TRNG THPT TP CAO LNH THI TH TT NGHIP s 05 K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG Mụn thi: TON Giỏo dc trung hc ph thụng Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao - I PHN CHUNG DNH CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I (3,0 im): Cho hm s: y = x (4 - x ) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s ó cho 2) Tỡm iu kin ca tham s b phng trỡnh sau õy cú nghim phõn bit: x - 4x + log b = 3) Tỡm to ca im A thuc (C ) bit tip tuyn ti A song song vi d : y = 16x + 2011 Cõu II (3,0 im): 1) Gii phng trỡnh: log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = I = 2) Tớnh tớch phõn: p p ũ sin x dx + cos x 3) Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s: y = e x + 4e - x + 3x trờn on [1;2] Cõu III (1,0 im): Cho t din SABC cú ba cnh SA, SB, SC ụi mt vuụng gúc vi nhau, SB =SC = 2cm, SA = 4cm Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip t din, t ú tớnh din tớch ca mt cu ú II PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c chn mt hai phn di õy Theo chng trỡnh chun Cõu IVa (2,0 im): Trong khụng gian Oxyz , cho im A (- 3;2; - 3) v hai ng thng d1 : 1) Chng minh rng x- y+ z- x- y- z- = = = = v d2 : 1 - 1 d1 v d2 ct 2) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d1 v d2 Tớnh khong cỏch t A n mp(P) Cõu Va (1,0 im): Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau õy: y = x + x - v y = x + x - Theo chng trỡnh nõng cao Cõu IVb (2,0 im): Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d1 : 1) Chng minh rng x- y+ z- x y- z- = = = v d2 : = 1 - 1 d1 v d2 chộo 2) Vit phng trỡnh mp(P) cha d1 v song song vi d2 Tớnh khong cỏch gia d1 v d2 Cõu Vb (1,0 im): Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau õy: y = 2x , x + y = v trc honh Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: Ch ký ca giỏm th 1: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th 2: BI GII CHI TIT Cõu I: y = x (4 - x ) = - x + 4x Tp xỏc nh: D = Ă o hm: y  = - 4x + 8x ộ4x =  y = x + x = x ( x + 2) = Cho ờ- x + = lim y = Ơ ; lim y = Ơ Gii hn: x đ- Ơ ộx = ờx = ộx = ờ x = x đ+ Ơ Bng bin thiờn x + y y - Hm s B trờn cỏc khong (- Ơ ; - 0 + + 2),(0; 2) , NB trờn cỏc khong (- 2; 0),( 2; + Ơ ) Hm s t cc i yC = ti x Cẹ = , t cc tiu yCT = ti x CT = Giao im vi trc honh: ộx = ộx = ờ cho y = - x + 4x = ờx = x =4 ờ ở x = ị y = Giao im vi trc tung: cho Bng giỏ tr: x - - 2 y 0 th hm s nh hỡnh v bờn õy: x - 4x + log b = - x + 4x = log b (*) S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = logb Da vo th, (C) ct d ti im phõn bit v ch < log b < < b < 104 Vy, phng trỡnh (*) cú nghim phõn bit v ch < b < 104 Gi s A (x ; y ) Do tip tuyn ti A song song vi d : y = 16x + 2011 nờn nú cú h s gúc f Â(x ) = 16 - 4x 03 + 8x = 16 4x 03 - 8x + 16 = x = - x0 = - ị y0 = Vy, A (- 2; 0) Cõu II: log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = ùỡù x - > ùỡ x > ùớ x > Khi ú, iu kin: ùù x - > ùù x > ợ ợ ự log2 (x - 3) + log2 (x - 1) = log2 ộ ở(x - 3)(x - 1)ỷ= (x - 3)(x - 1) = ộx = - (loai ) x - x - 3x + = x - 4x - = ờx = (nhan) Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim nht: x = p p I =ũ sin x dx + cos x t t = + cos x ị dt = - sin x dx ị sin x dx = i cn: x t p p 2 ổ dt - dx ữ Thay vo: I = ũ ìỗ ữ = ln t ỗ ữ= ũ ỗ t ố ứ 2t 2 = - dt ln = ln 2 Vy, I = ln Hm s y = e x + 4e - x + 3x liờn tc trờn on [1;2] o hm: y  = e x - 4e - x + Cho y  = e x - 4e - x + = e x - x + = e 2x + 3e x - = (1) e t t = e (t > 0), phng trỡnh (1) tr thnh: ột = (nhan) t + 3t - = ờt = - (loai) x e x = x = ẽ [1;2] (loi) 4 + v f (2) = e + + e e 4 Trong kt qu trờn s nh nht l: e + + , s ln nht l e + + e e 4 Vy, y = e + + x = v max y = e + + x = [1;2] [1;2] e e f (1) = e + Cõu III Gi H,M ln lt l trung im BC, SA v SMIH l hbh Ta cú, IH || SA ^ (SBC ) ị IH ^ SH ị SMIH l hỡnh ch nht D thy IH l trung trc ca on SA nờn IS = IA H l tõm ng trũn ngoi tip D SBC v IH ^ (SBC ) nờn IS = IB = IC (= IA ) ị I l tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp Ta cú, SH = B C = 1 1 SB + SC = + 22 = (cm) v IH = SM = SA = (cm) 2 2 Bỏn kớnh mt cu l: R = IS = SH + IH = ( 2)2 + 22 = Din tớch mt cu : S = 4pR = 4p( 6)2 = 24p(cm ) THEO CHNG TRèNH CHUN Cõu IVa: r d1 i qua im M 1(1; - 2; 3) , cú vtcp u1 = (1;1; - 1) r d2 i qua im M (3;1;5) , cú vtcp u = (1;2; 3) ổ1 - - 1 1 ữ r r ỗ ữ ỗ [ u , u ] = ; ; = (5; - 4;1) ữ Ta cú ỗ ữ ỗ 3 1 ữ ỗ ố ứ uuuuuur v M 1M = (2; 3;2) r r uuuuuur Suy ra, [u1, u ].M 1M = 5.2 - 4.3 + 1.2 = , ú d1 v d2 ct Mt phng (P) cha d1 v d2 im trờn (P): M 1(1; - 2; 3) r r r vtpt ca (P): n = [u 1, u ] = (5; - 4;1) Vy, PTTQ ca mp(P) l: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = 5x - 4y + z - 16 = Khong cỏch t im A n mp(P) l: d (A ,(P )) = 5.(- 3) - 4.2 + (- 3) - 16 52 + (- 4)2 + 12 = 42 42 = 42 Cõu Va: y = x + x - v y = x + x - Cho x + x - = x + x - x - x = x = 0, x = 1 Vy, din tớch cn tỡm l : S = ũ x - x dx - S = ũ- (x - x )dx + ũ0 ổ ổ x3 x5ử x3 x5ử ữ ữ ỗ ữ ữ = + = ỗ ỗ (x - x )dx = ỗ + ữ ỗ ỗ ữ ố3 ố3 ứ- 5ứ 15 15 15 THEO CHNG TRèNH NNG CAO Cõu IVb: r d1 i qua im M 1(1; - 2; 3) , cú vtcp u1 = (1;1; - 1) r d2 i qua im M (- 3;2; - 3) , cú vtcp u = (1;2; 3) ổ1 - - 1 1 ữ r r ỗ ữ ; ; = (5; - 4;1) ữ Ta cú [u1, u ] = ỗ ỗ ữ ỗ 3 1 ữ ỗ ố ứ uuuuuur v M 1M = (- 4; 4; - 6) r r uuuuuur Suy ra, [u1, u ].M 1M = 5.(- 4) - 4.4 + 1.(- 6) = - 42 , ú d1 v d2 chộo Mt phng (P) cha d1 v song song vi d2 im trờn (P): M 1(1; - 2; 3) r r r vtpt ca (P): n = [u 1, u ] = (5; - 4;1) Vy, PTTQ ca mp(P) l: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = 5x - 4y + z - 16 = Khong cỏch gia hai ng thng d1 v d2 bng khong cỏch t M2 n mp(P): 5.(- 3) - 4.2 + (- 3) - 16 42 d (d1, d2 ) = d (M ,(P )) = = = 42 42 52 + (- 4)2 + 12 Cõu Vb: Ta cú, y = 2x x = y2 (y > 0) v x + y =4 x =4- y Trc honh l ng thng cú phng trỡnh y = 0: ộy = - (nhan) y2 y2 = y + y = Cho ờy = (loai) 2 Din tớch cn tỡm l: S = ũ0 y2 + y - dx 2 S = ũ0 ổ y2 y3 y2 14 14 (vdt) ữ ữ ỗ ( + y - 4)dx = ỗ + y = = ữ ỗ ố6 ứ0 2 3 ... = logb Da vo th, (C) ct d ti im phõn bit v ch < log b < < b < 104 Vy, phng trỡnh (*) cú nghim phõn bit v ch < b < 104 Gi s A (x ; y ) Do tip tuyn ti A song song vi d : y = 16x + 2011 nờn... Suy ra, [u1, u ].M 1M = 5.(- 4) - 4.4 + 1.(- 6) = - 42 , ú d1 v d2 chộo Mt phng (P) cha d1 v song song vi d2 im trờn (P): M 1(1; - 2; 3) r r r vtpt ca (P): n = [u 1, u ] = (5; - 4;1) Vy,... SH + IH = ( 2)2 + 22 = Din tớch mt cu : S = 4pR = 4p( 6)2 = 24p(cm ) THEO CHNG TRèNH CHUN Cõu IVa: r d1 i qua im M 1(1; - 2; 3) , cú vtcp u1 = (1;1; - 1) r d2 i qua im M (3;1;5) , cú vtcp u