2.1. Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p. Xét một mẫu có kích thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f. Hãy tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 cho trước?
Cách giải
Gọi p là tỷ lệ tổng thể, từ mẫu đã cho ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1.
Bước 1. Với độ tin cậy 1, ta tìm số t từ công thức: 1 2 ( ) t
Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm.
(1 ) f f t n
Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của p có dạng:
f p f
Ví dụ 1. Để điều tra nhu cầu tiêu dùng sản phẩm A của một khu dân cư, người ta theo dõi 100 hộ gia đình của khu dân cư này thì thấy có 60 hộ có nhu cầu. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân cư này?
Giải
Goi p là tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân cư, ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 95%
Ta có 60 0,6 100 m f n Từ độ tin cậy 1 0,95 t 1,96
Độ chính xác của ước lượng (1 ) 1,96 0,6(1 0,6) 100 f f t n
Vậy tỉ lệ hộ gia đình có nhu cầu sử dụng sản phẩm A ở khu dân cư này nằm trong khoảng 50,4% đến 69,6% với độ tin cậy 95%.
Ví dụ 2. Điều tra về tỉ lệ phế phẩm của một kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của kho hàng đó thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của kho hàng đó?
HD (tương tự bài trên)
Ví dụ 3. Điều tra về số cá trong hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 con đánh dấu rồi thả lại vào hồ. Sau đó người ta bắt lên 500 con thì thấy có 80 con bị đánh dấu. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng số cá có trong hồ?
Giải
Gọi n là số các trong hồ và p là tỉ lệ các bị đánh dấu trong hồ thì
300
p N
.
Ta sẽ tìm khoảng ước lượng p với độ tin cậy 90% Với độ tin cậy đã cho ta có: ( )t 0, 45 t 1, 65
Theo giả thiết của bài toán ta có một mẫu với n500 và f 0,16 nên độ chính xác của ước lượng là
0,16.0,84
1, 65 0, 0271
500
Do đó 0,1329 300 0,1871 300 300
0,1329 0,1871
p N
N
Vậy với độ tin cậy 90%, ta có thể dự đoán số cá trong hồ từ 1600 đến 2257 con.
2.2. Bài toán ước lượng trung bình tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể . Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là ,x s. Hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể với độ tin cậy 1 cho trước?
Cách giải
Bước 1. Với độ tin cậy 1, ta tìm số t theo một trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu n30 thì t được xác định theo công thức: 1 2 ( ) t
Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm.
TH2. Nếu n30 thì t được xác định theo công thức: ( )
t t k
Trong đó k = n – 1 và được suy ra từ độ tin cậy 1. Tra bảng phụ lục 5 ta được t cần tìm.
Bước 2. Tính độ chính xác của ước lượng theo công thức:
s t
n
Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của có dạng:
x x
Ví dụ 1. Cân thử 100 sản phẩm của một nhà máy, ta có trọng lượng trung bình là 500g, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là s = 150g. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy đó với độ tin cậy 95%
Giải
Gọi là trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy, ta sẽ ước lượng
với độ tin cậy 95%.
Ta có x 500, s150, n10030 Từ độ tin cậy 1 0,95 t 1,96
Độ chính xác của ước lượng là 1,96 150 100 s t n
Vậy trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy nằm trong khoảng (497,06g; 502,94g) với độ tin cậy 95%.
Ví dụ 2. Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì bán ở một cửa hàng. Cân thử 25 bao bột mì của cửa hàng đó ta được trọng lượng trung bình là 49,2kg, độ lệch hiệu chỉnh của các bao bột mì là 0,5kg. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các bao bột mì của cửa hàng đó với độ tin cậy 95%
Giải
Gọi là trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng, ta sẽ ước lượng
với độ tin cậy 95%.
Ta có x 49, 2, s0,5, n2530
Từ độ tin cậy 1 0,95 t t k( ) t0,05(24) 2,0639 Độ chính xác của ước lượng là 2,0639 0,5
25 s t n
Vậy trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng nằm trong khoảng (48,9361kg; 49,4036kg) với độ tin cậy 95%
Ví dụ 3. Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/hecta)
41 44 45 46 48 52 54 Số ha 10 20 30 15 10 10 5 Số ha 10 20 30 15 10 10 5
a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng trên với độ tin cậy 99%? b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có năng suất cao. Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ thửa ruộng có năng suất cao? c) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa ruộng có năng suất cao với độ tin cậy 97%?
Ví dụ 4. Nghiên cứu về khối lượng mũ cao su thu được mỗi ngày trong năm đầu khai thác, người ta theo dõi trên một số cây và có kết quả trong bảng sau
Khối lượng mũ (g)
205 215 225 235 245 255 265 Số cây 2 8 14 30 25 12 9 Số cây 2 8 14 30 25 12 9
a) Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày với độ tin cậy 99%.
b) Người ta gọi những cây cao su có khối lượng mũ thu được mỗi ngày dưới 235g là cây loại II. Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày của những cây loại II với độ tin cậy 98%.
2.3 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ
Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm độ tin cậy của phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ chính xác cho trước.
Cách giải Ta có (1 ) (1 ) f f n t t n f f .
Với độ chính xác và mẫu đã cho, ta tính được t. Tra bảng phụ lục 2 ta tìm được ( )t . Từ đó ta suy ra độ tin cậy cuả ước lượng bằng công thức
1 2 ( ) t .
2.4 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình
Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và độ lệch mẫu hiệu chinh s. Hãy tìm độ tin cậy của phép ước lượng trung bình tổng thể với độ chính xác cho trước. Cách giải Ta có s n t t s n .
Với độ chính xác và mẫu đã cho, ta tính được t. Từ đó ta tìm được độ tin cậy của phép ước lượng theo một trong hai trường hợp sau
1. Nếu n30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
1 2 ( ) t .
2. Nếu n30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
( 1)
t t n . Tra bảng phụ lục 5 ta được từ đó suy ra 1 cần tìm.
Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ
Bài toán. Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước mẫu khá lớn) để có phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 và độ chính xác cho trước.
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy 1 và độ chính xác .
Khi đó N được tính theo công thức:
2 2 2 (1 ) 1 f f N t
Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1 2 ( ) t .
Bài toán. Cho mẫu có phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2. Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước mẫu khá lớn) để có phép ước lượng trung bình tổng thể
với độ tin cậy 1 và độ chính xác cho trước.
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng với độ tin cậy 1 và độ chính xác . Khi đó N được tính theo công thức:
22 2 2 1 s N t
Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1 2 ( ) t .