Giáo án hay-phương tình tham số của đường thẳng

GIÁO ÁN DẠY TOÁN Ngày : 18-2-2009 Bài 2: Phương trình tham số của đường thẳng. Tiết : 3 Chương III, SGK hình học nâng cao. Lớp : 10a2 Lý thuyết. Người dạy : Lương Thị Mai Hiên A. Chuẩn bị I. Mục tiêu 1) Về kiến thức Giúp học sinh hiểu được vecto chỉ phương của đường thẳng có đặc điểm ra sao? Phương trình tham số của đường thẳng là như thế nào? Giúp được học sinh hiểu phương trình chính tắc của đường thẳng có đặc diểm gì? Và được tìm ra từ đâu? Giúp học sinh hiểu được cách xác định phương trình tham số của đường thẳng. 2) Về kỹ năng Rèn luyện kỹ năng xác định vecto chỉ phương của đường thẳng. Rèn luyện kỹ năng kiểm tra điểm có thuộc vào đường thẳng? và tìm các điểm của đường thẳng ứng với mỗi giá trị của tham số t. Rèn luyện kỹ năng kiểm tra phương trình đó có là phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng hay không? II.Phương pháp Sử dụng phương pháp đàm thoại gởi mở, dạy học nêu vấn đề và dạy học hợp tác. III. Đồ dùng dạy học Bảng phụ. B.Lên lớp I. Ổn định lớp II. Kiểm tra bài cũ III. Giảng bài mới Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1) Vecto chỉ phương của đường thẳng y n r P 0 r ∆ 1 u ur 2 u uur 3 u uur O 4 u uur x Định nghĩa Vecto u r khác 0 r , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ .  Treo bảng phụ lên bảng. Yêu cầu học sinh quan sát và đưa ra nhận xét về giá và hướng của các vecto: 1 2 3 4 ; ; ; ;0.u u u u ur uur uur uur ur  Nhắc lại. Ta gọi 1 2 3 4 ; ; ;u u u u ur uur uur uur là các vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ . 0 r không là vecto chỉ phương của đường thẳng.  Vậy em nào có thể định nghĩa vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ là vecto có những đặc điểm gì? Nhấn mạnh lại và ghi lên bảng, yêu cầu học sinh chép định nghĩa vào tập.  1 u ur và 2 u uur cùng giá nhưng ngược hướng, giá của chúng trùng với đường thẳng ∆ . 3 u uur và 4 u uur cùng giá nhưng ngược hướng, giá của chúng song song với đường thẳng ∆ . 0 r có giá là mọi đường thẳng đi qua nó. Là vecto khác 0 r , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ . • Có vô số vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ . • Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến có giá vuông góc với nhau. • Cho phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là ax+by+c=0 thì vecto chỉ phương của ∆ là: ( ) ;u b a= − r . Một đường thẳng ∆ có bao nhiêu vecto chỉ phương? Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ quan hệ với nhau như thế nào? Vậy ta thấy vecto chỉ phương u r và vecto pháp tuyến n r có giá vuông góc nên u r . n r = 0. Hay là nếu biết được vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ ta có thể tìm được vecto chỉ phương của đường thẳng đó. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: ax+by+c = 0. Vậy tại sao ( ) ;u b a= − r là một vecto chỉ phương của đường thẳng đó? Có vô số.Vì có vô số đường thẳng song song với ∆ vậy có vô số vecto nhận các đường thẳng đó làm giá. Chúng có giá vuông góc với nhau.  Ta có: vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ là: ( ) ,n a b= r mà ( ) ;u b a= − r nên u r . n r = a.b +b.(-a) = 0 Vậy u r vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ . 2) Phương trình tham số của đường thẳng Bài toán. SGK trang 81. Bài giải y u r ∆ M(x; y) ( ) 0 0 ;I x y O x  Vậy khi cho phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: ax+by+c = 0 thì ta có vecto chỉ phương của nó là: ( ) ;u b a= − r . Cho một số phương trình tổng quát của đường thẳng lên bảng, yêu cầu học sinh xác định một vecto chỉ phương của nó. Ví dụ 1 )2 3 1 0 ) 3 5 0 ) 3 a x y b x c y − − = + = = Ta biết về phương trình tổng quát của đường thẳng vậy còn phương trình tham số của đường thẳng thì sao? ta đi vào phần 2: Treo bảng phụ xét bài toán 2:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3; 2 3;2 ) 0; 3 0; 3 ) 1;0 a u b u c u = − − = = − = = r r r ( ) 0 0 ;I x y ∈∆ và vecto chỉ phương ( ) ;u a b= r ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ; ; ; ; M x y I x y IM x x y y⇒ = − − uuur Thuận: Ta có M(x; y) thuộc đường thẳng ∆ . Khi đó: IM uuur cùng phương với u r . Tức là: :t IM tu∃ = uuur r . 0 0 . : . x x t a t y y t b − =  ⇒ ∃  − =  0 0 . : . x x a t t y y b t = +  ⇒ ∃  = +  Trong đó ( ) 2 2 ; 0 0u a b a b≠ ⇒ + ≠ r r Vậy điểm M(x;y) thuộc đường thẳng ∆ thì tồn tại số t sao cho: ( ) 0 2 2 0 . 0 . x x a t a b y y b t = +  + ≠  = +  (1) Đảo Với mỗi giá trị 0 t bất kì thế vào hệ (1) ta được cặp giá trị (x;y) thỏa (1) là tọa độ của điểm N nào đó. Ta đi chứng minh rằng N(x;y) thuộc đường thẳng ∆ .  Hỏi học sinh và giải thích: IM uuur có giá trùng với đường thẳng ∆ . Nên IM uuur cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ . Vậy IM uuur cùng phương với u r . Ta thấy nếu điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng ∆ thì tồn tại một số t sao cho x, y thỏa mãn hệ (1).  Do I và M cùng thuộc đường thẳng ∆ . Nên IM uuur có giá trùng với đường thẳng ∆ . Vậy IM uuur cùng phương với u r . Để chứng minh ( ) 0 0 0 0 ;N x at y bt+ + thuộc đường thẳng ∆ . Ta đi chứng minh IN uur cùng phương với u r . Thật vậy: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ; ; à ; IN at bt t a b m u a b = = = uur r Vậy với giá trị t bất kì thế vào hệ (1) ta được tọa độ của điểm M(x;y) thuộc đường thẳng ∆ . Định nghĩa ( ) 0 2 2 0 . 0 . x x a t a b y y b t = +  + ≠  = +  Là phương trình tham số của đường thẳng ∆ Trong đó ( ) 0 0 ;I x y ∈∆ và vecto chỉ phương của ∆ là: ( ) ;u a b= r Ví dụ 2 Cho đường thẳng d có phương trình tham số 2 1 2 x t y t = +   = −  a) Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng d. b) Tìm các điểm của d ứng với các giá trị 1 0, 4, . 2 t t t= = − = c)Điểm nào trong các điểm sau thuộc d? M(1;3),N(1,-5),P(0;1), Q(0;5). Ta thấy với mỗi giá trị tham số t, ta tính được x và y từ hệ (1). Và điểm này thuộc vào đường thẳng ∆ . Vậy từ đó ta có: Điều kiện cần và đủ để M(x;y) thuộc ∆ là có số t sao cho ( ) 0 2 2 0 . 0 . x x a t a b y y b t = +  + ≠  = +  .(1) Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ , với tham số t. Treo bảng phụ ví dụ 2. Yêu cầu và hướng dẫn học sinh giải quyết ví dụ 2. a) Dựa vào định nghĩa. b)Thế từng giá trị của t lần lượt vào phương trình để tìm.  ( ) 1, 2u = − r  Với Ví dụ 3 Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 2 3 6 0x y− − = . a) Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d và viết phương trình tham số của đường thẳng d. b)Hệ 2 1,5 2 3 x t y t = +    = − +   (2) có phải là phương trình tham số của d không? c)Thế tọa độ của từng điểm vào hệ rồi giải hệ tìm nghiệm t. Nếu hệ có nghiệm tức là điểm đó thuộc đường thẳng d. Treo bảng phụ ví dụ 3. Yêu cầu học sinh làm và hướng dẫn. a) Để tìm tọa độ của một điểm thuộc d từ phương trình tổng quát, ta chỉ việc chọn một giá trị bất kì của x thế vào phương trình đó sẽ thu được giá trị của y. Muốn viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần đi tìm tọa độ một điểm và tọa độ vecto chỉ ( ) 2 0 2;1 1 x t A y =  = ⇒ ⇒  =  ( ) 4 2;9 1 5 ;0 2 2 t B t C = − ⇒ −   = ⇒  ÷    ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1;3 3 1 2 1 1 2 1; 5 5 1 2 0 2 0;1 1 1 2 0 2 0;5 5 1 2 2 . t M t t M d t N t t N d t P t t P d t Q t t Q d = +  ⇒  = −  ⇒ = − ⇒ ∈ = +  − ⇒  − = −  ⇒ ∃ ⇒ ∉ // = +  ⇒  = −  ⇒ ∃ ⇒ ∉ / = +  ⇒  = −  ⇒ = − ⇒ ∈  4 1 3 4 1; 3 x y A − = ⇒ = −   ⇒  ÷   Phương trình chính tắc cảu đường thẳng: 0 0 x x y y a b − − = 0, 0a b≠ ≠ . phương của đường thẳng đó. Nên ta cần chỉ tìm vecto chỉ phương của đường thẳng từ phương trình tổng quát là được. b) Để kiểm tra phương trình đó có là phương trình tham số hay không ta chỉ cần kiểm tra 2 điều sau: *Tọa độ của điểm có thỏa phương trình tổng quát của đường thẳng d? *Vecto chỉ phương của phương trình này có cùng phương với vecto chỉ phương của phương trình đường thẳng d? Ta thấy từ phương trình tham số 0 0 . . x x a t y y b t = +   = +  của đường thẳng, nếu 0, 0a b≠ ≠ thì 0 0 . . x x a t y y b t − =   − =  0 0 x x y y a b − − ⇒ = (2)  ( ) ( ) 3; 2 3;2u = − − = r 1 3 4 2 3 x t y t = +   −  = +   là phương trình tham số của d.  2 2; 3 B d −   ∈  ÷   Vì 2 2.2 3. 6 0. 3 −   − − =  ÷    ( ) ( ) ' 3 1,5;1 ;1 2 1 3;2 2 u   = =  ÷   = ur Mà ( ) ( ) 3; 2 3;2u = − − = r Vậy u r và ' u ur cùng phương. Vậy hệ (2) là phương trình tham số của đường thẳng d. Vậy (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng. Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.  Từ ví dụ 2 và ví dụ 3 hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng từ phương trình tham số?  Ví dụ 2 2 1 1 2 x y− − = − Ví dụ 3 4 1 3 3 2 y x + − = IV. Củng cố Giáo viên nhắc lại từng kiến thức trong bài học. Cho học sinh hai bàn một nhóm cùng làm bài tập 7 trang 83 nếu còn thời gian. V.Dặn dò Các em về xem lại bài mới học để chuẩn bị cho tiết sau, cô sẽ hướng dẫn viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng. . phương của đường thẳng có đặc điểm ra sao? Phương trình tham số của đường thẳng là như thế nào? Giúp được học sinh hiểu phương trình chính tắc của đường thẳng. là một vecto chỉ phương của đường thẳng đó? Có vô số. Vì có vô số đường thẳng song song với ∆ vậy có vô số vecto nhận các đường thẳng đó làm giá. Chúng