Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An I – BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. Bài 1: Viết phương trình đườngtrònđường kính AB, biết A(1; 3), B(- 3; 5). Giải: Tâm của đườngtrònđường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có I(- 1; 4). Bán kính của đườngtròn R = 5 2 AB = . Phương trình đườngtròn là: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 5. Bài 2: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm I(3; - 1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 5 = 0. Giải: Bán kính của đườngtròn bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆. Ta có R = d(I;∆) = 4. Phương trình đườngtròn là : (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 16. Bài 3: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng ∆ : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2 10 . Giải: Gọi H là trung điểm của EF. Ta có IH ⊥ EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H. Ta có 10 2 EF = , Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 10 . Bán kính của đườngtròn R = IE = 2 2 2 2 ( , ) 2 2 EF EF IH d I + = + ∆ = ÷ ÷ 20 . Phương trình đườngtròn là : (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 20. Bài 4: Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua điểm A(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + y – 14 = 0 tại điểm M(5; - 1). Giải: Gọi I(a;b) là tâm đường tròn. Ta có 4 2 3 8 2 IA IM a b a IM a b b = − = = ⇔ ⇔ ⊥ ∆ − = = − . Suy ra I(2; - 2). Bán kính của đườngtròn là R = IA = 10 . Phương trình đườngtròn là : (x – 2) 2 + (y + 2) 2 = 10. Bài 5: Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua A(1; - 1), B(0; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 2x – 3y – 13 = 0. Giải: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn. Ta có 2 2 2 1733 5 7 0 3 289 | 2 3 13 | ( ; ) 2 58 ( 4) 13 289 a b a IA IB a v a b IB d I b a b b − + = = − = = ⇔ ⇔ − − = ∆ = + − = ÷ = Với I(3; 2) ta có bán kính đườngtròn R = IA = 13 . Phương trình đườngtròn là: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 13. Với 1733 58 ( ; ) 289 289 I − ta có bán kính đườngtròn R = IA = 4208893 289 Phương trình đườngtròn là : 2 2 1733 58 4208893 289 289 83521 x y + + − = ÷ ÷ . Bài 6: Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua điểm M(3; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 : x + 2y – 17 = 0 , ∆ 2 : 2x + y – 15 = 0. Giải: Gọi tâm đườngtròn là I(a; b). Ta có 2 2 2 1 1 2 | 2 17 | ( 3) ( 1) 5 ( , ) 1 79 2 ( , ) ( , ) 3 77 32 3 2 a b a b IM d I a a v a b d I d I b b a b + − − + + = ÷ = ∆ = = − ⇔ ⇔ = − ∆ = ∆ = = − − = Với I(1; 3) ta có bán kính R = IM = 20 . Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 1 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An Phương trình đườngtròn là : (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 20. Với I(- 79; - 77) ta có bán kính R = IM = 50 5 . Phương trình đườngtròn là : (x + 79) 2 + (y + 77) 2 = 12500. Bài 7: Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua điểm M(- 4; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 : 3x – y – 25 = 0 , ∆ 2 : 3x – y +15 = 0. Giải: Gọi tâm của đườngtròn là I(a; b). Ta có 2 2 2 1 1 2 2 | 3 25 | ( , ) 2 ( 4) ( 1) 5 10 ( , ) ( , ) 1 31 3 5 5 a a b IM d I a a b v d I d I b b b a = − − − = ∆ = + + + = ÷ ⇔ ⇔ ∆ = ∆ = = − = − Với I(2; 1) ta có bán kính đườngtròn R = IM = 2 10 . Phương trình đườngtròn là : (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 40. Với 2 31 ( ; ) 5 5 I − − ta có bán kính của đườngtròn R = IM = 2 10 . Phương trình đườngtròn là : 2 2 2 31 40 5 5 x y + + + = ÷ ÷ . Bài 8: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 7 = 0 và đi qua điểm M(2; 2), N(3;1). Giải: Gọi tâm đườngtròn là I(a; 7 – a) ∈ d . Ta có IM = IN ⇔ (a-2) 2 + (5 – a) 2 = (a – 3) 2 + (6- a) 2 ⇔ a = 4. Ta có tâm I(4; 3), bán kính R = IM = 5 . Phương trình đườngtròn là : (x – 4) 2 + (y – 3) 2 = 5. Bài 9: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + y – 13 = 0. Giải: Gọi tâm đườngtròn là I(a; - a – 1) ∈ d. Ta có IM = d(I; ∆) ⇔ (a – 3) 2 + (- a – 1) 2 = 2 | 3 1 13 | 10 a a − − − ÷ ⇔ a= 2 v a = - 3. Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10 Phương trình đườngtròn là : (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 10. Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85 Phương trình đườngtròn là : (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 85. Bài 10: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 : x + 2y – 13 = 0, ∆ 2 : x + 2y – 7 = 0. Giải: Gọi tâm đườngtròn là I(a; 2 – a) ∈ d. Ta có d(I, ∆ 1 ) = d(I, ∆ 2 ) ⇔ |a + 2(2 – a) – 13| = |a + 2(2 – a) – 7| ⇔ a = 1 Ta có tâm I(1; 1), bán kính R = d(I, ∆ 1 ) = 20 . Phương trình đườngtròn là: (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 20 Bài 11: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 : 4x + 3y – 24 = 0 , ∆ 2 : 4x – 3y – 18 = 0. Giải: Gọi tâm của đườngtròn là I(a; 2a + 3) ∈ d. Ta có d(I, ∆ 1 ) = d(I, ∆ 2 ) ⇔ |4a + 3(2a + 3) – 24| = |4a – 3(2a + 3) – 18| ⇔ a = - 1 v a = 21 4 . Với a = - 1 ta có tâm I(- 1; 1), bán kính R = d(I, ∆ 1 ) = 5. Phương trình đườngtròn là : (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 25. Với a = 21 4 ta có tâm 21 27 ; 4 2 I ÷ , bán kính R = d(I, ∆ 1 ) = 15 2 . Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 2 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An Phương trình đườngtròn là : 2 2 21 27 15 4 2 2 x y − + − = ÷ ÷ . Bài 12: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3). Giải: Gọi tâm của đườngtròn là I(a; - a -1) ∈ d. Ta có IM = d(I, ∆) ⇔ (a – 1) 2 + (- a + 2) 2 = 2 | 3 4( 1) 15 | 5 a a− − − − ÷ ⇔ a = - 2 Ta có tâm I(- 2; 1), bán kính R = IM = 5. Phương trình đườngtròn là : (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 25. Bài 13: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt đường thẳng ∆: x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2 . Giải: Gọi tâm của đườngtròn là I(a; 4 – 2a) ∈ d. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng EF. Ta có IH ⊥ EF và IM = R, IH = d(I, ∆ ), EH = 2 2 Ta có IH 2 + HE 2 = IM 2 ⇔ 2 2 2 | 4 2 4 | 1 ( 1) (7 2 ) 2 2 a a a a + − + + = − + − ÷ ⇔ a = 1 v a = 35 9 . Với a = 1 ta có tâm I(1; 2), bán kính đườngtròn R = IM = 5. Phương trình đườngtròn là: (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25. Với a = 35 9 ta có tâm 35 34 ; 9 9 I − ÷ , bán kính R = IM = 725 9 . Phương trình đườngtròn là : 2 2 35 34 725 9 9 81 x y − + + = ÷ ÷ . Bài 14: Viết phương trình đườngtròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 4 = 0 , có bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y – 27 = 0. Giải: Gọi tâm của đườngtròn là I(a; 4 – a) ∈ d. Ta có d(I, ∆) = R ⇔ | 4 3(4 ) 27 | 5 5 a a− − − = ⇔ a = 2 v a = 64 7 Với a = 2 ta có tâm I(2; 2), bán kính R = 5. Phương trình đườngtròn là : (x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 25. Với a = 64 7 ta có tâm 64 36 ( ; ) 7 7 I − , bán kính R = 5. Phương trình đườngtròn là : 2 64 36 25 7 7 x y − + + = ÷ ÷ . Bài 15: Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(- 2; 2), B(5; 3), C(2; 4). Giải: Gọi phương trình đườngtròn ngoại tiếp ∆ ABC là (C): x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 – 4c > 0.Do A, B, C ∈ (C) nên ta có hệ phương trình 4 4 2 2 0 4 25 9 5 3 0 2 4 16 2 4 0 20 a b c a a b c b a b c c + − + + = = − + + + + = ⇔ = + + + + = = − Phương trình đườngtròn là: x 2 + y 2 – 4x + 2y – 20 = 0. Bài 16: Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp và đườngtròn nội tiếp ∆ ABC với A(- 1; 2), B(7; 2), C(- 1; 8). Giải: Ta có (8;0), (0;6)AB AC= = uuur uuur và . 0AB AC = uuur uuur nên ∆ ABC vuông tại A. Tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC, I(3; 5) Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 3 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An Bán kính đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IB = 5. Phương trình đườngtròn ngoại tiếp ∆ABC là : (x – 3) 2 + (y – 5) 2 = 25. Ta có phương trình cạnh AB là: y = 2. Phương trình cạnh AC là: x = - 1. Phương trình cạnh BC là: 3x + 4y – 29 = 0. Phương trình hai đường phân giác góc A là: x + y – 1 = 0 và x– y + 3 = 0 Phương trình đường phân giác trong góc A là d 1 : x – y + 3 = 0 . Phương trình hai đường phân giác góc B là : 3x – y – 19 = 0 và x + 3y – 13 = 0. Phương trình đường phân giác trong góc B là d 2 : x + 3y – 13 = 0 Gọi J là tâm đườngtròn nội tiếp ∆ ABC ta có J = d 1 ∩d 2 . Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình 3 0 1 3 13 0 4 x y x x y y − + = = ⇔ + − = = . Suy ra J(1; 4). Bán kính đườngtròn nội tiếp tam giác là r = d(J, AB) = 2. Phương trình đườngtròn nội tiếp tam giác ABC là : (x – 1) 2 + (y – 4) 2 = 4. Bài 17: Cho hai đườngtròn (C 1 ): x 2 + y 2 + 6x + 2y – 8 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 + 8x + 2y + 4 = 0 . a) Chứng minh rằng hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm của (C 1 ), (C 2 ) và đi qua điểm M(2; 2). Giải: a) Đườngtròn (C 1 ) có tâm I 1 (- 3; - 1), Bán kính R 1 = 3 2 . Đườngtròn (C 2 ) có tâm I 2 (- 4; - 1), Bán kính R 2 = 13 . Ta có I 1 I 2 = 1. Vì vậy |R 1 – R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 . Suy ra hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt . b) Phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm (C 1 ), (C 2 ) có dạng: m(x 2 + y 2 + 6x + 2y – 8) + n(x 2 + y 2 + 8x + 2y + 4) = 0 , với m + n ≠ 0. Do M ∈ (C) nên ta có 16m + 32n = 0. Suy ra chọn m = 2, n = - 1. Ta có phương trình đườngtròn (C) là: x 2 + y 2 + 4x + 2y – 20 = 0. Bài 18: Cho hai đườngtròn (C 1 ): x 2 + y 2 - 4x – 2y – 5 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 - 2x - 8y + 2 = 0 . a) Chứng minh rằng hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm của (C 1 ), (C 2 ) và có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Giải: a) Đườngtròn (C 1 ) có tâm I 1 (2; 1), Bán kính R 1 = 10 . Đườngtròn (C 2 ) có tâm I 2 (1; 4), Bán kính R 2 = 15 . Ta có I 1 I 2 = 10 . Vì vậy |R 1 – R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 . Suy ra hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt . b) Phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm (C 1 ), (C 2 ) có dạng: m(x 2 + y 2 - 4x – 2y – 5) + n(x 2 + y 2 - 2x - 8y + 2 ) = 0 , với m + n ≠ 0. ⇔ (m + n)x 2 + (m + n)y 2 - 2(2m + n)x – 2(m + 4n)y -5m + 2n = 0 Tâm của đườngtròn là 2 4 ( ; ) m n m n I m n m n + + + + . Do tâm I ∈ d nên ta có 2m + 4n = 0 Chọn m = 2, n = - 1. Ta có phương trình đườngtròn (C) là: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 12 = 0. Bài 19: Cho hai đườngtròn (C 1 ): x 2 + y 2 - 6x – 2y – 4 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 - 4x - 8y - 3 = 0 . a) Chứng minh rằng hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm của (C 1 ), (C 2 ) và có bán kính R = 5. Giải: a) Đườngtròn (C 1 ) có tâm I 1 (3; 1), Bán kính R 1 = 14 . Đườngtròn (C 2 ) có tâm I 2 (2; 4), Bán kính R 2 = 23 . Ta có I 1 I 2 = 10 . Vì vậy |R 1 – R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 . Suy ra hai đườngtròn (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt . Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 4 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An b) Phương trình đườngtròn (C) đi qua giao điểm (C 1 ), (C 2 ) có dạng: m(x 2 + y 2 - 6x – 2y – 4) + n(x 2 + y 2 - 4x - 8y - 3) = 0 , với m + n ≠ 0. ⇔ (m + n)x 2 + (m + n)y 2 - 2(3m + 2n)x – 2(m + 4n)y - 4m - 3n = 0 Bán kính của đườngtròn R = 5 ⇔ 2 2 3 2 4 4 3 25 m n m n m n m n m n m n + + + + + = ÷ ÷ + + + Chọn n = - 1. Ta có 4m 3 -26m 2 + 40m – 8 = 0 ⇔ m = 2 v m = 1 11 Với m = 2, n = - 1 .Ta có phương trình đườngtròn (C) là: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 12 = 0. Tương tự với m = 1 11 , n = - 1. Ta có phương trình đườngtròn (C) là: x 2 + y 2 - 19 5 x - 43 5 y - 29 10 = 0. Bài 20: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 4x + 4y – 5 = 0 và đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0. a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và đi qua điểm M(1; 2). Giải: a) Đườngtròn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 13 . Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 5 2 . Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng . (C’): m(x 2 + y 2 – 4x + 4y – 5 ) + n(x + y – 5 ) = 0 với m ≠ 0. Do M ∈ (C’) nên ta có 4m – 2n = 0 suy ra chọn m = 1, n = 2. Phương trình đườngtròn (C’) là : x 2 + y 2 – 2x + 6y – 15 = 0. Bài 21: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 10 = 0 và đường thẳng ∆: x + y + 5 = 0. a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0. Giải: a) Đườngtròn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 15 . Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 2 2 . Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng . (C’): m(x 2 + y 2 – 2x + 4y – 10 ) + n(x + y + 5 ) = 0 với m ≠ 0. ⇔ mx 2 + my 2 + (- 2m + n)x + (4m + n)y – 10m + 5n = 0. Tâm của đườngtròn (C’) là 2 4 ; 2 2 m n m n I m m − − − ÷ Do I ∈ d nên ta có -6m - 3n = 0 suy ra chọn m = 1, n = - 2 Phương trình đườngtròn (C’) là : x 2 + y 2 – 4x + 2y – 20 = 0. Bài 22: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 + 2x - 4y – 8 = 0 và đường thẳng ∆: x - y - 2 = 0. a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và bán kính bằng 5. Giải: a) Đườngtròn (C) có tâm I(- 1; 2), bán kính R = 13 . Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 5 2 . Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt. b) Phương trình đườngtròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng . Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 5 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An (C’): m(x 2 + y 2 + 2x - 4y – 8) + n(x - y - 2) = 0 với m ≠ 0. ⇔ mx 2 + my 2 + (2m + n)x + (- 4m- n)y – 8m – 2n = 0. Bán kính đườngtròn (C’) là R’ = 5 ⇔ 2 2 2 4 8 2 25 2 2 m n m n m n m m m + − − + + + = ÷ ÷ Chọn m = 1 ta có n = 2 v n = - 12 Với m = 1, n = 2 .Phương trình đườngtròn (C’) là : x 2 + y 2 + 4x - 6y – 12 = 0. Với m = 1 , n = - 12.Phương trình đườngtròn (C’) là : x 2 + y 2 - 10x - 8y + 16 = 0. Bài 23: Viết phương trình đườngtròn (C’) đối xứng với đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 8x + 2y – 8 = 0 qua trục Ox. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(4; - 1), bán kính R = 5. Đườngtròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Ox, bán kính R’ = R. Ta có I’(4; 1), bán kính R’ = 5. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x – 4) 2 + (y – 1) 2 = 25. Bài 24: Viết phương trình đườngtròn (C’) đối xứng với đườngtròn (C) : x 2 + y 2 – 4x + 6y – 12 = 0 qua trục Oy. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(2; - 3), bán kính R = 5. Đườngtròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Oy, bán kính R’ = R. Ta có I’(- 2; - 3), bán kính R’ = 5. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x + 2) 2 + (y + 3) 2 = 25. Bài 25: Viết phương trình đườngtròn (C’) đối xứng với đườngtròn (C) : x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 qua gốc toạ độ O. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(3; - 2), bán kính R = 4. Đườngtròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I gốc toạ độ O, bán kính R’ = R. Ta có I’(- 3; 2), bán kính R’ = 4. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 16. Bài 26: Viết phương trình đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C): x 2 + y 2 + 2x – 2y – 7 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ (2; 3)v − r . Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3. Đườngtròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v r , bán kính R’ = R. Ta có I’(1; - 2), bán kính R’ = 3. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9. Bài 27: Viết phương trình đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 4x + 8y – 5 = 0 qua phép quay tâm O góc quay 90 0 . Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(2; - 4), bán kính R = 5. Đườngtròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 , bán kính R’ = R. Ta có I’(4; 2), bán kính R’ = 5. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x - 4) 2 + (y - 2) 2 = 25. Bài 28: Viết phương trình đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C): x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0 qua phép đối xứng trục ∆ : 3x + y – 5 = 0. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(- 2; 1), bán kính R = 1. Đườngtròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I đối xứng trục ∆ , bán kính R’ = R. Phương trình đường thẳng d đi qua I, vuông góc với ∆ là x – 3y + 5 = 0. Gọi H = ∆ ∩ d. Ta có H(1; 2) suy ra H là trung điểm của II’. Ta có I’(4; 3), bán kính R’ = 1. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x - 4) 2 + (y - 3) 2 = 1. Bài 29: Viết phương trình đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 6x + 2y + 6 = 0 qua điểm M(1; 4). Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(3; - 1), bán kính R = 2. Đườngtròn (C’) có tâm I’ , bán kính R’ = R. Ta có M là trung điểm của II’ suy ra I’(- 1; 9), bán kính R’ = 2. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x + 1) 2 + (y - 9) 2 = 4. Bài 30: Viết phương trình đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0 qua phép vị tự tâm O tỷ số k = 2. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 5. Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 6 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ AnĐườngtròn (C’) có tâm I’ thoả mãn 'OI kOI= uuur uur hay I’(2; - 4), bán kính R’ = |k|R = 10. Phương trình đườngtròn (C’) là: (x – 2) 2 + (y + 4) 2 = 100. Bài 31: Cho tam giác ABC có trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, P và trọng tâm G(1; 2). Phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác MNP là x 2 + y 2 – 4x – 2y -11 = 0. Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Ta có tam giác ABC là ảnh của tam giác MNP qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2. Gọi (C) là đườngtròn ngoại tiếp ∆ MNP, (C’) là đườngtròn ngoại tiếp ∆ ABC. Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2. Đườngtròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = 4. Đườngtròn (C’) có tâm I’ thoả mãn 'GI kGI= uuur uur hay I’(- 1; 4) Bán kính đườngtròn (C’) là R’ = |k|R = 8. Phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C’): (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 64. Bài 32: Cho tam giác ABC có B(1; - 3), C(- 3; 5), trực tâm H. Phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác HBC là x 2 + y 2 + 6x – 16 = 0. Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Nhận xét: Đườngtròn ngoại tiếp ∆ ABC đối xứng với đườngtròn ngoại tiếp ∆ HBC qua đường thẳng BC. Gọi (C) là đườngtròn ngoại tiếp ∆ HBC. Đườngtròn (C) có tâm I(- 3; 0), bán kính R = 5 Gọi (C’) là đườngtròn ngoại tiếp ∆ ABC. Đườngtròn (C’) có tâm I’, I’ đối xứng với I qua đường thẳng BC, bán kính R’ = R = 5. Phương trình cạnh BC là: 2x + y + 1 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc vơi BC. Phương trình đường thẳng d là: x – 2y + 3 = 0. Gọi M = d ∩ BC. Ta có M(- 1; 1). M là trung điểm của đoạn thẳng II’. Toạ độ điểm I’ (1; 2). Phương trình đườngtròn (C) là: (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25. Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G( 8 3 ; 5) , phương trình đườngtròn đi qua ba chân đường cao là x 2 + y 2 – 10x – 18y + 81 = 0. Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Gọi (C) là đườngtròn đi qua ba chân đường cao. Ta có (C) là đườngtròn Ơle đi qua 9 điểm. Vì vậy đườngtròn (C) đi qua ba trung điểm của ba cạnh của ∆ ABC. Ta có đườngtròn (C) có tâm I(5; 9), bán kính R = 5. Gọi (C’) là đườngtròn ngoại tiếp ∆ ABC có tâm I’ , bán kính R’. Đườngtròn (C’) là ảnh của đườngtròn (C) qua phép vị tự tâm G tỷ số k = - 2. Ta có 'GI kGI= uuur uur . Hay I’(- 2; - 3). Bán kính R’ = |k|R = 10. Phương trình đườngtròn ngoại tiếp của tam giác ABC là : (x + 2) 2 + (y + 3) 2 = 100. II – BÀI TẬP VỀ DÂY CUNG. Bài 1: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 4x + 2y – 20 = 0 và điểm M(3; - 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt đườngtròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho ME = MF. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(2; - 1) và bán kính R = 5. Phương tích của điểm M đối với đườngtròn (C) là P M/(C) = -23 < 0. Suy ra điểm M nằm trong đườngtròn (C). Theo tính chất về dây cung của đườngtròn ta có đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với IM. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; - 2) có một vectơ pháp tuyến (1; 1)n IM= = − r uuur . Phương trình đường thẳng ∆ là: x – y - 5 = 0. Bài 2: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 – 2x – 4y – 20 = 0 và điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt đườngtròn (C) theo một dây cung có độ dài. a) lớn nhất. b) nhỏ nhất. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5. a) Theo tính chất đường kính là dây cung lớn nhất. Suy ra đường thẳng ∆ đi qua M và tâm I. Phương trình đường thẳng ∆ là : x + 2y – 5 = 0. Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 7 Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An b) Ta có phương tích của điểm M đối với đườngtròn (C) là P M/(C) = -20 < 0. Suy ra điểm M nằm trong đườngtròn (C). Ta có IM ≥ IH nên EF ≤ CD. Áp dụng tính chất trong một đườngtròn dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn. Vì vậy dây cung đi qua M có độ dài nhỏ nhất khi nó xa tâm nhất hay là dây cung đó vuông góc với IM. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) có một vectơ pháp tuyến (2; 1)n IM= = − r uuur . Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x – y – 5 = 0. Bài 3: Cho hai đườngtròn (C 1 ): x 2 + y 2 – 4x + 6y – 12 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 – 6x + 2y – 10 = 0. a) Chứng minh rằng đườngtròn (C 1 ) và đườngtròn (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm A và B. b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt đườngtròn (C 1 ) tại E, cắt (C 2 ) tại F với E,F khác A sao cho EF lớn nhất. Giải: a) Đườngtròn (C 1 ) có tâm I 1 (2; - 3) và bán kính R 1 = 5. Đườngtròn (C 2 ) có tâm I 2 (3; - 1) và bán kính R 2 = 20 . Ta có I 1 I 2 = 5 và |R 1 – R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 . Suy ra đườngtròn (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Toạ độ giao điểm của hai đườngtròn (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của hệ phương trình. 2 2 2 2 4 6 12 0 1 7 1 3 6 2 10 0 x y x y x x v y y x y x y + − + − = = − = ⇔ = = − + − + − = . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của dây cung AE, AF. Ta có EF = 2HK. Xét tam giác vuông KLH ta có HK ≤ KL Vì vậy EF lớn nhất khi HK ≡ KL. Hay đường thẳng ∆ // I 1 I 2 . 1 2 (1;2)I I = uuur TH1: A(- 1; 1). Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x – y +3 = 0. TH2: A(7; - 3). Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x – y – 17 = 0. I – BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN. Bài 1: Cho đườngtròn (C): x 2 + y 2 + 4x – 2y – 20 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đườngtròn (C). a) Đi qua M(2; 4). b) Đi qua N(3; 7). c) Đi qua P(- 1; - 6). d) Song song với đường thẳng d 1 : 3x + y – 6 = 0. e) Vuông góc với đường thẳng d 2 : 4x + 3y – 2 = 0. Giải: Đườngtròn (C) có tâm I(- 2; 1) bán kính R = 5. a) Ta có P M/(C) = 0 nên điểm M thuộc đườngtròn (C). Tiếp tuyến đi qua M có một vectơ pháp tuyến (4;3)n IM= = r uuur . Phương trình tiếp tuyến là : 4x + 3y – 20 = 0. b) Ta có P N/(C) > 0 nên điểm N nằm ngoài đườngtròn (C). Phương trình tiếp tuyến của đườngtròn (C) có dạng ∆: A(x – 3) + B(y – 7) = 0, A 2 + B 2 ≠ 0. Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 8 E F C D M I H A B I 2 I 1 E F H K L Chuyên đề: Đườngtròn - GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An Ta có d(I; ∆) = R ⇔ 2 2 | 5 6 | 5 A B A B − + = + ⇔ 25A 2 – 60AB + 36B 2 = 25A 2 + 25B 2 ⇔ B(11B – 60A) = 0 ⇔ B = 0 v 11B – 60A = 0. Với B = 0 chọn A = 1. Phương trình tiếp tuyến là: x – 3 = 0. Với 11B – 60A= 0 chọn A = 11, B = 60. Phương trình tiếp tuyến là 11x + 60y - 453 = 0. c) Ta có P P/(C) > 0 nên điểm N nằm ngoài đườngtròn (C). Phương trình tiếp tuyến của đườngtròn (C) có dạng ∆: A(x + 1) + B(y + 6) = 0, A 2 + B 2 ≠ 0. Ta có d(I; ∆) = R ⇔ 2 2 | 7 | 5 A B A B − + = + ⇔ A 2 - 14AB + 49B 2 = 25A 2 + 25B 2 ⇔ 24A 2 + 14AB – 24B 2 = 0 ⇔ 3 4 A B = v 4 3 A B = − Với 3 4 A B = chọn A = 3, B = 4. Phương trình tiếp tuyến là: 3x + 4y + 27 = 0. Với 4 3 A B = − chọn A = 4, B = - 3. Phương trình tiếp tuyến là 4x - 3y - 14 = 0. d) Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng d 1 : 3x + y – 6 = 0 nên phương trình đường thẳng ∆: 3x + y + m = 0. Ta có d(I, ∆) = 5 ⇔ 2 | 6 1 | 5 3 1 m− + + = + ⇔ m = 5 ± 5 10 . Phương trình hai tiếp tuyến là: 3x + y 5 ± 5 10 . e) Tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d 2 : 4x + 3y – 2 = 0 nên phương trình đường thẳng ∆: 3x - 4y + m = 0. Ta có d(I,∆) = R ⇔ 2 2 | 6 4 | 5 3 4 m− − + = + ⇔ m = 35 v m = - 15. Vậy phương trình hai tiếp tuyến là: 3x – 4y + 35 = 0 và 3x – 4y – 15 = 0. Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Thanh Chương. Tháng 12 năm 2007. 9 . có đường tròn (C) có tâm I(5; 9), bán kính R = 5. Gọi (C’) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC có tâm I’ , bán kính R’. Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn. với đường tròn ngoại tiếp ∆ HBC qua đường thẳng BC. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ∆ HBC. Đường tròn (C) có tâm I(- 3; 0), bán kính R = 5 Gọi (C’) là đường