Ph−Èng trỨnh SchrẨodinger lẾ ph−Èng trỨnh khẬng t−Èng Ẽội tÝnh, tuy Ẽ· phản Ình Ẽ−ùc nhiều tÝnh chất l−ùng tữ cũa hệ vi mẬ nh−ng ch−a Ẽầy Ẽũ vỨ ch−a chụ ý Ẽến spin (mờt ẼỈi l−ùng thuần tuý l−ùng tữ) cũa cÌc hỈt vi mẬ. Kết hùp ph−Èng trỨnh SchrẨodinger vợi thuyết
t−Èng Ẽội cũa Einstein sé thu Ẽ−ùc mờt ph−Èng trỨnh “SchrẨodinger t−Èng Ẽội tÝnh”, ph−Èng trỨnh Dirac, trong Ẽọ spin xuất hiện mờt cÌch tỳ nhiàn. Paul Dirac Ẽ−ùc nhận giải Nobel Vật lý củng vợi Erwin SchrẨodinger vẾo nẨm 1933.
Trong giÌo trỨnh nẾy ta chì xÐt spin mờt cÌch hỨnh thực bÍng cÌch Ẽ−a vẾo trong hẾm sọng cÌc chì sộ spin cũa hỈt vi mẬ nh− Ẽ· thấy ỡ cÌc phần tràn. ưiện tữ lẾ hỈt fermion cọ spin bÍng 1/2. Mờt hệ quả vật lý quan trồng cũa tÝnh chất phản Ẽội xựng cũa hẾm sọng cũa hệ nhiều Ẽiện tữ Ẽội vợi sỳ hoÌn vÞ giứa cÌc Ẽiện tữ vợi nhau, nghịa lẾ cũa thộng kà Fermi-Dirac, lẾ sỳ xuất hiện t−Èng tÌc trao Ẽỗi giứa hai Ẽiện tữ (hai Ẽiện tữ nẾy cọ thể thuờc củng mờt nguyàn tữ hoặc hai nguyàn tữ trong củng mờt phẪn tữ) khi hẾm sọng cũa chụng cọ sỳ phũ làn nhau.
ưể thấy ró vai trò cũa spin Ẽầu tiàn ta h·y xÐt hai Ẽiện tữ lẪn cận mẾ bõ qua spin cũa chụng. HẾm sọng cũa hệ ψν1ν2(r1,r2) thoả m·n ph−Èng trỨnh SchrẨodinger
ˆ
Hψν1ν2(r1,r2) =Eν1ν2ψν1ν2(r1,r2) (448) vợi
ˆ
H = ˆH0+V(r1−r2),
trong Ẽọ V(r1−r2) lẾ thế t−Èng tÌc Coulomb giứa hai Ẽiện tữ, còn
ˆ
H0 = ˆH(1)+ ˆH(2)
vợi Hˆ(i) lẾ Hamiltonian cũa Ẽiện tữ thự i khi khẬng cọ t−Èng giứa cÌc Ẽiện tữ. Ta xem t−Èng tÌc Coulomb lẾ nhõ vẾ Ìp dừng lý thuyết nhiễu loỈn Ẽể tÝnh nẨng l−ùng cũa hệ. Trong phÐp gần Ẽụng cấp khẬng, V(r1−r2) = 0, ta cọ
ψν1ν2(r1,r2)→ψ(0) =ϕν1(r1)ϕν2(r2) (449) vẾ
Eν1ν2 →E(0) =Eν1 +Eν2 (450)
vợi ϕνi(ri)vẾ Eνi lẾ hẾm sọng vẾ nẨng l−ùng cũa Ẽiện tữ thự i thoả m·n ph−Èng trỨnh
ˆ
H(i)ϕνi(ri) =Eνiϕνi(ri).
Trong phÐp gần Ẽụng cấp mờt theo thế Coulomb ta cọ, nh− Ẽ· biết trong Ch−Èng XII,