PT đường tròn

Chú ý: : * Đường tròn C đi qua các điểm A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2 * Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng c

A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT

PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

+ Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2)

+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R = P

+ Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn

b) Ta có: a2 + b2 – c = 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường tròn

c) Ta có: a2 + b2 – c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và

bán kính R = 2 5

7d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau

Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m

Giải: (1) là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 – c > 0 ⇔ m2 – 3m + 2 > 0 ⇔  <m m>12

Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R = m2−3m+2

Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos α -2y sin α + cos 2 α = 0

a) CMR: (C) là đường tròn

b) Xác định α để (C) có bán kính Max

c) Tìm quỹ tích tâm I khi α thay đổi

Giải:

a) a2 + b2 – c = 1 – cos2 α≥0 với mọi α

Khi a2 + b2 – c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0

c) Có R2 = 2 sin2α ≤ 2 Rmax = 2 ⇔ anpha = π /2 + k π

d) Toạ độ tâm I: os

sin

x c y

αα

- Viết phương trình của ( C) theo dạng (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2

Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn ( C) là: x 2 + y 2 -2ax -2by + c = 0.

- Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

- Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn ( C).

Chú ý: :

*) Đường tròn ( C) đi qua các điểm A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2

*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn

đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước Giải bài này ta làm theo cách 2

Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0)

b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =

2 13

13

2 =

 Phương trình đường tròn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13

d) Giả sử phương trình đường tròn ( C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0

Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.

Chú ý:

- Đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆⇔ d(I, ∆ ).= R

- Đường tròn ( C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R

- Đường tròn ( C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2⇔ d(I, ∆1 ) = d(I, ∆2 ) = R

Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn ( C) trong các trường hợp sau:

a) ( C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.

b) ( C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0

Giải:

a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )

Ta có: R = d(I;;∆ ) = 3 3

1 =Vậy phương trình đường tròn ( C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9

b) Ta có: R = d(I;;∆ ) = 1 4 7 2

+Vậy phương trình đường tròn ( C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2 = 4/5

Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và

Oy

Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ

tư Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn

R = IA ⇒ (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2 ⇔ R2 – 6R + 5 = 0 ⇒ 1

5

R R

=



 =

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)2 + (y+1)2 = 1

(x-5)2 + (y+5)2 = 25

Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d2 : 4x – 3y – 5 = 0 Viết phương trìnhđường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng

d1 và d2

Giải:

Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d

⇒ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)

- Vì đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng nàybằng nhau và bằng bán kính R

⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2

Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +

13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2)

*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + 4 = 0 ⇔ y = -2 ⇒ x = 29; R = 20 2

Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800

*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5 2

Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50

Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y –

35; x – 1 = 0

Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường

thẳng đã cho bằng nhau:

x y

- Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác: r = S

- Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.

- Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.

- Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)

Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2 = 4

Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:

Diện tích tam giác là: S = 150

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5

Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đếnđường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:

Giải hệ này ta tìm được I(10;0)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)2 + y2 = 25

VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Tìm toạ độ giao điểm.

Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2≠ 0)

và đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2) (C) có tâm I(a;b) và bán kính R

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:

Phương pháp 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C) Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệm

- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒∆ không cắt đường tròn

- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc vớiđường tròn

- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròntại hai điểm phân biệt

Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)

Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R

Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R

Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆⇒ h = Ax By C2 2

+TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒∆ và (C) không có giao điểm nào

TH2: h = R ⇔∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒∆ và (C) có duy nhất một giao điểm TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒∆ và (C) có 2 giao điểm Nhận xét:

Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâmđến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2

Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R = 13

a) Viết phương trình đường tròn

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Giải:

Phương trình đường tròn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13

Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1

Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)

Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:

++

m m

m m

⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5

Ta có ID = 17 < 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đềucắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

a) ∆1 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmax ⇔ AB là đườngkính của đường tròn này ⇒∆1 đi qua D và I ⇒ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.

b) ∆2 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin ⇔ d(I;AB)max = ID

⇔ AB ⊥ ID tại D ⇒ ∆1 đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình códạng: x-4y+3 = 0

c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P = uuur uuurDA DB.

=-2DA2

mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8 ⇒ DA2 = 4

⇒ (xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1)

mà A ∈ (C)⇒ xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x -15y - 83=0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.

Cho đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (C) có tâm I(a; b) và bán kính R

Bài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C).

Giải: Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại M ⇒ ∆ đi qua

M và nhận IMuuur (x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:

Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phânđôi toạ độ"

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x 0 ; y 0 ) không thuộc đường tròn.

Bài toán này có hai cách giải như sau:

+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k Phương trình của ∆ có dạng: y =k(x-x0) + y0.

∆ tiếp xúc với (C)⇔ d(I;∆ ) = R Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k

Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:

- Tính IM

- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn

+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn

+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn

Cách 2:

- Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 trong đó A2 + B2≠ 0

- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C)⇔ d(I;∆ ) = R (*)

- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa A và B Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên có thểchọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.

b) Ta giải bài toán này theo hai cách

Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:

*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.

*) Nếu b=4

3a Chọn a = 3, b = 4

phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0

Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) là: x = 1

3x – 4y – 15 = 0

Cách 2:

*) Xét ∆ đi qua A và vuông góc với Ox ⇒ phương trình ∆ : x = 1 hay x – 1 = 0

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔ 3 1

1

−

=2 Đẳng thức này đúng nên x = 1 làtiếp tuyến của (C)

*) Xét ∆ đi qua A và có hệ số góc là k Phương trình của ∆ là: y = k(x – 1) + 3 hay kx – y +

Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp

lại khá ngắn gọn và đơn giản Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạnchế Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xéttrường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc)

và do đó bài toán sẽ mất nghiệm

Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2 + 4x + 4y -17 = 0

Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng 3x - 4y - 2008 = 0

Giải:

Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5

a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất

Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tạiM(2;1) là:

2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0

⇔ 4x + 3y-11 = 0

b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai

Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:

phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài

c) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x– 4y + c = 0

Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn

⇔ d(I;d3) = R ⇔ 3.( 2) 4( 2)2 2

c

− − − ++ =5 ⇔ 2 c+ =25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0

Ví dụ 18: Cho đường tròn x2 + y2- 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2;4)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho

M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1

Đại học Tài chính kế toán- 1997

Giải:

Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2

a) Ta có: IM = 2 < 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn Vậy mọi đường thẳng đi qua M đềucắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểmcủa AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒∆ nhận IMuuur(1;1) làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆:

x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0

b) Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0

∆ tiếp xúc với (C)⇔ d(I;∆ ) = R ⇔ 1 3

1 1

m

+ −

(4-m)2 = 8 ⇔ 4 2 2

4 2 2

m m

Ví dụ 19: Cho đường tròn (C): x2 + y2+2x -4y -4 = 0 và điểm A(2; 5)

Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc vớiđường tròn tại hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN

Đại học Ngoại thương- 1997

Giải:

Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5

Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

x y

=



 =

 ⇒ M(2; 2)Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

x y

Giải: (C)có tâm I(1;-1) và bán kính R = 5

Giả sử A(a;0), B(0; b) trong đó a > 0 và b> 0

42

a b

=



 =

Vậy phương trình AB: x + 2y – 4 = 0

Dạng 4: Một số bài toán khác về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = 0 Tìmđiểm M ∈ d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc AMB = 600

x = 3, y = 4.

Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 (-3;-2) và M2 (3;4)

VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2-2a1x -2b1y + c1 = 0

(C2): x2 + y2-2a2x -2b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của (C) và (C) ta có hai phương pháp như sau:

Phương pháp 1: Xét số giao điểm của (C1) và (C2) Số giao điểm của (C1) và (C2) là số

nghiệm của hệ phương trình:

- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai giao điểm

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)

Phương pháp 2:

- (C1) có tâm I1 (a1; b1) và bán kính R1

- (C2) có tâm I2 (a2; b2) và bán kính R2

- Tính I1I2 = d

- Biện luận vị trí tương đối:

+ Nếu R1−R2 < <d R1+R2 thì (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.+ Nếu d = +R1 R2 thì (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau

+ Nếu d = R1−R2 thì (C1) và (C2) tiếp xúc trong nhau

+ Nếu d > +R1 R2 thì (C1) và (C2) ngoài nhau

+ Nếu d< R1−R2 thì (C1) và (C2) chứa trong nhau

Nhận xét:

- Đối với phương pháp 1 ta chỉ ra được hai đường tròn có cắt nhau hay không và cònchỉ ra được toạ độ giao điểm của hai đường tròn nhưng trong trường hợp hai đường tròn tiếpxúc nhau thì không chỉ ra được tiếp xúc trong hay ngoài

- Đối với phương pháp 2: Ta chỉ ra được vị trí tương đối của hai đường tròn một cách

cụ thể tuy nhiên không tìm được toạ độ tiếp điểm nếu có

Tuỳ từng bài toán cụ thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp hoặc có thể phảiphối hợp hai phương pháp

Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = 0

Ta thấy: R1−R2 <I I1 2 < R1+R2 ⇒ hai đường tròn cắt nhau

Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = 0Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C).

Giải phương trình này ta được: m = -1 hoặc m = 3/5

Chú ý: Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau thông thường ta phải xét hai

trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài