Giả sữ cọ hai ẼỈi l−ùng vật lý A vẾ B Ẽ−ùc diễn tả trong CÈ hồc l−ùng tữ bỡi hai toÌn tữ Aˆ vẾ Bˆ. CẪu hõi Ẽặt ra lẾ muộn cho hai ẼỈi l−ùng vật lý A vẾ B nẾy Ẽổng thởi cọ giÌ
trÞ xÌc ẼÞnh thỨ giứa hai toÌn tữ AˆvẾ Bˆ t−Èng ựng phải cọ Ẽiều kiện gỨ ?
Theo mờt tiàn Ẽề cũa CÈ hồc l−ùng tữ thỨ ẼỈi l−ùng vật lý A (B) Ẽ−ùc diễn tả bỡi toÌn tữ Aˆ (Bˆ) cọ giÌ trÞ xÌc ẼÞnh trong trỈng thÌi Ẽ−ùc mẬ tả bỡi hẾm sọng lẾ hẾm riàng cũa
toÌn tữ Aˆ (Bˆ). Việc A vẾ B Ẽổng thởi cọ giÌ trÞ xÌc ẼÞnh cọ nghịa lẾ trong khẬng gian
vÐctÈ cÌc hẾm sọng cọ mờt hệ cÈ sỡ cÌc hẾm sọng ψn(r)mẾ mối hẾmψn(r)Ẽều Ẽổng thởi lẾ hẾm riàng cũa cả hai toÌn tữ Aˆ vẾ Bˆ,
ˆ
Aψn(r) =anψn(r), ˆ
Bψn(r) =bnψn(r),
vẾ mồi hẾm sọng ψ(r) Ẽều cọ dỈng tỗ hùp tuyến tÝnh cũa cÌc hẾm cÈ sỡψn(r), ψ(r) =X
n
cnψn(r).
TÌc dừng lần l−ùt AˆBˆ vẾ BˆAˆlàn hẾm ψ(r) rổi trử Ẽi cho nhau ta thu Ẽ−ùc ˆ ABˆψ(r)−BˆAψ(r) = [ ˆˆ A,Bˆ]ψ(r) = ( ˆABˆ−BˆA)ˆ X n cnψn(r) = X n cn( ˆABˆψn(r)−BˆAψˆ n(r)) = X n cn(anbn−bnan)ψn(r) = 0. VỨ ẼỊng thực tràn Ẽụng vợi mồiψ nàn ta cọ [ ˆA,B] = 0,ˆ
cọ nghịa lẾ hai toÌn tữ AˆvẾ Bˆ phải giao hoÌn vợi nhau.
Nếu cÌc ẼỈi l−ùng vật lý A, B,C, ... cọ thể củng cọ cÌc giÌ trÞ xÌc ẼÞnh Ẽổng thởi thỨ cÌc toÌn tữAˆ,Bˆ, Cˆ, ... t−Èng ựng vợi chụng phải giao hoÌn vợi nhau.
Cúng cọ thể chựng minh Ẽiều ng−ùc lỈi:
Nếu cÌc toÌn tữ Aˆ, Bˆ, Cˆ, ... diễn tả cÌc ẼỈi l−ùng vật lý A, B, C, ... giao hoÌn vợi
nhau thỨ cÌc ẼỈi l−ùng nẾy cọ thể Ẽổng thởi cọ cÌc giÌ trÞ xÌc ẼÞnh.