XÐt mờt hệ hai hỈt vẾ gồi cÌc toÌn tữ mẬmen xung l−ùng cũa chụng lẾJˆ(1) vẾJˆ(2). Giả sữ giứa hai hỈt khẬng cọ t−Èng tÌc. Khi Ẽọ hỈt thự i (i=1,2) cọ thể diễn tả bỡi (2ji+1)
hẾm sọng Ψ(jii)Ếi vợi cÌc giÌ trÞ xÌc ẼÞnh cũa cÌc bỨnh ph−Èng mẬmen xung l−ùng vẾ hỨnh chiếu cũa nọ tràn trừc Oz ˆ J(i)2Ψ(jii)Ếi = ji(ji+1)~2Ψ(jii)Ếi, ˆ Jz(i)Ψ(jii)Ếi = Ếi~Ψ(jii)Ếi vợi Ếi =−ji, −ji+1, . . . , ji−1, ji, tực lẾ |Ếi|≤ji.
Hệ hai hỈt nh−vậy cọ thể Ẽ−ùc mẬ tả bợi(2j1+1)(2j2+1) tÝch trỳc tiếp cũa hai hẾm sọng
Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2.
Trong nhiều tr−ởng hùp ng−ởi ta lỈi quan tẪm Ẽến mẬmen xung l−ùng toẾn phần cũa hệ. ToÌn tữ mẬmen xung l−ùng toẾn phần ˆJ vẾ hỨnh chiếu cũa nọ Jˆz tràn trừc Oz lẾ
ˆ
J= ˆJ(1)+ ˆJ(2), (245)
ˆ
Jz = ˆJz(1)+ ˆJz(2). (246)
VỨ rÍng cÌc toÌn tữ mẬmen xung l−ùng cũa hai hỈt giao hoÌn vợi nhau
h ˆ
Ji(1),Jˆk(2)i
= 0, i, k=x, y, z (247) cho nàn cÌc thẾnh phần cũa toÌn tữ mẬmen xung l−ùng toẾn phần cúng cọ cÌc giao hoÌn tữ giộng hệt nh− Ẽội vợi toÌn tữ mẬmen xung l−ùng cũa mối hỈt, tực lẾ
h ˆ Ji,Jˆj
i
ưiều nẾy cọ nghịa lẾ bỨnh ph−Èng vẾ thẾnh phần hỨnh chiếu tràn trừcOzcũa toÌn tữ mẬmen xung l−ùng toẾn phần Ẽổng thởi cọ cÌc giÌ trÞ xÌc ẼÞnh lẾ j(j +1)~2 vẾ Ế vợi |Ế| ≤ j. Vấn Ẽề Ẽặt ra lẾ giÌ trÞ cừ thể cũa j lẾ bao nhiàu vẾ cÌc hẾm riàng t−Èng ựng cọ dỈng thế nẾo ? Tr−ợc hết ta thấy rÍng cÌc tÝch Ψ(1)j1Ế1Ψj(2)2Ế2 lẾ cÌc hẾm riàng cũa Jˆz ựng vợi trÞ riàng Ế=Ế1+Ế2, vỨ ˆ JzΨ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 = Ể ˆ Jz(1)+ ˆJz(2)Ễ Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 = Ψ(2)j2Ế2Ể ˆ Jz(1)Ψ(1)j1Ế1Ễ +Ψ(1)j1Ế1Ể ˆ Jz(2)Ψ(2)j2Ế2Ễ = Ψ(2)j2Ế2Ế1Ψ(1)j1Ế1 +Ψ(1)j1Ế1Ế2Ψ(2)j2Ế2 = (Ế1+Ế2)Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2.
Tuy nhiàn, cÌc tÝch Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 lỈi khẬng phải lẾ cÌc hẾm riàng cũa
ˆ J2 =Ể ˆ J(1)+ ˆJ(2)Ễ2 = ˆJ(1)2 + ˆJ(2)2+ 2ˆJ(1)Jˆ(2) vỨ sỳ cọ mặt cũa 2ˆJ(1)Jˆ(2) lẾm cho ˆ J2Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 6= const.Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2.
Nh−ng tử cÌc tÝch Ψ(1)j1Ế1Ψj(2)2Ế2 cọ thể lập Ẽ−ùc cÌc tỗ hùp tuyến tÝnh lẾ hẾm riàng cũa ˆJ2. VỨ Jˆz lẾ toÌn tữ tuyến tÝnh nàn cÌc tỗ hùp tuyến tÝnh cũa cÌc tÝch Ψ(1)
j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 cúng Ẽổng thởi lẾ hẾm riàng cũa Jˆz. Ký hiệu hẾm riàng cũa Jˆ2 vẾ Jˆz lẾ Φj
1j2jẾ, ta cọ
ˆ
J2Φj1j2jẾ = j(j+1)~2Φj1j2jẾ, ˆ
JzΦj1j2jẾ = Ế~Φj1j2jẾ.
ưể xÌc ẼÞnh Φj1j2jẾ vẾ tỨm cÌc giÌ trÞ khả dị cũa j ta h·y khảo sÌt cÌc giÌ trÞ khả dị cũa
Ế=Ế1+Ế2.
VỨ giÌ trÞ lợn nhất cũaẾ1 vẾ Ế2 lẾj1 vẾ j2 nàn Ếnhận giÌ trÞ lợn nhất lẾẾmax =j1+j2
khi vẾ chì khi {Ế1 =j1, Ế2 =j2}. HẾm sọng hai hỈt t−Èng ựng duy nhất lẾ Ψ(1)j1j1Ψ(2)j2j2. ưọ cúng chÝnh lẾ trỈng thÌi ựng vợi giÌ trÞ cũa mẬmen xung l−ùng toẾn phầnj =Ếmax =j1+j2. Vậy Φj1j2j1+j2j1+j2 =Ψ(1)j1j1Ψ(2)j2j2.
GiÌ trÞ tiếp theo cũa Ế lẾ Ếmax−1 = j1 +j2 −1 khi {Ế1 = j1, Ế2 = j2 −1} hoặc
{Ế1 = j1−1, Ế2 = j2} ựng vợi hẾm sọng hai hỈt Ψ(1)j1j1Ψ(2)j2j2−1 hoặc Ψ(1)j1j1−1Ψ(2)j2j2. Tử hai hẾm nẾy cọ thể lập hai tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh, mờt cho j = j1+j2 ựng vợi hẾm sọng
Φj1j2j1+j2j1+j2−1, còn tỗ hùp kia cho j =j1+j2−1 ựng vợi Φj1j2j1+j2−1j1+j2−1.
Tiếp theo, giÌ trÞẾ=Ếmax−2 =j1+j2−2cọ thể nhận Ẽ−ùc khi{Ế1 =j1, Ế2 =j2−2}
hoặc{Ế1 =j1−1, Ế2 =j2−1} hoặc{Ế1 =j1−2, Ế2 =j2} ựng vợi ba hẾm sọng hai hỈt
Ψ(1)j1j1Ψ(2)j2j2−2 hoặcΨ(1)j1j1−1Ψ(2)j2j2−1 hoặc Ψ(1)j1j1−2Ψ(2)j2j2. Tử ba hẾm sọng nẾy cọ thể lập ba tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh choj =j1+j2,j =j1+j2−1 vẾ j =j1+j2−2 lần l−ùt ựng vợi cÌc hẾm Φj1j2j1+j2j1+j2−2, Φj1j2j1+j2−1j1+j2−2 vẾ Φj1j2j1+j2−2j1+j2−2.
Cự mối lần Ế giảm Ẽi mờt Ẽùn vÞ lỈi xuất hiện thàm mờt hẾm sọng mợi cho tợi khi
Ế =j1−j2 (giả thiết j1 ≥ j2). GiÌ trÞ nẾy cũa Ế cọ thể nhận Ẽ−ùc trong 2j2+1 tr−ởng hùp {Ế1, Ế2} ={j1,−j2}, {j1 −1,−j2+1}, . . ., {j1−2j2 +1, j2−1} vẾ {j1−2j2, j2}
ựng vợi 2j2 +1 hẾm sọng hai hỈt Ψ(1)j1j1Ψ(2)j2−j2,Ψ(1)j1j1−1Ψ(2)j2−j2+1, . . ., Ψ(1)j1j1−2j2+1Ψ(2)j2j2−1 vẾ
Ψ(1)j1j1−2j2Ψ(2)j2j2. Tử2j2+1 hẾm sọng nẾy cọ thể lập 2j2+1 tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh cho
j =j1+j2,j =j1+j2−1,. . .,j =j1−j2+1,j =j1−j2 lần l−ùt ựng vợiΦj1j2j1+j2j1−j2,
Φj1j2j1+j2−1j1−j2, . . ., Φj1j2j1−j2+1j1−j2 vẾ Φj1j2j1−j2j1−j2.
Vợi cÌc giÌ trÞ tiếp theo cũaẾ mẾj2−j1 ≤Ế < j1−j2, tực lẾẾ=j1−j2−ν vợi ν lẾ sộ nguyàn trong khoảng0<ν ≤2(j1−j2), sộ cÌc trỈng thÌi khẬng tẨng thàm mẾ vẫn bÍng
(2j2+1) : {Ế1, Ế2}={j1−ν,−j2}, {j1−ν−1,−j2+1},. . ., {j1−ν−2j2+1, j2−1}
vẾ {j1−ν−2j2, j2} ựng vợi 2j2 +1 hẾm sọng hai hỈt Ψ(1)j1j1−νΨj(2)2−j2, Ψ(1)j1j1−ν−1Ψ(2)j2−j2+1,
. . ., Ψ(1)j1j1−ν−2j2+1Ψ(2)j2j2−1 vẾ Ψj(1)1j1−ν−2j2Ψj(2)2j2. Tử 2j2+1hẾm sọng nẾy cọ thể lập 2j2+1
tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh choj =j1+j2,j =j1+j2−1,. . .,j =j1−j2+1, j =j1−j2
lần l−ùt ựng vợi Φj1j2j1+j2j1−j2, Φj1j2j1+j2−1j1−j2, . . ., Φj1j2j1−j2+1j1−j2 vẾ Φj1j2j1−j2j1−j2. Giảm tiếp Ế mờt ẼÈn vÞ ta cọ Ế = j2−j1 −1. Sộ trỈng thÌi t−Èng ựng giảm Ẽi mờt so vợi tr−ởng hùp Ế = j1 −j2 − ν vửa xÐt ỡ tràn. ưọ lẾ 2j2 trỈng thÌi cọ {Ế1, Ế2} = {−j1+ 2j2−1,−j2},{−j1+ 2j2−2,−j2+1},. . .,{−j1+1, j2−2}vẾ {−j1, j2−1} ựng vợi2j2 hẾm sọng hai hỈtΨ(1)j1−j1+2j2−1Ψ(2)j2−j2,Ψ(1)j1−j1+2j2−2Ψ(2)j2−j2+1,. . .,Ψ(1)j1−j1+1Ψ(2)j2j2−2 vẾ
Ψ(1)j1−j1Ψ(2)j2j2−1. Tử2j2 hẾm sọng nẾy cọ thể lập2j2tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh choj =j1+j2,
j = j1 +j2 −1, . . ., j = j1−j2 + 2, j = j1 −j2+1 lần l−ùt ựng vợi Φj1j2j1+j2j2−j1−1, Φj1j2j1+j2−1j2−j1−1,. . .,Φj1j2j1−j2+2j2−j1−1 vẾ Φj1j2j1−j2+1j2−j1−1. ...Ế... ...Ế1,Ế2... j1+j2 j1, j2 .. . ... . . . j1−j2+1 j1,1−j2 · · · j1−2j2+1, j2 j1−j2 j1,−j2 · · · j1−2j2+1, j2−1 j1−2j2, j2 j1−j2−1 j1−1,−j2 · · · j1−2j2, j2−1 j1−2j2−1, j2 .. . ... ... ... ... j2−j1 2j2−j1,−j2 · · · 1−j1, j2−1 −j1, j2 j2−j1−1 2j2−j1−1,−j2 · · · −j1, j2−1 .. . ... . . . −j1−j2 −j1,−j2
...Ế... ...j... j1+j2 j1+j2 j1+j2−1 j1+j2 j1+j2−1 .. . ... ... . . . j1−j2+1 j1+j2 j1+j2−1 · · · j1−j2+1 j1−j2 j1+j2 j1+j2−1 · · · j1−j2+1 j1−j2 j1−j2−1 j1+j2 j1+j2−1 · · · j1−j2+1 j1−j2 .. . ... ... ... ... ... −j1+j2 j1+j2 j1+j2−1 · · · j1−j2+1 j1−j2 −j1+j2−1 j1+j2 j1+j2−1 · · · j1−j2+1 .. . ... ... . . . −j1−j2+1 j1+j2 j1+j2−1 −j1−j2 j1+j2
Bảng 2: CÌc giÌ trÞ cũa j ựng vợi mờt giÌ trÞ xÌc ẼÞnh cũa Ế.
B¾t Ẽầu tử giÌ trÞ Ế = j2 −j1−1 , mối khi Ế giảm Ẽi mờt ẼÈn vÞ sộ trỈng thÌi cúng giảm Ẽi mờt cho tợi giÌ trÞ nhõ nhất khả dị Ế=−j1−j2 ựng vợi mờt trỈng thÌi duy nhất khi Ế1 =−j1 vẾ Ế2 =−j2. Trong tr−ởng hùp nẾy Φj1j2j1+j2−j1−j2 =Ψ(1)j1−j1Ψ(2)j2−j2.
Khi j2 ≥j1, cÌc lập luận ỡ tràn vẫn Ẽụng: ta chì cần lẾm phÐp hoÌn vÞ j1 ↔j2. Nhứng Ẽiều vửa trỨnh bẾy Ẽ−ùc thể hiện tràn Bảng 1 vẾ 2 cho tr−ởng hùp j1 ≥j2.
Tọm lỈi, vợi j1 vẾ j2 cho tr−ợc, tử cÌc tÝchΨ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 ta cọ thể lập Ẽ−ùc cÌc tỗ hùp Ẽờc lập tuyến tÝnh lẾ cÌc hẾm sọng Φj1j2jẾ cũa cÌc trỈng thÌi riàng cũa hệ hai hỈt cọ mẬmen xung l−ùng toẾn phầnj vẾ hỨnh chiếu cũa nọẾ,−j ≤Ế≤j, vợij cọ cÌc giÌ trÞ cÌch nhau mờt ẼÈn vÞ, giÌ trÞ lợn nhất lẾ j1 +j2, giÌ trÞ nhõ nhất lẾ |j1−j2|,
|j1−j2|≤j ≤j1+j2,
mối giÌ trÞ j xuất hiện mờt lần. Mối giÌ trÞ cũa j cọ 2j+1 trỈng thÌi ựng vợi cÌc giÌ trÞ khÌc nhau cũa Ế∈ [|j1−j2|, j1 +j2]. Sộ cÌc hẾm Φj1j2jẾ vợi tất cả cÌc giÌ trÞ khả dị cũa
j lẾ
j=Xj1+j2
j=|j1−j2|
(2j+1) = (2j1+1)(2j2+1),
chÝnh bÍng sộ cÌc tÝch Ψ(1)j1Ế1Ψ(2)j2Ế2 vợi tất cả cÌc giÌ trÞ khả dị cũa Ế1, Ế2, lẾ Ẽiều hùp lý. CÌc hệ sộ CjjẾ1Ế1j2Ế2, quy −ợc lẾ thỳc, trong cÌc tỗ hùp tuyến tÝnh
Φj1j2jẾ= X