Nh−tràn Ẽ· biết, mối trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ Ẽ−ùc diễn tả bỡi mờt hẾm sọng. CÌc hẾm sọng cũa hỈt vi mẬ cọ tÝnh chất Ẽ−ùc diễn ẼỈt d−ợi dỈng Nguyàn lý chổng chập trỈng thÌi nh− sau:
Nếu cÌc hẾm sọng ψ1(r, t),ψ2(r, t), ...,ψN(r, t)diễn tả cÌc trỈng thÌi vật lý khả dị cũa hỈt vi mẬ thỨ mồi tỗ hùp tuyến tÝnh cọ dỈng ψ(r, t) = N X n=1 cnψn(r, t) (93)
vợi cÌc hệ sộcn tuỷ ý cúng Ẽều diễn tả mờt trỈng thÌi vật lý khả dị cũa hỈt.
Nguyàn lý chổng chập trỈng thÌi chiếm mờt vÞ trÝ trung tẪm trong CÈ hồc l−ùng tữ. Tử nguyàn lý nẾy suy ra rÍng cÌc ph−Èng trỨnh chuyển Ẽờng cũa cÌc hỈt vi mẬ phải lẾ cÌc ph−Èng trỨnh tuyến tÝnh(ph−Èng trỨnh SchrẨodinger ỡ Ch−Èng ??Ẽ· thoả m·n Ẽiều kiện nẾy). Mờt Ẽiều Ẽặc biệt quan trồng lẾ trong cẬng thực (93) trỈng thÌi diễn tả bỡi hẾm sọng
ψ(r, t) cọ thể rất khÌc cÌc trỈng thÌi diễn tả bỡi cÌc hẾm ψn(r, t). ưiều nẾy Ẽ· Ẽ−ùc thấy ró ỡ ch−Èng tr−ợc: trỈng thÌi cũa bọ sọng khẬng cọ xung l−ùng xÌc ẼÞnh lẾ sỳ chổng chập cũa cÌc trỈng thÌi cọ xung l−ùng xÌc ẼÞnh. TÝnh khẬng xÌc ẼÞnh cũa giÌ trÞ cÌc ẼỈi l−ùng vật lý trong CÈ hồc l−ùng tữ lẾ mờt hệ quả cũa nguyàn lý chổng chập trỈng thÌi.
Theo nguyàn lý chổng chập trỈng thÌi thỨ tập hùp tất cả cÌc hẾm sọng cũa hỈt vi mẬ tỈo thẾnh mờt khẬng gian vÐctÈ gồi lẾ khẬng gian cÌc hẾm sọng. Cho hai hẾm sọng ψ vẾ
φ mẾ cÌc tÝch phẪn Z
V |ψ(r, t)|2dr, Z
V |φ(r, t)|2dr
giợi nời, ta ẼÞnh nghịa tÝch vẬ h−ợng cũa hai hẾm nẾy nh− sau
(φ,ψ) = Z
V
φ(r, t)∗ψ(r, t)dr= (ψ,φ)∗.
Vợi tÝch vẬ h−ợng ẼÞnh nghịa nh−vậy khẬng gian vÐctÈ cÌc hẾm sọng trỡ thẾnh mờt khẬng gian Hilbert. Hai hẾm φ(r, t) vẾ ψ(r, t) Ẽ−ùc gồi lẾ trỳc giao vợi nhau nếu tÝch vẬ h−ợng cũa chụng bÍng khẬng. Hệ hẾm cÈ sỡ ψn(r) trong khẬng gian Hilbert cÌc hẾm sọng Ẽ−ùc gồi lẾ trỳc giao chuẩn hoÌ nếu mồi cặp hẾm sọng ψn(r) vẾ ψm(r) Ẽều thõa m·n Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ
(ψn,ψm) = Z
V
vợi δnm lẾ ký hiệu Kronecker. Ta gồi hệ hẾm cÈ sỡψn(r) lẾ mờt hệ Ẽũ nếu mồi hẾm sọng
ψ(r, t) Ẽều cọ thể biểu diễn d−ợi dỈng mờt tỗ hùp tuyến tÝnh cÌc hẾm ψn(r):
ψ(r, t) =X
n
cn(t)ψn(r). (95)
NhẪn cả hai vế cũa khai triển (95) vợi ψm(r)∗ rổi lấy tÝch phẪn theo V vẾ dủng Ẽiều kiện (94), ta thu Ẽ−ùc
cn(t) = Z
V
ψn(r)∗ψ(r, t)dr. (96)
Thay thế cn(t) xÌc ẼÞnh theo cẬng thực (96) ng−ùc trỡ lỈi vẾo vế phải cũa khai triển (95), ta Ẽ−ùc ψ(r, t) = X n Z V ψn(r0)∗ψ(r0, t)dr0ψn(r) = Z V " X n ψn(r0)∗ψn(r) # ψ(r0, t)dr0 vẾ tử Ẽọ suy ra tÝnh Ẽũ cũa hệ hẾm cÈ sỡ X n ψn(r0)∗ψn(r) = δ(r0−r). (97) Theo cÌc cẬng thực (95) vẾ (96) chuối cÌc hệ sộ cn(t), xem nh− cÌc thẾnh phần cũa mờt vÐctÈ trong khẬng gian vÐctÈ vẬ sộ chiều, hoẾn toẾn xÌc ẼÞnh hẾm sọng ψ(r, t) vẾ cúng hoẾn toẾn Ẽ−ùc xÌc ẼÞnh bỡi hẾm sọng ψ(r, t). Vậy chuối hệ sộ cn(t) cúng diễn tả trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ nh− lẾ hẾm sọng ψ(r, t). Ta coi chuối hệ sộ cn(t) vẾ hẾm sọng ψ(r, t)
lẾ hai biểu diễn khÌc nhau cũa củng mờt trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ. Nếu biểu diễn trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ bỡi chuối hệ sộ cn(t) thỨ xÌc xuất tỨm thấy hỈt trong trỈng thÌiψn(r) lẾ
|cn(t)|2. Thay thế cẬng thực (95) vẾo Ẽiều kiện chuẩn hoÌ cũa hẾm sọngψ(r, t)vẾ Ìp dừng Ẽiều kiện (94), ta cọ Z V dr|ψ(r, t)|2 = Z V drψ(r, t)∗ψ(r, t) = Z V drX m,n cn(t)∗ψn(r)∗cm(t)ψm(r) = X m,n cn(t)∗cm(t) Z V drψn(r)∗ψm(r) = X m,n cn(t)∗cm(t)δmn = X n |cn(t)|2 = 1, mờt Ẽiều hùp lý.
Khi trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ cọ thể biến Ẽỗi mờt cÌch liàn từc thỨ thay cho ψn(r) ta cọ cÌc hệ hẾm sọng ψ(f,r) trong Ẽọ f lẾ mờt tham sộ liàn từc. Thay cho (94), Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ cũa hệ hẾm nẾy sé lẾ
Z
V
ψ(f0,r)∗ψ(f,r)dr =δ(f0−f) (98) trong Ẽọ δ(f0−f) lẾ hẾm delta Dirac. Nếu hệ hẾm cÈ sỡψ(f,r) lẾ mờt hệ Ẽũ,
Z
ψ(f,r)∗ψ(f,r0)df =δ(r−r0), (99) thỨ mồi hẾm sọng ψ(r, t)Ẽều cọ thể biểu diễn d−ợi dỈng mờt tỗ hùp tuyến tÝnh nh− sau:
ψ(r, t) = Z
df c(f, t)ψ(f,r). (100) NhẪn cả hai vế cũa cẬng thực (100) vợi ψ(f0,r)∗ rổi lấy tÝch phẪn theo V vẾ dủng Ẽiều kiện (98), ta thu Ẽ−ùc
c(f, t) = Z
V
ψ(f,r)∗ψ(r, t)dr.
Cúng giộng nh− trong tr−ởng hùp giÌn ẼoỈn chuối hệ sộ c(f, t) vẾ hẾm sọng ψ(r, t) lẾ hai biểu diễn khÌc nhau cũa củng mờt trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ. Ta cúng dễ dẾng chựng minh
Ẽ−ùc rÍng Z
|c(f, t)|2df =1,
chựng tõ |c(f, t)|2 lẾ xÌc xuất tỨm thấy hỈt ỡ trỈng thÌi ψ(f,r).
Cuội củng, khi trỈng thÌi cũa hỈt vi mẬ cọ thể biến Ẽỗi vửa giÌn ẼoỈn vửa liàn từc thỨ tỗ hùp tuyến tÝnh mẾ mồi hẾm sọngψ(r, t) cọ thể Ẽ−ùc biểu diễn cọ dỈng
ψ(r, t) =X n cn(t)ψn(r) + Z df c(f, t)ψ(f,r) trong Ẽọ hệ hẾm cÈ sỡ {ψn(r),ψ(f,r)} thoả m·n tÝnh Ẽũ X n ψn(r)∗ψn(r0) + Z dfψ(f,r)∗ψ(f,r0) =δ(r−r0).
Nếu hẾm sọng ψ(r, t) chuẩn hoÌ về 1 thỨ Ẽội vợi cÌc hệ sộ cn vẾ c(f) ta cọ
X n |cn(t)|2+ Z |c(f, t)|2df =1, mờt Ẽiều dễ hiểu.
ưể minh hồa xÐt mờt hỈt vi mẬ chuyển Ẽờng tỳ do. TrỈng thÌi cũa hỈt vợi mờt xung l−ùng p xÌc ẼÞnh Ẽ−ùc mẬ tả bỡi mờt sọng phỊng ẼÈn s¾c
ψp(r) =ψp(x, y, z) = Ce~ipr .
Sữ dừng cẬng thực Z
exp(ikx)dx = 2πδ(k)
dễ dẾng kiểm tra Ẽ−ùc rÍng nếu chồn C = (2π~)−3/2 thỨ cÌc hẾmψp(r) sé thoả m·n Ẽiều kiện trỳc giao chuẩn hoÌ
Z
ψp0(r)∗ψp(r)dr=δ(p−p0).
CÌc hẾm ψp(r) cúng thoả m·n Ẽiều kiện Ẽũ vỨ
Z
ψp(r)ψp(r0)∗dp= 1 (2π~)3
Z
e~ip(r−r0)dp=δ(r−r0).
Vậy mờt hẾm sọng ψ(r, t)bất kỷ Ẽều cọ thể khai triển nh− sau
ψ(r, t) = 1 (2π~)3/2
Z
c(p, t)e~ipr
dp. (101)
Ng−ùc lỈi, cÌc hệ sộ c(p, t) Ẽ−ùc biểu diễn qua hẾm sọng ψ(r, t), c(p, t) = 1
(2π~)3/2 Z
ψ(r, t)e−~iprdr, (102)
vẾ Ẽ−ùc gồi lẾ hẾm sọng trong biểu diễn xung l−ùng.