Bài giảng Xác suất thống kê

§1 CÔNG THỨC GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Nếu công việc chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp có n1 cách thực xong công việc, trường hợp có n2 cách thực xong công việc, … , trường hợp k có nk cách thực xong công việc cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác, có n1 + n2 + … + nk cách thực xong công việc Quy tắc nhân Nếu công việc chia làm k giai đoạn để thực hiện, giai đoạn có n1 cách thực xong công việc, giai đoạn có n2 cách thực xong công việc, … , giai đoạn k có nk cách thực xong công việc cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác, có n1 n2 … nk cách thực xong công việc Ví du Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có số ngàn lập từ tập A trường hợp sau: a) Số ngàn có chữ số khác b) Số ngàn có chữ số khác số chẵn c) Số ngàn có chữ số khác số lẽ 1.2 Hoán vị Một hoán vị n phần tử cách xếp thứ tự n phần tử Số hoán vị n phần tử kí hiệu Pn  n! Ví dụ Xếp ngẫu nhiên sinh viên có M, N vào bàn dài có chổ Có cách xếp trường hợp sau: a) Ngồi tùy ý b) M ngồi đầu bàn c) M N ngồi cạnh d) M N ngồi hai đầu bàn e) M N không ngồi cạnh 1.3 Chỉnh hợp Một chỉnh hợp chập k n phần tử có kể thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k lấy từ n phần tử kí hiệu Ank xác định: n! (n  k )! Ví dụ Một lớp có 50 sinh viên, có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp sinh viên để lập ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ thủ quỷ Có cách chọn trường hợp sau: a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ b) Lớp trưởng phải nữ c) Có nữ d) Có nữ Ank  1.4 Tổ hợp Một tổ hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử n! cho, kí hiệu Cnk  k !(n  k )! Ví dụ Một lớp có 50 sinh viên, có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp sinh viên Có cách chọn trường hợp sau a) Có sinh viên nữ sinh viên chọn b) Có sinh viên nữ sinh viên chọn c) Có sinh viên nữ sinh viên chọn d) Có nhiều sinh viên nữ sinh viên chọn Ví dụ Một hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy từ hộp bi Hỏi có cách lấy trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có bi xanh, bi đỏ bi vàng c) Có bi xanh d) Có nhiều bi xanh Ví dụ Có hai hộp bi Hộp có bi xanh, bi đỏ, hộp có bi xanh, bi đỏ Lấy từ hộp bi, lấy từ hộp bi Hỏi có cách lấy bi trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có bi xanh c) Có nhiều bi xanh §2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1 Phép thử biến cố Phép thử thí nghiệm thực điều kiện xác định Một phép thử cho nhiều kết khác nhau, kết gọi biến cố Ví dụ Thực phép thử tung xúc xắc đồng chất mặt Các biến cố xảy là: Xuất mặt chấm; Xuất mặt có chấm chẵn,… Biến cố chắn, kí hiệu Ω, biến cố thiết phải xảy thực phép thử Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm không 6” biến cố chắn Biến cố không thể, kí hiệu Φ, biến cố không xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử Ta thường dùng kí tự A, A1, A2, B, C,… để biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên Trong ví dụ minh họa sau, tung xúc xắc mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) biến cố “Xuất mặt j chấm” Biến cố tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B biến cố xác định A + B xảy A xảy B xảy (Có hai biến cố A B xảy ra) Ta mở rộng khái niệm tổng n biến cố A1, A2,…, An sau: A1 + A2 +…+ An xảy có n biến cố A1, A2,…, An xảy Ví dụ Tung xúc xắc mặt, gọi A biến cố “Xuất mặt có số chấm không 3” B biến cố “Xuất mặt có số chấm lẽ”, ta có: A = A1 + A + A B = A1 + A + A Biến cố tích hai biến cố A B, kí hiệu AB (hay A∩B) biến cố định bởi: AB xảy A xảy B xảy (trong phép thử) Như vậy, biến cố tích AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy phép thử Ta mở rộng khái niệm tích n biến cố A1, A2,…, An sau: A1A2…An xảy tất n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy Ví dụ Tung xúc xắc mặt, xét biến cố sau: A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lớn hay C: Xuất mặt có số chấm nhỏ hay Ta có: AB = A6 ABC = Φ Biến cố sơ cấp biến cố khác biến cố bất khả phân tích dạng tổng hai biến cố khác Ta xem biến cố sơ cấp nguyên tử nhỏ phân chia đươc Một biến cố A tổng số biến cố sơ cấp đó, ta gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Như vậy, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tất yếu, biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố bất khả Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, ta có tất biến cố sơ cấp Aj (j = 1,2,…,6) Gọi A biến cố xuất mặt có số chấm lẻ Khi đó: A = A1 + A + A Do dó có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A A1, A3, A5 Hai biến cố A B gọi xung khắc AB =  , nghĩa A B không đồng thời xảy phép thử Ví dụ Tung xúc xắc mặt, xét biến cố : A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt chấm C : Xuất mặt có số không Ta có A B xung khắc A C không (AC = A2) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A , biến cố định A xảy A không xảy Như vậy, A A xung khắc, A + A = Ω, nghĩa thiết phải có hai biến cố A A xảy thực phép thử Các ví dụ 1) Tung xúc xắc mặt, xét biến cố A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lẻ Ta thấy B biến cố đối lập A 2) Tung đồng xu, xét biến cố A: Đồng xu xuất mặt sấp B: Đồng xu xuất mặt ngửa Khi A, B hai biến cố đối lập 3) Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy từ hộp bi, xét biến cố A: Ba bi lấy có bi xanh B: Ba bi lấy ba bi đỏ Khi A, B hai biến cố đối lập C: Ba bi lấy có nhiều bi xanh D: Ba bi lấy ba bi xanh Khi C, D hai biến cố đối lập 10 Các biến cố đồng khả biến cố có khả xảy thực phép thử Ví dụ Khi tung ngẫu nhiên xúc xắc đồng chất mặt, biến cố sơ cấp Aj (j = 1, 2,…,6) đồng khả Ví dụ Có hộp bi, hộp có 10 viên hộp thứ i có i + bi đỏ lại bi xanh Lấy từ hộp bi Gọi Ai “Bi lấy từ hộp i bi xanh”, i = 1,2 Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn biến cố sau a) Hai bi lấy hai bi xanh b) Hai bi lấy có bi xanh c) Hai bi lấy màu d) Hai bi lấy có bi hộp xanh Giải a) Gọi A hai bi lấy hai bi xanh Ta có : A = A1A2 b) Gọi B hai bi lấy có bi xanh Ta có : B  A1 A2  A1 A2 c) Gọi C hai bi lấy màu Ta có : C  A1 A2  A1 A2 d) Gọi D hai bi lấy có bi hộp xanh Ta có : D  A1 A2 2.2 Định nghĩa xác suất Giả sử tiến hành phép thử, có tất n biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số m P( A)  n gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ba bi Tính xác suất sau: a) Ba bi lấy ba bi xanh b) Ba bi lấy có bi xanh c) Ba bi lấy có nhiều bi xanh d) Ba bi lấy có bi xanh Giải a) Gọi A “Ba bi lấy bi xanh” C63 P( A)  C10 b) Gọi B “Ba bi lấy có bi xanh” C61C42 P( B)  C10 c) Gọi C “Ba bi lấy có nhiều bi xanh” C43  C61C42  C62C41 P(C )  C103 b) Gọi D “Ba bi lấy có bi xanh” C1C  C62C41  C63 P ( D)  C103 Ví dụ Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn có: a) Nhiều sản phẩm xấu b) Ít sản phẩm xấu Giải Gọi Ai “Có i sản phẩm xấu sản phẩm lấy ra” (i = 0, 1, 2, 3) a) Gọi A “Có nhiều sản phẩm xấu” Ta có: A = A0 + A + A Suy P( A)  P( A0 )  P( A1 )  P( A2 ) b) Gọi B “Có sản phẩm xấu” Khi đó, biến cố đối lập B biến cố sản phẩm xấu sản phẩm chọn nên B = A0 Suy xác suất B P( B)   P( A0 ) §3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất thứ Với A B hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng Với A1, A2, …, An n biến cố xung khắc đôi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) Hệ Với A biến cố bất kỳ, ta có P( A ) = − P(A) Ví dụ Một lô hàng có 20 sản phẩm có sản phẩm loại A, lại loại B Lấy từ lô hàng sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A b) Tính xác suất để sản phẩm lấy có nhiều sản phẩm loại A Giải a) Gọi A sản phẩm lấy có sản phẩm loại A Suy A sản phẩm lấy sản phẩm loại B P ( A)  Mà P( A)   P( A) nên P( A)   C145 C20 C145 C20 b) Gọi B sản phẩm lấy có nhiều sản phẩm loại A Suy B sản phẩm lấy sản phẩm loại A C65 P( B )  C20 C65 Mà P( B)   P( B) nên P( A)   C20 Công thức cộng xác suất thứ hai Với A B hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) −P(AB) Ví dụ (CHKT2006) Một lớp học có 100 sinh viên, có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ 20 sinh viên giỏi hai môn Toán ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất sau a) Sinh viên giỏi môn toán b) Sinh viên giỏi ngoại ngữ c) Sinh viên giỏi hai môn Giải a) Gọi A "Sinh viên giỏi môn toán" Số sinh viên giỏi Toán là: 50  20  30 30 Vậy P( A)   0,3 100 b) Gọi B "Sinh viên giỏi môn ngoại ngữ" Số sinh viên giỏi Ngoại ngữ là: 60  20  40 40  0, Vậy P( B)  100 c) Cách Gọi C “sinh viên chọn giỏi môn Toán” Gọi D “sinh viên chọn giỏi môn ngoại ngữ” Khi - CD biến cố sinh viên chọn giỏi hai môn Toán ngoại ngữ - C + D biến cố sinh viên chọn giỏi hai môn Toán ngoại ngữ Vì C, D không xung khắc nên P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD) P(C  D)  50 60 20    0,9 100 100 100 Cách Gọi E “Sinh viên giỏi hai môn” Khi E  A  B  AB , A, B, AB xung khắc nên theo công thức cộng thư P( E)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,3  0,  0,  0,9 3.2 Công thức nhân xác suất Xác suất có điều kiện a Định nghĩa Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, gọi xác suất có điều kiện A B Kí kiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy b Công thức  A  P( AB) P    B  P( B) + P(AB) xác suất để A B xảy + P(B) xác suất để B xảy Ví dụ Có sinh viên X, Y, Z thi xác suất thống kê có hai sinh viên thi đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết sinh viên Y thi đậu Giải Gọi A sinh viên X thi đậu Gọi B sinh viên Y thi đậu Xác suất để sinh viên X thi đậu biết sinh viên Y thi đậu xác suất có điều kiện A B  A P( AB) Ta có: P    , với P( AB)  ; P( B)  3  B  P( B)  A Vậy P     0,5 B Ví dụ Tung xúc xắc đồng chất mặt Xét biến cố sau: - A biến cố xuất mặt có số chấm chẵn - B biến cố xuất mặt có số chấm lẻ - C biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ hay - D biến cố xuất mặt có số chấm lớn hay Khi - P(A/B) = - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhận xét Trong ví dụ ta có xác suất biến cố A P(A) = 3/6 = 0,5 Do P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A) Điều cho thấy xác suất có điều kiện biến cố A nhỏ hơn, lớn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C xảy Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau: Biến cố độc lập Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa xuất biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất biến cố A ngược lại, ta nói A độc lập với B Công thức nhân xác suất thứ Nếu biến cố A độc lập với biến cố B B độc lập với A ta có P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng Với A1, A2, …, An n biến cố độc lập đôi, nghĩa với ≤ i ≠ j ≤ n , Ai Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An) Ví dụ Có ba hộp bi, hộp có 10 bi Trong hộp thứ i có i bi đỏ, 10 – i bi xanh (i = 1, 2, 3) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất sau: a) Ba bi lấy ba bi đỏ b) Ba bi lấy có bi xanh c) Bi lấy từ hộp hai xanh, biết ba bi lấy có bi xanh Giải Gọi Ai “Bi lấy từ hộp i bi đỏ” (i = 1, 2, 3) ; P( A2 )  ; P( A3 )  ; 10 10 10 P( A1 )  ; P( A2 )  ; P( A3 )  ; 10 10 10 Ta có P( A1 )  a) Gọi A “Ba bi lấy ba bi đỏ” Ta có A  A1 A2 A3 Suy P( A)  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) b) Gọi B “Ba bi lấy có bi xanh” B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 Suy P( B)  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) c) Tính xác suất có điều kiện  A  P( A2 B) , với P( A2 B)  P( A1 A2 A3 ) P   P( B)  B Công thức nhân xác suất thứ hai Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng Với A1, A2, …, An n biến cố bất kỳ, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1) Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB) Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm lấy sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Giải Gọi Ai, Bi biến cố chọn sản phẩm tốt xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A "Khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ 3" Ta có : A  A1 A2 A3 , suy P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )     0,1667 10 b) Gọi B "Khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ 4" Ta có : B  B1 A2 A3 A4  A1B2 A3 A4  A1 A2 B3 A4 Suy P( B)  P( B1 A2 A3 A4 )  P( A1B2 A3 A4 )  P( A1 A2 B3 A4 )  0, 2857 c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu xác suất có điều kiện P( B3 / B)  P( B3 B) P( B) Mà B3 B  A1 A2 B3 A4 , P( B3 B)  P( A1 A2 B3 A4 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( B3 / A1 A2 ) P( A4 / A1 A2 B3 )  0,0952 Suy P( B3 / B)  0,3333 a P( X  0) , P( X  2) , P( X  1) , P( X  1,5) b P( X  3) , P(1  X  4) , P(2  X  2) 6.2 Các đặc số phân phối Poisson Giả sử X có phân phối Poisson X  P(  ) Khi X có đặc số sau: a) Kỳ vọng: M(X) =  b) Phương sai D(X) =  6.3 Tính chất Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1  P(  1), X2  P(  2) Khi X1 + X2 có phân phối Poisson X1 + X2  P( 1  2 ) 6.4 Định lý Poisson (Quan hệ phân phối nhị thức phân phối Poisson) Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B(n,p) Giả sử n lớn p bé (thông thường p < 0,1) Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, Y  P(  )  k e  với  = np, nghĩa là: P( X  k )  , với k = 0, 1, 2, … k! Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để máy hoạt động có ống sợi bị đứt 0,2% Tìm xác suất để có không ống sợi bị đứt Giải Gọi X tổng số ống sợi bị đứt hoạt động máy X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 1000, p = 0,002 Vì n = 1000 lớn p = 0,002 bé nên ta xem X có phân phối Poisson: X  P(  ) với  = np = 1000.0,002 = Xác suất để có không ống sợi bị đứt hoạt động máy là: P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2) Chương III THỐNG KÊ §1 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 1.1 Khái niệm  Tổng thể: tập hợp có phần tử đối tượng ta nghiên cứu  Mẫu: tập hợp gồm n phần tử chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn đề tổng thể, n gọi kích thước mẫu  Bảng số liệu Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) thường lập bảng số liệu theo dạng sau: Dạng 1: Liệt kê dạng: (x1, x2,…, xn) số liệu lặp lại nhiều lần Dạng 2: Lập bảng có dạng: xi ni x1 n1 x2 n2 … … xk nk x1 < x2 < < xk số liệu xi xuất ni lần Dạng 3: Lập bảng có dạng: xi ni x1 – x2 n1 x2 – x3 n2 … … xk – xk+1 nk x1 < x2 < < xk < xk+1 nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cuối đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu Khi xử lý số liệu ta đưa số liệu Dạng Có thể đưa Dạng Dạng cách thống kê lại Dạng đưa Dạng cách thay khoảng xi-xi+1 giá x  xi 1 trị trung bình hai đầu mút xi  i 1.2 Các tham số đặc trưng mẫu a Tỷ lệ mẫu Định nghĩa Cho mẫu có kích thước n, có m phần tử có tính chất A, tỷ lệ mẫu số ký hiệu xác định sau: m f  n b Trung bình mẫu - Phương sai mẫu Định nghĩa Trung bình mẫu mẫu (X1, X2,…, Xn) số xác định x n  x n   xk nk sau x  1 2 n Phương sai mẫu số không âm xác định sau: sˆ2  x  x x n  x n  xk nk Trong x  1 2 n Với phương sai mẫu, ta có số đặc trưng liên quan phương sai mẫu hiệu chỉnh kí hiệu s , độ lệch mẫu kí hiệu sˆ , độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí hiệu s xác định sau: n sˆ  sˆ2 s  s2 s2  sˆ n 1 Ví dụ Điều tra suất lúa diện tích 100 hecta trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/hecta) Số 41 44 45 46 48 52 54 10 20 30 15 10 10 a) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh b) Những ruộng có suất từ 48 tạ trở lên ruộng có suất cao Tính tỷ lệ ruộng có suất cao c) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh ruộng có suất cao §2 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ 2.1 Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p Xét mẫu có kích thước n tính tỷ lệ mẫu f Hãy tìm khoảng ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy   cho trước? Cách giải Gọi p tỷ lệ tổng thể, từ mẫu cho ta ước lượng p với độ tin cậy   Bước Với độ tin cậy   , ta tìm số t từ công thức:    2 (t ) Tra bảng phụ lục số 2, ta giá trị t cần tìm Bước Tính độ xác  ước lượng theo công thức: f (1  f ) n Bước Kết luận: Khoảng ước lượng p có dạng:   t f   p  f  Ví dụ Để điều tra nhu cầu tiêu dùng sản phẩm A khu dân cư, người ta theo dõi 100 hộ gia đình khu dân cư thấy có 60 hộ có nhu cầu Với độ tin cậy 95% ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu sản phẩm A khu dân cư này? Giải Goi p tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu sản phẩm A khu dân cư, ta ước lượng p với độ tin cậy 95% m 60 Ta có f    0,6 n 100 Từ độ tin cậy    0,95  t  1,96 f (1  f ) 0,6(1  0,6)  1,96 n 100 Vậy tỉ lệ hộ gia đình có nhu cầu sử dụng sản phẩm A khu dân cư nằm khoảng 50,4% đến 69,6% với độ tin cậy 95% Độ xác ước lượng   t Ví dụ Điều tra tỉ lệ phế phẩm kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm kho hàng thấy có 20 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho hàng đó? HD (tương tự trên) Ví dụ Điều tra số cá hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 đánh dấu thả lại vào hồ Sau người ta bắt lên 500 thấy có 80 bị đánh dấu Với độ tin cậy 90%, ước lượng số cá có hồ? Giải Gọi n số hồ p tỉ lệ bị đánh dấu hồ p 300 N Ta tìm khoảng ước lượng p với độ tin cậy 90% Với độ tin cậy cho ta có:  (t )  0, 45  t  1,65 Theo giả thiết toán ta có mẫu với n  500 f  0,16 nên độ xác ước lượng 0,16.0,84  0, 0271 500 Suy f    0,16  0,0271  0,1329; f    0,16  0,0271  0,1871   1, 65 Do 0,1329  p  300 300 300  0,1871  N N 0,1329 0,1871 Vậy với độ tin cậy 90%, ta dự đoán số cá hồ từ 1600 đến 2257 2.2 Bài toán ước lượng trung bình tổng thể Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể  Xét mẫu có kích thước n tính trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh x , s Hãy tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể  với độ tin cậy   cho trước? Cách giải Bước Với độ tin cậy   , ta tìm số t theo hai trường hợp sau: TH1 Nếu n  30 t xác định theo công thức:    2 (t ) Tra bảng phụ lục số 2, ta giá trị t cần tìm TH2 Nếu n  30 t xác định theo công thức: t  t (k ) Trong k = n –  suy từ độ tin cậy   Tra bảng phụ lục ta t cần tìm Bước Tính độ xác  ước lượng theo công thức: s   t n Bước Kết luận: Khoảng ước lượng  có dạng: x     x  Ví dụ Cân thử 100 sản phẩm nhà máy, ta có trọng lượng trung bình 500g, độ lệch mẫu hiệu chỉnh s = 150g Hãy ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm nhà máy với độ tin cậy 95% Giải Gọi  trọng lượng trung bình sản phẩm nhà máy, ta ước lượng  với độ tin cậy 95% Ta có x  500 , s  150 , n  100  30 Từ độ tin cậy    0,95  t  1,96 s 150  1,96 Độ xác ước lượng   t n 100 Vậy trọng lượng trung bình sản phẩm nhà máy nằm khoảng (497,06g; 502,94g) với độ tin cậy 95% Ví dụ Để xác định trọng lượng trung bình bao bột mì bán cửa hàng Cân thử 25 bao bột mì cửa hàng ta trọng lượng trung bình 49,2kg, độ lệch hiệu chỉnh bao bột mì 0,5kg Hãy ước lượng trọng lượng trung bình bao bột mì cửa hàng với độ tin cậy 95% Giải Gọi  trọng lượng trung bình bao bột mì cửa hàng, ta ước lượng  với độ tin cậy 95% Ta có x  49,2 , s  0,5 , n  25  30 Từ độ tin cậy    0,95  t  t ( k)  t 0,05(24) 2,0639 s 0,5  2,0639 n 25 Vậy trọng lượng trung bình bao bột mì cửa hàng nằm khoảng (48,9361kg; 49,4036kg) với độ tin cậy 95% Độ xác ước lượng   t Ví dụ Điều tra suất lúa diện tích 100 hecta trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/hecta) Số 41 44 45 46 48 52 54 10 20 30 15 10 10 a) Hãy ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 99%? b) Những ruộng có suất từ 48 tạ trở lên ruộng có suất cao Với độ tin cậy 96%, ước lượng tỷ lệ ruộng có suất cao? c) Hãy ước lượng suất lúa trung bình ruộng có suất cao với độ tin cậy 97%? Ví dụ Nghiên cứu khối lượng mũ cao su thu ngày năm đầu khai thác, người ta theo dõi số có kết bảng sau Khối lượng mũ (g) Số 205 215 225 235 245 255 265 14 30 25 12 a) Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu ngày với độ tin cậy 99% b) Người ta gọi cao su có khối lượng mũ thu ngày 235g loại II Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu ngày loại II với độ tin cậy 98% 2.3 Bài toán xác định độ tin cậy ước lượng tỷ lệ Bài toán Cho mẫu có kích thước n tỷ lệ mẫu f Hãy tìm độ tin cậy phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ xác  cho trước Cách giải f (1  f ) n Ta có   t  t   n f (1  f ) Với độ xác  mẫu cho, ta tính t Tra bảng phụ lục ta tìm  (t ) Từ ta suy độ tin cậy cuả ước lượng công thức    2 (t ) 2.4 Bài toán xác định độ tin cậy ước lượng trung bình Bài toán Cho mẫu có kích thước n độ lệch mẫu hiệu chinh s Hãy tìm độ tin cậy phép ước lượng trung bình tổng thể  với độ xác  cho trước Cách giải s n Ta có   t  t   s n Với độ xác  mẫu cho, ta tính t Từ ta tìm độ tin cậy phép ước lượng  theo hai trường hợp sau Nếu n  30 độ tin cậy ước lượng tính công thức:    2 (t ) Nếu n  30 độ tin cậy ước lượng tính công thức: t  t (n  1) Tra bảng phụ lục ta  từ suy   cần tìm Bài toán xác định kích thước mẫu ước lượng tỷ lệ Bài toán Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f Hãy tìm kích thước mẫu (ở kích thước mẫu lớn) để có phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy   độ xác  cho trước Cách giải Nếu gọi N kich thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy   độ xác  Khi N tính theo công thức: f (1  f )   N  t 1    Trong t suy từ độ tin cậy   công thức:    2 (t ) Bài toán xác định kích thước mẫu ước lượng trung bình Bài toán Cho mẫu có phương sai mẫu hiệu chỉnh s2 Hãy tìm kích thước mẫu (ở kích thước mẫu lớn) để có phép ước lượng trung bình tổng thể  với độ tin cậy   độ xác  cho trước Cách giải Nếu gọi N kich thước mẫu để có phép ước lượng  với độ tin cậy   độ xác  Khi N tính theo công thức:  s2  N  t 2      Trong t suy từ độ tin cậy   công thức:    2 (t ) §3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 3.1 Bài toán kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p H : p  p0 ; H : p  p0 Xét mẫu có kích thước n tính tỷ lệ mẫu f Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước? Cách giải Bước Tính tiêu chuẩn t công thức: n p0 (1  p0 ) Bước Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính giá trị tới hạn t từ công thức:    2 (t ) Bước Quy tắc định: Nếu t  t ta đưa định: Chấp nhận H Nếu t  t ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H Chú ý Nếu giả thiết đối H H : p  p0 hay H : p  p0 giá trị tới hạn kiểm định t2 t  f  p0 Ví dụ Tỉ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Năm nhà máy áp dụng số biện pháp kĩ thuật nhằm làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy Để đánh giá hiệu biện pháp kĩ thuật mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 1000 sản phẩm thấy có 30 phế phẩm a) Với mức ý nghĩa 5%, cho biết biện pháp kĩ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không? b) Nếu nhà máy cho tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kĩ thuật 2% chấp nhận hay không? Biết mức ý nghĩa kiểm định 2%? Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kĩ thuật Để kết luận biện pháp kĩ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không ta đặt giả thiết cho p là: H : p  0,05 ; H : p  0,05 Ta có mẫu với kích thước n = 1000 tỉ lệ mẫu f  30  0, 03 , nên tiêu chuẩn 1000 1000  2,9 0, 05(1  0, 05) Với mức ý nghĩa   0,05 nên ta có giá trị tới hạn t2 là: kiểm định t là: t  0, 03  0, 05 2 (t2 )   0,1   (t2 )  0, 45  t2  1,65 Do t  t2 nên ta đưa định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận H Kết luận Có sở để nói biện pháp kĩ thuật thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy b) Để trả lời câu hỏi chấp nhận tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kĩ thuật 2% hay không ta đặt giả thiết cho p là: H : p  0,02 ; H : p  0,02 Với mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định t là: 1000  2, 26 0, 02(1  0, 02) Với mức ý nghĩa   0,05 ta có giá trị tới hạn t là: 2 (t )   0,02   (t )  0, 49  t  2,33 t  0, 03  0, 02 Do t  t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H Kết luận Phát biểu nhà máy cho tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kĩ thuật 2% chấp nhận 2.2 Bài toán kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể  H :   0 ; H :   0 Xét mẫu có kích thước n tính trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh x , s Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước? Cách giải Bước Tính tiêu chuẩn t công thức: n s Bước Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính giá trị tới hạn t theo hai trường hợp sau: TH1 Nếu n  30 t xác định theo công thức:    2 (t ) TH2 Nếu n  30 t xác định theo công thức: t  t (k ) Trong k = n – Bước Quy tắc định: Nếu t  t ta đưa định: Chấp nhận H Nếu t  t ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H Chú ý Nếu giả thiết đối H H :   0 hay H :   0 giá trị tới hạn kiểm định t2 t  x  0 Ví dụ Một công ty cho sản phẩm A họ chiếm 50% thị phần sử dụng sản phẩm A địa phương B Một điều tra ngẫu nhiên 500 người địa phương B cho thấy có 225 người sử dụng sản phẩm A Hãy cho nhận xét nhận định công ty với mức ý nghĩa 5%? Ví dụ Trọng lượng sản phẩm A theo quy định 6kg Sau sản xuất, người ta cân thử 121 sản phẩm số sản phẩm sản xuất thấy trọng lượng trung bình 5,975kg độ lệch chuẩn 0,5kg Với mức ý nghĩa 5% tình hình sản xuất sản phẩm A có bình thường không? Ví dụ (CHKT2000) Trong kho để nhiều sản phẩm xí nghiệp A Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm đem cân kết sau: Trọng lượng (g) 800 – 850 850 – 900 900 – 950 950 – 1000 1000 – 1050 1050 – 1100 1100 – 1150 Số SP 10 20 30 15 10 10 a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng cải tiến làm cho trọng lượng trung bình sản phẩm 1000g Cho kết luận hiệu cải tiến với mức ý nghĩa 6% b) Các sản phẩm có trọng lượng 1050g sản phẩm loại Hãy ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm loại với độ tin cậy 98% c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại với độ tin cậy 80% độ xác 3% cần điều tra thêm sản phẩm nửa ? d) Giả sử kho có để lẩn 1000 sản phẩm xí nghiệp B 100 sản phẩm lấy từ kho có 29 sản phẩm xí nghiệp B Hãy ước lượng số sản phẩm xí nghiệp A kho với độ tin cậy 82% Giải a) Gọi  trọng lượng trung bình sản phẩm trước cải tiến H :   1000 ; H :   1000 Ta có: n = 100, x  980 , s = 79,3g,   0,06 nên ta tính t  2,56  t2  1,56 , suy bác bỏ H Kết luận: Cải tiến có tác dụng làm tăng trọng lượng sản phẩm b) Gọi 1 trọng lượng trung bình sản phẩm loại Ta có: n1 = 20, x1  1100 , s1 = 25,6495,  1  0,98 nên 1  14,5622 Suy ra: 1  (1085, 4378;1114,5622) c) f  0, ,    0,80 ,   0, 03 suy n2 = 292 KL: Cần điều tra thêm 192 sản phẩm d) Gọi N số sản phẩm có kho p tỷ lệ sản phẩm xí nghiệp B 1000 Ta ước lượng p với độ tin cậy    0,82 N Ta có: n = 100, f = 0,29, suy   0,0608 1000 Do đó: 0, 2292  p   0,3508  2851  N  4364 N kho p  KL: Số sản phẩm xí nghiệp A kho khoảng từ 1851 đến 3364 sản phẩm Vi dụ (ĐHKT2005) Khảo sát thu nhập (triệu đồng/năm) số người công ty, người ta thu bảng số liệu sau: Thu nhập Số người 8-12 12-14 12 14-16 20 16-18 25 18-20 20 20-24 10 24-30 a) Những người có mức thu nhập 20 triệu đồng/năm người có thu nhập cao Hãy ước lượng số người có thu nhập cao công ty với độ tin cậy 98% biết tổng số người làm việc công ty 2000 người b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân người 1,3 triệu đồng/tháng có chấp nhận không với mức ý nghĩa 3% c) Nếu muốn dùng mẫu để ước lượng thu nhập trung bình người công ty với độ xác 600.000 đồng/năm độ tin cậy ước lượng ? Giải a) Gọi M số người có thu nhập cao công ty p tỷ lệ người có thu M Ta ước lượng p với độ tin cậy 98% 2000 Ta có mẫu với n = 100, f = 0,15 nên độ xác ước lượng   0,0832 M Suy ra: 0, 0668  p   0, 2332  133,  M  466, 2000 nhập cao công ty p  b) Gọi  thu nhập bình quân người công ty Đặt giả thiết: H :   15,6 ; H :   15,6 Với mẫu cho ta có n = 100; x  16,96 ; s = 3,8845 nên t  3,5  t  2,17 , suy ra: Bác bỏ H Kết luận: Mức thu nhập bình quân người công ty theo báo cáo không chấp nhận c) Ta có toán ước lượng  với   0,6 nên t  2,17 Suy    0,8764 Vậy độ tin cậy ước lượng cần tím 88% BÀI TẬP 3.1 Trái sau thu hoạch xong đóng thành sọt, sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% b) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ xác 0,5% độ tin cậy ước lượng ? c) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ xác 1% độ tin cậy 99% phải kiểm tra thêm sọt nửa ? Đáp số a) n = 5000, f = 0,09, t  1,96    0,0079 b) n = 5000, f = 0,09,   0,005     0,785 c) N = 5452 3.2 Một kho hàng có 10000 sản phẩm hai xí nghiệp A B Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng 100 sản phẩm thấy có 60 sản phẩm xí nghiệp A Hãy ước lượng số sản phẩm xí nghiệp B kho hàng với độ tin cậy 95% Đáp số (3040; 4960) 3.3 Một lô hàng có 5000 sản phẩm, có số phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm lô hàng thấy có 40 phế phẩm a) Hãy ước lượng số phế phẩm lô hàng với độ tin cậy 96% b) Nếu phép ước lượng số phế phẩm lô hàng có độ xác tới 150 sản phẩm độ tin cậy 99% phải kiểm tra sản phẩm ? Đáp số a) (345; 655) b) 666 3.4 Để khảo sát trọng lượng X loại vật nuôi nông trại, người ta quan sát mẫu có kết sau X(kg) 36 42 48 54 60 66 72 Số 15 12 25 18 10 10 10 a) Ước lượng trọng lượng trung bình loại vật nuôi với độ tin cậy 96% b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa loại vật nuôi ? Tối thiểu ? c) Những vật có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi “đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 10% cần phải điều tra thêm vật nửa ? e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ đạt tiêu chuẩn tối đa loại vật nuôi ? Tối thiểu ? Đáp số a) (49,68;54, 24) b) (50,1350;537850) c) (0, 2102;0,3898) d) 40 e) (0, 2413;0,3587) 3.5 Để khảo sát chiều cao X giống trồng, người ta quan sát mẫu có kết sau X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 Số 10 10 15 30 10 10 15 a) Ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 96% b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác cm cần phải điều tra thêm nửa ? c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ xác 4,58cm đạt độ tin cậy ? d) Những tròng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “loại I” Hãy ước lượng tỉ lệ loại I với độ tin cậy 95% e) Nếu ước lượng tỉ lệ loại I với độ xác 10% đạt độ tin cậy ? f) Nếu ước lượng tỉ lệ loại I với độ tin cậy 95% độ xác 11% cần phải điều tra thêm nửa ? g) Ước lượng chiều cao trung bình loại I với độ tin cậy 94% Đáp số a) (127, 2447;134,7553) b) 39 c) 98,82% d) (0,2565;0,4435) e) 96,42% f) g) (148,74;154,11) 3.6 (CHKT2003) Giám đốc trại gà A xem lại hồ sơ cũ đợt khảo sát trọng lượng gà xuất chuồng trại gà thấy số liệu ghi sau TL (kg) Số 2,3–2,7 2,7–2,9 30 2,9 - 3,1 3,1 -3,3 25 3,3–3,5 10 3,5–3,7 3,7–3,9 a) Giá trị bỏ trống dòng thứ ba trình bảo quản tài liệu không tốt nên bị hoen ố Nhưng xem lại bảng tính cũ thấy giá trị trung bình mẫu tính 3,075 Hãy tìm điền lại giá trị bị vào bảng ước lượng tổng trọng lượng trung bình xuất chuồng trại với độ tin cậy 96% Biết trại có 30.000 gà b) Hãy ước lượng số gà đạt tiêu chuẩn loại I với độ tin cậy 98%, biết gà loại I gà có trọng lượng 3,3kg c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng trọng lượng trung bình gà loại I xuất chuồng d) Ban giám đốc trại chăn nuôi cho biết tỷ lệ gà loại I 35%, với mức ý nghĩa 2% kiểm tra xem nguồn tin có đàng tin cậy hay không ? Đáp số a) 20; (90336 kg; 94164kg) b) (3204 con; 8796 con) c) (3,4704kg; 3,6296 kg) d) Không đáng tin cậy 3.7 (CHKT2004) Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ sản phẩm khu vực K Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình kết cho bảng sau: Nhu cầu 0,5–1 1–1,5 1,5- (kg/tháng) Số hộ 21 147 192 Giả sử khu vực K có 5000 hộ gia đình -2,5 2,5–3 3–3,5 3,5–4 78 34 16 12 a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình toàn khu vực K năm với độ tin cậy 95% b) Những hộ có nhu cầu kg tháng gọi hộ có nhu cầu cao Ước lượng tỷ lệ hộ có nhu cầu cao với độ tin cậy 95% c) Để ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình hộ tháng với độ xác 0,05 kg độ tin cậy 95% cần điều tra thêm hộ gia đình Đáp số a) (104,904 tấn; 111,456 tấn) b) (24,06%; 31,94%) c) 597 3.8 (CHKT 2005) Công ty M công ty lớn lĩnh vực công nghệ thông tin T công ty tư vấn giới thiệu việc làm Công ty T muốn thăm dò thu nhập người làm việc công ty M có số liệu thống kê sau: Thu nhập 3.8 - 4,2 4,2 - 4,6 4,6-5 - 5,4 5,4 - 5,8 (trđ/tháng) Số người 15 20 192 78 34 a) Ước lượng thu nhập trung bình người làm việc công ty M với độ tin cậy 96% b) Với độ tin cậy cho, ước lượng thu nhập trung bình người làm việc công ty M, muốn độ tin cậy 98% độ xác ? c) Người làm việc công ty M có thu nhập triệu đồng/tháng gọi người có thu nhập cao Khi ước lượng tỷ lệ người có thu nhập cao (trong người làm việc công ty M), muốn độ xác 9% độ tin cậy 98% cần khảo sát thêm người ? Đáp số a) (4,7256 triệu đồng; 4,9104 triệu đồng) b) 0,1045 triệu đồng c) 53 người [...]... phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 – p Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có công thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: Pn (k ; p)  Cnk p k q nk 5.2 Hệ quả Với các giả thiết như trên ta có: 1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A... viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt b) Giả sử mục tiêu đã bị tiêu diệt, tính xác suất có 10 viên trúng 1.11 Một máy sản suất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60% Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản... Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm Tính xác suất để 2 sản phẩm đó của xí nghiệp I 1.10 Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất để một viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt; Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất. .. được 2 sp tốt, 1 sp xấu từ lô II 1.13 Có 3 khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi khẩu bắn một phát với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8 Giả sử xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng k phát đạn là 1  1/ 2k (k = 0, 1, 2, 3) a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt b) Tính xác suất để mục tiêu bị trúng một phát khi bị tiêu diệt 1.14 Có hai lô hàng Lô 1 gồm 3 sản phẩm loại A và 3 sản... phân phối xác suất như sau: X P(X) x1 p1 x2 p2 … … xn pn Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2), …, Yn = f(xn) và các xác suất tương ứng được tính theo quy tắc: P(Y  y j )   P( X  xi )   pi f ( xi )  y j f ( xi )  y j Ví dụ Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X P(X) -1 0,2 0 0,3 1 0,1 2 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của... có 2 sản phẩm loại A Tính xác suất để 2 sản phẩm loại A đó đều do máy sản xuất 1.12 Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I chứa 15 sản phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ lô I lấy ra 2 sản phẩm a) Tính xác suất lấy được 1 sp xấu, 1 sp tốt từ lô I b) Giả sử đã lấy được 1 sp tốt, 1 sp xấu từ lô I Tính xác suất đã lấy được 2 sp tốt,... sản xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: a) 3 sản phẩm tốt b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt Giải Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có trong 5 sản phẩm thu được Áp dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là: P( A3 )  C53 (0.7)3 (0.3)2 b) Xác suất để trong 5 sản phẩm... mua ngẫu nhiên 100 sản phẩm X ở thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A 1.7 Có hai hộp I và II, mỗi hộp chứa 12 viên bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng Hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I 3 bi rồi bỏ sang hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II 4 bi a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trằng từ hộp... lượng ngẫu nhiên Cách lập bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y) Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X P(X) x1 p1 x2 p2 … … xm pm Y P(Y) y1 q1 y2 q2 … … yn qn Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị bảng sau: Z y1 y2 … x1 z11 z12 … x2 z21 z22 … … xm zm1 zm2 … zij  f ( xi , y j ) như trong yn z1n z2n zmn Xác suất để Z nhận các giá trị tương ứng được...  zk pi q j Ví dụ Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X P(X) -1 0,2 0 0,3 1 0,1 2 0,4 Y P(Y) 0 0,2 1 0,3 2 0,5 Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau: a) Z = 2X – Y b) Z = XY c) Z = X2 – 2Y + 4 Ví dụ Cho X  B(2;0,4) và Y  H (10;6;2) a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X - Y b) Tính P(X = Y) §3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG ... 0,9 3.2 Công thức nhân xác suất Xác suất có điều kiện a Định nghĩa Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, gọi xác suất có điều kiện A B Kí kiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường... AB) P    B  P( B) + P(AB) xác suất để A B xảy + P(B) xác suất để B xảy Ví dụ Có sinh viên X, Y, Z thi xác suất thống kê có hai sinh viên thi đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết... sản phẩm xấu sản phẩm chọn nên B = A0 Suy xác suất B P( B)   P( A0 ) §3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất thứ Với A B hai biến cố xung khắc, ta