CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA VẬT LÍ LƯỢNG TỬ

Nguyễn văn hiệu Nguyễn bá Ân Cơ sở lý thuyết vật lý lợng tử Đại học quốc gia Hà nội - Trờng Đại Học Cộng Nghệ Khoa Vật lý kỹ thuật Hà nội - 2003 Lời nói đầu Cuốn sách giáo trình vấn đề lý thuyết lợng tử mà tác giả viết để giảng cho sinh viên ngành Vật lý Kỹ thuật (đào tạo Kỹ s Vật lý) Trờng Đại Học Công nghệ Đại học Quốc gia Hà Nội Những kiến thức cần phải nắm vững để hiểu đợc thành tựu nhiều lĩnh vực công nghệ cao phát triển sở phát minh Vật lý lợng tử đợc trình bày nhiều giáo trình, song sinh viên ngành Vật lý Kỹ thuật phải có nhiều thời gian để học môn kỹ thuật công nghệ nên học Vật lý lợng tử với thời gian dài nh sinh viên ngành Vật lý Do cần có giáo trình rút gọn Vật lý lợng tử Đó nhiệm vụ mà tác giả tự đặt cho soạn giáo trình Những nội dung đợc trình bày sách cần thiết sinh viên học viên cao học có nguyện vọng nghiên cứu cộng nghệ nanô Các môn toán học vật lý chơng trình đào tạo Kỹ s Vật lý Trờng Đại Học Công nghệ hệ thống đồng môn học nối tiếp Các kiến thức toán học cần thiết cho việc học môn vật lý đợc học trớc môn vật lý Theo cách bố trí môn học nh tất kiến thức toán học cần thiết để học giáo trình đợc học từ trớc, tác giả không trình bày lại cách tỷ mỉ nữa, mà nhắc lại cách vắn tắt cần thiết Cuốn sách chủ yếu trình bày nội dung mang tính chất sở lý thuyết Sinh viên cần đọc thêm sách danh mục tài liệu tham khảo để có thêm kiến thức thí nghiệm tơng ứng Lần đợc xuất bản, sách tránh khỏi thiếu sót Các tác giả mong đồng nghiệp tham khảo sách sinh viên học giáo trình góp ý kiến để sách đợc hoàn chỉnh tái xin thành thật cảm ơn bạn trớc Các tác giả chân thành cảm ơn Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại Học Công nghệ định mở ngành Vật lý Kỹ thuật Đại học Quốc gia Hà Nội tổ chức hệ đào tạo chất lợng cao, hai điều thúc việc soạn thảo giáo trình Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Hội đồng khoa học tự nhiên giúp đỡ kinh phí để xuất sách Hà nội, mùa Thu 2003 Các tác giả Mục lục Lời nói đầu Chơng I: Thuyết lợng tử lợng planck 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển 1.2 Thuyết lợng tử lợng Planck Chơng II: Thuyết lợng tử ánh sáng einstein 15 18 2.1 Hiệu ứng quang điện 18 2.2 Tán xạ Compton 20 Chơng III: Thuyết lợng tử quỹ đạo Bohr 23 Chơng IV: Thuyết de broglie lỡng tính sóng-hạt hạt vi mô 27 Chơng V: Phơng trình Schrodinger 32 Chơng VI: Những tiên đề học lợng tử 35 6.1 Diễn tả trạng thái hạt vi mô hàm sóng 35 6.1.1 Nguyên lý chồng chập 35 6.1.2 Điều kiện biên tuần hoàn 38 6.2 Diễn tả đại lợng vật lý toán tử tuyến tính tự liên hợp 39 6.2.1 Toán tử tuyến tính tự liên hợp 39 6.2.2 Hệ thức toán tử 41 6.3 Biểu diễn toán tử ma trận 42 6.4 Dạng tổng quát biểu diễn khác 43 6.5 Giá trị đo đợc đại lợng vật lý 46 6.5.1 Hàm riêng trị riêng toán tử 46 6.5.2 Giá trị trung bình đại lợng vật lý 47 6.6 Hàm sóng hệ nhiều hạt 49 Chơng VII: Một số phơng trình định lý suy từ tiên đề học lợng tử 53 7.1 Phơng trình chuyển động lợng tử Heisenberg 53 7.2 Các phơng trình chuyển động lợng tử toán tử tọa độ xung lợng 54 7.3 Các phơng trình chuyển động giá trị trung bình toán tử tọa độ xung lợng 55 7.4 Phơng trình liên tục 56 7.5 Những đại lợng vật lý đồng thời có giá trị xác định 57 7.6 Hệ thức bất định Heisenberg 58 Chơng VIII: Các định luật bảo toàn học lợng tử 61 Chơng IX: Spin hạt vi mô 67 Chơng X: Lý thuyết lợng tử mômen xung lợng 74 10.1 Lợng tử hoá mômen xung lợng 74 10.2 Mômen xung lợng quỹ đạo 79 10.3 Cộng mômen xung lợng 85 10.3.1 Quy tắc cộng mômen xung lợng 85 10.3.2 Tính hệ số Clebsh-Gỏdan 89 10.4 Sự suy biến trạng thái với hình chiếu mômen xung lợng toàn phần khác 93 Chơng XI: Phổ lợng học lợng tử 11.1 Hạt vi mô giếng 96 96 11.2 Nguyên tử tựa hydro 103 11.2.1 Phổ lợng 103 11.2.2 Hàm sóng 107 11.3 Dao động tử điều hòa 110 11.3.1 Biểu diễn tọa độ 110 11.3.2 Biểu diễn số hạt 114 11.4 Điện tử trờng tuần hoàn tinh thể 119 11.4.1 Mạng Bravais mạng đảo 120 11.4.2 Hàm sóng điện tử trờng tuần hoàn 121 11.4.3 Vùng lợng 124 11.5 Dao động mạng tinh thể 127 11.5.1 Chuỗi nguyên tử loại 127 11.5.2 Chuỗi nguyên tử hai loại khác 133 11.5.3 Mạng tinh thể ba chiều 137 Chơng XII: Tính gần lợng hàm sóng trạng thái dừng 139 12.1 Sự xê dịch mức lợng gián đoạn 139 12.2 Phổ lợng điện tử gần tự 143 12.3 Sự tán xạ hạt vi mô 147 Chơng XIII: Tơng tác xạ điện từ với điện tử 152 Chơng XIV: Hệ nhiều hạt đồng 159 14.1 Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng 159 14.2 Thống kê Bose-Einstein thống kê Fermi-Dirac 161 14.3 Đối xứng hoá phản đối xứng hoá hàm sóng 162 14.4 Nguyên lý loại trừ Pauli ngng tụ Bose-Einstein 164 14.5 Giao hoán tử hay phản giao hoán tử ? 165 14.6 Trạng thái hệ điện tử nguyên tử 168 14.7 Tơng tác trao đổi 172 Chơng XV: Các trạng thái pha trộn ràng buộc lợng tử 179 15.1 Ma trận mật độ 179 15.2 Ma trận mật độ rút gọn 182 Chơng XVI: Các hàm phân bố vật lý thống kê lợng tử 186 Tài liệu tham khảo 193 Chơng I Thuyết lợng tử lợng planck Sự xuất Vật lý học lợng tử thuyết tơng đối cách mạng Vật lý học vào cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 sở khoa học nhiều lĩnh vực công nghệ cao nh công nghệ điện tử vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin v.v Vật lý học lợng tử đời vào năm 1900 Max Planck đề xuất giả thuyết tính gián đoạn xạ điện từ phát từ vật giả thuyết lợng tử - để giải thích kết thực nghiệm xạ nhiệt vật đen 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Vào cuối kỷ 19 thuyết điện từ Maxwell trở thành lý thuyết thống tợng điện từ trình quang học Tuy nhiên áp dụng để nghiên cứu xạ nhiệt vật đen lý thuyết không giải thích đợc kết thực nghiệm Đầu tiên xem xét không phù hợp sau trình bày thuyết lợng tử lợng Planck Gọi U mật độ lợng xạ Đó lợng lợng xạ với tất tần số chứa đơn vị thể tích Vì ánh sáng truyền với tốc độ không đổi c, mật độ dòng lợng xạ cU Đó lợng lợng xạ với tất tần số truyền đơn vị thời gian từ đơn vị thể tích theo tất hớng Lợng lợng xạ với tất tần số truyền đơn vị thời gian theo hớng góc đặc d qua yếu tố diện tích dS vuông góc với hớng trung bình góc đặc gọi thông xạ Ký hiệu thông xạ d2 , ta có d2 = cU ddS (1) Nếu I cờng độ xạ, tức lợng lợng xạ với tất tần số truyền đơn vị thời gian qua đơn vị diện tích theo hớng vuông góc với diện tích đó, thông biểu diễn qua cờng độ nh sau d2 = IddS (2) Từ hai đẳng thức (1) (2) suy cU (3) I c (4) I= hay U= Nếu ý đến hai trạng thái phân cực trờng xạ ta phải nhân thêm vào vế phải công thức (4) Kết U= I c (5) I= cU ã (6) và, thay cho đẳng thức (3), Ký hiệu tần số xạ ký hiệu mật độ lợng xạ đơn sắc (), cờng độ xạ đơn sắc I() Ta có Z U= ()d, I= Z I()d Giống nh hệ thức (5) (6) đại lợng () I() liên hệ với nh sau () = I() c (7) I() = c () (8) Hình 1: (Bên trái) Các vật xạ nhiệt trạng thái cân nhiệt với trờng xạ nhiệt độ T Hình 2: (Bên phải) Mô hình vật đen tuyết đối Xét hệ gồm số vật xạ nhiệt trạng thái cân nhiệt với trờng xạ Hệ số vật hốc rút hết không khí có vách gơng phản xạ toàn phần (Hình 1) Trạng thái cân nhiệt đợc thiết lập xạ từ vật xạ nhiệt Thật vậy, cha có cân vật xạ nhiều (ít hơn) hấp thụ Nội năng, có nghĩa nhiệt độ, vật giảm (tăng lên) Nhiệt độ giảm (tăng) dẫn đến giảm (tăng) khả xạ Cứ nh nhiệt độ giảm (tăng) tới lúc mà lợng xạ hấp thụ vật Khi nhiệt độ toàn hệ không giảm (không tăng) trạng thái cân nhiệt đợc thiết lập với nhiệt độ T xác định Gọi Ai (, T ) hệ số hấp thụ (đại lợng không thứ nguyên) vật thứ i xạ có tần số Đó tỷ số lợng mà vật i hấp thụ đợc lợng trờng xạ chiếu vào Rõ ràng có Ai (, T ) Nếu Ai (, T ) = ta có vật đen lý tởng, Ai (, T ) < vật xám Trong hệ mà lúc đầu tất vật có nhiệt độ T (nh Hình 1), vật thứ i có khả xạ nhiệt lớn vật thứ j, có nghĩa Ii (, T ) > Ij (, T ), nhiệt độ vật thứ i phải trở nên nhỏ nhiệt độ vật thứ j bù trừ hấp thụ Trong hệ cân nhiệt với nhiệt độ T vật thứ i phải có khả hấp thụ lớn vật thứ j để bù lại giảm nhiệt độ nhanh Ii (, T ) > Ij (, T ) Nói cách khác vật thứ i có Ii (, T ) lớn phải có Ai (, T ) lớn Thực nghiệm phát đợc hệ thức sau I1 (, T ) I2 (, T ) I3 (, T ) = = = ããã ã A1 (, T ) A2 (, T ) A3 (, T ) (9) Các hệ thức (9) có nghĩa Ii (, T ) = F (, T ) Ai (, T ) (10) với F (, T ) hàm vạn không phụ thuộc chất vật xạ mà phụ thuộc vào tần số nhiệt độ T Các hệ thức (9) (10) định luật Kirchhoff đợc đa năm 1859 Có hai điều cần lu ý: i) Bản thân Ii (, T ) Ai (, T ) thay đổi mạnh từ chất sang chất khác nhng tỷ số chúng nh chất; ii) Dạng giải tích cụ thể hàm F (, T ) cha biết Đối với vật đen tuyệt đối Ai (, T ) = 1, từ định luật Kirchhoff suy Ii (, T ) = F (, T ) (11) nh làm thí nghiệm vật đen tuyệt đối xác định hàm vạn F (, T ) Trong thực tế vật đen tuyệt đối, nhng tạo vật đen gần tuyệt đối Khoét hốc lòng khối kim loại, để lỗ nhỏ thông với bên (Hình 2) ánh sáng từ qua lỗ vào hốc phải chịu phản xạ nhiều lần vách hốc trớc khỏi hốc qua lỗ nhỏ Mỗi lần phản xạ lợng trờng điện từ lại giảm bị hấp thụ nh sau nhiều lần phản xạ hầu nh toàn lợng xạ với tần số bị hấp thụ hết Hốc nh xem vật đen tuyệt đối giữ cho vỏ nhiệt độ xác định Đo cờng độ xạ hốc phát qua lỗ nhỏ phân tích phổ nó, ta khảo sát đợc phụ thuộc hàm F vào tần số nhiệt độ Thông thờng thực nghiệm ngời ta hay đo phụ thuộc vào bớc sóng vào tần số Ký hiệu cờng độ xạ đơn sắc tính theo bớc sóng Ji (, T ), ta có Ii (, T )d = Ji (, T )d (12) d khoảng bớc sóng tơng ứng với khoảng tần số d Dấu đẳng thức (12) tăng (giảm) giảm (tăng), = c ã (13) Từ đẳng thức (12) ta có d d (14) d ã d (15) Ii (, T ) = Ji (, T ) Ji (, T ) = Ii (, T ) Mặt khác, theo hệ thức (13) d c = d (16) d c = ã d (17) Thay công thức (16) vào công thức (14) đặt = c/ Ji , ta thu đợc c c Ji ( , T ) Ii (, T ) = (18) Tơng tự, thay công thức (17) vào công thức (15) đặt = c/ Ii , ta đến biểu thức sau Ji (, T ) = c c Ii ( , T ) (19) Các công thức (18) (19) cho phép xác định cờng độ xạ đơn sắc theo bớc sóng biết cờng độ xạ đơn sắc theo tần số ngợc lại Đối với vật đen tuyệt đối, theo định luật Kirchhoff Ji (, T ) = L(, T ), L hàm vạn năng, nh cho vật, phụ thuộc vào bớc sóng nhiệt độ Biết L(, T ), từ công thức (18) suy F (, T ) = c c L( , T ) 10 (20) công thức (472) viết dới dạng L = Tr L (475) Tr(a) vết ma trận a tơng ứng với toán tử a Thật vậy, sử dụng định nghĩa (474) công thức (472) ta có Xư (j) đ b b = (j) bL Tr bL j Xư đ (j) đ b = (j) P (i) (i) (i) L ij = X ij = X ij = X i = L, đ (j) đ b P (i) (j) (i) (i) L (j) đ b P (i)ij (i) L (i) đ b P (i) (i) L điều cần chứng minh Vậy trạng thái pha trộn hoàn toàn đợc xác định biết toán đ tử ma trận mật độ Dễ nhận thấy trạng thái lợng tử (j) trờng hợp đặc biệt trạng thái pha trộn với toán tử ma trận mật độ nh sau đư = (j) (j) Vì diễn tả hệ vi mô toán tử ma trận mật độ tổng quát Toán tử ma trận mật độ có tính chất sau Tr( ) = (476) Ă Â Tr (477) = I với I toán tử đơn Tính chất (476) đợc suy từ công thức (475) đặt L P vị: I = Đó hệ tính chất xác suất P (i): i P (i) = Còn bất đẳng thức (477) nhận đợc sử dụng tính chất (473) định nghĩa (474): X đ Ă Â Tr b2 = ) (i) bb (i) i Xư đư đư đ = (i) P (j) (j) (j) P (k) (k) (k) (i) ijk = X ijk = X đư đư đ P (j)P (k) (i) (j) (j) (k) (k) (i) P (j)P (k)ij jk ki ijk = X i P (i) X P (i) = i 180 Tính chất đợc xem nh tiêu chuẩn để xác định trạng thái lợng tử (Tr (b ) = 1) hay pha trộn (Tr (b ) < 1) Vì T r(b ) đợc gọi độ lợng tử Bây ta thiết lập tiến triển toán tử ma trận mật độ cách lấy đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức (474) sử dụng phơng trình Schrăodinger (471) thu đợc phơng trình Liouville lợng tử d h i i~ = H, (478) dt Để thấy cách tờng minh tính ma trận toán tử ma trận mật độ ta chọn hệ véctơ trạng thái {|n i} đủ, X |n i hn | = 1, n trực giao chuẩn hoá, hn | m i = nm , đ khai triển trạng thái lợng tử (i) theo trạng thái (i) đ X (i) = cn |n i n Thay công thức vào định nghĩa (474) ta nhận đợc X = nm |n i hm | mn nm = X (i) P (i)c(i) n cm (479) i yếu tố ma trận vuông , gọi ma trận mật độ Khi công thức (472) xác định giá trị trung bình có dạng L = Tr L (480) ma trận với yếu tố L |m i Lnm = hn | L ma trận đơn vị, công thức (480) đơn giản hoá thành Trong trờng hợp L Tr = Vì giá trị trung bình đại lợng vật lý số thực nên từ công thức (480) ta suy nm = mn, 181 chứng tỏ ma trận mật độ ma trận Hermitic Sử dụng tính chất yếu tố ma trận mật độ hệ thức (479) ta thấy vết bình phơng ma trận mật độ lớn 1, Tr Cuối cùng, dới dạng ma trận, phơng trình Liouville (478) trở thành d h i i~ = H, , dt ma trận với yếu tố H |m i Hnm = hn | H 15.2 Ma trận mật độ rút gọn Bây ta xét tình hay gặp thực tế mà hệ vi mô cần nghiên cứu hệ (một phần) hệ lớn mà phần gây tác động định lên hệ xét Thí dụ nh ta muốn nghiên cứu hệ nhiều hạt trạng thái cân nhiệt nhiệt độ xác định ta phải đặt hệ bình ổn nhiệt có tác dụng giữ cho nhiệt độ hệ mà ta quan tâm luôn có giá trị không đổi Hàm sóng hệ hở nh hàm tọa độ (và hình chiếu spin) hạt, ký hiệu gộp lại r, thời gian t, mà phụ thuộc vào vài thông số, ký hiệu gộp lại , xác định tác động phần bên hệ xét lên hệ Gọi hàm sóng hệ hở (r, t; ) Để đơn giản ta bỏ qua số spin không viết biến số t cách tờng minh Toán tử ma trận mật độ hệ = |(r; )i h(r; )| (481) Xét đại lợng vật lý A hệ cần nghiên cứu ký hiệu toán tử diễn tả đại lợng Toán tử A tác dụng lên hệ mà ta quan tâm, Cơ học lợng tử A nghĩa tác dụng lên biến r Giá trị trung bình đại lợng vật lý A mà ta đo đợc thí nghiệm Z A = (r; ) A(r; )dr, (482) dấu gạch ngang đặt biểu thức dới dấu tích phân phép lấy trung bình theo thông số Ta khai triển hàm sóng (r; ) theo hệ hàm trực giao chuẩn hoá n (r) hệ X (r; ) = cn ()n (r) n Thay khai triển vào vế phải hệ thức (482), ta thu đợc X A= cn ()cm () Amn , m,n 182 (483) với Amn yếu tố ma trận Amn = hm | A |n i = Z n (r)dr m (r) A Dễ nhận thấy công thức (483) xác định giá trị trung bình đại lợng A có dạng giống nh công thức (480), nghĩa A = Trs (s) A , ta coi (s) ma trận với yếu tố ma trận (s) nm = cn ()cm () (484) vết ma trận X theo trạng thái hệ hiểu Trs (X) X = |n (r)i Trs (X) hn (r)| X n Mặt khác, ta thấy (s) = () (485) với ma trận mật độ xác định theo công thức (481) Ta gọi (s) xác định theo công thức (484) (485) ma trận mật độ rút gọn hệ mà ta xét Ma trận mật độ rút gọn thờng đợc sử dụng trạng thái ràng buộc lợng tử nh ta trình E bày dới Xét hệ vi mô gồm hai hệ không tơng tác với (1) Gọi n véctơ trạng thái tạo thành hệ đủ trực giao chuẩn hóa E (2) hệ thứ Tơng tự, hệ thứ hai ta có véctơ trạng thái n Đối với hai hệ con, trạng thái tích trực tiếp đ (2) đ |n i = (1) n n trạng thái Nhng theo nguyên lý chồng chập, trạng thái có dạng X đ (2) đ n |i = n (1) (486) n n trạng thái hệ tổng thể Các trạng thái có dạng (486) gọi trạng thái ràng buộc lợng tử n > Lu ý trạng thái ràng buộc lợng tử (486) trạng thái lợng tử, trạng thái pha trộn Toán tử ma trận mật độ trạng thái ràng buộc lợng tử này, xem nh trạng thái lợng tử, = |i h| (487) (1) Giá trị trung bình trạng thái (486) đại lợng vật lý L(1) ứng với toánE tử L (1) tác dụng lên hệ thứ nhất, tức tác dụng lên véctơ trạng thái n , D E X (1) (1) đ (1) = h| L (1) |i = L L |n |2 (1) (488) n n n 183 Mặt khác, kết (488) nhận đợc ta đa vào toán tử ma trận Xư (2) đ n (1) = (2) n n D E (1) theo công thức kiểu nh công thức (475) với xác định theo biểu thức (487) tính L D E (1) (1) (1) L = Tr1 L đợc hiểu nh sau Tr1 (X) = Tr1 (X) Xư (1) đ X (1) n n n Toán tử (1) gọi toán tử ma trận mật độ rút gọn hệ thứ Ta thấy vết toán tử ma trận mật độ hai hệ theo trạng thái hệ thứ hai (thứ nhất) toán tử ma trận mật độ rút gọn (1) ( (2) ) hệ thứ (thứ hai): (1) = Tr2 ( (2) = Tr1 ) Tơng tác hệ thờng dẫn đến trạng thái ràng buộc lợng tử Vì cách mô tả tốt hệ tổng thể nhiều hệ sử dụng ma trận mật độ rút gọn Các trạng thái ràng buộc lợng tử ma trận mật độ rút gọn đóng vai trò quan trọng nghiên cứu vấn đề thông tin lợng tử, môn khoa học phức hợp xuất gần 184 Bài tập 15.1 Chứng toán tử ma trận mật độ trạng thái luợng (j)minh đ tử đư = (j) (j) 15.2 Chứng minh trạng thái lợng tử = 1, trạng thái trạng thái pha trộn < 15.3 Sử dụng ký hiệu nh mục 15.2, chứng minh X (1) (1) đ (1) (1) L n |n |2 (1) Tr1 L = n n 185 Chơng XVI Các hàm phân bố vật lý thống kê lợng tử Xét hệ gồm số lớn (vô số) hạt trạng thái cân nhiệt đợc diễn tả ma trận mật độ không thay đổi theo thời gian Ký hiệu Hamiltonian toàn phần Từ phơng trình Liouville lợng tử suy giao hoán với H hệ H h i =0 , H đợc làm chéo đồng thời với H: mn = mn wn , mn = mn En H Yếu tố chéo wn ma trận mật độ xác suất để hệ có lợng toàn phần En Các yếu tố có tính chất X wn = (489) n Trong trờng hợp hệ nhiều hạt có đại lợng vật lý bảo toàn lợng toàn phần xác suất wn đợc biểu diễn qua En , cụ thể có hàm w(E) mà wn = w(En ) Ký hiệu N(E) số trạng thái lợng tử hệ với lợng toàn phần nhỏ E dN(E) số trạng thái lợng tử hệ với lợng toàn phần có giá trị từ E đến E + dE Ta có dN (E) dN(E) = dE dE Đại lợng dN(E) dE đợc gọi mật độ trạng thái Hàm phân bố xác suất theo lợng (E) = W (E) = (E)w(E) Tính chất (489) ma trận mật độ đợc viết lại dới dạng điều kiện chuẩn hoá W (E) nh sau Z W (E)dE = Hàm phân bố W (E) thờng có cực đại nhọn điểm E = E khác không cách đáng kể khoảng bé giá trị E hai bên giá trị E ứng với cực 186 đại W (E) Ta định nghĩa bề rộng E đồ thị hàm phân bố W (E) quanh điểm cực đại E nh sau W (E)E =1 đặt = (E)E (E) Đó số trạng thái lợng tử ứng với khoảng giá trị E lợng quanh giá trị E Rõ ràng = (E) w(E) Đại lợng vật lý = ln(E) = lnw(E) S(E) (490) đóng vai trò quan trọng vật lý thống kê nh nhiệt động học đợc gọi entropy hệ Chúng ta xác lập số tính chất chung đại lợng nhiệt động học Giả sử có hệ kín trạng thái không cân Hệ có khuynh hớng chuyển sang trạng thái có xác suất phân bố lớn hơn, nghĩa có số trạng thái lợng tử lớn có entropy S(E) lớn Điều có nghĩa trình (E) biến đổi hệ kín không cân entropy S hệ tăng S đạt đến giá trị cực đại trạng thái hệ trở nên cân Đó định luật tăng entropy nhiệt động học Bây ta xét hệ kín với ma trận mật độ , lợng toàn phần E, mật độ trạng entropy S(E) Giả sử hệ kín gồm nhiều hệ với ma trận thái lợng tử (E) mật độ (a) , lợng toàn phần E (a) , mật độ trạng thái lợng tử (a) (E (a) ) entropy S (a) (E (a) ) Ta xét trờng hợp có đại lợng vật lý bảo toàn lợng toàn phần X E= E (a) a Nếu hệ độc lập với hàm phân bố hệ theo lợng đạt đến cực đại giá trị E (a) = E (a) , hàm phân bố theo lợng hệ toàn với phần đạt đến cực đại giá trị E = E X E (a) (491) E = a Ma trận mật độ hệ toàn phần phải tích ma trận mật độ (a) hệ con, Y (a) , = a 187 hệ toàn phần phải tích mật độ trạng mật độ trạng thái lợng tử (E) thái lợng tử (a) (E (a) ) hệ Y = (E) (a) (E (a) ) a hệ toàn phần tổng entropy S (a) (E (a) ) Từ suy entropy S(E) hệ con: X = S(E) S (a) (E (a) ) (492) a Vậy entropy đại lợng vật lý cộng đợc (additive), nh lợng Hai hệ thức (491) (492) đồng thời đợc thoả mãn S(E) S (a) (E (a) ) hàm tuyến tính có dạng S (a) (E (a) ) = (a) + E (a) , S(E) = + E (493) với hệ số với số (a) liên hệ với hệ thức X = (a) a Từ công thức (490) suy biểu thức hàm w(E): w(E) = CeE (494) Để xác lập ý nghĩa vật lý hệ số công thức (493) (494) ta xét hệ kín gồm hại vật gần nh độc lập với trao đổi lợng với đờng trao đổi nhiệt Ký hiệu lợng entropy hai vật E (1) , E (2) S (1) , S (2) Năng lợng toàn phần entropy hệ gồm hai vật E = E (1) + E (2) S = S (1) + S (2) Trong trình trao đổi nhiệt hai vật E (1) E (2) thay đổi nhng lợng toàn phần E phải bảo toàn, E = const., ta có dS dS (1) dS (2) = + dE (1) dE (1) dE (1) dS (1) dS (2) = dE (1) dE (2) (495) Trạng thái cân nhiệt hai vật đợc thực entropy đạt đến giá trị cực đại, đạo hàm (495) không, nghĩa dS (1) dS (2) = dE (1) dE (2) 188 Mở rộng cho trờng hợp hệ kín gồm nhiều vật gần nh độc lập với trao đổi nhiệt với nhau, ta thấy đại lợng vật lý dS (a) /dE (a) tất vật phải có giá trị hệ trạng thái cân nhiệt Ta lại biết nhiệt độ vật đại lợng vật lý có tính chất Ta định nghĩa nhiệt độ tuyệt đối T đại lợng tỷ lệ nghịch với dS/dE Hệ số tỷ lệ phụ thuộc đơn vị đo nhiệt độ Nếu ta chọn đơn vị đo độ ta có dS = , dE kB T (496) với kB số Boltzmann So sánh công thức (496) với biểu thức (493) entropy, ta thu đợc = kB T (497) Từ công thức (494) hàm w(E) suy xác suất để hệ trạng thái với lợng En wn = CeEn , với đợc xác định công thức (497) Đó công thức phân bố Gibbs tiếng, công thức vật lý thống kê lợng tử Hằng số C đợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa C = P En ne Ta thờng đặt C = eF với eF = X eEn (498) n viết công thức phân bố Gibbs dới dạng wn = e(F En ) (499) Đại lợng F đợc gọi lợng tự hệ Biểu thức vế phải công thức (498) thờng đợc gọi tổng thống kê hệ nhiều hạt hệ có đại lợng bảo toàn lợng Chúng ta vừa xét trờng hợp hệ nhiều hạt có đại lợng vật lý bảo toàn cộng đợc lợng E Tiếp theo mở rộng lập luận trình bày cho trờng hợp mà lợng hệ nhiều hạt có đại lợng vật lý bảo toàn cộng đợc số hạt N Đó trờng hợp hệ nhiều fermion Giả sử hệ gồm nhiều hệ có số hạt 189 N (a) , lợng E (a) entropy S (a) Trong trạng thái thống kê cân đại lợng S (a) /E (a) S (a) /N (a) tất hệ phải có giá trị Ta ký hiệu S (a) = , E (a) S (a) = N (a) với có ý nghĩa vật lý giống nh trờng hợp hệ có đại lợng vật lý bảo toàn lợng, nghĩa liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối T hệ thức (496), đợc gọi hóa học Lập luận giống nh ta xác lập đợc trạng thái hệ với lợng toàn phần En số hạt toàn phần Nn có xác suất wn = Ce(En àNn ) với C=P n e(En àNn ) , wn = e[(En àNn )] (500) với e = X e(En àNn ) (501) n Đó công thức phân bố Gibbs trờng hợp số hạt đại lợng bảo toàn Đại lợng đợc gọi nhiệt động Biểu thức vế phải công thức (501) thờng đợc gọi tổng thống kê trờng hợp hệ có hai đại lợng bảo toàn lợng số hạt Biết đợc biểu thức (499) (500) xác suất wn , ta tính đợc giá trị trung bình A đại lợng vật lý A trạng thái cân thống kê (cân nhiệt) hệ nhiều hạt Thật vậy, ký hiệu giá trị trung bình đại lợng trạng thái với xác suất wn An Ta có X wn An (502) A = n Bây áp dụng công thức phân bố Gibbs (499) (500) để tìm hàm phân bố theo lợng hệ hạt đồng mà hạt có lợng xác định , trạng thái n hạt có lợng En = n Nếu hạt boson, số hạt không bảo toàn có đại lợng bảo toàn lợng, theo (499) (502) số hạt trung bình P nen fB () = n = Pn=0 , (503) n n=0 e 190 hạt fermion, số hạt N lợng E đại lợng bảo toàn, theo (500) (502) số hạt trung bình P n(à) n=0,1 ne P fF () = n = (504) n(à) n=0,1 e Chú ý trờng hợp fermion theo đòi hỏi thống kê Fermi-Dirac có trạng thái với n = n = mà Dễ dàng tính đợc tổng vế phải hệ thức (503) (504) Ta thu đợc biểu thức fB () = e = 1e e (505) gọi hàm phân bố Bose-Einstein biểu thức fF () = e(à) = (à) (à) 1+e e +1 (506) gọi hàm phân bố Fermi-Dirac Các biểu thức hàm phân bố thờng xuyên đợc sử dụng Vật lý thống kê Vật lý chất rắn 191 Bài tập 16.1 Chứng minh công thức (505) 16.2 Chứng minh công thức (506) 192 Tài liệu tham khảo E V Spolskii, Vật lý nguyên tử, Phạm Duy Hiển, Hoàng Hữu Th, Phạm Quý T Nguyễn Hữu Xý dịch, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội, 1967 A S Davydov, Cơ học lợng tử, Đặng Quang Khang dịch, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1972 D Halliday, R Resnick J W Walker, Cơ sở Vật lý Tập VI, Quang học Vật lý nguyên tử, Hoàng Hữu Th, Phan Văn Thích Phạm Văn Thiều dịch, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội, 1998 Nguyễn Hoàng Phơng, Nhập môn học lợng tử, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội, 1998 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lợng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 1998 Phạm Quý T Đỗ Đình Thanh, Cơ học lợng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 1999 Hoàng Dũng, Nhập môn học lợng tử, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội, 1999 P A M Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Clarendon, Oxford, 1958 L D Landau and E M Lifshitz, Quantum Mechanics, Nonrelativistic Theory, Pergamon Press, Oxford, 1962 10 E U Condon and G H Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press, Cambridge, 1963 11 C Kittel, Quantum Theory of Solids, Wiley, New York, 1964 12 H Haken, Quantum Field Theory of Solids, North-Holland, Amsterdam, 1976 13 J J Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, New York, 1967 14 L I Schiff, Quantum Mechanics, 3rd ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1968 15 A Messiah, Quantum Mechanics, Vol I, II, Wiley, New York, 1968 16 E Merzbacher, Quantum Mechanics, 2nd ed., Wiley, New York, 1970 193 17 S Gasiorowixz, Quantum Physics, Wiley, New York, 1974 18 Y Peley and E Zaazur, Quantum Mechanics, Schaums Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1998 19 Christian Ngô et Hélène Ngô, Introduction la Physique des Semiconducteurs, Dunod, Paris, 1998 20 R Gautreau and W Savin, Modern Physics, Schaums Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1999 21 Christian Ngô et Hélène Ngô, Physique Quantique, Introduction, Dunod, Paris, 2000 194 [...]... đợc cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt của ánh sáng, nghĩa là một lý thuyết có khả năng thống nhất thuyết lợng tử ánh sáng của Einstein với thuyết điện từ cổ điển của Maxwell Lý thuyết đó đã đợc xây dựng hoàn chỉnh vào giữa thế kỷ 20 và đợc gọi là Điện động lực học lợng tử 21 Bài tập 2.1 Ký hiệu góc tán xạ của photon và góc bay ra của điện tử (so với hớng truyền của photon tới) trong quá trình tán xạ... động của một hạt có khối lợng à bằng khối lợng thu gọn của hệ hai hạt điện tử- proton trong trờng thế xuyên tâm Vì khối lợng của proton lớn hơn rất nhiều so với khối lợng của điện tử ta có thể coi à = m là khối lợng của điện tử Để đơn giản chỉ khảo sát chuyển động tròn đều của điện tử quanh proton với vận tốc góc theo quỹ đạo tròn bán kính r Hai đại lợng vật lý bảo toàn là năng lợng của điện tử 1 2... giữa động năng K của điện tử bị đẩy và năng lợng E của photon tới trong tán xạ Compton ( là góc tán xạ) 2.3 Một điện tử tự do không thể hấp thụ hoặc phát ra một photon Hãy giải thích tại sao ? 22 Chơng III thuyết lợng tử quỹ đạo của bohr Lịch sử phát triển của lý thuyết về cấu tạo nguyên tử là một chặng đờng dài Từ lâu ngời ta đã biết: i) Nguyên tử tồn tại bền vững; ii) Quang phổ của hydro (và các... lợng của photon có hệ thức E = cp (47) suy ra từ hệ thức giữa tần số và véctơ sóng của ánh sáng tơng ứng k = 2 2 = , c (48) là bớc sóng của sóng ánh sáng Theo thuyết photon, hiệu ứng quang điện là hệ quả của sự va chạm của photon với điện tử trong kim loại mà toàn bộ năng lợng của photon đợc truyền cho điện tử và làm cho điện tử bật ra khỏi kim loại Ký hiệu công thoát là A0 , vận tốc của điện tử sau... phát triển thuyết lợng tử năng lợng của Planck và thuyết photon của Einstein để xây dựng lý thuyết về cấu tạo nguyên tử và về các quá trình phát và hấp thụ ánh sáng bởi các nguyên tử nhằm mục đích khắc phục thiếu sót nói trên của thuyết điện từ cổ điển và giải thích các kết quả thực nghiệm đã biết Năm 1913 Bohr đã đề xuất hai tiên đề sau: Tiên đề 1: Trong vô số các quỹ đạo khả dĩ, điện tử chỉ có thể... một phơng trình cơ bản của Cơ học lợng tử Sự đúng đắn của phơng trình Schrăodinger là ở chỗ tất cả những hệ quả vật lý suy ra từ phơng trình này đều phù hợp rất tốt với các kết quả thực nghiệm Toán tử 2 = ~2 + V (r) H 2m (90) mà ta thu đợc từ đẳng thức (84) sau khi thực hiện các phép thay thế (87) đóng vai trò quan trọng trong Cơ học lợng tử giống nh vai trò của hàm Hamilton trong Cơ học cổ điển và... dụng toán lên hàm sóng này, ta có tử P p (r, t) = pp (r, t) P Ta lại thấy rằng hàm sóng của trạng thái của hạt vi mô với xung lợng p xác định phải là ứng với trị riêng p hàm riêng của toán tử P Những lập luận trên dẫn ta đến việc thừa nhận một số tiên đề của Cơ học lợng tử Những tiên đề này sẽ trình bày trong chơng sau 34 Chơng VI Những tiên đề của cơ học lợng tử 6.1 Diễn tả trạng thái hạt vi mô... ngay cả khi cờng độ chùm điện tử giảm tới mức mà ở mỗi thời điểm trên quãng đờng từ nguồn qua khe đến kính ảnh trung bình chỉ có một điện tử: với từng điện tử riêng biệt vẫn có hiện tợng nhiễu xạ; chuyển động của từng điện tử riêng biệt vẫn tuân theo quy luật sóng Hãy theo dõi chuyển động của từng điện tử trong thí nghiệm nhiễu xạ của điện tử Sau khi đi qua khe hở điện tử có thể đi đến một điểm trên... gọi là quy tắc lợng tử hoá Bohr: Mômen xung lợng của chuyển động của điện tử quanh hạt nhân có các giá trị gián đoạn Mn = h n, n = 1, 2, 3, 2 (70) Thay quy tắc lợng tử (70) vào công thức (68), ta có các giá trị gián đoạn của năng lợng En = me4 1 8h2 n2 (71) Số nguyên n gọi là số lợng tử của trạng thái đang xét Từ các công thức (69) và (71), ta thấy rằng khi điện tử trong nguyên tử hydro chuyển từ... lợng xác định E phải là hàm riêng của Hamiltonian ứng với trị riêng E Ta gọi các trạng thái có năng lợng xác định là các trạng thái dừng Theo các phép thay thế (87) khi chuyển từ Cơ học cổ điển sang Cơ học lợng tử xung lợng p của hạt đợc thay bằng toán tử i~ Điều đó có nghĩa là trong Cơ học lợng tử ta có toán tử xung lợng = i~ P Sóng phẳng (85) diễn tả trạng thái của hạt vi mô với xung lợng xác định ... ta có A(t) = X wn (t )an = n = X X n |cn (t)|2 an cn (t) cn (t )an n = = XZ Zn (r, t) n (r)drcn (t )an V (r, t) V = Z V = Z X (r, t) X = n(r)dr cn (t)A n (r, t) A V Z cn (t )an n (r)dr n X cn (t)n(r)dr... (121), ta có X X A(t) = wn (t )an = |cnln (t)|2 an n = X n,ln cnln (t) cnln (t )an n,ln = XZ n,ln = = = = Z Z Z Z (r, t) nln (r)drcnln (t )an V (r, t) V cnln (t )an nln (r)dr n,ln (r, t) V X X ... quang điện bão hoà tỷ lệ thuận với cờng độ ánh sáng gây hiệu ứng quang điện Không thể giải thích phát quan niệm cho ánh sáng tuý sóng, lợng sóng thay đổi liên tục, chiếu sáng đủ mạnh, không quan