§3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 3.1 Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể
2.2. Bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể .
0
: ;
H H: 0
Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là ,x s. Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa cho trước?
Cách giải
0 n t x s
Bước 2. Với mức ý nghĩa cho trước, ta tính được giá trị tới hạn t theo một trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu n30 thì t được xác định theo công thức: 1 2 ( ) t
TH2. Nếu n30 thì t được xác định theo công thức: ( )
t t k
Trong đó k = n – 1
Bước 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu tt thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu tt thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H.
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là H: 0 hay H: 0 thì giá trị tới hạn của kiểm định là t2
Ví dụ 1. Một công ty cho rằng sản phẩm A của họ chiếm được 50% thị phần sử dụng sản phẩm A tại địa phương B. Một cuộc điều tra ngẫu nhiên trên 500 người tại địa phương B cho thấy có 225 người sử dụng sản phẩm A. Hãy cho nhận xét về nhận định của công ty đó với mức ý nghĩa 5%?
Ví dụ 2. Trọng lượng của sản phẩm A theo quy định là 6kg. Sau khi sản xuất, người ta cân thử 121 sản phẩm trong số sản phẩm sản xuất thì thấy trọng lượng trung bình là 5,975kg và độ lệch chuẩn là 0,5kg. Với mức ý nghĩa 5% thì tình hình sản xuất sản phẩm A có bình thường không?
Ví dụ 3 (CHKT2000). Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm đem cân được kết quả sau:
Trọng lượng (g) Số SP 800 – 850 5 850 – 900 10 900 – 950 20 950 – 1000 30 1000 – 1050 15 1050 – 1100 10 1100 – 1150 10
a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho trọng lượng trung bình của sản phẩm là 1000g. Cho kết luận về hiệu quả cải tiến với mức ý nghĩa 6%.
b) Các sản phẩm có trọng lượng trên 1050g là sản phẩm loại một. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một với độ tin cậy 98%.
c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại một với độ tin cậy 80% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nửa ?
d) Giả sử trong kho có để lẩn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản phẩm lấy ra từ kho có 29 sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%.
Giải
a) Gọi là trọng lượng trung bình của sản phẩm trước khi cải tiến.
: 1000 H ; H:1000 Ta có: n = 100, x 980, s = 79,3g, 0, 06 nên ta tính được 2 2,56 1,56 t t , suy ra bác bỏ H.
Kết luận: Cải tiến có tác dụng làm tăng trọng lượng của sản phẩm. b) Gọi 1 là trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một.
Ta có: n1 = 20, x11100, s1 = 25,6495, 11 0,98 nên 114,5622
Suy ra: 1(1085, 4378;1114,5622)
c) f 0, 2, 12 0,80, 2 0, 03 suy ra n2 = 292. KL: Cần điều tra thêm 192 sản phẩm nữa.
d) Gọi N là số sản phẩm có trong kho và p là tỷ lệ sản phẩm của xí nghiệp B trong kho thì p 1000
N
. Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1 0,82. Ta có: n = 100, f = 0,29, suy ra 0, 0608
Do đó: 0, 2292 p 1000 0,3508 2851 N 4364
N
.
KL: Số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho trong khoảng từ 1851 đến 3364 sản phẩm.
Vi dụ. (ĐHKT2005) Khảo sát về thu nhập (triệu đồng/năm) của một số người ở một công ty, người ta thu được bảng số liệu sau:
Thu nhập 8-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-24 24-30
Số người 8 12 20 25 20 10 5
a) Những người có mức thu nhập trên 20 triệu đồng/năm là những người có thu nhập cao. Hãy ước lượng số người có thu nhập cao ở công ty này với độ tin cậy 98% biết tổng số người làm việc ở công ty là 2000 người.
b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 1,3 triệu đồng/tháng thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 3%.
c) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người ở công ty với độ chính xác 600.000 đồng/năm thì độ tin cậy của ước lượng này là bao nhiêu ?
Giải
a) Gọi M là số người có thu nhập cao ở công ty này và p là tỷ lệ người có thu nhập cao ở công ty thì
2000
M
p . Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 98%. Ta có mẫu với n = 100, f = 0,15 nên độ chính xác của ước lượng là 0, 0832. Suy ra: 0, 0668 0, 2332 133, 6 466, 4
2000
M
p M
.
b) Gọi là thu nhập bình quân của một người ở công ty. Đặt giả thiết:
: 15, 6
H ; H:15, 6
Với mẫu đã cho ta có n = 100; x 16,96; s = 3,8845 nên
3,5 2,17
t t , suy ra: Bác bỏ H.
Kết luận: Mức thu nhập bình quân của một người ở công ty theo báo cáo là không chấp nhận được.
c) Ta có bài toán ước lượng với 0, 6 nên t 2,17.
Suy ra 1 0,8764. Vậy độ tin cậy của ước lượng cần tím là 88%.
BÀI TẬP
3.1 Trái cây sau khi thu hoạch xong được đóng thành từng sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thì thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn.
a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%.
b) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy của ước lượng đó là bao nhiêu ?
c) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ chính xác 1% và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra thêm bao nhiêu sọt nửa ?
Đáp số
a) n = 5000, f = 0,09, t 1,96 0, 0079. b) n = 5000, f = 0,09, 0, 005 1 0, 785. c) N = 5452
3.2 Một kho hàng có 10000 sản phẩm của hai xí nghiệp A và B. Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 100 sản phẩm thì thấy có 60 sản phẩm của xí nghiệp A. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp B trong kho hàng với độ tin cậy 95%.
Đáp số
(3040; 4960)
3.3 Một lô hàng có 5000 sản phẩm, trong đó có một số phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của lô hàng thì thấy có 40 phế phẩm.
a) Hãy ước lượng số phế phẩm trong lô hàng với độ tin cậy 96%.
b) Nếu phép ước lượng số phế phẩm trong lô hàng có độ chính xác tới 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm nữa ?
Đáp số a) (345; 655) b) 666
3.4 Để khảo sát trọng lượng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau
X(kg) 36 42 48 54 60 66 72
Số con 15 12 25 18 10 10 10
a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ tin cậy 96%. b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi trên là
bao nhiêu ? Tối thiểu là bao nhiêu ?
c) Những con vật có trọng lượng từ 60kg trở lên được gọi là những con “đạt tiêu chuẩn”. Hãy ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%. d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ
chính xác 10% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu con vật nửa ?
e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn tối đa của loại vật nuôi trên là bao nhiêu ? Tối thiểu là bao nhiêu ?
Đáp số a) (49, 68;54, 24) b) (50,1350;537850) c) (0, 2102;0,3898) d) 40 e) (0, 2413;0,3587)
3.5 Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau
X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165
Số cây 10 10 15 30 10 10 15
a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 96%
b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 99% và độ chính xác 4 cm thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nửa ?
c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính xác 4,58cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu ?
d) Những cây tròng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây “loại I”. Hãy ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ tin cậy 95%.
e) Nếu ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ chính xác 10% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu ?
f) Nếu ước lượng tỉ lệ những cây loại I với độ tin cậy 95% và độ chính xác 11% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nửa ?
g) Ước lượng chiều cao trung bình của cây loại I với độ tin cậy 94%. Đáp số a) (127, 2447;134, 7553) b) 39 c) 98,82% d) (0,2565;0,4435) e) 96,42% f) 0 g) (148,74;154,11)
3.6 (CHKT2003) Giám đốc trại gà A xem lại hồ sơ cũ của một đợt khảo sát về trọng lượng của gà xuất chuồng ở trại gà thì thấy số liệu được ghi như sau TL (kg) 2,3–2,7 2,7–2,9 2,9 - 3,1 3,1 -3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–3,9
Số con 5 30 ... 25 10 5 5
a) Giá trị ... bỏ trống trong dòng thứ ba do quá trình bảo quản tài liệu không tốt nên bị hoen ố mất đi. Nhưng khi xem lại bảng tính cũ thì thấy giá trị trung bình mẫu được tính là 3,075. Hãy tìm và điền lại giá trị bị mất này vào bảng trên và ước lượng tổng trọng lượng trung bình khi xuất chuồng của trại với độ tin cậy 96%. Biết rằng trại có 30.000 con gà.
b) Hãy ước lượng số con gà đạt tiêu chuẩn loại I với độ tin cậy 98%, biết rằng gà loại I là gà có trọng lượng trên 3,3kg.
c) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một con gà loại I khi xuất chuồng.
d) Ban giám đốc trại chăn nuôi cho biết tỷ lệ gà loại I là 35%, với mức ý nghĩa 2% hãy kiểm tra xem nguồn tin này có đàng tin cậy hay không ?
Đáp số
a) 20; (90336 kg; 94164kg) b) (3204 con; 8796 con) c) (3,4704kg; 3,6296 kg) d) Không đáng tin cậy
3.7 (CHKT2004) Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ sản phẩm này trong khu vực K. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và kết quả cho ở bảng sau:
Nhu cầu (kg/tháng)
0,5–1 1–1,5 1,5- 2 2 -2,5 2,5–3 3–3,5 3,5–4
Số hộ 21 147 192 78 34 16 12
a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình của toàn khu vực K trong một năm với độ tin cậy 95%.
b) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng được gọi là những hộ có nhu cầu cao. Ước lượng tỷ lệ những hộ có nhu cầu cao với độ tin cậy 95%. c) Để ước lượng nhu cầu bột giặc trung bình của một hộ trong một tháng với
độ chính xác 0,05 kg và độ tin cậy 95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu hộ gia đình nữa.
Đáp số
a) (104,904 tấn; 111,456 tấn) b) (24,06%; 31,94%)
c) 597
3.8 (CHKT 2005) Công ty M là một công ty lớn trong lĩnh vực công nghệ thông tin. T là một công ty tư vấn và giới thiệu việc làm. Công ty T muốn thăm dò thu nhập của những người làm việc ở công ty M và có số liệu thống kê như sau:
Thu nhập (trđ/tháng)
3.8 - 4,2 4,2 - 4,6 4,6-5 5 - 5,4 5,4 - 5,8
Số người 15 20 192 78 34
a) Ước lượng thu nhập trung bình của một người làm việc ở công ty M với độ tin cậy 96%.
b) Với độ tin cậy đã cho, khi ước lượng thu nhập trung bình của một người làm việc ở công ty M, nếu muốn độ tin cậy là 98% thì độ chính xác là bao nhiêu ?
c) Người làm việc ở công ty M có thu nhập trên 5 triệu đồng/tháng được gọi là người có thu nhập cao. Khi ước lượng tỷ lệ những người có thu nhập cao (trong những người làm việc ở công ty M), nếu muốn độ chính xác là 9% và độ tin cậy 98% thì cần khảo sát thêm bao nhiêu người nữa ?
Đáp số
a) (4,7256 triệu đồng; 4,9104 triệu đồng) b) 0,1045 triệu đồng