CÌc lý luận, ph−Èng trỨnh vẾ cẬng thực trỨnh bẾy ỡ tràn cọ thể mỡ rờng mờt cÌch dễ dẾng cho tr−ởng hùp hệ N hỈt vi mẬ cọ cÌc khội l−ùngm1, m2, ..., mN chuyển Ẽờng trong mờt tr−ởng thế vẾ t−Èng tÌc vợi nhau. Ký hiệu cÌc vÐctÈ tồa Ẽờ vẾ xung l−ùng cũa cÌc hỈt lẾ r1, r2, ..., rN vẾ p1, p2, ..., pN,
pα =mαr˙α, α =1,2, ..., N.
Thế nẨng cũa hệ nọi chung khẬng nhứng phừ thuờc vẾo cÌc tồa Ẽờ mẾ còn cọ thể phừ thuờc vẾo cả cÌc xung l−ùng lẫn thởi gian. NẨng l−ùng toẾn phần cũa hệ cọ dỈng
E =X α p2 α 2mα +V(r1, . . . ,rN;p1, . . . ,pN;t). (125) Khi luùng tữ họa ta thay thế
rα →rα, (126)
pα →Pˆα =−i~∇α =−i~ ∂
CÌc toÌn tữ tồa Ẽờrα vẾ xung l−ùng Pˆα cọ cÌc thẾnh phần rαi vẾ Pˆαi thõa m·n cÌc hệ
thực giao hoÌn chÝnh t¾c
[rαi, rβj] = [ ˆPαi,Pˆβj] = 0, [rαi,Pˆβj] =−[ ˆPβj, rαi] =i~δαβδij.
Sau khi thỳc hiện cÌc phÐp thay thế (126) vẾ (127) trong biểu thực (125) cũa nẨng l−ùng toẾn phần ta thu Ẽ−ùc Hamiltonian cũa hệ
E →Hˆ =Xα α ˆ P2α 2mα +V(r1, . . . ,rN; ˆP1, . . . ,PˆN;t).
Nếu trong biểu thực cũaV(r1, . . . ,rN; ˆP1, . . . ,PˆN;t)cọ chựa cÌc tÝch cÌc thẾnh phần cũa
rα vẾ Pˆα vợi củng mờt chì sộα thỨ ta phải thửa nhận mờt thự tỳ nẾo Ẽọ giứa chụng, vỨ cÌc
toÌn tữ nẾy khẬng giao hoÌn vợi nhau.
HẾm sọng cũa hệ lẾ hẾm cũa cÌc vÐctÈ tồa Ẽờ vẾ thởi gian ψ(r1, . . . ,rN;t). Ph−Èng trỨnh SchrẨodinger cọ dỈng
i~∂ψ(r1, . . . ,∂t rN;t) = ˆHψ(r1, . . . ,rN;t). (128) Nếu thế nẨng khẬng phừ thuờc t−ởng minh vẾo thởi gian thỨ ph−Èng trỨnh SchrẨodinger cọ lởi giải sọng phỊng ẼÈn s¾c diễn tả trỈng thÌi dửng
ψ(r1, . . . ,rN;t) = e−~iEt
ψE(r1, . . . ,rN),
trong Ẽọ ψE(r1, . . . ,rN) lẾ hẾm riàng cũa Hamiltonian khẬng phừ thuờc thởi gian
ˆ H=X α ˆ P2 α 2mα +V(r1, . . . ,rN; ˆP1, . . . ,PˆN)
ựng vợi trÞ riàng E, cọ nghịa lẾ
ˆ
HψE(r1, . . . ,rN) =EψE(r1, . . . ,rN).
XÌc xuất ẼÞnh vÞ trÝ hỈt thự nhất trong thể tÝch dr1 quanh Ẽiểm cọ tồa Ẽờ r1, hỈt thự hai trong thể tÝch dr2 quanh Ẽiểm cọ tồa Ẽờ r2, ... , hỈt thự N trong thể tÝch drN quanh Ẽiểm cọ tồa Ẽờ rN ỡ thởi Ẽiểmt lẾ
dW(r1, . . . ,rN;t) =|ψ(r1, . . . ,rN;t)|2dr1dr2. . . drN.
ưiều kiện chuẩn họa hẾm sọng lẾ
Z Z · · · · · ·
Z
|ψ(r1, . . . ,rN;t)|2dr1dr2. . . drN =1.
Nếu cÌc hỈt khẬng t−Èng tÌc vợi nhau thỨ Hamiltonian cũa hệ lẾ tỗng cÌc Hamiltonian cũa tửng hỈt chuyển Ẽờng trong ngoỈi tr−ởng
ˆ H = N X α=1 ˆ Hα,
ˆ Hα = Pˆ 2 α 2mα +V(α)(rα,Pˆα).
Trong tr−ởng hùp nẾy cọ thể tỨm hẾm sọng ψ(r1, . . . ,rN;t)d−ợi dỈng tÝch trỳc tiếp cũa N
hẾm sọng cũa tửng hỈt riàng biệt
ψ(r1, . . . ,rN;t) =ψ(1)(r1;t)ψ(2)(r2;t). . .ψ(N)(rN;t), (129) trong Ẽọ mối hẾm sọng ψ(α)(rα, t) cũa mờt hỈt lẾ hẾm riàng cũa Hamiltonian cũa hỈt Ẽọ
ˆ
Hαψ(α)(rα, t) =E(α)ψ(α)(rα;t)
ựng vợi nẨng l−ùng E(α). Dễ thữ lỈi rÍng ψ(r1, . . . ,rN;t) xÌc ẼÞnh bỡi biểu thực (129) lẾ hẾm riàng cũa Hamiltonian toẾn phần
ˆ
Hψ(r1, . . . ,rN;t) =Eψ(r1, . . . ,rN;t)
vợi trÞ riàng E lẾ nẨng l−ùng toẾn phần cũa hệ bÍng tỗng cÌc nẨng l−ùng cũa tất cả cÌc hỈt
E =
N
X
α=1 E(α).
BẪy giở ta xÐt hệ hỈt vi mẬ Ẽổng nhất mối hỈt cọ khội l−ùng m. Hamiltonian toẾn phần
ˆ H = N X α=1 ˆ P2 α 2m +V(r1, . . . ,rN; ˆP1, . . . ,PˆN)
khẬng thay Ẽỗi khi ta hoÌn vÞ hai hỈt bất kỷ:
rα ↔rβ, Pˆα ↔Pˆβ.
KhÌc vợi cÌc hỈt vị mẬ, cÌc hỈt vi mẬ khẬng thể phẪn biệt Ẽ−ùc cho nàn mật Ẽờ xÌc xuất khẬng thay Ẽỗi khi ta hoÌn vÞ hai hỈt, nghịa lẾ ta cọ Ẽiều kiện
|ψ(r1, . . . ,rα, . . . ,rβ, . . . ,rN;t)|2 =|ψ(r1, . . . ,rβ, . . . ,rα, . . . ,rN;t)|2
(130)
vợi mồi cặp chì sộ α,β. Trong tr−ởng hùp cÌc hỈt khẬng t−Èng tÌc vợi nhau thỨ hẾm sọng d−ợi dỈng tÝch cũa N hẾm sọng mờt hỈt nh− trong cẬng thực (129), trong Ẽọ cọ cÌc hẾm sọng mờt hỈt khÌc nhau
ψ(α)(r, t)6=ψ(β)(r, t)
tuy thõa m·n ph−Èng trỨnh SchrẨodinger (128) nh−ng khẬng thõa m·n Ẽiều kiện (130). Sau nẾy chụng ta sé thấy rÍng Ẽiều kiện (130) Ẽội vợi mẬẼun cũa hẾm sọng Ẽ−ùc thay bÍng mờt hệ thực Ẽội vợi chÝnh hẾm sọng
ψ(r1, . . . ,rα, . . . ,rβ, . . . ,rN;t) = eiηψ(r1, . . . ,rβ, . . . ,rα, . . . ,rN;t) (131) trong Ẽọ giÌ trÞ cũa thửa sộ pha eiη (η lẾ sộ thỳc) phừ thuờc vẾo loỈi hỈt vi mẬ. Ta sé trỡ lỈi vấn Ẽề nẾy sau khi biết khÌi niệm spin cũa hỈt vi mẬ.
BẾi tập
6.1 Chựng tõ rÍng trong biểu diễn xung l−ùng tÌc dừng cũa toÌn tữ xung l−ùng
ˆ
P làn hẾm sọng lẾ phÐp nhẪn vợi vÐctÈ xung l−ùng p, còn phÐp nhẪn vợi bÌn kÝnh vÐctÈ rlẾ tÌc dừng cũa toÌn tữ tồa Ẽờ r=i~∂∂p làn hẾm sọng. 6.2 Chựng minh cÌc hệ thực giao hoÌn (105) vẾ (106).
6.3 Chựng minh rÍng toÌn tữi ∂
∂x lẾ mờt toÌn tữ tỳ liàn hùp còn toÌn tữ ∂∂x thỨ khẬng phải lẾ mờt toÌn tữ tỳ liàn hùp.
6.4 Chựng minh rÍng ma trận A˜ diễn tả mờt toÌn tữ tỳ liàn hùp Aˆ = ˆA+ lẾ mờt ma trận tỳ liàn hùp A˜= ˜A+.
6.5 Chựng minh rÍng cÌc trÞ riàng cũa mờt toÌn tữ tỳ liàn hùp lẾ cÌc sộ thỳc. 6.6 Chựng minh rÍng giÌ trÞ trung bỨnh xÌc ẼÞnh theo cẬng thực (123) lẾ mờt
sộ thỳc.
6.7 Chựng minh rÍng cÌc hẾm riàngψn(r)cũa toÌn tữ tỳ liàn hùpAˆtỈo thẾnh
mờt hệ Ẽũ trỳc giao chuẩn hoÌ.
6.8 Giả sữ trÞ riàngan cũa toÌn tữ Aˆsuy biến bời LvẾ cÌc hẾm riàng ựng vợi an, ψnl(r), l = 1ứL, ch−a trỳc giao chuẩn hoÌ. Chựng minh rÍng bao giở cúng lập Ẽ−ùc L hẾm mợi trỳc giao chuẩn hoÌ φnl(r) lẾ cÌc tỗ hùp tuyến tÝnh cũa cÌc hẾm ψnl(r).
Ch−Èng VII
mờt sộ ph−Èng trỨnh vẾ ẼÞnh lý suy ra tử cÌc tiàn Ẽề cũa cÈ hồc l−ùng tữ