Giả sử x là một điểm trong không gian tôpô X. Khi đó hợp của tất cả các tập hợp liên thông chứa x là tập hợp liên thông chứa x, đồng thời là tập hợp liên thông lớn nhất chứa x .
Do đó ta có:
Định nghĩa 2.3 (xem [4], tr.78): Giả sử X là một không gian tôpô và
xX , tập hợp liên thông lớn nhất trong không gian X chứa x được gọi là thành phần liên thông của điểm x , ký hiệu là Cx
Nếu x A X thì thành phần liên thông của điểm x trong không gian con A gọi là thành phần liên thông của điểm x trong tập hợp A.
Nhận xét 2.3:
1. Hiển nhiên nếu X là không gian liên thông thì X là thành phần liên thông của mỗi điểm xX .
2. Nếu A là một tập hợp vừa mở vừa đóng trong không gian tôpô X thì A chứa các thành phần liên thông của mỗi điểm của nó.
Ví dụ 1. k
R chỉ có một thành phần liên thông là chính nó.
Ví dụ 2. Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông.
Định lý 2.3.1 (xem [4], tr.79): Trong không gian tôpô X thành phần liên thông Cx của một điểm xX là tập hợp đóng.
Chứng minh: Vì Cx là tập hợp liên thông nên theo hệ quả 2.1.3 thì
x
clC là tập hợp liên thông.
Do đó từ định nghĩa 2.3 ta suy ra clCx Cx
Vậy Cx là tập hợp đóng.
Định lý 2.3.2 (xem [4], tr.79): Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó, với mọi x y, X thì hoặc Cx Cy hoặc Cx Cy
Chứng minh: Giả sử Cx Cy . Khi đó theo định lý 2.1.4 thì
x y
C C là tập hợp liên thông chứa x và y
Từ định nghĩa tập hợp liên thông ta suy ra
x y x
C C C và Cx Cy Cy
Vậy Cx Cy
Trong không gian tôpô X, ta định nghĩa y Rx y Cx
thì R là một quan hệ tương đương trong X
Thật vậy, các tính chất phản xạ và đối xứng là hiển nhiên, tính chất bắc cầu được suy ra từ định lý 2.2.2
Như vậy: quan hệ tương đương R phân hoạch một không gian tôpô thành các lớp tương đương mà mỗi lớp là một thành phần liên thông của không gian tôpô X.
Định lý 2.3.3 (xem [4], tr.79): Trong không gian tích Descartes
X X (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
của một họ các không gian tôpô X : thành phần liên thông của điểm x(x)X thì tích Descartes của các thành phần liên thông
C của điểm x X,
Chứng minh: Theo định lý 2.2.1 thì C
là tập hợp liên thông lớn chứa điểm x(x) trong không gian tích X
Mặt khác,nếu A là tập hợp liên thông trong X X
chứa điểm x và với mỗi , phép chiếu P :X X không gian X lên X là liên tục.
Nên P A( ) là tập hợp liên thông chứa x trong không gian X
Do đó theo định nghĩa thành phần liên thông ta có P A( )C, với mọi
Suy ra A P A( ) C
Vậy C
là thành phần liên thông của điểm x
2.4 Tập hợp liên thông trong không gian k
R
Định lý 2.4.1 (xem [4], tr.80): Đường thẳng thực R là không gian liên thông.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử R không liên thông. Khi đó tồn tại một tập hợp con thực sự không rỗng G vừa mở vừa đóng trong R và hiển nhiên G có nhiều hơn một phần tử.
Đặt A G , r và B G r, Suy ra G A B
Vì G nên một trong hai tập hợp A và B không rỗng Giả sử A , vì A bị chặn trên nên tồn tại asupAr
Đồng thời tồn tại một dãy ( )xn A, lim n
n x a
Nhưng ( )xn cũng là dãy phần tử của G và do G cũng là tập đóng nên
a G . Vì vậy ar, suy ra aA
Vì A là tập mở trong R nên 0 : (a, a) A
Khi đó hiển nhiên số thực (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
x a A
và xa
Điều này mâu thuẫn vì a là một cận trên của A, chứng tỏ không tồn tại tập hợp con thực sự vừa mở vừa đóng trong R
Vậy R là không gian liên thông.
Nhận xét 2.4.1 (xem [4], tr.80): Từ định lý 2.3.3 suy ra rằng các không gian Euclide Rk là liên thông. Từ định lý 2.1.6 suy ra không gian đồng phôi với một không gian liên thông là không gian liên thông. Vì mỗi khoảng mở (hữu hạn hoặc vô hạn) trên đường thẳng thực R là đồng phôi với R suy ra mỗi khoảng mở trong R đều là tập hợp liên thông.
Nhờ hệ quả 2.1.3 thì mỗi đoạn (tức khoảng mở) hoặc khoảng nửa đóng (hữu hạn hoặc vô hạn) cũng là những tập hợp liên thông trong R.
Điều khẳng định ngược lại cũng đúng.
Định lý 2.4.2 (xem [4], tr.80): Nếu A là tập hợp liên thông trên đường thẳng thực R thì A là một khoảng.
Ta hiểu khoảng mở ở đây là khoảng mở hoặc khoảng đóng hoặc nửa đóng,hữu hạn hoặc vô hạn.
Chứng minh: Giả sử A là tập hợp liên thông trong R, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu a b, A a, b thì khoảng đóng a b, A
Thật vậy, giả sử tồn tại một số cA a: c b
Thế thì G1 ,cR và G2 c, R là các tập hợp mở trong R thỏa mãn:
1 , 2 , 1 2 , 1 2
G A G A G G AG G
Theo định lý 2.1.2 thì điều này mâu thuẫn với giả thiết là A liên thông.
Hệ quả 2.4.2 (xem [4], tr.81): Giả sử f là hàm thực liên tục trên không gian liên thông X và các điểm a b, X f a, ( ) f b( ). Khi đó với mọi số thực r nằm giữa f a( ) và f b( ), tồn tại điểm cX sao cho f c( )r
Chứng minh: Suy ra từ định lý 2.1.6 và định lý 2.4.2
Một trường hợp riêng thường gặp của không gian liên thông là không gian liên thông cung.
Định lý 2.4 (xem [4], tr.81): Không gian tôpô X gọi là liên thông cung nếu với hai điểm bất kỳ a b, X tồn tại một ánh xạ liên tục f : 0,1 X sao cho f(0)a f, (1)b.
Khi đó, ánh xạ f gọi là một cung nối hai điểm a và b, điểm a gọi là điểm đầu và b là điểm cuối của cung.
Ví dụ 1. Đường tròn trên mặt phẳng là một liên thông cung.
Thật vậy, giả sử đường tròn C tâm tại gốc O bán kính R trong mặt phẳng
( cos , sin ) : 0 2 C R t R t t Xét ánh xạ 2 : 0,2
f R cho bởi f t( )( cos ,R t Rsin )t
Do ánh xạ f liên tục và 0,2 là tập hợp liên thông nên
( 0,2 )
C f cũng liên thông.
Vậy đường tròn trên mặt phẳng là liên thông cung. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhận xét 2.4 (xem [4], tr.81): Vì đoạn 0, 1 là một không gian liên thông, f là một ánh xạ liên tục nên f 0,1 là một tập hợp liên thông trong X. Tập hợp liên thông này chứa a và b. Theo hệ quả 2 thì X là không gian liên thông. Như vậy mỗi không gian liên thông cung là một không gian liên thông. Điều ngược lại nói chung là không đúng.
Định lý 2.4.3 (xem [4], tr.81): Nếu X là không gian tôpô, A X thì một cung bất kỳ nối một điểm trong của A với một điểm ngoài của A phải cắt biên frA của A tại ít nhất một điểm.
Ở đây điểm trong của A hiểu là điểm thuộc intA, điểm ngoài của A là điểm thuộc X clA\ , cung f : 0,1 X gọi là cắt frA nếu
0,1
f frA
2.5 Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng: Tập con A của không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi đối với cặp tập con mở (đóng) bất kỳ U, V trong X sao cho A U V, từ A U và A V suy ra A U V
Bài 2: Chứng minh rằng: Không gian X là liên thông khi và chỉ khi mọi cặp điểm của X đều nằm trong một tập hợp liên thông của X.
Bài 3: Chứng minh rằng đoạn thẳng a b, R là tập hợp liên thông.
Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu hai tập con liên thông A và B của không gian tôpô X có điểm chung thì C A B cũng liên thông.
Bài 5: Cho M và N là những tập con đóng trong X và thỏa mãn ,
M N M N đều liên thông. Chứng minh rằng M và N cũng liên thông.
Bài 6: Chứng minh rằng tập hợp E trên đường thẳng là liên thông khi và chỉ khi với bất kỳ hai điểm x1E x, 2E thì đoạn x x1, 2 chứa trong E.
Bài 7: Chứng minh rằng thành phần liên thông của X là tập con đóng của X ; hai thành phần liên thông của X hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau.
Bài 8: Thành phần liên thông của điểm x của không gian X là thành phần liên thông của X chứa điểm x. Không gian X gọi là hoàn toàn không liên thông nếu thành phần liên thông của mỗi điểm xX là tập hợp một điểm x . Chứng minh rằng:
a. Không gian rời rạc là không gian hoàn toàn không liên thông.
b.Không gian các số hữu tỷ Q (với tôpô cảm sinh bởi tôpô tự nhiên trên R) là hoàn toàn không liên thông nhưng không phải là một không gian rời rạc.
Bài 9: Giả sử X là không gian tôpô liên thông,còn ánh xạ f X: R
liên tục và nhận giá trị dương cũng như âm. Chứng minh rằng tồn tại x0X
sao cho f x( 0)0
2.6 Hƣớng dẫn giải bài tập
Bài 1: Từ định nghĩa không gian liên thông hiển nhiên ta có X là một không gian liên thông khi và chỉ khi nó không biểu diễn được dưới dạng hợp hai tập hợp mở không rỗng không giao nhau. Sử dụng điều đó ta chứng minh bài này như sau:
Giả sử tập con A của không gian tôpô X là liên thông và U, V là hai tập hợp mở bất kỳ trong X, sao cho A U V, A V và A U . Nếu
A U V thì khi đó ta có: ( ) ( ) A AU AV (do A U V) , A U A V và mở trong A AU AV A U V
Điều này mâu thuẫn với A là liên thông,
Ngược lại, cho giả thiết như trong đề bài ta chứng minh A là liên thông. Giả sử A không liên thông thì U V', ' ; U V', ' mở trong A sao cho
' '
A U V và U'V'
Theo định nghĩa tôpô cảm sinh U' A U V, ' A V trong đó U và V là mở trong X (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra A U 'V' U V, A U U' , A V V'
Nhưng A U V (AU)(AV) U' V' Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Bài 2: Điều kiện cần là hiển nhiên vì tập liên thông như vậy có thể lấy chính không gian X.
Ngược lại, giả sử mọi cặp điểm của X đều nằm trong một tập hợp liên thông của X nhưng X không liên thông.
Vậy X U V, trong đó U, V mở và khác ,U V
Lấy x1 U, x2 V và giả sử A là tập liên thông chứa x1 và x2
Hiển nhiên A U V X A, U , A V
Theo bài 1 ta có A U V , nhưng điều đó mâu thuẫn với
U V
Vậy X phải liên thông.
Bài 3: Ví dụ 1 ( trang 18)
Bài 4: Giả sử A và B là hai tập con liên thông của X và giả sử 0
x A B
Nếu C A B không liên thông thì tồn tại các tập U V, , mở trong C, U V và C U V
Vì x0 C U V nên x0U hoặc x0V
Giả sử x0U , ta sẽ chứng minh rằng AU và BU
Thật vậy, giả sử AU . Do A C U V
Suy ra A V
Lại có A U nên theo bài 1: A U V
Điều này mâu thuẫn với U V . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được BU suy ra C A B U
Vậy điều giả sử là sai tức là C A B phải liên thông.
Bài 5: Cho M và N là những tập con đóng trong X và thỏa mãn ,
M N M N đều liên thông. Ta sẽ chứng minh rằng M và N cũng liên thông.
Giả sử M không liên thông. Khi đó tồn tại hai tập U V, ,đóng trong M, U V và M U V
Vì M là đóng trong X nên U, V cũng đóng trong X Đặt AM N
BM N U V N U N V N
Do B nên U N hoặc V N . Giả sử U N
Khi đó: BM N U V B U M N U N U B U V Từ bài tập 1 ta có: B V M N V N V Xét A N M N UV NU V N V U V
Hiển nhiên N U ,V và đều đóng trong A. Điều này mâu thuẫn với A là liên thông. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy M phải là tập liên thông.
Tương tự ta cũng có N là liên thông.
Bài 6: Điều kiện đủ suy ra từ bài 2. Ta chứng minh điều kiện cần
Cho E là một tập hợp liên thông trên đường thẳng. Lấy hai điểm tùy ý 1
Nếu có một điểm c sao cho x1 c x2 mà cE thì E A B
Trong đó Ac, E B, ,cE
Hiển nhiên A và B đều khác rỗng và mở trong E, A B
Điều này mâu thuẫn với E là liên thông.
Bài 7: Giả sử A là thành phần liên thông bất kỳ của X Khi đó: clA cũng là tập liên thông.
Do AclA mà A là thành phần liên thông nên clA A
Vậy A là đóng.
Giả sử A và B là hai thành phần liên thông của X. Nếu A và B có điểm chung thì theo bài 4: AB cũng là tập liên thông.
Vậy A B A và A B B, tức là AB
Bài 8:
a. Cho X là không gian rời rạc. Nếu x X sao cho thành phần liên thông Cx của X chứa điểm x có nhiều hơn một điểm thì tập hợp một điểm x là tập con thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng của Cx
Điều này mâu thuẫn với Cx là liên thông. Vậy không gian rời rạc là không gian hoàn toàn không liên thông.
b. Giả sử r Q sao cho thành phần liên thông Cr của Q chứa r có nhiều hơn một điểm, tức là r' Q (chẳng hạn 'r r) : 'r Cr
Khi đó, theo bài 6 đoạn r r, 'Cr. Điều này vô lý vì Cr Q, còn
r r, ' thì chứa vô số điểm vô tỷ.
Hiển nhiên Q không phải là không gian rời rạc, vì tập hợp một điểm trong Q không phải là tập mở.
Bài 9: Giả sử X là không gian tôpô liên thông, còn ánh xạ f X: R
liên tục và x x1, 2X sao cho f x( )1 0, f x( 2)0
Ta có f X( ) là tập hợp liên thông trong R và theo bài 6 cả đoạn
1 2
( ), ( ) ( )
f x f x f X
, tức là 0 f X( ) hay x0 X sao cho f x( 0)0
Trong chương 2 chúng ta đã xem xét một số vấn đề về không gian liên thông, tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông, thành phần liên thông, tập hợp liên thông trong không gian k
R . Em cũng đã đưa ra một số bài tập tiêu biểu về phần không gian liên thông và giải những bài tập đó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KẾT LUẬN
Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện khóa luận em đã được làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng đã được củng cố thêm kiến thức về Hình học vi phân đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt trong khóa luận này em đã nghiên cứu một cách tổng quát một số vấn đề của “Không gian liên thông”. Em hy vọng tài liệu này sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên đến với Hình học vi phân nói riêng và toán học nói chung.
Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bùi Đắc Tắc – Nguyễn Thanh Hà, Bài tập không gian tôpô – độ đo – tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1999.
[2] J.L.Keli, Tôpô đại cương, New York, 1967.
[3] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương – Độ đo và tích phân
NXB Giáo dục, 1994.
[4] Phùng Đức Thắng, Giáo trình tôpô đại cương,độ đo – tích phân