Nếu hẾm sọng lẾ hẾm riàng cũa toÌn tữ Aˆ diễn tả mờt ẼỈi l−ùng vật lý nẾo Ẽọ thỨ hẾm
sọng nẾy diễn tả trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ mẾ trong trỈng thÌi Ẽọ ẼỈi l−ùng vật lý Ẽ−ùc diễn tả bỡi toÌn tữAˆ cọ giÌ trÞ xÌc ẼÞnh vẾ bÍng trÞ riàng cũa toÌn tữ Aˆ.
ưể hiểu tiàn Ẽề nẾy h·y nh¾c lỈi rÍng theo cÌc tiàn Ẽề Ẽ· trỨnh bẾy ỡ phần tr−ợc trỈng thÌi cũa hỈt Ẽ−ùc diễn tả bỡi mờt hẾm sọng ψ, còn mối ẼỈi l−ùng vật lý thỨ Ẽ−ùc diễn tả bỡi mờt toÌn tữ Aˆ. CẪu hõi Ẽặt ra lẾ trong trỈng thÌi ψ nẾy ẼỈi l−ùng vật lý ựng vợi Aˆ cọ
Ẽo Ẽ−ùc khẬng vẾ nếu Ẽo Ẽ−ùc thỨ nọ cọ thể nhận nhứng giÌ trÞ nẾo ? Nếuψ lẾ hẾm riàng cũa Aˆ thỨ
ˆ
Aψ =aψ (118)
vợi a lẾ mờt sộ. Nọi chung, ph−Èng trỨnh (118) khẬng thể cọ lởi giải vợi mồi giÌ trÞ cũa a
Ẽ−ùc. Nếua1,a2, ..., an, ... lẾ nhứng giÌ trÞ cũa a mẾ ph−Èng trỨnh (118) cọ nhứng lởi giải
ψ1, ψ2, ..., ψn, ... ,
ˆ
Aψn=anψn,
thỨ ta gồi an lẾ cÌc trÞ riàng cũa toÌn tữ Aˆ vẾ ψn lẾ cÌc hẾm riàng t−Èng ựng. Ta Ẽ· biết
rÍng nếu Aˆ lẾ toÌn tữ nẨng l−ùng hay toÌn tữ xung l−ùng thỨ trong trỈng thÌi diễn tả bỡi
hẾm riàng cũaAˆẼỈi l−ùng vật lý t−Èng ựng cọ giÌ trÞ xÌc ẼÞnh vẾ bÍng trÞ riàng t−Èng ựng
cũa toÌn tữAˆ. Mỡ rờng Ẽiều nẾy ra cho mờt ẼỈi l−ùng vật lý bất kỷ, ta giả thiết rÍng trong
trỈng thÌi ψn ẼỈi l−ùng vật lý ựng vợi toÌn tữ Aˆcọ giÌ trÞ hoẾn toẾn xÌc ẼÞnh bÍng an. VỨ
toÌn tữ Aˆ lẾ tỳ liàn hùp nàn cÌc trÞ riàng cũa nọ lẾ cÌc sộ thỳc. Hệ cÌc hẾm riàng ψn lẾ
mờt hệ Ẽũ thoả m·n Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ (94) nàn Ẽội vợi mồi hẾm ψ(r, t) ta cọ khai triển (95). XÌc xuất tỈi thởi Ẽiểm t tỨm thấy hỈt ỡ trỈng thÌi ψn lẾ
wn(t) = |cn(t)|2 (119) vợi cn(t) xÌc ẼÞnh theo (96). Tập hùp tất cả cÌc trÞ riàng cũa Aˆ gồi lẾ phỗ cÌc giÌ trÞ cũa
ẼỈi l−ùng vật lý Ẽ−ùc diễn tả bỡi toÌn tữ nẾy. Phỗ nẾy cọ thể lẾ phỗ giÌn ẼoỈn, phỗ liàn từc hoặc phỗ cọ mờt phần giÌn ẼoỈn, mờt phần liàn từc hoặc gổm cÌc dải liàn từc tÌch rởi nhau.
Khi Aˆ= ˆH lẾ Hamiltonian thỨ do tÝnh chất Ẽội xựng cũa thế nẨng V(r) cọ thể xảy ra
hiện t−ùng sau ẼẪy gồi lẾ sỳ suy biến cũa cÌc mực nẨng l−ùng: ựng vợi củng mờt trÞ riàng cũaHˆ cọ nhiều hẾm riàng Ẽờc lập tuyến tÝnh; cÌc hẾm riàng Ẽọ diễn tả nhứng trỈng thÌi vật
lý khÌc nhau cọ củng mờt nẨng l−ùng. Mờt sỳ thay Ẽỗi nhõ cũa thế nẨng phÌ vớ tÝnh Ẽội xựng cũa nọ cọ thể lẾm cho nẨng l−ùng cũa mối trỈng thÌi thay Ẽỗi mờt cÌch khÌc nhau,
dẫn Ẽến kết quả lẾ sỳ suy biến bÞ mất Ẽi mờt phần hoặc hoẾn toẾn, cÌc mực nẨng l−ùng suy biến sé tÌch ra mờt phần hoặc hoẾn toẾn vẾ tỈo thẾnh nhiều mực gần nhau.
Nọi chung trong tr−ởng hùp suy biến cọ nhiều hẾm riàng Ẽờc lập tuyến tÝnh ψnl(r) ựng vợi củng mờt trÞ riàng an cũa toÌn tữ A,ˆ
ˆ
Aψnl=anψnl, l =1, 2, . . . , L.
Ta gồi L lẾ bời suy biến. L hẾm riàng ψnl nẾy nọi chung ch−a chuẩn hoÌ vẾ khẬng trỳc giao vợi nhau. Tuy nhiàn, bÍng cÌch lập tỗ hùp tuyến tÝnh cÌc hẾm ψnl, lục nẾo cúng cọ thể tỨm Ẽ−ùc L hẾm φnl khÌc thoả m·n Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ. Thật vậy, dễ kiểm tra Ẽ−ùc rÍngL hẾm φnl = ψnl−Pl−1 m=1αn(m, l)φnm rD ψnl−Pl−1 m=1αn(m, l)φnm|ψnl−Pl−1 m=1αn(m, l)φnm E, (120) vợi αn(m, l) =hφnm|ψnli, l=1,2, . . . , L,
lẾ chuẩn hoÌ vẾ trỳc giao vợi nhau.
Mờt cÌch tỗng quÌt ta ký hiệuψnln vợi ln=1,2, . . . , LnlẾ cÌc hẾm riàng cũa toÌn tữ Aˆ
ựng vợi củng mờt trÞ riàng an: Ln=1lẾ tr−ởng hùp khẬng suy biến cònLn >1 lẾ tr−ởng hùp suy biến bời Ln. Thay cho hệ hẾm ψnln ta dủng hệ hẾm φnln xẪy dỳng tử cÌc tỗ hùp tuyến tÝnh cũaψnln theo cẬng thực (120) vẾ thoả m·n Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ
Z
V
φnln(r)∗φmlm(r)dr=δnmδlnlm.
Bất kỷ hẾm sọng ψ(r, t) nẾo Ẽều cọ thể khai triển theo hệ hẾm φnln(r)
ψ(r, t) =X n,ln cnln(t)φnln(r) trong Ẽọ cnln(t) = Z V φnln(r)∗ψ(r, t)dr. (121)
|cnln(t)|2 lẾ xÌc xuất Ẽể tỈi thởi Ẽiểm t tỨm thấy hỈt ỡ trỈng thÌiφnln(r). VỨ tất cả cÌc hẾm sọngφnln(r)Ẽều ựng vợi mờt trÞ riàng an nàn xÌc xuất Ẽể tỈi thởi Ẽiểmt trong phÐp Ẽo ẼỈi l−ùng A ta nhận Ẽ−ùc giÌ trÞan lẾ
wn(t) =X
ln