

2.1 Biểu thị đồ thị thời gian – vận tốc của Oresme 55 2.2 Quan niệm trực giác của Descartes về hàm số liên tục 58

2.4 Quan niệm hàm số liên tục của Euler theo Grattan - Guinness 62

1 x trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao 97

3.8 Minh họa hình học hệ quả của định lí giá trị trung gian 100

3.10 Tiếp cận trực quan khái niệm HSLT tại một điểm trong SGK Precalculus 120 3.11 Minh họa hình học hàm số có giới hạn và không có giới hạn 126 4.1

4.4 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A73 151

5.2 Minh họa xác định nghiệm gần đúng bằng đồ thị 165 5.3 Minh họa đồ thị hàm hữu tỉ suy biến thành hàm số bậc ba 178 5.4 Minh họa đồ thị hàm số bậc ba vẽ bằng phần mềm Geogebra 181

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

1.3 Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về hợp đồng dạy học 36 1.4 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận qui nạp 48 1.5 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn 48 1.6 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận Công cụ  Đối tượng  Công

cụ

49

3.1 Tiến trình đưa vào khái niệm hàm số liên tục 92

3.3 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK hiện hành 109 3.4 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1945-1960 111 3.5 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1960-1970 112 3.6 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT trong Precalculus 119 3.7 Tiến trình đưa vào các khái niệm trong SGK Pháp thời kì 1980-1990 124 5.1 Đề xuất cấu trúc nội dung chính của chương trình Đại Số và Giải Tích

bậc THPT liên quan đến khái niệm HSLT

163

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Về bản thân đối tượng nghiên cứu

Khái niệm hàm liên tục luôn chiếm một vị trí quan trọng trong giảng dạy ở bậc đại học

Nó tác động đến nhiều vấn đề trong giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân,…), là cơ sở cho việc xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề nghiên cứu của Tôpô

Tuy nhiên ở bậc phổ thông, đặc trưng trên rất khác biệt trong các nước Ngay cả trong một nước, nó cũng thay đổi theo những giai đoạn khác nhau của hệ thống dạy học

Chẳng hạn ở Cộng hòa Pháp, thể chế dạy học toán THPT đã thể hiện nhiều lưỡng lự trong việc lựa chọn khái niệm hàm số liên tục như là đối tượng giảng dạy tường minh Từ chỗ chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình của thời kì toán học hiện đại những năm

1970, bị loại bỏ hoàn toàn khỏi chương trình những năm 1990, và giờ đây nó lại xuất hiện trong chương trình hiện hành

Ở Mỹ và một số nước nói tiếng Anh, khái niệm này vẫn được giảng dạy ở THPT, song vai trò của nó là không quan trọng và cách tiếp cận khái niệm này cũng theo những xu hướng khác nhau Liệu có phải việc sử dụng phổ biến máy tính với các phần mềm hỗ trợ vẽ

đồ thị rất hiệu quả đã là một nguyên nhân làm lu mờ vai trò của khái niệm này với tư cách một công cụ không?

Ở Việt Nam, khái niệm HSLT luôn chiếm một vị trí truyền thống trong sách giáo khoa Với vai trò công cụ ngầm ẩn hoặc tường minh, nó tác động đến nhiều đối tượng khác trong phạm vi THCS và THPT Trong đại số và giải tích, nó là yếu tố không thể thiếu trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số, tính khả vi, tính khả tích, các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, các bài toán về nghiệm của phương trình… Trong số học, nó là một yếu tố quyết định trong việc xây dựng tập số thực Trong hình học, nó cũng là một yếu tố có vai trò quan trọng khi các phép biến hình được giảng dạy đều là những ánh xạ có đặc trưng song liên tục trong không gian tôpô R2 Mặc dù có phạm vi tác động rộng như thế nhưng vai trò của nó dường như mờ nhạt so với các đối tượng tri thức khác Thực tiễn dạy học ở Việt Nam cho thấy ngoài giai đoạn hiện diện tường minh ở lớp 11, nó chỉ còn đóng vai trò một công cụ ngầm ẩn và thường không được chú ý đến

Mặt khác, cách tiếp cận khái niệm HSLT đã có những thay đổi đáng kể giữa chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và chương trình hiện hành

Những ghi nhận trên làm nảy sinh ở chúng tôi những câu hỏi khởi đầu sau đây về khái niệm HSLT:

Vì sao lại có sự khác biệt như vậy giữa dạy học ở bậc đại học và bậc phổ thông? Ở bậc phổ thông, vì sao có những tiếp cận khác nhau về khái niệm HSLT giữa các nước và ngay

cả những thời kì khác nhau ở trong cùng một nước? Những lựa chọn khác nhau đó dựa trên những cơ sở nào? Cách tiếp cận khác nhau như vậy ảnh hưởng thế nào trên quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm này?

1.2 Về quan điểm khoa học luận và sư phạm

Quan điểm khoa học luận và sư phạm đang phổ biến hiện nay trong nhiều nước là: “thực hiện một sự dạy học thỏa mãn hơn khoa học luận và tôn trọng hơn qui trình nhận thức của học sinh.” [42; tr 1]

Chắc chắn không thể tổ chức dạy học một tri thức giống như tiến trình nảy sinh và tiến triển của nó trong lịch sử toán học Nhưng theo quan điểm trên, trong những hoàn cảnh cụ thể, với những tri thức cụ thể, cần hướng đến tri thức được giảng dạy có được nhiều nhất có thể những đặc trưng như nó đã từng có trong lịch sử phát triển toán học, đồng thời đảm bảo những ràng buộc của thể chế như: hạn chế về thời gian, hạn chế về mặt phát triển tâm lí và trí tuệ của chủ thể - người học,…

Từ đó, việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, cũng như việc dạy học toán ở trường phổ thông phải tính đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này Như vậy, cần thiết phải có những nghiên cứu về khoa học luận lịch sử toán học và những nghiên cứu sư phạm gắn liền với đối tượng tri thức Ở đây, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm HSLT như là một minh họa cho tiếp cận theo quan điểm trên

1.3 Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin

Chủ trương của Bộ GD&ĐT đã khẳng định: “Đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường phổ thông nhằm đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng giáo viên tự

tích hợp CNTT vào từng môn học thay vì học trong môn tin học Giáo viên các bộ môn chủ động tự soạn và tự chọn tài liệu và phần mềm (mã nguồn mở) để giảng dạy ứng dụng

CNTT” (Theo Quyết định số 698/QĐ-TTg ngày 01/6/2009 của Thủ tướng Chính phủ)

Đổi mới phương pháp dạy học theo quan niệm CNTT và truyền thông là xu hướng tất yếu CNTT là một trong các tác nhân hiệu quả góp phần đổi mới phương pháp dạy học, chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo

CNTT còn tạo một môi trường tương tác để người học học tập thông qua hoạt động và thích nghi với môi trường Việc học tập diễn ra trong quá trình hoạt động và thích nghi đó Nó còn tạo điều kiện để người học hoạt động độc lập nhưng vẫn đảm bảo mối liên hệ ngược trong quá trình dạy học Như vậy, ứng dụng CNTT là một công cụ hỗ trợ quan trọng cho việc vận dụng các mô hình học tập theo quan điểm kiến tạo hoặc mô hình “tình huống học tập lý tưởng” theo quan điểm của Didactic Toán Ở Việt Nam, mặc dù đã có chủ trương, song ứng dụng CNTT chưa được cụ thể hóa thành những nội dung cụ thể trong CT và SGK toán như trong một số nước khác (Pháp và Mĩ,…), nó chỉ mới dừng lại ở yêu cầu GV “tự thân” tăng cường vận dụng CNTT vào hoạt động dạy học của mình Nói cách khác, không có sự đan xen nội dung tin học vào nội dung môn toán Tin học và toán học vẫn hình thành nên các môn học độc lập nhau

Ngoài ra, nhiều nghiên cứu cho thấy, các đối tượng kiến thức của giải tích (giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân,…) hình thành nên vùng đất phong phú cho phép tiếp cận CNTT Những khái niệm Giải tích này, mặc dầu có tính trừu tượng cao, nhưng ở trường phổ thông chúng đều nảy sinh như là kết quả của mô hình hóa thực tế rất trực quan và sống động Đặc trưng này là một thuận lợi cho ứng dụng CNTT trong thiết kế các tình huống dạy học khái niệm Giải tích theo hướng tiếp cận trực giác, có thể mang lại “nghĩa đúng” hơn cho khái niệm

1.4 Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục”

1.4.1 Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài

Ở cấp độ đại học tại nhiều nước, khái niệm hàm số liên tục được đề cập qua nhiềunghiên cứu khác nhau Nó hình thành nên một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong Giải tích

và Tôpô vì phạm vi tác động rộng của nó

Ở bậc trung học ở các nước nói tiếng Anh, khái niệm HSLT cũng là một vấn đề thu hút được nhiều quan tâm Đa số các nghiên cứu đều được tiếp cận từ góc độ nhận thức, chủ xướng là David Orme Tall - nhà giáo dục học người Anh Trong bài báo khoa học “Bức tranh khái niệm và định nghĩa khái niệm trong toán học, tham chiếu trường hợp khái niệm giới hạn và liên tục” [113] của David Tall và Shlomo Vinner (1981), các tác giả đề cập đến

những chướng ngại nhận thức của HS khi tiếp thu các kiến thức về giải tích ở cấp độ hình

thức hóa do ảnh hưởng của hình ảnh về khái niệm đã có trước Trong bài báo này, khái niệm hàm số liên tục được sử dụng như một trường hợp minh họa

Bài báo “Máy vi tính và mối liên hệ giữa trực giác và hình thức hóa” [111] của David Tall và Adrian Simpson (1998) đề cập đến việc sử dụng công nghệ thông tin trong biểu thị các hình ảnh trực giác về các khái niệm giải tích và hàm số liên tục cũng là một đối tượng được quan tâm Ý tưởng này được lặp lại trong bài báo “Sử dụng công nghệ để hỗ trợ tiếp cận trong học tập khái niệm toán học” [110] của David Tall (2003)

Bài báo “Phân tích về nhận thức các quan niệm của Cauchy về hàm số, sự liên tục, giới hạn và vô cùng bé trong dạy học giải tích” [112] của David Tall và Mikhail Katz (2012) đề cập đến những quan niệm ngầm ẩn của Cauchy kể cả trong trường hợp định nghĩa hàm số liên tục

Tác giả Leah Christy Bridgers (2007), đã trình bày luận án tiến sĩ giáo dục tại trường Đại học Syracuse (New York) với đề tài « Khái niệm liên tục: một nghiên cứu đối với giáo viên trung học và học sinh của họ » [104] Luận án có các mục tiêu chính: a) Nghiên cứu quan niệm học sinh về khái niệm hàm số liên tục, b) Nghiên cứu quan niệm của giáo viên về khái niệm hàm số liên tục trên phương diện sư phạm và phương diện toán học, c) Bản chất của quan hệ giữa quan niệm của giáo viên và quan niệm của học sinh Nghiên cứu của tác giả cũng đặt trong khung các lí thuyết tham chiếu về nhận thức Bridgers L C đã cho thấy những lẫn lộn của học sinh giữa tính liên tục của hàm số với tính khả vi, sự tồn tại giới hạn

và một số quan niệm đa dạng khác Tác giả cũng tìm thấy những hạn chế trong quan niệm của giáo viên Theo tác giả, khiếm khuyết của nghiên cứu là chỉ cung cấp một cái nhìn sơ khởi về quan niệm của HS và GV, nó không cho biết sự tiến triển của các quan niệm Hạn chế khác của luận án là việc nghiên cứu quan niệm của giáo viên chỉ dựa hoàn toàn trên các báo cáo của giáo viên dạy khái niệm hàm số liên tục chứ không từ các quan sát giờ dạy trên lớp

Chúng tôi cũng không tìm thấy ở nghiên cứu của Bridgers L C danh mục những sách giáo khoa mà tác giả đã dựa trên đó để tiến hành các điều tra về quan niệm học sinh Thông tin từ [104] chỉ cho biết đối tượng điều tra quan niệm là HS các lớp thuộc chương trình toán nâng cao (Advanced Placement) ở các trường THPT ở New York

Ở cộng đồng Pháp ngữ, chủ đề hàm số liên tục cũng có một vị trí đáng kể

Tại Pháp, bài báo “Khái niệm liên tục ở trường trung học: ghi nhận từ một thực nghiệm” [97] của Andre Revuz (1972) trình bày kết quả nghiên cứu thực nghiệm về những

khó khăn của học sinh khi học tập khái niệm hàm số liên tục trong giai đoạn mà đại số cấu trúc giữ vị trí chủ đạo ở Pháp

Năm 1988, Habiba El Bouazzaoui hoàn thành luận án Tiến sĩ ở Đại học Laval (Québec, Canada) với đề tài « Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm liên tục của hàm

số » [80] Luận án của Bouazzaoui H E nhằm hai mục tiêu chính: nghiên cứu quan niệm của học sinh hai năm cuối cấp THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục; nghiên cứu những quan niệm của giáo viên THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục và so sánh quan niệm của học sinh và giáo viên Để thực hiện nghiên cứu đó, trước tiên, Bouazzaoui H

E đã nghiên cứu lịch sử tiến triển của khái niệm hàm số liên tục Kế đó, ông nghiên cứu tiến triển của khái niệm này trong chương trình, sách giáo khoa Maroc từ năm 1945 đến năm 1976 và thực nghiệm điều tra quan niệm của giáo viên và học sinh Như vậy, nghiên cứu này được thực hiện ở một giai đoạn khá xa xưa và hơn nữa, ở thời kì những năm 1970 này, chương trình và sách giáo khoa toán của Maroc được soạn thảo dựa trên quan điểm của toán học hiện đại theo trường phái Bourbaki ở Pháp, rất khác với các quan điểm hiện nay Nadia Mawfik (2006), trong một nghiên cứu thực hiện tại trường Cao Đẳng sư phạm Takadoum Rabat, Maroc, đã lặp lại đề tài «Nhận thức của học sinh trung học ở Maroc về khái niệm tính liên tục của hàm số » [95], vì nhiều lí do Theo tác giả, khái niệm liên tục là khái niệm trung tâm của giải tích và cũng là khái niệm then chốt của tôpô nhưng ít được nghiên cứu trong dạy học toán Mặt khác, nhiều khái niệm giải tích ở bậc trung học có tính chất công cụ và tính toán, nghĩa là chúng thường dẫn đến kết quả định lượng như tính giới hạn, tính đạo hàm, ngược lại, tính liên tục mang tính chất chủ yếu về định tính Tác giả cho rằng học sinh gặp nhiều khó khăn trong nhận thức khái niệm liên tục và những thay đổi chương trình Toán ở Maroc (năm 1987 và năm 1993) cũng không làm giảm bớt khó khăn của học sinh trong nhận thức về khái niệm này

1.4.2 Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam

Ở nước ta, không có nhiều nghiên cứu chuyên biệt về khái niệm hàm số liên tục Đa số các nghiên cứu đều thực hiện trên một phạm vi rộng các khái niệm Giải tích, trong đó khái niệm HSLT được dùng như một trong các minh họa các giải pháp nào đó về dạy học các khái niệm giải tích và thường không có vị trí quan trọng trong nghiên cứu

Chẳng hạn, trong luận án tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới

hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông)” [16], khái niệm hàm số liên tục được sử

dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo một “qui trình khép kín” và sơ

đồ khối

Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2006) đề cập nội dung dạy học khái niệm này trong luận án

tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học” [39], trong đó, khái

niệm hàm số liên tục được sử dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo

Nguyễn Hữu Nhân và Trần Kim Thỏa (2006) đã trình bày một số ứng dụng các tính chất của hàm số liên tục trong một tài liệu tham khảo “Ứng dụng của hàm liên tục trong giải toán phổ thông” [45]

Tính liên tục cũng xuất hiện dưới dạng những khảo cứu liên quan đến phạm trù toán học

- triết học, chẳng hạn bài báo “Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch

sử phát triển của phép tính vi phân và tích phân” [41] của tác giả Nguyễn Phú Lộc trên tạp chí Triết học số 5(168)

Năm 2005, trong luận văn Thạc sĩ với đề tài “Khái niệm liên tục, một nghiên cứu khoa học luận và didactic” [20], chúng tôi đã trình bày một số nghiên cứu mở đầu về khái niệm

liên tục và hàm số liên tục chủ yếu dựa trên CT và SGK thuộc chương trình chỉnh lý hợp nhất (chương trình năm 2000) Trong luận văn này, một nghiên cứu về quan niệm của học sinh về khái niệm liên tục và hàm số liên tục đã được thực hiện Tuy nhiên, nghiên cứu đó còn phiến diện, chưa phù hợp với các định hướng sắp đến của việc xây dựng CT và SGK theo hướng tiếp cận năng lực và tư duy Ngoài những vấn đề được đặt ra trong các câu hỏi trên, nghiên cứu đó còn bỏ ngỏ nhiều vấn đề như: sự phân tích theo quan điểm so sánh khái niệm HSLT trong chương trình hiện hành ở nước ta cũng như một vài nước mà tại đó cũng tồn tại đồng thời chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; những chướng ngại học tập hay sai lầm mà HS gặp phải; những giải pháp sư phạm cần có

1.4.3 Định hướng nghiên cứu của chúng tôi

Từ tóm lược ngắn gọn các công trình nêu trên, chúng tôi mong muốn phát triển các câu hỏi khởi đầu bằng cách tiến hành một nghiên cứu chuyên biệt về khái niệm HSLT trên nền tảng nối kết nghiên cứu khoa học luận, nghiên cứu điều kiện và ràng buộc của thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay, nghiên cứu thực tiễn dạy học trên quan điểm sư phạm tích cực và vai trò của CNTT trong dạy học toán

2 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi đã chọn những công cụ lí thuyết thích hợp cho phép cụ thể hóa và phát triển các câu hỏi khởi đầu nêu trên và đặc biệt là tìm được câu trả lời thích đáng cho các vấn đề đã đặt ra

Với định hướng này, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của tâm lí học nhận thức, thuyết kiến tạo và Didactic Toán theo trường phái của Cộng hòa Pháp

3 MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của luận án là làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số liên tục cả từ góc độ khoa học luận và sư phạm (trong thể chế dạy học toán ở trường Phổ thông Việt Nam), khiếm khuyết trong lựa chọn của thể chế dạy học và ảnh hưởng của những lựa chọn của thể chế dạy học trên quan niệm của GV và HS về các khái niệm này, từ đó đề xuất một số giải pháp sư phạm liên quan đến dạy học khái niệm HSLT

Song song đó, luận án cũng nhắm tới mục tiêu giới thiệu và minh chứng về tính hiệu quả của một số công cụ lí thuyết của Didactic toán nhằm làm phong phú hơn kho tàng Lí luận và Phương pháp dạy học môn toán ở nước ta

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phương pháp luận nghiên cứu như sau:

a) Trình bày cơ sở lí luận cho nghiên cứu

b) Phát triển một nghiên cứu KHL về khái niệm HSLT nhằm xây dựng một tham chiếu cho nghiên cứu thể chế dạy học Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ đào sâu nghiên cứu khoa học luận về khái niệm HSLT của Habiba El Bouazzaoui (1998) bằng cách sử dụng lại các kết quả chủ yếu từ nghiên cứu này, bổ sung hoặc làm rõ hơn các đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT

c) Nghiên cứu trên quan điểm so sánh các thể chế dạy học khác nhau (Việt Nam, Maroc, Mĩ và Pháp) nhằm làm rõ đặc trưng của khái niệm HSLT ở cấp độ dạy học toán ở trường phổ thông

d) Nghiên cứu thực nghiệm những sai lầm của HS liên quan đến khái niệm HSLT nhằm làm rõ những ảnh hưởng của thể chế trên quan niệm của HS về HSLT

e) Từ các kết quả nghiên cứu trên đề xuất một số giải pháp sư phạm liên quan đến việc dạy học khái niệm HSLT ở Việt Nam

f) Triển khai thực nghiệm kiểm chứng một số trong các giải pháp đề xuất

Phương pháp luận nghiên cứu nêu trên có thể được sơ đồ hóa như sau:

Dựa vào mục tiêu và phương pháp luận nghiên cứu đã nêu, có thể xác định nội dung nghiên cứu của luận án như sau:

 Phân tích và tổng hợp những yếu tố lí thuyết chủ yếu có được từ Tâm lí học nhận thức, Thuyết kiến tạo và Didactic để hình thành cơ sở lí luận của đề tài

 Phân tích, tổng hợp một số nghiên cứu KHL về lịch sử hình thành và tiến triển của

khái niệm Hàm số liên tục để làm rõ những đặc trưng KHL của các khái niệm này

 Phân tích so sánh SGK toán THPT ở Việt Nam, Maroc, Mỹ và Pháp để làm rõ đặc

trưng của mối quan hệ thể chế với khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong thể chế dạy

học toán ở Trường THCS và THPT Việt Nam

 Xây dựng và triển khai thực nghiệm về những khó khăn và sai lầm mà HS có thể gặp phải trong học tập những đối tượng có liên quan đến tính liên tục của hàm số

 Đề xuất giải pháp sư phạm và triển khai thực nghiệm kiểm chứng

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Từ quan điểm phương pháp luận của Didactic toán, chúng tôi không trình bày giả thuyết khoa học về các giải pháp sư phạm cần vận dụng, mà đó là các giả thuyết gắn liền trực tiếp với đối tượng tri thức toán học cần nghiên cứu (HSLT) Tuy nhiên, tính khả thi của các giải pháp sư phạm sẽ được minh chứng gián tiếp qua kết quả thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết gắn với đối tượng tri thức

Hơn nữa, các giả thuyết này không nảy sinh ngay từ khởi đầu nghiên cứu, mà là kết quả của quá trình thực hiện những nội dung nghiên cứu nêu ở trên

Hai giả thuyết khoa học của luận án là:

Giả thuyết 1: Tồn tại những sai lầm của học sinh trong việc học tập các kiến thức gắn

liền với các khái niệm liên tục và hàm số liên tục, mà nguồn gốc của chúng có thể tiếp cận được từ quan điểm của thuyết kiến tạo và lí thuyết Didactic toán, chứ không bó hẹp trong những giải thích phiến diện của thuyết hành vi Cụ thể hơn, đó là những sai lầm có nguồn gốc từ Hợp đồng dạy học gắn với các khái niệm này

Giả thuyết 2: HS có thể nhận ra khiếm khuyết của quan niệm hình học về khái niệm hàm

số liên tục và từ đó kiến tạo một định nghĩa hình thức của khái niệm này thông qua hoạt động giải quyết các tình huống được thiết kế theo quan điểm của phương pháp dạy học tích cực, có ứng dụng CNTT Nói cách khác, các tình huống này có thể cho phép học sinh thực hiện sự nối khớp giữa quan điểm hình học và quan điểm số hóa về khái niệm hàm số liên tục

Giả thuyết 1 là kết quả của các nghiên cứu trình bày trong chương 1, 2 và 3

Giả thuyết 2 rút ra từ nghiên cứu trong các chương từ 1 đến 5

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Luận án được tổ chức trong 5 chương như sau:

- Chương I: Cơ sở lý luận

- Chương II: Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục

- Chương III: Khái niệm hàm số liên tục trong sách giáo khoa ở Việt Nam và một số nước

- Chương IV: Thực nghiệm về sai lầm của học sinh

- Chương V: Các giải pháp sư phạm về dạy học khái niệm hàm số liên tục và thực nghiệm kiểm chứng

6 NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ

- Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục

- Đặc trưng thể chế của khái niệm hàm số liên tục

- Những khó khăn và sai lầm của HS gắn với khái niệm hàm số liên tục

- Các giải pháp sư phạm và kết quả thực nghiệm kiểm chứng

7 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

 Luận án giới thiệu một số công cụ lí thuyết của Didactic Toán, trong sự kết nối với quan điểm của thuyết kiến tạo, nhằm làm phong phú thêm kho tàng Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán ở nước ta

 Về mặt phương pháp luận, luận án đề cập một cách khá đầy đủ và sâu sắc cách tiếp cận đối tượng nghiên cứu được vận dụng trong nhiều nghiên cứu ở nước ngoài, nhưng chưa được đào sâu đúng mức ở Việt Nam, nhất là trong các luận án tiến sĩ Đó là việc vận dụng phép biện chứng giữa nghiên cứu KHL và nghiên cứu sư phạm, phương pháp thực nghiệm dựa trên hợp thức hóa nội tại (thay vì cách hợp thức hóa ngoại vi)

 Luận án đã góp phần làm rõ các đặc trưng KHL và sư phạm của một đối tượng tri thức quan trọng - khái niệm HSLT, cũng như một số ảnh hưởng của lựa chọn KHL và sư phạm

về khái niệm HSLT lên HS Đặc biệt, luận án đã kiểm chứng một phương án đưa vào khái niệm HSLT từ quan điểm của phương pháp dạy học tích cực, có ứng dụng CNTT và cho phép nối khớp quan điểm hình học và quan điểm số hóa khái niệm này

 Với những đóng góp trên, chúng tôi nghĩ rằng luận án sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các nhà soạn thảo CT và SGK, các nhà nghiên cứu, cũng như giáo viên phổ thông; góp phần vào chủ trương cải cách CT và SGK và đổi mới phương pháp dạy học nói chung

và dạy học khái niệm HSLT nói riêng

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chương này trình bày những yếu tố lí luận cơ bản nhất làm nền tảng công cụ lí thuyết cho những nghiên cứu trong luận án

1.1 THUYẾT KIẾN TẠO

Những đặc trưng của thuyết kiến tạo trong dạy học đã được trình bày khá đầy đủ trong tác phẩm của GS TS Nguyễn Hữu Châu [11, tr 207 – 215] Sau đây là một số luận điểm

cơ bản của thuyết kiến tạo rút ra từ tác phẩm này:

- Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu thụ động từ bên ngoài

- Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể

- Kiến thức mà cá nhân thu được phải “tương xứng” với yêu cầu mà tự nhiên và xã hội đặt ra

- Học sinh đạt được tri thức mới theo chu trình: Dự báo Kiểm nghiệm  Thất bại Thích nghi  Kiến thức mới

Tuy nhiên, quá trình nhận thức của HS không giống với quá trình nhận thức về tự nhiên,

xã hội của các nhà khoa học Nó chỉ nhằm mục đích chủ động tái tạo lại tri thức của nhân loại trong nhận thức của mình và lại được diễn ra trong một môi trường dạy học, có sự tổ chức theo ý đồ sư phạm

Xuất phát từ bản chất của kiến tạo trong dạy học, nhiều nhà nghiên cứu đã phân chia kiến tạo trong dạy học thành hai loại:

a) Kiến tạo cơ bản (Radical Constructivism)

Kiến tạo cơ bản là một quan điểm nhận thức, nhấn mạnh đến cách thức các cá nhân xây dựng tri thức cho bản thân trong quá trình học tập Kiến tạo cơ bản quan tâm đến quá trình

chuyển hóa bên trong của cá nhân trong quá trình nhận thức, điều này dựa trên giả thuyết về

học tập có cơ sở tâm lý học: “Nhận thức là quá trình người học thích nghi với môi trường, thông qua các hoạt động đồng hóa và điều ứng các tri thức và kinh nghiệm sẵn có của mình sao cho thích ứng” Kiến tạo cơ bản chỉ quan tâm đến vai trò của chủ thể trong quá trình

nhận thức mà không thấy được vai trò và tác động của những yếu tố xã hội khác đối với quá

trình nhận thức

b) Kiến tạo xã hội (Social Constructivism)

Kiến tạo xã hội là quan điểm nhấn mạnh đến vai trò của các yếu tố văn hóa và các điều

kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố đó đến sự hình thành kiến thức Kiến tạo xã hội xem xét cá nhân trong mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội Nhân cách của chủ thể được hình thành thông qua sự tương tác với những người khác Tư duy được xem như một sản phẩm của hoạt động mang tính xã hội của các cá nhân

Kết hợp hai quan điểm của thuyết kiến tạo, ta thấy rõ vai trò trung tâm của người học qua các đặc trưng sau:

a) Người học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống học tập mới; chủ động trong việc huy động những kiến thức, kỹ năng đã có vào khám phá tình huống học tập mới

b) Người học phải chủ động bộc lộ những khó khăn, những quan điểm của mình trước tình huống học tập mới

c) Người học phải chủ động, tích cực trao đổi, thảo luận với bạn bè và GV

d) Người học phải tự điều chỉnh lại kiến thức của mình sau khi đã lĩnh hội được các tri thức mới, thông qua việc giải quyết các tình huống trong học tập

Tuy đề cao vai trò trung tâm của người học trong quá trình dạy học nhưng vai trò của người dạy cũng có tính chất quyết định Trong dạy học kiến tạo, thay vì nỗ lực giảng giải, thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho HS, giáo viên phải là người chuyển hóa các tri thức khoa học thành tri thức dạy học bằng cách xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng các tri thức cần lĩnh hội, xây dựng nên một môi trường có tính xã hội để HS tạo nên kiến thức cho chính họ

1.2 DIDACTIC TOÁN

Cũng như PPDH môn toán (với tư cách là một ngành khoa học), Didactic Toán (theo trường phái của Pháp) nghiên cứu quá trình dạy học môn toán Tuy nhiên, nét đặc trưng của Didactic toán thể hiện ở bốn điểm cơ bản sau:

a) Didactic toán chú trọng nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đặc trưng cho hoạt

động dạy học toán và những điều kiện để kiến thức toán có thể được kiến tạo trong quá trình dạy học

b) Để tiếp cận quá trình dạy học gồm ba cực Giáo viên, Học sinh và Tri thức (nội dung dạy học), Didactic toán chọn ưu tiên tiếp cận từ cực Tri thức

c) Hệ thống dạy học tối tiểu được nghiên cứu trong didactic toán bao gồm bốn cực, được

sơ đồ hóa trong hình 1.1 (xem hình 1.1)

Đặc trưng thứ ba này là hệ quả của hai đặc trưng đầu tiên và giả thuyết tâm lí mà Didactic toán lấy làm cơ sở lí luận mà ta sẽ đề cập trong phần sau

Như vậy, cũng như quan điểm của thuyết kiến tạo xã hội, Didactic toán coi trọng vai trò của môi trường trong dạy học toán, nhưng ở đây, nội hàm của khái niệm môi trường (milieu) hoàn toàn khác với khái niệm môi trường (environnement) được hiểu theo quan điểm của thuyết kiến tạo hay quan điểm của sư phạm tương tác Sự khác biệt này đã được làm rõ trong nghiên cứu của Lê Văn Tiến (2006) [59]

d) Cũng như PPDH, Didactic toán là một khoa học thực nghiệm Nhưng nó vận hành đồng thời với quan điểm lí thuyết hóa, theo nghĩa: Didactic toán không chỉ đặt cơ sở trên một số khoa học khác như Tâm lí học, Giáo dục học, Triết học,… mà nó còn hướng đến xây dựng những công cụ lí thuyết hình thành nên cơ sở lí luận riêng của mình, mà ta sẽ trình bày trong phần tiếp sau Những yếu tố lí thuyết công cụ này có thể được sáng tạo bắt đầu từ những nghiên cứu thực nghiệm trong Didactic toán hoặc có nguồn gốc từ các khoa học khác nhưng bây giờ được vận dụng vào nghiên cứu hay dạy học môn toán

1.2.1 Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán

Có thể nói, Didactic toán thừa nhận những quan điểm cơ bản của thuyết kiến tạo, nhưng vận dụng với những nét đặc thù riêng của mình

Những giả thuyết về học tập được thừa nhận trong Didactic:

a) Giả thuyết tâm lí

Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường – nhân tố gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất cân bằng

Hoạt động thích nghi thể hiện qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng: khi chủ thể áp

khách thể vào cấu trúc nhận thức, dạng thức hành động mà mình đã có để nhận thức khách thể ấy, thì đó là sự đồng hóa Hoạt động điều ứng diễn ra ngược lại: chủ thể điều chỉnh cấu trúc nhận thức hay dạng thức hành động mà mình đang có cho phù hợp khách thể để nhận thức được khách thể Đồng hóa và điều ứng là hai hoạt động trái ngược nhau, nhưng lại đan xen nhau không thể tách rời Trong hoạt động đồng hóa luôn có hoạt động điều ứng và ngược lại

Như vậy, Didactic xem những điều sau đã được thẩm định:

- Học là một quá trình năng động trong đó người học đóng vai trò chủ động

- Kiến thức được kiến tạo từ tương tác giữa chủ thể (người học) với môi trường

Didactic toán thừa nhận quan điểm của trường phái Piaget và của thuyết kiến tạo về tính chất kiến tạo trong việc lĩnh hội kiến thức, nhưng cũng đưa ra hai điều phê phán sau đây về trường phái Piaget:

- Coi nhẹ sự khác biệt về nội dung cũng như về tình huống Điều này giải thích một phần

lí do ưu tiên của Didactic vào tiếp cận cực Tri thức (nêu trong 1.1.b ở trên)

- Có xu hướng rút gọn quá trình cân bằng thành một quan hệ riêng giữa chủ thể với đối tượng và với các thao tác

b) Giả thuyết dạy học (giáo dục)

Một môi trường (environnement) không có chủ ý dạy học (môi trường không được cố ý

tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội mong muốn chủ thể đó lĩnh hội GV phải xây dựng và tổ chức một môi trường (milieu) cho phép nảy sinh ở HS sự thích nghi mong muốn dẫn tới sự kiến tạo tri thức

Quan điểm này đồng nhất với quan điểm đã nêu trong 1.1 của thuyết kiến tạo: nhận thức của HS không giống với quá trình nhận thức về tự nhiên, xã hội của các nhà khoa học Nó chỉ nhằm mục đích chủ động tái tạo lại tri thức của nhân loại trong nhận thức của mình và lại được diễn ra trong một môi trường dạy học, có sự tổ chức theo ý đồ sư phạm

1.2.2 Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán

Như đã nói ở trên, ngoài việc dựa vào các khoa học khác, Didactic toán cũng xây dựng nên những công cụ lí thuyết làm cơ sở lí luận riêng của mình Chúng tôi sẽ trình bày một số yếu tố lí thuyết cơ bản nhất được vận dụng trong luận án này

1.2.2.1 Phân tích khoa học luận một tri thức

a) Khái niệm phân tích khoa học luận

Thuật ngữ “Khoa học luận” (épistémologie) là từ ghép từ hai từ gốc từ Hy lạp: épistème

(khoa học) và logo (nghiên cứu về) Tuy nhiên, tùy thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu mà thuật

ngữ này lại lấy các nghĩa khác nhau Didactic toán dùng khái niệm này theo nghĩa: Nó nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đối với sự nảy sinh các tri thức khoa học, cũng như quá trình hình thành và phát triển các tri thức đó Đặc biệt “Nó giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học với việc dạy và học tri thức này” (Dorier J-L, 1997)[6, tr 2]

b) Lợi ích của phân tích khoa học luận

Một cách khái quát, phân tích khoa học luận là một trong các công cụ cho phép tiếp cận cực Tri thức trong hệ thống dạy học tối tiểu mà Didactic toán đã xác định Cụ thể:

 Về phương diện chuyển hóa sư phạm:

Vấn đề trung tâm của lý thuyết chuyển hóa sư phạm là vấn đề tri thức và thể chế

(institution) Theo Chevallard (1989) [72, tr 299], một tri thức không thể tồn tại trong một

“xã hội rỗng”, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế, và để có thể tồn tại được trong thể chế, nó phải tuân theo một số ràng buộc nào đó Điều này khiến cho tri thức bị biến đổi

so với nguồn gốc ban đầu của nó Đặc trưng đó của tri thức

trong các thể chế dẫn đến việc phân biệt 3 kiểu thể

chế cơ bản: Thể chế tạo ra tri thức, Thể chế chuyển

đổi tri thức và Thể chế dạy học Quan hệ giữa chúng

được mô hình hóa như hình 1.2 (xem hình 1.2)

Trong đó, I1 là thể chế tham chiếu của đối tượng

tri thức O’, I3 là thể chế đích của O’ và I2 là thể chế

chuyển đổi tri thức (gọi là “noosphère” – trí quyển)

Một kiểu chuyển đổi thể chế trong đó thể chế mà đích I3 là một thể chế dạy học thì được gọi là một chuyển hóa sư phạm (tranposition didactique) Với chuyển hóa sư phạm, noosphère là thể chế bao gồm các nhà biên soạn chương trình và sách giáo khoa, nhà khoa học, giáo dục hay giáo viên có những phản biện lên hệ thống dạy học,…

Một trong những yếu tố lí thuyết cơ bản của didactic toán là lí thuyết chuyển hóa sư phạm Lí thuyết này đề cập đến vấn đề chuyển hóa các đối tượng tri thức bác học (savoir savant) thành đối tượng tri thức được giảng dạy Cụ thể, mục tiêu chủ yếu của nó là nghiên cứu:

- Vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được dạy: tri thức giảng dạy được hợp pháp hóa như thế nào? dựa vào tri thức tham chiếu nào? cái gì quyết định sự hiện diện của tri thức này (mà không phải của tri thức khác) trong hệ thống dạy học?

- Việc xuất hiện một cách có hệ thống sự chênh lệch giữa tri thức được dạy với các tri thức tham chiếu hợp pháp hóa nó (sự chênh lệch sinh ra do những ràng buộc trên hoạt động

của hệ thống dạy học, và do đó trên tri thức): đó là sự chênh lệch nào? những ràng buộc nào có thể giải thích cho sự chênh lệch này?

Các giai đoạn chủ yếu của qui trình chuyển hóa sư phạm là:

Quá trình chuyển hóa này tạo ra sự khác biệt (đôi khi khá lớn) giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy so với tri thức bác học

Nghiên cứu khoa học luận về tri thức cần dạy sẽ cho phép làm rõ sự khác biệt này và do

đó, đặc trưng của tri thức cần dạy so với tri thức bác học Nó giúp ta có cái nhìn không hoàn toàn bị bó hẹp trong hệ thống dạy học hay bó hẹp trong phạm vi của chương trình và sách giáo khoa

 Về phương diện thiết kế hay phân tích tình huống dạy học:

Theo quan điểm của Didactic toán, khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy học, trước hết nhà nghiên cứu phải tìm cách trả lời những câu hỏi sau:

- Vấn đề được đặt ra có mối liên hệ như thế nào với lý do tồn tại của đối tượng tri thức

được xem là mục đích của hoạt động dạy học?

- Vấn đề ấy đưa lại nghĩa nào cho tri thức?

- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề được đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức đang xem xét hay không? Đích thực theo nghĩa, nó mang lại cho tri thức một nghĩa đúng so

với lịch sử nẩy sinh và tiến triển của tri thức đó, so với bối cảnh xã hội và quan niệm của cộng đồng khoa học

Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận

Từ góc độ này, phân tích khoa học luận cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định được nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngược lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với tri thức, vị trí tương đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, … Nó sẽ dẫn nhà nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân tích hay thiết kế các tình huống dạy học:

- Tri thức được sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì?

- Tri thức có thể tồn tại dưới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tương ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm?

- Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy học các thành phần của văn hóa này và sự tác động qua lại giữa chúng?

- Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của văn hoá này?

- Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng được xem là chủ thể của hoạt động học?

 Lợi ích khác của phân tích khoa học luận:

- Phân tích khoa học luận đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận, qua đó phân biệt những sai lầm có bản chất khoa học luận với sai lầm có nguồn gốc từ nhận thức hay từ quan điểm sư phạm của thể chế dạy học

- Nghiên cứu khoa học luận cũng góp phần quan trọng trong nghiên cứu quan niệm gắn với tri thức cần giảng dạy của những chủ thể trong hệ thống dạy học (giáo viên, học sinh) Theo Artigue (1991) [6, tr 19], để nghiên cứu quan niệm của chủ thể về một đối tượng tri thức nào đó cần thiết tiến hành đồng thời hai nghiên cứu sau:

- nghiên cứu những chiến lược và sản phẩm của chủ thể;

- nghiên cứu tri thức về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

1.2.2.2 Lý thuyết nhân chủng học (théorie anthropologique)

Lí thuyết này được Y Chevallard đề xuất năm 1989 và nhanh chóng trở thành một công

cụ hiệu quả trong các nghiên cứu didactic toán Tư tưởng tổng quát của lý thuyết này là xem một đối tượng tri thức toán học như một sinh vật sống, và do đó nó cũng sẽ trải qua những giai đoạn: nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi và luôn có những mối liên hệ ràng buộc với các đối tượng khác Lý thuyết nhân chủng học cung cấp những công cụ lý thuyết để tiếp cận hệ thống dạy học

Ba trong các nội dung cơ bản trong lí thuyết nhân chủng học là lí thuyết chuyển hóa sư phạm (đã trình bày ở trên); lí thuyết về quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân; về tổ chức toán học và tổ chức didactic, mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây

a) Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

Ba khái niệm cơ bản của lí thuyết về quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân là Đối tượng,

Cá nhân và Thể chế

Một đối tượng tri thức O tồn tại ngay khi có một cá nhân X thuộc một thể chế I nhận ra

O Ta nói, X hoặc I biết O Nói cách khác, O tồn tại đối với X (hay biết O) nếu tồn tại một

mối quan hệ cá nhân của X với O Có thể xem mối quan hệ cá nhân này như tập hợp tất cả

những tác động qua lại mà X có với O (cảm nhận về O, sử dụng O, nói về O, nghĩ về O, )

Tương tự như vậy, đối tượng tri thức O tồn tại với thể chế I nếu tồn tại một mối quan hệ thể chế của I với O Mối quan hệ thể chế này cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, với vai

trò gì trong I, giữ quan hệ nào với các đối tượng tri thức khác của I,

Một thể chế được gọi là thể chế sư phạm (institution didactique) nếu nếu tồn tại ít nhất hai vị trí chủ thể (vị trí của người dạy- GV và vị trí của người học - HS) và một ý định dạy học Ý định này thể hiện hành động của GV nhắm tới làm thay đổi mối quan hệ cá nhân của

HS với đối tượng tri thức O

Khi hội nhập vào một thể chế sư phạm I, mối quan hệ cá nhân của X với đối tượng tri thức O sẽ được thiết lập nếu nó chưa tồn tại) hoặc được điều chỉnh và bổ sung (nếu nó đã tồn tại) dưới những điều kiện và ràng buộc của mối quan hệ thể chế của I với O

Từ góc độ này, có thể quan niệm việc học tập của HS về tri thức O trong một thể chế I nào đó (chẳng hạn, thể chế trường Trung học phổ thông) là sự hình thành hay điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với O dưới những điều kiện và ràng buộc của mối quan hệ thể chế của I với O (điều kiện và ràng buộc thường thể hiện qua chương trình, SGK, sách giáo viên, )

Phân tích mối quan hệ thể chế của I đối với một đối tượng tri thức O nào đó trong thể chế là tìm câu trả lời cho câu hỏi: O xuất hiện trong I như thế nào, với những đặc trưng gì, với vai trò ra sao, giữ quan hệ nào với các đối tượng tri thức khác của I

Phân tích quan hệ cá nhân của X (với tư cách là một chủ thể của thể chế I) với O là làm

rõ những đặc trưng của nó và đánh giá những điểm phù hợp và không phù hợp của mối quan hệ cá nhân này so với quan hệ thể chế với cùng đối tượng tri thức O

b) Tổ chức toán học

Làm thế nào để mô tả mối quan hệ thể chế với một tri thức? Đây là một câu hỏi mà việc giải đáp nó sẽ cho chúng ta phương pháp luận về phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức được nghiên cứu

Bosch và Chevallard (1999) giới thiệu khái niệm praxéologie như câu trả lời cho câu hỏi

nào đó, nhờ vào một kỹ thuật, được giải thích bởi một công nghệ  và đến lượt mình công nghệ lại được hợp pháp hóa nhờ lí thuyết 

Một tổ chức praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học thì được gọi là

tổ chức toán học (organisation mathématique), còn nếu nó mang bản chất sư phạm thì gọi là

tổ chức sư phạm Chẳng hạn, kiểu nhiệm vụ T1 “Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0”

có bản chất toán học, còn T2 “Thiết kế công đoạn dạy học khái niệm đạo hàm” có đặc trưng

sư phạm

Cũng theo Chevallard (1992) [69; tr 191]:

“một tri thức không tồn tại trong xã hội rỗng, mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm xác

định, trong một thể chế và được cắm sâu vào một trong nhiều quan hệ thể chế”

Do đó, phân tích làm rõ các tổ chức toán học và didactique gắn liền với một đối tượng tri thức O trong thể chế I sẽ cho phép mô tả được đặc trưng mối quan hệ thể chế của I với O Những khái niệm nêu trên cũng cho phép định nghĩa lại một số khái niệm thông thường:

ta có thể xem khối [T/] diễn tả cái mà ta thường gọi là kỹ năng và khối [/] diễn tả cái

mà ta thường gọi là kiến thức

1.2.2.3 Lí thuyết tình huống

Lí thuyết tình huống là một trong các mô hình nghiên cứu về các điều kiện cho phép kiến thức toán học có thể được kiến tạo trong quá trình dạy học Nói cách khác, nó tìm câu trả lời cho câu hỏi: GV làm thế nào để xây dựng và tổ chức một môi trường (milieu) cho phép làm nảy sinh ở HS sự thích nghi mong muốn dẫn tới sự kiến tạo tri thức (giả thuyết dạy học đã nêu trong 1.2.1)

Theo Chevallard (1985) [72, tr 159]:

“Giáo viên không có nhiệm vụ làm cho học sinh học, mà phải làm thế nào để họ có thể học

Giáo viên không có trách nhiệm trong việc học (điều đó nắm ngoài quyền lực của GV), nhưng lại có trách nhiệm tạo ra những điều kiện cho phép việc học tập”

a) Các loại tình huống

Giả thuyết dạy học nêu trên dẫn tới việc đưa ra các mô hình: Tình huống ngoài dạy học (situation non-didactique), Tình huống dạy học (situation didactique) và Tình huống lí tưởng

(situation a-didactique) trong lí thuyết tình huống

- Tình huống ngoài dạy học là

tình huống mà chủ thể tự học bằng

cách thich nghi với môi trường gây

ra khó khăn, mâu thuẫn và mất cân

bằng, nhưng môi trường đó không

được tổ chức nhằm một dụng ý dạy

học Chẳng hạn, tình huống một đứa

trẻ tự tập đi xe đạp

Tình huống ngoài dạy học có thể được mô tả qua sơ đồ 1.1

- Tình huống lí tưởng là một tình huống có mục tiêu dạy học (do GV tổ chức ra),

nhưng đối với chủ thể HS, nó lại như một tình huống ngoài dạy học Cụ thể, GV chọn các vấn đề cần giải quyết và đặt HS vào một tình huống sao cho họ thực sự có nhu cầu, hứng thú giải quyết vấn đề và tự nguyện

nhận lấy trách nhiệm giải bài toán được

đặt ra như là đòi hỏi của môi trường chứ

không phải chiều theo ý muốn hay ép

buộc của GV, họ cũng phải cảm nhận

được rằng họ có khả năng giải được bài

toán nhờ vào "logic nội tại” của tình

huống, chứ không cần cầu viện vào sự

giúp đỡ và hướng dẫn của GV Mặt khác, trong suốt quá trình giải quyết vấn đề, GV hoàn toàn không can thiệp, ngoại trừ việc nhắc lại đề bài, cách thức làm việc hay động viên HS Tình huống lí tưởng được mô hình hóa trong sơ đồ 1.2 (xem sơ đồ 1.2)

Những điều kiện cần của một tình huống lí tưởng:

+ HS có thể dự kiến một câu trả lời hay một chiến lược giải quyết ban đầu (quy trình hay chiến lược cơ sở) Nhưng đó không phải là cái mà ta muốn giảng dạy Nếu câu trả lời đã được biết thì đây không còn là tình huống học tập nữa Quy trình cơ sở này cho phép HS hiểu được bài toán đặt ra, cũng như cách thức hoạt động Như Brousseau (1988) [72, tr.163]

+ Kiến thức nhắm đến (kiến thức cần lĩnh hội) cho phép chuyển từ quy trình cơ sở đến chiến lược tối ưu

+ Tồn tại một môi trường cho phép hợp thức hoá, nghĩa là một môi trường có thể tạo ra

những tác động phản hồi và qua những phản hồi này HS sẽ có những đánh giá trên sản phẩm của mình (một chiến lược giải, một câu trả lời, một cách lựa chọn, một quyết định,…)

để đi đến loại bỏ hay chấp nhận nó, mà không cần sự xác nhận của GV

Như vậy, có thể xem tình huống lí tưởng là một cấp độ cao của tình huống dạy học nêu vấn đề

- Tình huống dạy học là tình huống được tổ chức với ý đồ dạy học, và như vậy nó có

thể (hoặc không) là tình huống lí tưởng

b) Biến dạy học (variable didactique)

Trong dạy học, GV thường yêu cầu HS giải quyết các tình huống cụ thể nào đó Những tình huống này thường nảy sinh từ một tình huống tổng quát hơn nhờ vào việc thực hiện một số lựa chọn (gọi là các biến) Chẳng hạn, xét hai tình huống sau:

Tình huống 1: HS được yêu cầu làm việc cá nhân để giải phương trình x2 – 4x = 0

Tình huống 2: HS được yêu cầu làm việc theo nhóm để giải phương trình

2

3x  2x 1 0

Cả hai tình huống đều là trường hợp riêng của tình huống giải phương trình bậc hai ax2

+

bx + c = 0, nhưng với 2 lựa chọn (hay 2 biến) khác nhau:

- Biến V1: HS làm việc cá nhân (trong tình huống 1), làm việc tập thể (trong tình huống 2)

- Biến V2: Phương trình khuyết hệ số c (trong tình huống 1), không khuyết c (trong tình huống 2)

Tuy nhiên, có một khác biệt cơ bản giữa V1 và V2 Chỉ có giá trị của biến V2 (khuyết hay không khuyết c) mới có khả năng làm thay đổi đặc trưng của các chiến lược giải phương trình của HS, theo nghĩa: chúng có thể làm thuận lợi hay cản trở việc nảy sinh một chiến lược giải nào đó ở HS, làm cho một chiến lược trở nên phức tạp và tốn kém công sức hơn hoặc ngược lại đơn giản và dễ được HS sử dụng hơn,… Cụ thể, chiến lược « đưa về phương trình tích x(ax + b) = 0 » có nhiều khả năng xuất hiện nếu giá trị được chọn của V2

là « khuyết c » như trong tình huống 1 Nhưng chiến lược này ít có khả năng được HS sử dụng với phương trình 2

3x  2x 1 0 trong tình huống 2

Trong các biến như vậy, G.Brouseau gọi biến dạy học là những biến có thể làm thay đổi

đặc trưng của những chiến lược giải hay câu trả lời của học sinh và giáo viên có thể thực hiện việc lựa chọn các giá trị của biến

Như vậy, trong các biến trên, chỉ có V2 là biến dạy học, còn V1 được gọi là biến tình

Vận dụng khái niệm biến dạy học có nhiều ý nghĩa trong nghiên cứu cũng như dạy học,

- Nó cho phép nghiên cứu đặc trưng của mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng tri thức

c) Hợp đồng dạy học

Theo quan điểm của Didactic, cái đích của GV và HS trong lớp học là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức là khác nhau Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi bên dối với tri thức Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn

G Brousseau (1980) [72, tr 337] định nghĩa hợp đồng dạy học như là:

“tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản mà mỗi bên (thầy giáo và học sinh) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này đối với bên kia”

Từ [72, tr 339], hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được dạy

Theo các tác giả, việc tôn trọng HĐDH bởi HS không bao giờ tự nó biến mất Nó thể hiện qua sự đánh giá trung thực sản phẩm của HS và chỉ có thể được nhận dạng qua thực nghiệm, chứ không thể nhận ra được trong các mối liên hệ sư phạm

Ý nghĩa: HĐDH được xem như một công cụ để nghiên cứu những sai lầm của HS và dự đoán nguyên nhân của sai lầm

Để xác định các qui tắc của HĐDH, nhà nghiên cứu phải thực hiện việc phân tích các thành phần của hệ thống dạy học Có nhiều khả năng trong việc xác định này và chúng ta có thể phối hợp chúng với nhau

Tiến trình này bắt đầu bởi một nghiên cứu trên thành phần “tri thức”, được thực hiện thông qua việc phân tích SGK Nghiên cứu ấy cho phép đưa ra giả thuyết về sự tồn tại các qui tắc của các HĐDH nào đó Các qui tắc HĐDH ấy, nếu tồn tại, sẽ chi phối ứng xử của

GV cũng như HS Vì thế, muốn kiểm chứng dự đoán của mình nhà nghiên cứu phải phân tích hai thành phần GV, HS Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về HĐDH có thể được sơ đồ hóa:

Sơ đồ 1.3: Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về HĐDH

Nguyên tắc phương pháp luận chủ yếu của Didactic toán về việc kiểm chứng sự tồn tại các qui tắc của HĐDH là tạo ra một sự rối loạn trong hệ thống Nghĩa là đặt ‘‘đối tượng’’

(GV hay HS trong những tình huống không quen thuộc (tình huống ngắt quãng hợp đồng Khi đó hệ thống những ràng buộc, những mong đợi qua lại sẽ ngưng hoạt động Đối tượng không còn có những dấu hiệu ngầm ẩn quen thuộc Điều này buộc họ, hoặc thể hiện lên những dấu hiệu ngầm ẩn này (như vậy người ta làm rõ được những qui tắc ngầm ẩn của hợp đồng qua ứng xử của đối tượng, hoặc hành động của họ đánh dấu tính xa lạ của tình huống Điều này cho phép phân tích được sự khác biệt giữa những hành động quen thuộc của đối tượng và những hành động của họ trong những tình huống không quen thuộc

Trong [19, tr 78-86], chúng tôi đã trình bày chi tiết những kết quả về việc dự đoán sai lầm của HS và nguyên nhân của SL qua việc sử dụng công cụ HĐDH

1.2.2.4 Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại

Didactic toán (theo trường phái Pháp) là một khoa học thực nghiệm Vì thế, những giả thuyết nghiên cứu mà nhà nghiên cứu đặt ra sẽ được kiểm chứng nhờ vào thực nghiệm Nhưng Didactic toán vận dụng cách hợp thức hóa (hay kiểm chứng) giả thuyết nghiên cứu

mà cho đến thời điểm hiện nay, vẫn chưa được vận dụng trong luận án tiến sĩ nào ở Việt

Nam Đó là Hợp thức hóa nội tại (validation interne) thay vì Hợp thức hóa ngoại vi

(validation externe)

a) Hợp thức hóa ngoại vi

Giả thuyết nghiên cứu trong các công trình thuộc chuyên ngành Lí luận và PPDH bộ môn toán ở nước ta hiện nay thường là giả thuyết về tính khả thi của một hệ thống các giải pháp về dạy học toán mà nhà nghiên cứu đề xuất Để kiểm chứng tính khả thi đó, người ta thường xây dựng kế hoạch, nội dung triển khai các giải pháp và tiến hành thực nghiệm trên một nhóm đối tượng mẫu (nhóm HS, nhóm sinh viên,…), sau đó đánh giá kết quả thực nghiệm so với một nhóm đối tượng 2 (gọi là nhóm đối chứng) Về cơ bản, 2 nhóm đối tượng này có bản chất như nhau, cái khác duy nhất là: trong nhóm đối chứng người ta không vận dụng các giải pháp mà nhà nghiên cứu đề xuất như trong nhóm thực nghiệm Công cụ đánh giá so sánh hiệu quả của hệ thống giải pháp thường là:

- Kết quả (bằng điểm số) của bài thi, kiểm tra,… triển khai cả trong hai nhóm

- Ý kiến đánh giá của chuyên gia: đánh giá thuần túy trên kế hoạch và nội dung các giải pháp đã triển khai, hoặc đánh giá trên kết quả triển khai thực hiện trên nhóm đối tượng thực nghiệm nếu chuyên gia có quan sát việc triển khai thực hiện giải pháp (như dự giờ lên lớp, phỏng vấn HS,…)

Hợp thức hóa ngoại vi là một phương cách được sử dụng khá phổ biến trong nhiều nước

và mang lại những hiệu quả nhất định Tuy nhiên, nó cũng thể hiện một số khiếm khuyết Khiếm khuyết lớn nhất nằm ở việc so sánh kết quả bằng điểm số Vì bản thân độ tin cậy của kết quả so sánh điểm số giữa hai nhóm (nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng) và cả độ tin cậy của điểm số (ngay cả trong nội bộ một nhóm) phụ thuộc rất nhiều yếu tố, trong đó có nhiều yếu tố vượt ra khỏi phạm vi các giải pháp mà nhà nghiên cứu đề xuất Và như vậy, khó có thể đặt niềm tin hoàn toàn vào tính khả thi của giải pháp hay tính hợp thức của giả thuyết nghiên cứu

Mặt khác, để gia tăng độ tin cậy của kết quả so sánh, cần phải tiến hành thực nghiệm trên các tập hợp mẫu khá lớn: tập đối tượng của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

b) Hợp thức hóa nội tại

Để khắc phục khiếm khuyết của hợp thức hóa ngoại vi, Didactic toán áp dụng phương thức hợp thức mới: Hợp thức hóa nội tại

Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối tượng mẫu, và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng như trong hợp thức hóa

ngoại vi Mấu chốt của hợp thức nội tại là thực hiện sự đối chứng giữa Phân tích tiên nghiệm (analyse a-priori) và Phân tích hậu nghiệm (analyse postériori)

Phân tích tiên nghiệm là thiết lập một mô hình dự kiến về thực tế (tình huống Sa gắn

với đối tượng tri thức đang nghiên cứu) mà mục tiêu là dự kiến được những hiện tượng có thể xẩy ra, làm rõ « nghĩa » hay lí do của cái có thể xẩy ra khi triển khai tình huống Sa vào thực tế của hệ thống dạy học Cụ thể, nó dẫn tới việc xác định các yếu tố cơ bản sau:

- Các biến dạy học có thể tác động trong Sa, những chiến lược hay câu trả lời có thể xuất hiện (đặc biệt là chiến lược tối ưu) và ảnh hưởng của biến trên chiến lược (câu trả lời)

- Những cái có thể quan sát được, minh chứng (dấu hiệu) của các chiến lược hay câu trả lời

- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầm mống cho sự nảy sinh các chiến lược

- Những kiến thức khác có thể nảy sinh và các lựa chọn (giá trị của biến) tạo ra điều kiện cho sự nảy sinh đó

Chắc chắn không thể xác định được những yếu tố nêu trên nhờ vào sự « võ đoán » của nhà nghiên cứu Phân tích tiên nghiệm phải đặt cơ sở trên nhiều kết quả nghiên cứu trước đó

về đối tượng tri thức đang nghiên cứu, chẳng hạn như:

- Phân tích khoa học luận;

- Phân tích các yếu tố của các hệ thống dạy học như: các sản phẩm của noosphère (CT, SGK, SGV,…); thực tế dạy học của giáo viên, … để làm rõ những điều kiện và ràng buộc trên các hệ thống này, đặc biệt trong đó có hệ thống dạy học mà ta có ý định triển khai tình huống thực nghiệm

Trong trường hợp tiến hành một đồ án dạy học (ingénierie didactique), có thể còn phải tính đến một nghiên cứu trước đó về quan niệm, khó khăn và chướng ngại của HS hay GV Trong phân tích tiên nghiệm, các chủ thể của hệ thống dạy học (HS và GV) được xem như những đối tượng thuần lí (sujet rationel), nghĩa là giả định

Phân tích hậu nghiệm là dựng lại tình huống thực tế Sp xẩy ra thực sự khi triển khai

thực nghiệm tình huống Sa (đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm), mà mấu chốt là thực hiện sự phân tích đối chứng giữa những cái đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm với những dữ liệu và mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được khi triển khai tình huống thực nghiệm, nghĩa là sự đối chứng giữa tình huống Sa với tình huống thực Sp xẩy ra trong thực

tế thực nghiệm

Bảng sau đây minh họa quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm:

Bảng 1.1: Quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

Phân tích tiên nghiệm Quan sát Phân tích hậu nghiệm

(Soạn thảo một tình huống Sa:

Mô hình dự kiến của thực tế) của thực tế trong lớp học) (Một tiến trình đặc biệt Mô hình của thực tế, mô hình có (Dựng lại một tình huồng Sp:

tính đến cái ngẫu nhiên)

Thực tế được tổ chức hay không

Học sinh Thầy giáo

Thu thập dữ liệu

Tình huống Sp

Tương ứng với những giá trị xác định của các biến dạy học Học sinh và thầy giáo được xem như những chủ thể dạy học

Cái quan sát được/cái có thể

quan sát

Quy trình/chiến lược

Giải thích cho cái ngẫu nhiên/cái

tất yếu

Lưu ý: Những phân tích trên dẫn tới một số điểm cần nhấn mạnh là:

- Hợp thức hóa nội tại không dựa trên đánh giá điểm số của bài thi, kiểm tra, hay một bài test,

- Trong hợp thức hóa ngoại vi, yêu cầu đối chứng giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đòi hỏi thực nghiệm phải được triển khai trên một tập hợp đối tượng “mẫu” càng lớn càng tốt Ngược lại, đó không phải là yếu tố quyết định trong hợp thức hóa nội tại