Thông tin tài liệu
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Bỉm sơn 22.03.2011 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A Kiến thức chung Phương trình mặt phẳng trường hợp đặc biệt - PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng P qua M ( x0 , y0 , z0 ) có vtpt (vectơ pháp tuyến) n( A, B, C ) là: ( P ) : A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) Hay ( P) : Ax By Cz D với D ( Ax0 By0 Cz0 ) - PTMP (phương trình mặt phẳng) P qua A(a, 0,0) Ox; B(0, b, 0) Oy; C (0,0, c) Oz có phương trình x y z (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) a b c - Đặc biệt: A0 + ( P) / /Ox D B2 C B0 + ( P) / /Oy D A2 C C 0 + ( P) / /Oz D A2 B - Phương trình mặt phẳng (Oxy) z , (Oyz) x (Oxz) y Vị trí tương đối mặt thẳng mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 A B C D TH 1: (1 ) / /( ) A2 B2 C2 D2 A B C D TH 2: (1 ) ( ) A2 B2 C2 D2 TH 3: (1 ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 3: Phương trình chùm mặt phẳng: Tập hợp mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng xác định mặt phẳng ( ) mặt phẳng ( ) Nếu ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 phương trình mặt phẳng ( ) là: là: ( P ) : ( ) : m( A1 x B1 y C1 z D1 ) n ( A2 x B2 y C2 z D2 ) (*) với m n phương trình (*) viết lại: m( ) n( ) Góc khoảng cách - Góc mặt phẳng: (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 là: cos A1 A2 B1 B2 C1C2 A B12 C12 A22 B22 C22 - Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) u.n sin(d ,( P)) = u n www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long - Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D d M , P = Ax0 By0 Cz0 D A2 B C B Một số dạng tập Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm Mo(xo;yo;zo) thoả mãn điều kiện Loại : Có vectơ pháp tuyến Phương pháp: - Xác định M ( x0 , y0 , z0 ) mặt phẳng P - Xác định vtpt n( A; B; C ) + Nếu P / / Q nP nQ + Nếu P d nP ud - Áp dụng công thức: ( P) : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P): a Đi qua điểm M 1; 2; nhận vectơ n = 2;3;5 làm vectơ pháp tuyến b Đi qua điểm M 2; 1; song song với mặt phẳng Q : x – y z Giải: a Cách 1: Mặt phẳng P qua điểm M 1; 2; có vectơ pháp tuyến n = 2;3;5 có phương trình : 2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – ) = hay P : x y z – 16 Cách 2: Mặt phẳng (P) có vtpt n = 2;3;5 có dạng x y 5z D’ mặt phẳng (P) qua điểm M 1; 2; 2.1 2 5.4 D’ D’ 16 Vậy mặt phẳng P : x y z – 16 b Cách 1: Mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; song song với mặt phẳng Q nên mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; có vtpt nP nQ 2; 1;3 nên mặt phẳng P có phương trình: 2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = hay P : x – y z – 11 Cách : Mặt phẳng (P) có vtpt nP 2; 1;3 có dạng x – y 3z D’ mặt phẳng P qua điểm M 2; 1; D ' 1 hay P : x – y z – 11 Hoặc lí luận P song song với Q nên P có dạng x – y 3z D’ P qua M P : x – y z – 11 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng có phương trình: 3x + 5y – z – = đường thẳng d có phương trình x 12 4t d : y 3t z t a Tìm giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng b Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm M vuông góc với đường thẳng d Giải: a Toạ độ điểm M d nghiệm phương trình 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – = t = 3 Vậy M 0; 0; 2 b Cách : Mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 có vtpt n = u d = (4;3;1) nên mặt phẳng có phương trình là: 4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = hay : x y z Cách 2: Mặt phẳng có vtpt n = (4;3;1) có dạng 4x + 3y + z + D’ = mặt phẳng qua điểm M 0; 0; 2 D’ = hay : x y z Chú ý: Có thể phát biểu toán dạng như, cho biết tọa độ điểm A, B, C Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vuông góc với đường thẳng BC nP BC Nhận xét : - Mặt phẳng có vtpt n a; b; c có dạng ax + by + cz + D’ = - Nếu cho có dạng Ax + By + Cz + D = mà song song với có dạng Ax + By + Cz + D’ = với D ' - Hai mặt phẳng song song với hai vtpt song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vtpt vtcp song song (cùng phương) với Điều lý giải câu b lại chọn n P = nQ ,thật mặt phẳng P song song với mặt phẳng (Q) nên hai vtpt song song (cùng phương) với hay n P = k nQ , k nên chọn k = để n P = n Q Tương tự 2b ta chọn k = để n = u d , từ ta có nhận xét + Hai mặt phẳng song song với chúng có vtpt + Nếu mặt phẳng P chứa hai điểm A B AB vtcp mặt phẳng P + Nếu mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng (Q) vtpt mặt phẳng P vtcp mặt phẳng (Q) ngược lại + Nếu mặt phẳng P vuông góc với vecto AB vecto AB vtpt mặt phẳng P - Vectơ pháp tuyến cho hình thức vuông góc với giá vectơ a đó, ta phải hiểu a vectơ phương Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ a 6; 2; 3 A 1; 2; 3 Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A vuông góc với giá vectơ a Hướng dẫn: Làm tương tự 2b ta : x – y – z www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;6; 3 song song với mặt phẳng toạ độ Giải: Nhận xét : - Các mặt phẳng toạ độ Oxy; Oyz; Oxz Thoạt đầu ta thấy mặt phẳng không thấy vtpt , thực chúng có vtpt, vtpt này xây dựng nên từ vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz i = (1;0;0) ; j = (0;1;0) ; k = (0;0;1), vectơ coi vtcp - Bây ta viết phương trình mặt phẳng P qua M song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng khác làm tương tự Cách 1: Mặt phẳng P qua M 2;6; 3 song song với mặt phẳng Oxy mặt phẳng P qua M vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) qua M nhận vectơ n P = k làm vtpt có phương trình : 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = hay P : z Cách 2: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng P song song với hai trục Ox Oy n P i n P j n P = [ i , j ] = (0;0;1) vtpt nên P : z Tương tự (P) // Oyz qua điểm M nên P : x (P) // Oxz qua điểm M nên P : y Cách 3: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng P có dạng Cx + D = mặt phẳng P qua M C 3 D C nên chọn C = D = 3 Vậy mặt phẳng P có phương trình P : z Chú ý: Bài toán phát biểu viết phương trình (P) qua M // với Ox Oy P qua M // với mặt phẳng 0xy Loại 2: Có cặp vectơ phương a, b (với a, b có giá song song nằm mp ( P) ) - Tìm vtpt n a,b - P mp qua M ( x0 , y0 , z0 ) có VTPT n - Quay lại loại Bài tập giải mẫu: Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm A 0; 1; song song với giá vectơ u = (3;2;1) v = 3;0;1 Giải: Cách 1: Mặt phẳng P qua A 0; 1; song song với giá hai vectơ u = (3;2;1) ; v 3; 0;1 mặt phẳng P qua A có n P u ; n P v (với u v không phương) mặt phẳng P qua A có vtpt nP u , v 2; 6;6 1; 3;3 mặt phẳng P có phương trình : www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long 1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = hay P : x – y z – Cách : Làm tương tự 1b biết nP 2; 6;6 A 0; 1; Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2; 1; , song song với trục Oy vuông góc với mặt phẳng : x – y 3z Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua điểm M 2; 1; song song với trục 0y vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng qua M có n j ; n n (với j n không phương) mặt phẳng qua M có vtpt n = [ j , n ] = (3;0;-2) mặt phẳng có phương trình : 3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = hay : x – z – Cách 2: Làm tương tự 1b biết n 3; 0; 2 M 2; 1; Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua điểm M 2; 1; A.2 B.(1) C.2 D 1 - Mặt phẳng song song với trục Oy n j A.0 B.1 C.0 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.2 B 1 C.3 Giải hệ (1), (2) (3) A 3, B 0, C 2, D 2 3 Vậy mặt phẳng có phương trình : x – z – Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : x – y z : x – y 3z Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng mặt phẳng qua điểm M có n n ; n n (với n n không phương) mặt phẳng qua điểm M có vtpt n = [ n , n ] = (2;1;-2) mặt phẳng ( ) có phương trình : 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = hay : x y – z – 15 Cách 2: Làm tượng tự 1b biết n = 2;1; 2 M 3; 1; 5 Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua điểm M 3; 1; 5 A.3 B.(1) C 5 D 1 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.3 B 2 C.2 - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.5 B 4 C.3 3 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long 21 A, D B A vào (3) ta A B chọn 2 B 1, A C 2, D 15 Vậy phương trình mặt phẳng x y – z – 15 Từ (1) (2) ta C B Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng x t x y 1 z 1 d: , d ' : y 1 2t 1 z t Viết phương trình mặt phẳng qua A đồng thời song song với d d’ Giải: Cách 1: Vì B 0;1; 1 d1 ; C 1; 1; d B, C d1 , d / / Vecto phương d1 d u1 2;1; 1 u2 1; 2;1 vecto pháp tuyến n u1 , u2 1; 3; 5 Vì qua A 0;1; : x y z 13 Đs: : x y z 13 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua điểm M A.0 B.1 C.2 D 1 - Mặt phẳng song song với đường thẳng d n ud A.2 B.1 C 1 - Mặt phẳng song song với đường thẳng d’ n ud ' A.1 B 2 C.1 3 Từ (1) (2) ta C A B, D 4 A 3B vào (3) ta A 3B chọn A 1, B C 5, D 13 Vậy phương trình mặt phẳng x y z 13 Nhận xét: Nếu điểm A d (hoặc A d ' ) toán trở thành viết phương trình mặt phẳng chứa d (hoặc d ' ) song song với d ' (hoặc d ) Bài tập tự giải: Bài 1: a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 3; 4;1 , N 2;3; , E 1; 0; Viết phương trình mặt phẳng qua điểm E vuông góc với MN (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) b Viết phương trình mặt phẳng qua K 1; 2;1 vuông góc với đường x 1 t thẳng d : y 2t z 1 3t Đs: a : x y z (Đề thi tốt nghiệp THPT lần năm 2007) b : x y z www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 1; mặt phẳng P có phương trình: x y z Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với P Đs: : x y z (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;3;1 vuông góc với hai mặt phẳng P : x y z Q : 3x y z (Sách tập nâng cao hình học 12) Đs: : x y z 19 Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2;1; 1 qua giao tuyến hai mặt phẳng: x y z x y z (Sách tập nâng cao hình học 12) Đs: :15 x y z 16 Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M1(x1;y1;z1) M2(x 2;y2;z2) đồng thời thoả mãn điều kiện a Vuông góc với mặt phẳng b Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz) c Có khoảng cách từ điểm M tới h d Tạo với góc Q góc Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm M 1; 0;1 , N 5; 2;3 vuông góc với mặt phẳng : x – y z – Giải: Cách : Mặt phẳng qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) vuông góc với mặt phẳng ( ) mặt phẳng qua điểm M n MN ; n n (với MN n không phương) mặt phẳng qua điểm M có vtpt n = [ MN , n ] = 4; 0; 8 = 1; 0; 2 mặt phẳng có phương trình : 1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = hay : x – 2z + = Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B2 C 0 - Mặt phẳng qua M 1; 0;1 A.1 B.0 C D 1 - Mặt phẳng qua N 5; 2;3 A.5 B.2 C.3 D - Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n n A.2 B 1 C.1 3 Từ (1) (2) ta C – A – B, D A B thể vào (3) ta –2 B chọn A 1, B C 2, D Vậy phương trình mặt phẳng x – z 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 phương (song song) với trục Ox Giải: Cách : Mặt phẳng (P) qua điểm M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 phương với trục Ox mặt phẳng (P) qua điểm M nP MN ; n P i (với i không phương) , i ] = 0; 2; 2 = 2 0;1;1 mặt phẳng (P) qua điểm M nhận vtpt n P = [ mặt phẳng (P) có phương trình : 0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = hay (P): y + z = Cách 2: Làm tương tự (cách 2) điều kiện n P i Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A 3;0; , C 0; 0;1 tạo với mặt phẳng Oxy góc = 60o Giải: Cách 1: Mặt phẳng (Q) qua A, C tạo với mặt phẳng Oxy góc 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng Oxy điểm B(0;b;0) Oy khác gốc toạ độ O b mặt phẳng (Q) mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh : x y z hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = b mặt phẳng (Q) có vtpt nQ = (b;3;3b) Mặt phẳng 0xy có vtpt k = (0;0;1) Theo giả thiết ,ta có 3b |cos ( n Q , k )| = cos60o b 9b b 26 26 Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn : (Q1) : x – 26 y + 3z – = (Q2) : x + 26 y + 3z – = Cách 2: A Ox C Oz Gọi AB giao tuyến mặt phẳng (Q) mặt phẳng 0xy Từ O hạ OI AB 60 Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB CI OIC = 1.tan60 o = Trong vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC 1 1 Trong vuông OAB ta có 3 OB = 2 2 OB OI OA OB 26 3 B1(0; 26 ;0) Oy B2(0; 26 ;0) Oy Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn 6b b 9b b 26 y z x hay (Q) : x 3 26 y + 3z – = www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang www.toantrunghoc.com Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu Nguyễn Thành Long Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm x 1 t M 2;1;3 , N 1; 2;1 song song với đường thẳng d có phương trình là: d : y 2t z 3 2t Giải: Cách 1: Mặt phẳng qua hai điểm M 2;1;3 , N 1; 2;1 song song với đường thẳng d mặt phẳng qua điểm M n MN ; n u d (với MN u d không phương) mặt phẳng qua điểm M có vtpt n = [ MN , u d ] = 10; 4;1 mặt phẳng có phương trình : 10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = hay : 10 x y z 19 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D mặt phẳng có vtpt n A; B; C A B C 0 - Mặt phẳng qua M 2;1;3 A.2 B.1 C.3 D 1 - Mặt phẳng qua N 1; 2;1 A.1 B 2 C.1 D - Mặt phẳng song song với đường thẳng d n ud A.1 B.2 C 2 3 A B , D A B vào (3) ta A 5 B chọn 2 2 19 A 5, B 2 C , D 2 19 Vậy phương trình mặt phẳng x y z 10 x y z 19 2 Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D A2 B C mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C Từ (1) (2) ta C - Mặt phẳng P qua A 1;1; A 1 B.1 C D 1 - Mặt phẳng P qua B 0;0; 2 A.0 B.0 C 2 D Từ (1) (2) ta C A B, D A B Nên mặt phẳng P có phương trình Ax By A B z A B Theo giả thiết A B d I ; P A B A B 1 A2 B A B 2 A2 AB B www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - A A 1 B B Phần Mềm Toán , - Trang 10 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt cầu qua điểm A 2; 4;0 , B 1;1; , C 3;1;0 tâm I nằm mặt phẳng P : x y z - Bài 2: Cho P : x y z điểm A(0, 0, 4) ; B(0, 2, 0) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mp (P) 19 x 2y 4z Bài 3: (ĐH – D 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2;0;1 ; B 1;0; ; C 1;1;1 Đáp số: S : x y z x y z S : x y z mặt phẳng P : x y z Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) 2 Đáp số: S : x 1 y z 1 Bài 4: Cho mặt phẳng P : x y z Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A 1; 0;0 , B 0;1; , C 0;3; cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính 2 2 2 Đáp số: S1 : x 1 y 1 z S2 : x y 4 z 1 26 Bài 5: Cho ba điểm O 0; 0; , A 0; 0; , B 2; 0; mp P : x y – z Lập phương trình mặt.cầu (S) qua ba điểm O, A, B có khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tiếp điểm M x1 ; y1 ; z1 cho trước thoả mãn điều kiện a Có bán kính R cho trước b Khoảng cách từ tâm I đến điểm M x2 ; y2 ; z2 đến đường thẳng d đến mặt phẳng (P) = k (hằng số) cho trước c Tâm I thuộc mặt phẳng (Q) cho trước d Tâm I thuộc đường thẳng cho trước e Có tâm I a; b; c cho trước Phương pháp chung: Đối với câu a, b, c, d ta cần xác định tọa độ tâm I - Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M x1 ; y1 ; z1 vuông góc với mặt phẳng (P) - Vì I nên ta tọa độ điểm I theo tham số t, từ điều kiện cho trước ta phương trình theo t, giải phương trình tìm t, từ tọa độ điểm I - Bán kính R IM R d I , P Bài tập giải mẫu: x 2t Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y 2t mặt phẳng z 1 P : 2x y z a Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm d, bán kính tiếp xúc với (P) b Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1;0), nằm (P) vuông góc với đường thẳng d www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 74 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Giải: a Tâm mặt cầu I d nên I (1 2t; 2t ; 1) Theo đề : Mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 2(1 2t ) 2t 2(1) d ( I ; ( P)) R 6t t 0, t 1 1 t I 1;0; 1 ( S1 ) : ( x 1) y ( z 1) t 1 I 1; 2; 1 ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 1) b VTCP đường thẳng (d) u (2; 2; 0) 2(1;1;0) VTPT mặt phẳng v (2;1; 2) Gọi u VTCP đường thẳng u vuông góc với u , n ta chọn u [u , v ] (2)(2; 2;1) Qua M(0;1;0) x y 1 z Vậy : : 2 vtcp u [u , v ] (2)(2; 2;1) Bài tập tự giải : Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng P : x y z A 1; 2; có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến điểm B 2;3; Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + = (Q): 2x + y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) M 1; 1; 1 Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính tiếp xúc với (P): 2x + 2y + z + = M( 3; 1; 1) 2 2 Đáp số: S1 : x 1 y 3 z S : x y 1 z x 1 y z mặt phẳng P : x y z 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính 2 8 9 1 2 Đáp số: S1 : x y 3 z 1 S : x y z 5 5 5 Bài 4: Cho đường thẳng d: Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) ; (Q) thoả mãn điều kiện a Tâm I thuộc đường thẳng cho trước b Tại tiếp điểm tương ứng M x; y; z P Phương pháp: a Cách 1: Khi đường thẳng dạng tham số - Tâm I nên ta tọa độ tâm I theo tham số t - Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) (P) d I , P d I , Q , giải phương trình tham số t, từ suy tọa độ tâm I - Bán kính R = d I , P trình mặt cầu (S) Kết luận phương Cách 2: Khi đường thẳng dạng tổng quát - Giả sử I a; b; c , tâm I nên ta phương trình (1) - Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) (P) d I , P d I , Q (2) - Giải hệ (1) (2) a, b c , từ tọa độ tâm I - Bán kính R d I , P Kết luận phương trình mặt cầu (S) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 75 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Chú ý: - Có chuyển dạng tham số áp dụng cách ngược lại - Khi hai mặt phẳng (P) (Q) song song với ta tính bán kính R sau R d P , Q d A, Q b Cách 1: - Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M vuông góc với mặt phẳng (P), I d nên ta tọa độ tâm I theo tham số t - Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) (P) d I , P d I , Q , giải phương trình tham số t, từ suy tọa độ tâm I - Bán kính R = d I , P Kết luận phương trình mặt cầu (S) Cách 2: Tìm tọa độ hình chiếu N điểm M lên mặt phẳng (Q), MN đường kính mặt cầu (S), quay dạng Kết luận phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P1 : x y z ; P2 : x y z x2 y z4 1 2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I d tiếp xúc với hai mặt phẳng P1 , P2 đường thẳng d : Giải: x 2 t Đường thẳng d có phương trình tham số d : y 2t x 3t I d I 2 t ; 2t; 3t tâm mặt cầu (S) Mặt cầu (S) tiếp xúc với P1 , P2 d I , P1 d I ; P2 t = 13 1 9t = 10t 16 3 t = 1 I1 11; 26; 35 ; I 1 ; 2;1 R1 38 ; R2 Vậy có hai mặt cầu cần tìm: S1 : x 11 2 y 26 z 35 382 2 S2 : x 1 y z 1 22 Bài 2: Cho hai mặt phẳng P : x y z 0; Q : x y z 13 Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A 5; 2;1 tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Giải : Gọi I(a;b;c) tâm R bán kính mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có: OI = AI OI AI d I , P d I , Q OI d I , P d I , P = d I , Q www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 76 www.toantrunghoc.com Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu Nguyễn Thành Long Ta có: 2 OI AI OI AI a b c a b c 1 10a 4b 2c 30 (1) | a 2b 2c | OI d I , P a b c a b c a 2b 2c (2) | a 2b 2c | | a 2b 2c 13 | d I , P d I , Q 3 a 2b 2c a 2b 2c 13 ( lo¹i) a 2b 2c (3) a 2b 2c a 2b 2c 13 17 11a 11 4a ;c (4) Từ (2) (3) suy ra: a b c (5) Thế (4) vào (5) thu gọn ta được: a 221a 658 Từ (1) (3) suy ra: b 67 658 658 46 ; ; Suy ra: I(2;2;1) R = I R = 221 221 221 221 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình là: Như a = a = 2 658 46 67 x y z 1 x y z 221 221 221 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z mặt phẳng 2 Q : x y z 13 Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Giải: Gọi I(a;b;c) tâm R bán kính mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có: OI = AI OI AI d I , P d I , Q OI d I , P d I , P = d I , Q Ta có: 2 OI AI OI AI a b c a b c 1 10a 4b 2c 30 (1) | a 2b 2c | a b c a 2b 2c (2) | a 2b 2c | | a 2b 2c 13 | d I , P d I , Q 3 a 2b 2c a 2b 2c 13 ( lo¹i) a 2b 2c (3) a 2b 2c a 2b 2c 13 OI d I , P a b c 17 11a 11 4a ;c (4) Từ (2) (3) suy ra: a b c (5) Thế (4) vào (5) thu gọn ta được: a 221a 658 Từ (1) (3) suy ra: b Như a = a = 658 Suy ra: I(2;2;1) R = 221 67 658 46 I ; ; R = 221 221 221 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 77 www.toantrunghoc.com Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu Nguyễn Thành Long Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình là: 2 658 46 67 2 x y z 1 x y z 221 221 221 Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng: x y x y z HD: 3a 2a Giả sử I(a;0;0) Ta có: = a = 6 = 24 / 19 24 Vậy phương trình mặt cầu là: x y z = và: x y z = 19 361 Bài tập tự giải: x = t Bài 1: Cho P1 : 3x y , P2 : x y z 39 ; d : y = Viết phương trình mặt cầu có z 1 P1 , P2 S1 : x 191 y z 1 12996 tâm I thuộc (d) tiếp xúc với 2 S1 : x 11 y z 1 36 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : x y z 35 : x y z 63 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng trên, biết A 5; 1; 1 tiếp điểm 2 Đáp số: S : x 1 y z 1 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z Viết phương trình Đáp số: mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) (P) Đáp số: Có hai mặt cầu thỏa mãn 2 S2 : x y z 5 25 Bài 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q), 2 x y z ; P : x y z ; Q : x y z biết d : 4 x y z 14 S1 : x y z 2 Đáp số: S : x 1 y 3 z 3 Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), cắt mặt phẳng (P) cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả mãn điều kiện a Đường tròn có diện tích cho trước b Đường tròn có chu vi cho trước c Đường tròn có bán kính cho trước Chú ý: Diện tích đường tròn S = 2 r , chu vi đường tròn p = r www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 78 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Phương pháp: Xác định bán kính R mặt cầu (S) a - Tính d I , P = IH , từ giả thiết diện tích ta bán kính r đường tròn (C) - Bán kính R IH r Kết luận phương trình mặt cầu (S) b - Tính d I , P = IH , từ giả thiết chu vi ta bán kính r đường tròn (C) - Bán kính R IH r Kết luận phương trình mặt cầu (S) c - Tính d I , P = IH - Bán kính R IH r Kết luận phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 x y z 15 điểm J(-1;-2;1) Gọi I điểm đối xứng J qua ( ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết cắt ( ) theo đường tròn có chu vi 8π Giải: Gọi I(a;b;c) ta có: a b c a 2b IJ ( a 1; b 2; c 1) Do IJ n ( ) 2 c 2b Nhưng trung điểm M IJ lại nằm ( ) nên ta có : b 4 I 5; 4;5 Ta tính khoảng cách từ I đến ( ) IO’=3 Vì chi vi 2 R0 8 nên R0 R IA IO '2 AO '2 32 Vậy S :( x 5) ( y 4) ( z 5) 25 Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng Q : x y z giao mặt phẳng P : x y z với mặt cầu (S) đường tròn có tâm H 1; 2;3 bán kính r = Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I ,bán kính R x 1 t Phương trình IH: y t (Vì IH qua H vuông góc với (P)) z t Do I IH Q Tọa độ I(0;1;2) IH R r IH 67 2 Phương trình mặt càu (S): x y 1 z 67 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 79 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :5 x y z , (Q) : x y z x2 y3 z 3 Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có tâm I giao điểm (P) 1 2 đồng thời mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 2 : 2 Đáp số: ( S ) : ( x 1) y z 1 Bài 2: (ĐH Lâm Nghiệp – 2001) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z d: mặt phẳng (P): 2x y 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc 1 đường thẳng d, tâm I cách mặt phẳng (P) khoảng mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính 2 1 2 13 Đáp số: S1 : x y y 13 6 3 6 2 11 14 S2 : x y y 13 6 3 6 Bài 3: Viết phương trình mặt cấu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện đường tròn lớn có bán kính 4, biết x z 1 P : y z d : y 2 Đáp số: S : x 1 y z 16 Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng cho trước thoả mãn điều kiện a Có tâm I(a;b;c) cho trước b Tại tiếp điểm M(x;y;z) thuộc có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp: a - Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , R Kết luận phương trình mặt cầu (S) b - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vuông góc với đường thẳng - Tọa độ tâm I P nghiệm phương trình - Bán kính R IM d I , Kết luận phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu: Bài 1:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 1 y z x y z3 d: d ' : 1 2 Viết phương trình mặt cầu tâm I d ' , bán kính 3 tiếp xúc với d HD: I d ' I 2t;3t; 3 t 21 23 d I , d 3 I 0;0; 3 I ; ; suy phương trình mặt cầu 10 10 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 80 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long x 1 y z mặt 1 phẳng P : x y – z Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : (P) qua điểm A 2; 1;0 HD : Gọi I tâm (S) I d I 1 t ; 2 t; t t Ta có d I , P AI t 13 Vậy có hai phương trình mặt cầu S1 : x – 2 y 1 z – 1 2 20 19 7 121 1; S : x – y z – 13 13 13 139 Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) biết (S) có tâm I giao điểm x 1 t mặt phẳng P :5 x y z đường thẳng d : y 2t đồng thời mặt cầu ( S ) tiếp xúc z t x 3t với đường thẳng : y 5 5t z 3 4t Đáp số: ( S ) : ( x 3) y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d , biết x 2t d : y t z 3t x 3y 1 : 3 x y z Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng d H 3;1;3 có tâm I 2 Đáp số: S : x 1 y z 18 Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , thoả mãn điều kiện a Có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước b Có tâm I thuộc mặt phẳng (P) cho trước c Tại hai tiếp điểm tương ứng M(x1;y1;z1) N(x2;y2;z2) cho trước Phương pháp: a Cách 1: - Khi đường thẳng d dạng tham số, tâm I thuộc đường thẳng d tọa độ I theo tham số d - Đường thẳng 1 tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , 1 d I , d I , 1 d I , ta phương trình theo tham số, từ ta tọa độ tâm I - Bán kính R d I , 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 81 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Cách 2: - Chuyển d, 1 dạng tham số tìm vtcp 1 - Tâm I thuộc đường thẳng d tọa độ I theo tham số d - Giả sử mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng 1 A B A 1 B tọa độ A B theo tham số đường thẳng 1 - Từ điều kiện giả thiết ta có IA 1 IA u1 IA.u1 IB IB u2 IB.u tọa độ tâm I, điểm A điểm B IA IB IA IB IA IB - Bán kính R IA b Giả sử I a; b; c tâm mặt cầu (S) - Tâm I thuộc mặt phẳng (P) nên Aa Bb Cc D 1 - Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm I vuông góc với đường thẳng 1 - Viết phương trình mặt phẳng (R) qua điểm I vuông góc với đường thẳng Tọa độ tâm I giao ba mặt phẳng (P), (Q) (R), giải hệ ta tọa độ tâm I Bán kính R d I , 1 c Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm I vuông góc với đường thẳng 1 - Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm I vuông góc với đường thẳng - Viết phương trình (R) mặt phẳng trung trực đoạn M, N Tọa độ tâm I giao ba mặt phẳng (P), (Q) (R), giải hệ ta tọa độ tâm I Bán kính R IM Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y 1 z ; d2 : x y z d1 : 1 2 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d d Giải: Giả sử mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d 1, d2 hai điểm A B ta có IA IB AB AB d d1 , d dấu xảy I trung điểm AB AB đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d 1, d2 Ta tìm A, B : AB u A d1 , B d nên: A 4t;1 t ; 5 2t , B t’; 3 3t’; t’ AB u ' AB (….)… A(1; 2; -3) B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) bán kính R= Nên có phương trình là: x ( y 1)2 ( z 1)2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 82 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 d2 , biết x 1 t x 2u d1 : y t d2 : y u z t z a Chứng minh d1 d chéo b Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 , d2 có tâm I thuộc đường thẳng x v d : y 2v z v 2 1 43 13 Đáp số: b S : x y 1 z 2 2 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d 2, biết : x 2t x u t R d1 : y t d : y 3 2u z 3 3t z 3u a CMR hai đường thẳng chéo b Viết phương trình đường vuông góc chung d d2 c Tính khoảng cách d d2 d Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với d 1, d có tâm thuộc mặt phẳng P : x y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 2t x y 1 z d2 : y d1 : 1 z t a Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách hai đường thẳng d1 d2 b Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 d2 hai tiếp điểm A 2;1;0 ; B 2;3; Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) cắt đường thẳng cho trước hai điểm A, B thoả mãn điều kiện a Độ dài AB = số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp: Chỉ cần xác định bán kinh R mặt cầu AB a - Xác định d I , IH , IAB cân I nên HB - Bán kính R IH HB Kết luận phương trình mặt cầu (S) 450 b - Xác định d I , IH , IAB vuông cân nên HBI IH sin 450 Kết luận phương trình mặt cầu (S) 600 c - Xác định d I , IH , IAB nên HBI - Bán kính R www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 83 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long IH sin 60 Kết luận phương trình mặt cầu (S) - Bán kính R Bài tập giải mẫu: x 2t Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 3; 4) đường thẳng d: y 6t z t Lập phương trình mặt cầu tâm A cắt đường thẳng d hai điểm M, N cho MN = Giải: Gọi H hình chiếu A lên d => H(3 + 2t; + 6t; – t), u (2; 6; -1) véc tơ phương d Khi AH u H (3;2;2) Xét tam giác vuông HAM, có HM = 4, AH = nên AM = = R, với R bán kính mặt cầu thỏa mãn toán Vậy phương trình mặt cầu cần lập (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 25 Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 cho (S) cắt đường thẳng d 5 x y z 20 hai điểm A, B thỏa mãn AB 40 d : 3 x y z Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 1;0;3 cắt đường thẳng : x 1 y z 1 hai 2 điểm A B cho tam giác IAB vuông I Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (S) có tâm I thuộc đường thẳng 1 cắt đường thẳng hai điểm A,B cho H x; y; z trung điểm A,B AB = số … Đang cập nhật Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S’) cho trước qua a Một điểm M(x;y;z) cho trước b Một mặt phẳng (P) cho trước c Một đường thẳng cho trước Chú ý: Mặt cầu S ' đối xứng với S thỏa mãn điều kiện có bán kính tức R ' R , khác tọa độ tâm tức I ' I Bài toán quy toán điểm đối xứng với điểm qua điểm, qua mặt phẳng qua đường thẳng Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt cầu S đối xứng với mặt cầu (S) qua điểm A ' Đáp số: S ' : x y 3 z 5 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 84 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt cầu S đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt ' phẳng (P) 2 Đáp số: S ' : x y z 1 x y z mặt cầu Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y z 1 S : x y z x y z Viết phương trình mặt cầu S ' đối xứng với mặt cầu (S) qua đường thẳng d 2 Đáp số: S ' : x y z 1 Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A; B; C; D có toạ độ cho trước Phương pháp: Cách 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng tổng quát, tọa độ A, B, C D thuộc mặt cầu (S) ta phương trình ẩn a, b, c, d, giải hệ ta phương trình mặt cầu (S) Chú ý: Nếu ta sử dụng phương trình tắc dẫn đến hệ phương trình ẩn a, b, c, R, giải hệ ta phương trình mặt cầu (S) Cách 2: - Giả sử tâm I a; b; c - Vì A, B, C D thuộc mặt cầu (S) nên IA IB IC ID R IA2 IB IA IB IC IB IC IB giải hệ ta a, b, c từ tọa độ tâm I bán kính I IA ID IB ID IB Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S Giải: OABC hình chữ nhật B(2; 4; 0) Tọa độ trung điểm H OB H(1; 2; 0), H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S + Tâm I(1; 2; 2) bán kính R OI 2 2 S : ( x 1) ( y 2) ( z 2) Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O vuông góc với BC Chứng minh ABC vuông viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải: Ta có BC (0; 2; 2) mp(P) qua O(0;0;0) có vtpt BC (0; 2; 2) P : 2 y z hay y z AB (1;1; 0) AB AC Suy tam giác ABC vuông A (1) AC (1; 1; 2) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 85 www.toantrunghoc.com Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu Nguyễn Thành Long CM tương tự tam giác OBC vuông O (2) Từ (1) & (2) Suy Điểm A, B, C, O thuộc mặt cầu đường kính BC nên tâm I trung điểm BC I 0;1;1), R 2 PT mặt cầu: x y 1 z 1 Bài tập tổng hợp giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình: x t x 2s d1 : y t d : y 2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 I cách d2 z z s khoảng Biết mặt cầu (S) có bán kính Giải: Vì I thuộc d nên I t ; t ; u u d (2;0;1) IM ( ) d có d I d IM (5 t ; t 2; 0) u Qua M (5; 2; 0) u.IM (t 2;5 t; 2t 4) d ( I d ) 6t 30t 45 t I (0;0; 0) t I (5; 5; 0) Vậy có hai phương trình mặt cầu thõa mãn điều kiện toán là: ( S1 ) : x y z 25; (S ) : ( x 5) ( y 5) z 25 Bài 2: Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua gốc tọa độ tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là: P : x y Q : Giải: Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên R x 2y d P , Q Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d P , Q d M , Q R 2 Lúc phương trình mặt cầu có dạng: x a y b z c 2 2 2 Vì C qua O(0;0;0) nên: a b c I ( S ) : x y z Mặt khác: Mặt phẳng song song cách (P) (Q) có phương trình: ( x y 4) ( x y 6) x 2y 1 x 2y I ( ) Do I ( ) ( S ) : 2 I (S ) x y z : (Cố định ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 86 www.toantrunghoc.com Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu Nguyễn Thành Long Bài 3: Trong KG cho mặt cầu (S) qua điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và mặt cầu (S’) 1 qua điểm: A '( ;0; 0), B '(0; ; ), C '(1;1;0), D '(0;1;1) Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến 2 2 mặt cầu Giải: Lần lượt ta lập phương trình mặt cầu với dạng tổng quát chung là: x y z 2ax 2by 2cz d 1 2c d 1 2a d Với (S) ta có: a b c ; d x y z x y z 0(1) 1 2b d 3 2a 2b 2c d 1 4 a d 7 1 Với (S’) b c d a c ; b ; d 2 x y z x y z 0(2) 4 2 2 2a 2b d 2b 2c d Từ (1) (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có phương trình: ( ) : x y z Vậy phương trình đường tròn giao tuyến cần tìm là: 9x y 9z (C ) : 2 ( x ) ( y ) ( z ) x 1 y 1 z mặt phẳng ( P) : x y z Lập phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P ) qua điểm A(1;-1;1) Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Giải: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) nên: t R d I , P R 37t 24t 24 77 t R 37 37 Vì (S) có bán kính nhỏ nên ta chọn t R I 1; 1; 5t 2 Vậy phương trình mặt cầu S : x 1 y 1 z www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 87 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long LỜI KẾT Viết phương trình Mặt phẳng – Đường thẳng – Mặt cầu không gian phần thiếu kì thi TN – CĐ – ĐH, biên soạn (có tham khảo thêm tài liệu) chuyên đề giúp em học sinh có thêm kiến thức chuẩn bị cho kì thi tới bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu giảng dạy… Tuy nhiên lực kinh nghiệm thiếu, tuổi đời trẻ, tài liệu dài nên có đôi chỗ đánh máy nhầm Rất mong bạn học sinh bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp bạn hoàn thiện … Xin chân thành cảm ơn Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 88 [...]... độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng x 1 t x 2 y z 4 0 1 : 2 : y 2 t x 2 y 2z 4 0 z 1 2t Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 Giải: Cách 1: Chọn M 0; 2;0 1 và 1 có vtcp u1 = (2;3;4), 2 có vtcp u 2 = (1;1;2) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 mặt phẳng... song và cách đều hai hai đường thẳng ( 1 ) và ( 2 ) cho trước Phương pháp: - Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 và 2 nên có vtpt nP u1 ; u2 - mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng 1 và 2 nên (P) đi qua trung điểm của I của MN với M 1 và N 2 Quay về dạng 4 Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là... phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương x y 1 z 2 trình: P : 2x y 2z 2 0 và d : 1 2 1 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất Giải: x t 1 Đường thẳng có... Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4 Giải: Giả sử n ( a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng P : ax by cz 2b 0 Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u ... Trang 19 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Phương pháp: 1 Tìm VTPT của là n và VTCP của là u 2 VTPT của mặt phẳng là: n n... với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là : x 5 y 1 z 13 (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và d : 2 2 3 Giải: Đường thẳng d có vtcp ud 2; 3; 2 Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 308 mặt cầu (S) có tâm I 5; 1; 13 và bán kính R 308 Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt nP ud 2; 3; 2 mặt... B 2 4 1 3 Nên mặt phẳng P có vtpt nP A; B; A B 2 4 Từ (1) và (2) ta được C www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 22 Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu www.toantrunghoc.com Nguyễn Thành Long Đường thẳng 2 có vtcp u2 1;1; 2 , mặt phẳng P song song với đường thẳng 2 3 1 1 nP u2 A.1 ... vtpt n1 (2; 1;1) Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vtpt nQ n , a 6;15;3 3 2;5;1 Chọn vtpt của mặt phẳng (Q) là n 2 (2,5,1) Mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) đi qua A nhận n 2 (2,5,1) là vtpt có phương trình là: 2(x + 1) + 5(y 3) + 1(z + 2) = 0 2x + 5y + z 11 = 0 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường. .. đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình là: y2 x2 z 5 d: x z và d’ : y3 1 2 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d’ một góc 300 Giải: - Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vtcp u (1; 1;1) - Đường thẳng d ’ đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vtcp u '(2;1; 1) Giả sử mặt phẳng ( ) có vtpt n ( A; B; C ) Mặt phẳng ( ) phải đi qua điểm M và có vtpt n vuông... hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình và 1 2 3 mặt phẳng P : x y 3 z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007) Đs: : 3 x z 5 0 Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau hoặc song song với nhau Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và ... luận: Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 thỏa mãn điều kiện cho trước đường thẳng qua điểm M có vtcp M M Cách 3: Xác định vtcp vtpt - Do đường thẳng qua điểm M cắt đường thẳng. .. trình đường thẳng dạng tổng quát Xác định vtcp đường thẳng d Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng - Mặt phẳng qua điểm M chứa đường thẳng d - Mặt phẳng qua điểm M vuông góc với đường. .. M thẳng hàng + Nếu điều kiện song song với đường thẳng d AB phương với ud + Nếu điều kiện vuông góc với mặt phẳng (P) AB phương với nP - Đường thẳng đường thẳng đường thẳng
Ngày đăng: 11/11/2015, 22:03
Xem thêm: LTĐH: PT đường thẳng đường cong, LTĐH: PT đường thẳng đường cong
