Không gian liên thông

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này em xin trình bày một số vấn đề sau: Không gian tôpô; phần trong, bao đóng của một tập hợp, tập hợp trù mật; ánh xạ liên tục tích D

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy của các thầy cô trong trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến quý báu cho em trong suốt thời gian học tập và viết khoá luận tại trường Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em một cách tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng khoá luận tốt nghiệp này là do bản thân em tự nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, không trùng với kết quả báo cáo của tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

MỤC LỤC

Lời mở đầu 4

Chương 1 Đại cương về không gian tôpô 6

1.1 Không gian tôpô 6

1.2 Phần trong, bao đóng của một tập hợp Tập hợp trù mật 10

1.3 Ánh xạ liên tục 13

1.4 Tích Descartes họ các không gian tôpô Không gian thương 13

Chương 2 Không gian liên thông 17

2.1 Không gian liên thông 17

2.2 Tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông 23

2.3 Thành phần liên thông 25

2.4 Tập hợp liên thông trong không gian Rk 27

2.5 Bài tập 30

2.6 Hướng dẫn giải bài tập 32

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Giải tích được ra đời và phát triển đã khá lâu, nó có tầm quan trọng và là nền tảng của nhiều môn Toán Một trong những môn toán đó là Hình học vi phân

Nội dung của Hình học vi phân rất phong phú, đa dạng, kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp cùng với sự mới mẻ và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức cơ bản của Hình học vi phân trở nên không dễ dàng với sinh viên Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của Hình học vi phân đồng thời với quyết tâm bước đầu đi vào nghiên cứu khoa học, để tự tin hơn trong việc dạy và học sau khi ra trường, em đã chọn

đề tài “Không gian liên thông” để làm khoá luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn

về Hình học vi phân đặc biệt là không gian liên thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian liên thông và một số vấn đề liên quan đến không gian liên thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc của khoá luận

Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương 1: Đại cương về không gian tôpô Chương 2: Không gian liên thông

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ

Trong chương này em xin trình bày một số vấn đề sau: Không gian tôpô; phần trong, bao đóng của một tập hợp, tập hợp trù mật; ánh xạ liên tục tích Descartes họ các không gian tôpô và không gian thương

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 (xem [4], tr.20): Cho X là một tập hợp tuỳ ý

Ta gọi là tôpô trên X một lớp các tập con  của X thoả mãn các tiên đề: (O1) , X 

(O2) Nếu G  ,  thì G

 U

(O3) Nếu G j  (j1,n) thì

1

n j j

I

Ta gọi là không gian tôpô một cặp ( , )X  , trong đó X là một tập hợp

Mỗi phần tử x X là một điểm, mỗi tập hợp G được gọi là một tập hợp mở

Ví dụ 1 Cho X   là một tập hợp tuỳ ý Khi đó    , X là một tôpô trên X, gọi là tôpô thô

Ví dụ 2 Họ   ( )X tất cả các tập con của X cũng là tôpô trên X, gọi

là tôpô rời rạc

Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X

Ví dụ 3 Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với tôpô  là lớp tất cả các tập hợp mở trong không gian metric đó, gọi là tôpô cảm sinh bởi metric hay tôpô metric

Tôpô sinh bởi metric trong không gian Euclid Rk

còn gọi là tôpô tự nhiên trong Rk

1.1.3 Lân cận

Định nghĩa 1 (xem [4], tr.22): Giả sử ( , )X  là không gian tôpô và

A X

Ta gọi là lân cận mở của A một tập hợp mở chứa A

Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận của A

Nếu A là một tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái niệm lân cận mở, lân cận của một điểm

Điểm x X được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một lân

cận V của x sao cho V  A

Nhận xét 1.1.3 (xem [4], tr.22): Như vậy, nếu V là lân cận của điểm x

thì x là điểm trong của V Từ các tiên đề (O2), (O3) ta có

1 Hợp một họ tuỳ ý các lân cận của A là lân cận của A

2 Giao một họ hữu hạn các lân cận của A là lân cận của A

Định lý 1.1.3 (xem [4], tr.22): Để tập hợp G mở trong không gian tôpô

X thì cần và đủ là mọi điểm x G đều là điểm trong của G

Chứng minh: Nếu G là tập hợp mở thì mọi x G đều nhận G là lân cận (chứa trong G)

Do đó x là điểm trong của G

Đảo lại, thì mọi điểm x G đều tồn tại một lân cận mở U x của x sao cho U x G

Định nghĩa 2 (xem [4], tr.22): Giả sử X, là không gian tôpô

Một họ  những lân cận của điểm xX được gọi là một cơ sở lân cận

của x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V sao cho V U

Nếu tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm

x gọi là có cơ sở lân cận đếm được

Không gian tôpô mà tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một cơ sở lân cận đếm được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Ví dụ 1 Trong không gian metric X, với mọi x X đều có một cơ sở

lân cận đếm được Chẳng hạn họ các hình cầu B n B x,1

1.1.4 Không gian tôpô con

Định nghĩa 1.1.4 (xem [4], tr.25): Nếu ( , )X  là không gian tôpô

Cho Y  X thì họ Y GY G:   là một tôpô trên X Do đó ta định nghĩa: Tôpô Y xác định như trên được gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô  trên

Y, không gian ( ,Y Y) được gọi là không gian con của không gian tôpô ( , )X 

Như vậy, trong không gian con Y thì tập hợp AY mở trong Y khi và

chỉ khi A G Y với G là tập hợp mở trong X

Định lý 1.1.4 (xem [4], tr.25): Cho không gian tôpô ( , )X  , Y  X và

yY Khi đó

1 Tập hợp AY là tập hợp đóng trong Y khi và chỉ khi A F Y

với F là tập hợp đóng trong X

2 Tập hợp WY là lân cận của y trong Y khi và chỉ khi W V Y

với V là một lân cận của y trong Y

Vậy Y\A là mở trong Y (theo1) nên A đóng trong Y

2 Với W là một lân cận của y trong Y thì có một tập hợp U mở trong Y

và y U

Khi đó, U V Y  với V là tập mở trong X và hiển nhiên y V

Vậy V chính là lân cận của y trong X

Ngược lại, giả sử W  V Y với V là một lân cận trong X của y YThế thì có một tập U mở trong X sao cho y U , do đó UY là tập

hợp mở trong Y và W U Y 

Suy ra W là lân cận của y trong Y

1.2 Phần trong, bao đóng của một tập hợp Tập hợp trù mật

Hiển nhiên là với tập hợp A bất kỳ thì int A A

Định lý 1.2.1 (xem [4], tr.26): Phần trong intA của tập hợp mở là một

tập hợp mở và là tập hợp mở lớn nhất chứa A, do đó là hợp của tất cả các tập hợp mở

Chứng minh: Giả sử xintA, suy ra tồn tại một lân cận mở U của x

sao cho UA

Thế thì với mọi y U đều nhận U là lân cận của y

Do đó, y là điểm trong của A nên UintA

Vậy intA là tập hợp mở

Giả sử G là tập hợp mở chứa trong A

Thế thì G là lân cận của mọi điểm x G , do đó xintA

Vậy GintA Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.1 (xem [4], tr.26): G là tập mở khi và chỉ khi GintG

Định lý 1.2.2 (xem [4], tr.27): Bao đóng clA của tập hợp A là tập hợp

đóng và là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A, do đó là giao của tất cả các tập đóng chứa A

Chứng minh: Hiển nhiên nếu A  thì A đóng

Trái lại, với mọi xX clA\ , tồn tại lân cận mở U của x sao cho

U A

Khi đó mọi y U đều nhận U là lân cận, do đó y clA

Vì vậy U X clA\

Suy ra xint(X clA\ )

Vậy X\clA là tập hợp mở, nên clA là tập hợp đóng

Giả sử F là tập hợp đóng, F  A

Khi đó nếu xF thì x U X F\ X A\

Vì F đóng nên U mở, do đó là lân cận mở của x và U A , điều này chứng tỏ x clA

Vậy clA F Suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.2 (xem [4], tr.27): F là tập hợp đóng khi và chỉ khi F clF

1.2.3 Tập hợp trù mật

Định nghĩa 1.2.3(xem [4], tr.31): Cho không gian tôpô X; ,A BX

Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B clA

Nếu clA X thì ta nói A trù mật (khắp nơi) trong X

Nhận xét 1.2.3 (xem [4], tr.31): Từ định nghĩa ta suy ra

1 Tập hợp A trù mật trong tập hợp B khi và chỉ khi với mọi x B và

mọi lân cận V của x thì V  A

Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập hợp A X nếu f liên tục tại mọi

điểm x A Đặc biệt, nếu AX thì ta nói f là ánh xạ liên tục

Ví dụ 1 Cho X, Y là các không gian tôpô, b Y là phần tử cố định Khi

đó ánh xạ f X: Y x: a b là ánh xạ liên tục

Ví dụ 2 Nếu X là không gian tôpô rời rạc và Y là không gian tôpô bất

kỳ thì mọi ánh xạ f X: Y đều liên tục

Ví dụ 3 Một ánh xạ liên tục f X: Y từ không gian metric X vào không gian metric Y thì cũng là ánh xạ liên tục theo các tôpô sinh bởi các metric tương ứng

1.4 Tích Descartes họ các không gian tôpô Không gian thương

1.4.1 Tích Descartes họ các không gian tôpô

Định nghĩa 1 (xem [4], tr.39): Giả sử  X   là một họ các tập hợp

Ta gọi là tích Descartes của họ tập hợp  X   tập hợp X gồm tất cả ánh xạ

được gọi là không gian tôpô tích Descartes của họ các không gian

(X  , )  , tôpô  còn được gọi là tôpô Tichonov

Định lý 1.4.1 (xem [4], tr.39): Giả sử (X  , )  là một họ các không gian tôpô

Khi đó các tập hợp dạng W

 , trong đó Wvà W  X chỉ với một số hữu hạn các  làm thành một cơ sở tôpô của tôpô Tichonov

Chứng minh: Ta có cơ sở tôpô trong không gian tích là họ tất cả các

1.4.2 Không gian thương

Định nghĩa 1.4.2 (xem [4], tr.43): Cho X, là một không gian tôpô

R là một quan hệ tương đương trên X Gọi X R = %/ x x: X là tập hợp các lớp tương của X theo R và :i X X R/ :xa x% là ánh xạ thương

Khi đó: tôpô của trên tập hợp X R xác định bởi ánh xạ / i được gọi

là tôpô thương và không gian X / ,R  được gọi là không gian thương của không gian X theo quan hệ R

Trong chương 1 này chúng ta đã xem xét được một số vấn đề như: Không gian tôpô; phần trong, bao đóng của một tập hợp, tập hợp trù mật; ánh

xạ liên tục; tích Descartes họ các không gian tôpô và không gian thương Ở

chương kế tiếp chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề trọng tâm của khóa luận về không gian liên thông

Chương 2

KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG

Trong chương 2 em xin trình bày một số vấn đề về không gian liên thông, tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông, thành phần liên thông, tập hợp liên thông trong không gian k

R

2.1 Không gian liên thông Tập hợp liên thông

Định nghĩa 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X gọi là liên thông

nếu chỉ có các tập  và X vừa mở vừa đóng

Như vậy, không gian tôpô X là không liên thông khi và chỉ khi tồn tại một tập hợp con thực sự M  X không rỗng vừa mở vừa đóng

Ví dụ 1 Không gian tôpô thô  X, , với    , X là không gian liên thông

Thật vậy, với    , X ta có , X là tập vừa mở vừa đóng duy nhất nên  X, là không gian liên thông

Ví dụ 2 Không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông

Thật vậy, với  trong không gian tôpô rời rạc gồm tất cả các tôpô con trên X với X 2 ( X là số phần tử của tập X) thì ta luôn lấy ra được tập con

thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng

Nên không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông

Định lý 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X là liên thông khi và

chỉ khi không tồn tại các tập hợp mở G j X j( 1,2) sao cho

j

G   j  G G   G G  X

Chứng minh: Suy từ định nghĩa không gian liên thông và đặc trưng

của tập hợp mở trong không gian tôpô

Định nghĩa 2.1.2 (xem [4], tr.74): Tập hợp A trong không gian tôpô X

gọi là tập hợp liên thông nếu không gian tôpô con A liên thông

Như vậy, tập hợp A liên thông nếu không tồn tại một tập hợp con thực

sự vừa mở vừa đóng trong không gian con A

Ví dụ 1 Tập liên thông trong R có một trong các dạng sau: , R,  a ,

 a b , ,  a b , , a b , ,  a b , 

Hiển nhiên các tập , R,  a là tập liên thông

Các đoạn  a b , ,  a b , , a b , ,  a b đều là tập liên thông và được , 

chứng minh tương tự nhau Sau đây ta chứng minh đoạn thẳng  a b, R là tập hợp liên thông

Thật vậy, giả sử  a b, R không liên thông Khi đó, tồn tại một tập

con thực sự A  vừa mở vừa đóng trong  a b ,

Vì A là tập con thực sự của  a b nên ,  r  a b r, , A

Rõ ràng A[a, r)(r, b]

Đặt B A [ , ),a r C A ( , ]r b , ta có A B C

Vì A  nên ít nhất một trong hai tập B, C không rỗng

Giả sử B  Tập B bị chặn trên bởi r nên sup B b' r

Vì b'supB nên  n : lim n '

Do A mở  a b, và [ , )a r là mở trong  a b nên B là mở trong ,  a b ,

Vì 'b B nên tồn tại một số  0 sao cho:

[a, b]( b'- , b'+ )  B (tất nhiên 'b  r)

Số

2'

   và xb' nên mâu thuẫn với b’ là cận trên của B

Nếu giả sử C  thì ta cũng đi đến mâu thuẫn tương tự

Vậy  a b là liên thông ,

Định lý 2.1.3 (xem [4], tr.74): Nếu tồn tại tập hợp A liên thông trù mật

trong không gian tôpô X thì X là không gian liên thông

Chứng minh: Giả sử X không liên thông

Theo định lý 2.1.2 khi đó tồn tại các tập hợp mở G j X (j1,2) sao cho: G j  (j1,2),G1G2  ,G1G2 X

Vì A trù mật trong X, nên giao của A với một tập hợp mở trong X khác rỗng

Hệ quả 2.1.3 (xem [4], tr.75): Nếu A là một tập hợp liên thông và

A B clA thì B cũng là tập hợp liên thông

Định lý 2.1.4 (xem [4], tr.75): Nếu A, B là các tập hợp liên thông trong

không gian tôpô X và A  B thì AB là tập hợp liên thông trong X

Chứng minh: Giả sử AB không là tập hợp liên thông trong X

Thế thì tồn tại các tập hợp mở G j X (j1,2) sao cho

Kết hợp với các điều kiện (2.1.4) suy ra hoặc A không liên thông, hoặc

B không gian liên thông - mâu thuẫn giả thiết

Vậy AB là tập hợp liên thông

Hệ quả 2.1.4 (xem [4], tr.75): Giả sử A j j 1,n là các tập hợp liên thông và



U là liên thông

Chứng minh: Dùng quy nạp theo n và áp dụng định lý 2.1.4 ta được

điều phải chứng minh

Tổng quát hơn ta có

Định lý 2.1.5 (xem [4], tr.75): Giả sử A : là một họ những tập hợp liên thông trong không gian tôpô X và  , , tồn tại

Vì G1  A nên tồn tại  sao cho G1 A  

Tương tự, tồn tại  sao cho G2 A  

j

Mâu thuẫn chứng tỏ A liên thông

Hệ quả 1 (xem [4], tr.76): Hợp của một họ các tập hợp liên thông trong

không gian tôpô X mà có giao không rỗng là tập hợp liên thông

Hệ quả 2 (xem [4], tr.76): Nếu với hai điểm bất kỳ x, y trong không

gian tôpô X đều tồn tại một tập hợp liên thông chứa x và y thì X là không gian liên thông

Chứng minh: Giả sử cố định điểm x X Theo giả thiết thì với mỗi

yX đều tồn tại một tập hợp liên thông C chứa x và y y

Khi đó C y :yX là một họ các tập hợp liên thông của X và có giao không rỗng, vì xC y với mọi yX

Vậy theo hệ quả 1 thì y

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, để tiện trình bày ta có thể giả

thiết f là toàn ánh liên tục từ không gian liên thông X lên không gian tôpô Y

ta phải chứng minh Y là liên thông

Thật vậy, giả sử Y không liên thông Khi đó tồn tại các tập hợp mở ( 1,2)