Không gian liên thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NGUYỄN THỊ HƯỜNG KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2011 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn tận tình giảng dạy thầy cô trường, đặc biệt thầy cô tổ Hình học tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu cho em suốt thời gian học tập viết khoá luận trường Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em cách tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp thân em tự nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp trích dẫn trung thực từ tài liệu tham khảo với hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, không trùng với kết báo cáo tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hường MỤC LỤC Lời mở đầu Chƣơng Đại cương không gian tôpô 1.1 Không gian tôpô 1.2 Phần trong, bao đóng tập hợp Tập hợp trù mật 10 1.3 Ánh xạ liên tục 13 1.4 Tích Descartes họ không gian tôpô Không gian thương 13 Chƣơng Không gian liên thông 17 2.1 Không gian liên thông 17 2.2 Tích Descartes không gian thương không gian liên thông 23 2.3 Thành phần liên thông 25 2.4 Tập hợp liên thông không gian Rk 27 2.5 Bài tập 30 2.6 Hướng dẫn giải tập 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Giải tích đời phát triển lâu, có tầm quan trọng tảng nhiều môn Toán Một môn toán Hình học vi phân Nội dung Hình học vi phân phong phú, đa dạng, kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp với mẻ khó môn học làm cho việc tiếp thu kiến thức Hình học vi phân trở nên không dễ dàng với sinh viên Do để nắm vững kiến thức Hình học vi phân đồng thời với tâm bước đầu vào nghiên cứu khoa học, để tự tin việc dạy học sau trường, em chọn đề tài “Không gian liên thông” để làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Hình học vi phân đặc biệt không gian liên thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian liên thông số vấn đề liên quan đến không gian liên thông Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá 5 Cấu trúc khoá luận Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương 1: Đại cương không gian tôpô Chương 2: Không gian liên thông Chương ĐẠI CƢƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương em xin trình bày số vấn đề sau: Không gian tôpô; phần trong, bao đóng tập hợp, tập hợp trù mật; ánh xạ liên tục tích Descartes họ không gian tôpô không gian thương 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 (xem [4], tr.20): Cho X tập hợp tuỳ ý Ta gọi tôpô X lớp tập  X thoả mãn tiên đề: (O1) , X  (O2) Nếu G  ,    (O3) Nếu G j  ( j  1, n) U G   n I j 1 G j  Ta gọi không gian tôpô cặp ( X , ) , X tập hợp Mỗi phần tử x  X điểm, tập hợp G  gọi tập hợp mở Ví dụ Cho X   tập hợp tuỳ ý Khi   , X  tôpô X, gọi tôpô thô Ví dụ Họ   ( X ) tất tập X tôpô X, gọi tôpô rời rạc Các tôpô thô tôpô rời rạc tôpô tầm thường X Ví dụ Mọi không gian metric không gian tôpô với tôpô  lớp tất tập hợp mở không gian metric đó, gọi tôpô cảm sinh metric hay tôpô metric Tôpô sinh metric không gian Euclid R k gọi tôpô tự nhiên Rk 1.1.2 Tập mở, tập đóng a Tập mở Định nghĩa (xem [4], tr.21): Cho ( X , ) không gian tôpô Mỗi tập hợp G  gọi tập hợp mở Định lý (xem [4], tr.21): Trong không gian tôpô X  X tập hợp mở Hợp họ tuỳ ý tập hợp mở tập hợp mở Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở b Tập đóng Định nghĩa (xem [4], tr.21): Cho ( X , ) không gian tôpô Tập hợp F không gian tôpô X gọi tập hợp đóng X \ F tập hợp mở Định lý (xem [4], tr.21): Trong không gian tôpô X  X tập hợp đóng Giao họ tuỳ ý tập hợp đóng tập hợp đóng Hợp hai tập hợp đóng tập hợp đóng, hợp hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng 1.1.3 Lân cận Định nghĩa (xem [4], tr.22): Giả sử ( X , ) không gian tôpô A X Ta gọi lân cận mở A tập hợp mở chứa A Ta gọi lân cận A tập hợp chứa lân cận A Nếu A tập hợp gồm điểm tương ứng ta có khái niệm lân cận mở, lân cận điểm Điểm x  X gọi điểm tập hợp A tồn lân cận V x cho V  A Nhận xét 1.1.3 (xem [4], tr.22): Như vậy, V lân cận điểm x x điểm V Từ tiên đề (O2), (O3) ta có Hợp họ tuỳ ý lân cận A lân cận A Giao họ hữu hạn lân cận A lân cận A Định lý 1.1.3 (xem [4], tr.22): Để tập hợp G mở không gian tôpô X cần đủ điểm x  G điểm G Chứng minh: Nếu G tập hợp mở x  G nhận G lân cận (chứa G) Do x điểm G Đảo lại, điểm x  G tồn lân cận mở U x x cho U x  G Vì G  U Ux xG tập hợp mở Định nghĩa (xem [4], tr.22): Giả sử  X ,  không gian tôpô Một họ  lân cận điểm x  X gọi sở lân cận x với lân cận U x, tồn V  cho V  U Nếu tồn sở lân cận x gồm đếm lân cận điểm x gọi có sở lân cận đếm Không gian tôpô mà điểm tồn sở lân cận đếm gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Ví dụ Trong không gian metric X, với x  X có sở  1 lân cận đếm Chẳng hạn họ hình cầu Bn  B  x,  , n  1,2,  n Như vậy, không gian metric không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.1.4 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1.4 (xem [4], tr.25): Nếu ( X , ) không gian tôpô Cho Y  X họ  Y  G  Y : G    tôpô X Do ta định nghĩa: Tôpô  Y xác định gọi tôpô cảm sinh tôpô  Y, không gian (Y ,Y ) gọi không gian không gian tôpô ( X , ) Như vậy, không gian Y tập hợp A  Y mở Y A  G Y với G tập hợp mở X Định lý 1.1.4 (xem [4], tr.25): Cho không gian tôpô ( X , ) , Y  X y  Y Khi Tập hợp A  Y tập hợp đóng Y A  F  Y với F tập hợp đóng X 10 Vì X  không gian liên thông, suy f phải ánh xạ 1 Do đó: f ( x)  f (a), x  j ( X  ) 1 n Bằng quy nạp suy f ( x)  f (a) với x  j  ( X  ) n i 1 i n Trong đó: j  :  X   X : ( x , , x ) a x  ( x ) n i 1 i n Với a x    xi   i (i  1, , n)    i n Đặt M  U  ' j  ( X  ) ,  '  1 , , n  tập hợp n i 1 i hữu hạn  M trù mật X Thật vậy, giả sử U tập hợp mở không rỗng X Nên tồn tập hợp W  U , W   tập hợp mở X W  X với   '  1 , , n  Khi điểm x  ( x ) thỏa mãn    i  x = a  x  W     i  i i (i  1, , n) điểm chung U M Vì không gian rời rạc Y không gian Hausdoff, M trù mật X f liên tục f ( x)  f (a) với x  M nên ta suy f ( x)  f (a) với x  X Điều mâu thuẫn với giả thiết f toàn ánh lên không gian Y có hai phần tử 25 Vậy X không gian liên thông Định lý 2.2.2 (xem [4], tr.78): Không gian thương không gian liên thông không gian liên thông Chứng minh: Giả sử X không gian liên thông R quan hệ tương ứng X Vì ánh xạ thương i : X  X / R toàn ánh liên tục nên không gian thương X/R liên thông 2.3 Thành phần liên thông Giả sử x điểm không gian tôpô X Khi hợp tất tập hợp liên thông chứa x tập hợp liên thông chứa x, đồng thời tập hợp liên thông lớn chứa x Do ta có: Định nghĩa 2.3 (xem [4], tr.78): Giả sử X không gian tôpô x  X , tập hợp liên thông lớn không gian X chứa x gọi thành phần liên thông điểm x , ký hiệu Cx Nếu x  A  X thành phần liên thông điểm x không gian A gọi thành phần liên thông điểm x tập hợp A Nhận xét 2.3: Hiển nhiên X không gian liên thông X thành phần liên thông điểm x  X Nếu A tập hợp vừa mở vừa đóng không gian tôpô X A chứa thành phần liên thông điểm 26 Ví dụ R k có thành phần liên thông Ví dụ Tập Q có vô hạn thành phần liên thông Định lý 2.3.1 (xem [4], tr.79): Trong không gian tôpô X thành phần liên thông Cx điểm x  X tập hợp đóng Chứng minh: Vì Cx tập hợp liên thông nên theo hệ 2.1.3 clCx tập hợp liên thông Do từ định nghĩa 2.3 ta suy clCx  Cx Vậy Cx tập hợp đóng Định lý 2.3.2 (xem [4], tr.79): Giả sử X không gian tôpô Khi đó, với x, y  X Cx  C y Cx  C y   Chứng minh: Giả sử Cx  C y   Khi theo định lý 2.1.4 Cx  C y tập hợp liên thông chứa x y Từ định nghĩa tập hợp liên thông ta suy Cx  C y  Cx Cx  C y  C y Vậy Cx  C y Trong không gian tôpô X, ta định nghĩa yR x  y  Cx R quan hệ tương đương X Thật vậy, tính chất phản xạ đối xứng hiển nhiên, tính chất bắc cầu suy từ định lý 2.2.2 Như vậy: quan hệ tương đương R phân hoạch không gian tôpô thành lớp tương đương mà lớp thành phần liên thông không gian tôpô X 27 Định lý 2.3.3 (xem [4], tr.79): Trong không gian tích Descartes X   X  họ không gian tôpô  X :   thành phần liên  thông điểm x  ( x )  X tích Descartes thành phần liên thông C điểm x  X ,   Chứng minh: Theo định lý 2.2.1 chứa điểm x  ( x ) không gian tích C   tập hợp liên thông lớn X   Mặt khác,nếu A tập hợp liên thông X   X  chứa điểm x  với   , phép chiếu P : X  X không gian X lên X liên tục Nên P ( A) tập hợp liên thông chứa x không gian X Do theo định nghĩa thành phần liên thông ta có P ( A)  C , với   Suy A   P ( A)   C  Vậy  C   thành phần liên thông điểm x 2.4 Tập hợp liên thông không gian R k Định lý 2.4.1 (xem [4], tr.80): Đường thẳng thực R không gian liên thông Chứng minh: Ta chứng minh phản chứng Giả sử R không liên thông Khi tồn tập hợp thực không rỗng G vừa mở vừa đóng R hiển nhiên G có nhiều phần tử Lấy số thực r  G rõ ràng G   , r    r ,    28 Đặt A  G   , r  B  G   r ,    Suy G  A  B Vì G   nên hai tập hợp A B không rỗng Giả sử A   , A bị chặn nên tồn a  sup A  r Đồng thời tồn dãy ( xn )  A , lim xn  a n Nhưng ( xn ) dãy phần tử G G tập đóng nên a  G Vì a  r , suy a  A Vì A tập mở R nên   : (a   , a   )  A  Khi hiển nhiên số thực x  a   A x  a Điều mâu thuẫn a cận A, chứng tỏ không tồn tập hợp thực vừa mở vừa đóng R Vậy R không gian liên thông Nhận xét 2.4.1 (xem [4], tr.80): Từ định lý 2.3.3 suy không gian Euclide R k liên thông Từ định lý 2.1.6 suy không gian đồng phôi với không gian liên thông không gian liên thông Vì khoảng mở (hữu hạn vô hạn) đường thẳng thực R đồng phôi với R suy khoảng mở R tập hợp liên thông Nhờ hệ 2.1.3 đoạn (tức khoảng mở) khoảng nửa đóng (hữu hạn vô hạn) tập hợp liên thông R Điều khẳng định ngược lại Định lý 2.4.2 (xem [4], tr.80): Nếu A tập hợp liên thông đường thẳng thực R A khoảng 29 Ta hiểu khoảng mở khoảng mở khoảng đóng nửa đóng,hữu hạn vô hạn Chứng minh: Giả sử A tập hợp liên thông R, ta cần chứng minh a, b  A, a  b khoảng đóng  a, b  A Thật vậy, giả sử tồn số c  A : a  c  b Thế G1   , c   R G2   c,     R tập hợp mở R thỏa mãn: G1  A  , G2  A  , G1  G2  , A  G1  G2 Theo định lý 2.1.2 điều mâu thuẫn với giả thiết A liên thông Hệ 2.4.2 (xem [4], tr.81): Giả sử f hàm thực liên tục không gian liên thông X điểm a, b  X , f (a)  f (b) Khi với số thực r nằm f (a ) f (b) , tồn điểm c  X cho f (c)  r Chứng minh: Suy từ định lý 2.1.6 định lý 2.4.2 Một trường hợp riêng thường gặp không gian liên thông không gian liên thông cung Định lý 2.4 (xem [4], tr.81): Không gian tôpô X gọi liên thông cung với hai điểm a, b  X tồn ánh xạ liên tục f : 0,1  X cho f (0)  a, f (1)  b Khi đó, ánh xạ f gọi cung nối hai điểm a b, điểm a gọi điểm đầu b điểm cuối cung Ví dụ Đường tròn mặt phẳng liên thông cung Thật vậy, giả sử đường tròn C tâm gốc O bán kính R mặt phẳng 30  C  ( R cos t , R sin t ) :  t  2  Xét ánh xạ f : 0,2   R2 cho f (t )  ( R cos t , R sin t ) Do ánh xạ f liên tục 0,2  tập hợp liên thông nên C  f (0,2  ) liên thông Vậy đường tròn mặt phẳng liên thông cung Nhận xét 2.4 (xem [4], tr.81): Vì đoạn  0, 1 không gian liên thông, f ánh xạ liên tục nên f 0,1 tập hợp liên thông X Tập hợp liên thông chứa a b Theo hệ X không gian liên thông Như không gian liên thông cung không gian liên thông Điều ngược lại nói chung không Định lý 2.4.3 (xem [4], tr.81): Nếu X không gian tôpô, A  X cung nối điểm A với điểm A phải cắt biên frA A điểm Ở điểm A hiểu điểm thuộc intA, điểm A điểm thuộc X \ clA , cung f : 0,1  X gọi cắt frA f 0,1  frA   2.5 Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng: Tập A không gian tôpô X liên thông cặp tập mở (đóng) U, V X cho A  U  V , từ A  U   A  V   suy A  U  V   31 Bài 2: Chứng minh rằng: Không gian X liên thông cặp điểm X nằm tập hợp liên thông X Bài 3: Chứng minh đoạn thẳng  a, b  R tập hợp liên thông Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu hai tập liên thông A B không gian tôpô X có điểm chung C  A  B liên thông Bài 5: Cho M N tập đóng X thỏa mãn M  N , M  N liên thông Chứng minh M N liên thông Bài 6: Chứng minh tập hợp E đường thẳng liên thông với hai điểm x1  E , x2  E đoạn  x1 , x2  chứa E Bài 7: Chứng minh thành phần liên thông X tập đóng X ; hai thành phần liên thông X trùng không giao Bài 8: Thành phần liên thông điểm x không gian X thành phần liên thông X chứa điểm x Không gian X gọi hoàn toàn không liên thông thành phần liên thông điểm x  X tập hợp điểm x Chứng minh rằng: a Không gian rời rạc không gian hoàn toàn không liên thông b.Không gian số hữu tỷ Q (với tôpô cảm sinh tôpô tự nhiên R) hoàn toàn không liên thông không gian rời rạc 32 Bài 9: Giả sử X không gian tôpô liên thông,còn ánh xạ f : X  R liên tục nhận giá trị dương âm Chứng minh tồn x0  X cho f ( x0 )  2.6 Hƣớng dẫn giải tập Bài 1: Từ định nghĩa không gian liên thông hiển nhiên ta có X không gian liên thông không biểu diễn dạng hợp hai tập hợp mở không rỗng không giao Sử dụng điều ta chứng minh sau: Giả sử tập A không gian tôpô X liên thông U, V hai tập hợp mở X, cho A  U  V , A  V   A  U   Nếu A  U  V   ta có: A  ( A  U )  ( A  V ) (do A  U  V ) A  U  , A  V   mở A  A U    A V   A U V   Điều mâu thuẫn với A liên thông, Ngược lại, cho giả thiết đề ta chứng minh A liên thông Giả sử A không liên thông U ', V '   ; U ', V ' mở A cho A  U '  V ' U ' V '   Theo định nghĩa tôpô cảm sinh U '  A  U , V '  A  V U V mở X Suy A  U '  V '  U  V , A  U  U '   , A  V  V '   Nhưng A  U  V  ( A  U )  ( A  V )  U ' V '   Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy A phải liên thông 33 Bài 2: Điều kiện cần hiển nhiên tập liên thông lấy không gian X Ngược lại, giả sử cặp điểm X nằm tập hợp liên thông X X không liên thông Vậy X  U  V , U, V mở khác , U  V   Lấy x1 U , x2 V giả sử A tập liên thông chứa x1 x2 Hiển nhiên A  U  V  X , A  U  , A  V   Theo ta có A  U  V   , điều mâu thuẫn với U V   Vậy X phải liên thông Bài 3: Ví dụ ( trang 18) Bài 4: Giả sử A B hai tập liên thông X giả sử x0  A  B Nếu C  A  B không liên thông tồn tập U , V   , mở C, U  V   C  U  V Vì x0  C  U  V nên x0 U x0 V Giả sử x0 U , ta chứng minh A  U B  U Thật vậy, giả sử A  U Do A  C  U  V Suy A  V   Lại có A  U   nên theo 1: A  U  V   Điều mâu thuẫn với U  V   Hoàn toàn tương tự ta chứng minh B  U suy C  A  B  U Nhưng C  U  V nên V   Mâu thuẫn với V   34 Vậy điều giả sử sai tức C  A  B phải liên thông Bài 5: Cho M N tập đóng X thỏa mãn M  N , M  N liên thông Ta chứng minh M N liên thông Giả sử M không liên thông Khi tồn hai tập U , V   ,đóng M, U  V   M  U  V Vì M đóng X nên U, V đóng X Đặt A  M  N B  M  N  U  V   N  U  N   V  N  Do B   nên U  N   V  N   Giả sử U  N   Khi đó: B  M  N  U  V B U  M  N  U  N U   B U V   Từ tập ta có: B  V   M  N   V  N  V   Xét A  N  M   N  U   V  N  U   V   N  V   U  V    Hiển nhiên N  U  , V   đóng A Điều mâu thuẫn với A liên thông Vậy M phải tập liên thông Tương tự ta có N liên thông Bài 6: Điều kiện đủ suy từ Ta chứng minh điều kiện cần Cho E tập hợp liên thông đường thẳng Lấy hai điểm tùy ý x1  E x2  E , x1  x2 35 Nếu có điểm c cho x1  c  x2 mà c  E E  A  B Trong A   c,     E, B   , c   E Hiển nhiên A B khác rỗng mở E, A  B   Điều mâu thuẫn với E liên thông Bài 7: Giả sử A thành phần liên thông X Khi đó: clA tập liên thông Do A  clA mà A thành phần liên thông nên clA  A Vậy A đóng Giả sử A B hai thành phần liên thông X Nếu A B có điểm chung theo 4: A  B tập liên thông Vậy A  B  A A  B  B , tức A  B Bài 8: a Cho X không gian rời rạc Nếu  x  X cho thành phần liên thông Cx X chứa điểm x có nhiều điểm tập hợp điểm x tập thực khác rỗng vừa mở vừa đóng Cx Điều mâu thuẫn với Cx liên thông Vậy không gian rời rạc không gian hoàn toàn không liên thông b Giả sử  r  Q cho thành phần liên thông Cr Q chứa r có nhiều điểm, tức r '  Q (chẳng hạn r '  r ) : r '  Cr Khi đó, theo đoạn  r , r '  Cr Điều vô lý Cr  Q ,  r, r ' chứa vô số điểm vô tỷ Vậy Q không gian hoàn toàn không liên thông 36 Hiển nhiên Q không gian rời rạc, tập hợp điểm Q tập mở Bài 9: Giả sử X không gian tôpô liên thông, ánh xạ f : X  R liên tục x1 , x2  X cho f ( x1 )  0, f ( x2 )  Ta có f ( X ) tập hợp liên thông R theo đoạn  f ( x1 ), f ( x2 )   f ( X ) , tức  f ( X ) hay  x0  X cho f ( x0 )  Trong chương xem xét số vấn đề không gian liên thông, tích Descartes không gian thương không gian liên thông, thành phần liên thông, tập hợp liên thông không gian R k Em đưa số tập tiêu biểu phần không gian liên thông giải tập 37 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu thực khóa luận em làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm kiến thức Hình học vi phân đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách tổng quát số vấn đề “Không gian liên thông” Em hy vọng tài liệu tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên đến với Hình học vi phân nói riêng toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp thầy cô bạn sinh viên 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Đắc Tắc – Nguyễn Thanh Hà, Bài tập không gian tôpô – độ đo – tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1999 [2] J.L.Keli, Tôpô đại cương, New York, 1967 [3] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương – Độ đo tích phân NXB Giáo dục, 1994 [4] Phùng Đức Thắng, Giáo trình tôpô đại cương,độ đo – tích phân Đại học sư phạm Hà Nội 2, 2007 39 [...]... Chương 2 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG Trong chương 2 em xin trình bày một số vấn đề về không gian liên thông, tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông, thành phần liên thông, tập hợp liên thông trong không gian R k 2.1 Không gian liên thông Tập hợp liên thông Định nghĩa 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu chỉ có các tập  và X vừa mở vừa đóng Như vậy, không gian. .. là không gian liên thông 23 2.2 Tích Descartes và không gian thƣơng của không gian liên thông Định lý 2.2.1: Tích Descartes  X  của một họ các không gian tôpô không rỗng  X :   là không gian liên thông khi và chỉ khi mọi không gian X đều liên thông Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X   X  là không gian liên thông Vì các  phép chiếu P : X  X là liên tục nên theo định lý 2.1.6 các không. .. toàn ánh lên không gian Y có ít nhất hai phần tử 25 Vậy X là không gian liên thông Định lý 2.2.2 (xem [4], tr.78): Không gian thương của một không gian liên thông là một không gian liên thông Chứng minh: Giả sử X là không gian liên thông và R là một quan hệ tương ứng trong X Vì ánh xạ thương i : X  X / R là một toàn ánh liên tục nên không gian thương X/R là liên thông 2.3 Thành phần liên thông Giả sử... ánh xạ f liên tục và 0,2  là tập hợp liên thông nên C  f (0,2  ) cũng liên thông Vậy đường tròn trên mặt phẳng là liên thông cung Nhận xét 2.4 (xem [4], tr.81): Vì đoạn  0, 1 là một không gian liên thông, f là một ánh xạ liên tục nên f 0,1 là một tập hợp liên thông trong X Tập hợp liên thông này chứa a và b Theo hệ quả 2 thì X là không gian liên thông Như vậy mỗi không gian liên thông cung... liên thông của X là tập con đóng của X ; hai thành phần liên thông của X hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau Bài 8: Thành phần liên thông của điểm x của không gian X là thành phần liên thông của X chứa điểm x Không gian X gọi là hoàn toàn không liên thông nếu thành phần liên thông của mỗi điểm x  X là tập hợp một điểm x Chứng minh rằng: a Không gian rời rạc là không gian hoàn toàn không liên thông. .. gian tôpô X là không liên thông khi và chỉ khi tồn tại một tập hợp con thực sự M  X không rỗng vừa mở vừa đóng Ví dụ 1 Không gian tôpô thô  X ,  , với   , X  là không gian liên thông Thật vậy, với   , X  ta có  , X là tập vừa mở vừa đóng duy nhất nên  X ,  là không gian liên thông Ví dụ 2 Không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông Thật vậy, với  trong không gian tôpô rời... Nên không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông 18 Định lý 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi không tồn tại các tập hợp mở G j  X ( j  1,2) sao cho G j   ( j  1,2), G1  G2  , G1  G2  X Chứng minh: Suy từ định nghĩa không gian liên thông và đặc trưng của tập hợp mở trong không gian tôpô Định nghĩa 2.1.2 (xem [4], tr.74): Tập hợp A trong không gian. .. 2 Điều này mâu thuẫn vì a là một cận trên của A, chứng tỏ không tồn tại tập hợp con thực sự vừa mở vừa đóng trong R Vậy R là không gian liên thông Nhận xét 2.4.1 (xem [4], tr.80): Từ định lý 2.3.3 suy ra rằng các không gian Euclide R k là liên thông Từ định lý 2.1.6 suy ra không gian đồng phôi với một không gian liên thông là không gian liên thông Vì mỗi khoảng mở (hữu hạn hoặc vô hạn) trên đường thẳng... điểm trong không gian tôpô X Khi đó hợp của tất cả các tập hợp liên thông chứa x là tập hợp liên thông chứa x, đồng thời là tập hợp liên thông lớn nhất chứa x Do đó ta có: Định nghĩa 2.3 (xem [4], tr.78): Giả sử X là một không gian tôpô và x  X , tập hợp liên thông lớn nhất trong không gian X chứa x được gọi là thành phần liên thông của điểm x , ký hiệu là Cx Nếu x  A  X thì thành phần liên thông của... 1,2), G1  G2  C  , C  G1  G2 Mâu thuẫn chứng tỏ A liên thông Hệ quả 1 (xem [4], tr.76): Hợp của một họ các tập hợp liên thông trong không gian tôpô X mà có giao không rỗng là tập hợp liên thông Hệ quả 2 (xem [4], tr.76): Nếu với hai điểm bất kỳ x, y trong không gian tôpô X đều tồn tại một tập hợp liên thông chứa x và y thì X là không gian liên thông 22 Chứng minh: Giả sử cố định điểm x  X Theo ... không gian liên thông, tích Descartes không gian thương không gian liên thông, thành phần liên thông, tập hợp liên thông không gian R k 2.1 Không gian liên thông Tập hợp liên thông Định nghĩa... hai phần tử 25 Vậy X không gian liên thông Định lý 2.2.2 (xem [4], tr.78): Không gian thương không gian liên thông không gian liên thông Chứng minh: Giả sử X không gian liên thông R quan hệ tương... Tích Descartes không gian thƣơng không gian liên thông Định lý 2.2.1: Tích Descartes  X  họ không gian tôpô không rỗng  X :   không gian liên thông không gian X liên thông Chứng minh