Luyện thi đại học: PT-BPT vô tỉ

Lê Thị Phơng Hoa 1.ph ơng trình bất ph ơng trình cơ bản a.ph ơng trình cơ bản : Dạng phơng trình: = )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf (nếu g(x) có TXĐ là R) b.Bất ph ơng trình cơ bản: Dạng 1: < > )()( 0)( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xg xf xgxf Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) < > < xgxf xf xg xgxf 2 0 0 )()( Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đa về dạng cơ bản , ta làm nh sau: + Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa . + Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm . + Bình phơng hai vế . + Tiếp tục cho đến khi hết căn . bài tập áp dụng Bài 1 . 1: Giải các ph ơng trình sau: )1(3253.1 =+ xx )2(632.2 xx =+ Giải1 : Phơng trình đã cho tơng đơng với: = = =+ 2 7 2 014154 2 3 2 x x xx x Giải2: Phơng trình đã cho tơng đơng với: 3 113 6 03314 6 2 = == =+ x xx x xx x Bài 1 . 2 Giải ph ơng trình sau )1(1266.1 2 =+ xxx (ĐH Xây Dựng -2001). Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với: Trờng THPT Tam Dơng II 1 Lê Thị Phơng Hoa 1 1 2 1 )12(66 2 1 22 = = =+ x x x xxx x Bài 1 . 3 Giải ph ơng trình 321 =++ xx Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ: 2 )4()2)(1(_ 41 4)2)(1( 1 2 = = =+ x xxx x xxx x Bài 1 . 4: Giải ph ơng trình 231 = xxx Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ: 3 326 3 326 3 326 43 0883 43 6524 3 231 3 22 + = = + = =+ += += x xx x xx x xxx x xxx x Bài 1 . 5 : Giải ph ơng trình xxxx +=+ 1 3 2 1 2 (ĐHQG Hà Nội 2000) Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ: = +=++ 22222 3 2 3 2 3 2 10 21 3 4 3 2 3 2 1 10 xxxx x xxxxxx x = = == = 1 0 10 10 0)1( 10 22 x x xx x xxxx x Bài 1 . 6 : Giải ph ơng trình ( ) 3428316643 =+ xx Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ: ( ) 2 2 2 2 4 3 3428316643 4 3 = = =+ x x x xx x Trờng THPT Tam Dơng II 2 Lê Thị Phơng Hoa Bài 1 . 7 : Giải bất ph ơng trình: 27593137 xxx (ĐH DL Phơng Đông -2001) Điều kiện: 5 27 x Bất phơng trình đã cho tơng đơng với: + 93275137 5 27 xxx x ( )( ) ( )( ) 23 59 65762229 044345859 23 5 27 23275932 5 27 275932368137 5 27 2 + + + x xx x xxx x xxxx x Bài tập làm thêm: Bài 1: (PP BĐ TĐ) 2 2 2 2 2 2 1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2 3. 4 6 4; 4. 2 4 2 5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0; 7. 1 1; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = + + + = + = + = + + = Bài 2: (PP BĐ TĐ) 1. 3 6 3; 2. 3 2 1 3; 3. 3 2 1; 4. 9 5 2 4; 5. 3 4 2 1 3; 6. 5 1 3 2 1 0; x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = + = + + + = + = 7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + = 8. 5 5 10 5 15 10;x x x + = 9. 4 1 1 2 ;x x x+ = Trờng THPT Tam Dơng II 3 Lê Thị Phơng Hoa 2 10. 3 2 1 2; 11. 1 5 1 3 2 x x x x x x + + + = = 12. 1 9 2 12x x x+ = 2 2 13. 5 8 4 5x x x x+ + + = 2 2 14. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + + + = 2 2 15. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ = 2 2 2 2 16. 3 6 16 2 2 2 4 3 1 1 4 2 17. 3 9 9 x x x x x x x x x x + + + + = + + + = + + 2 18. 1 2 5x x x = 19. 11 11 4x x x x+ + + + = 20. 1 1 8x x x+ = + 2.ph ơng pháp Đặt một ẩn phụ Dạng 1: Giải phơng trình: ( ) ( ) 0 =++ CxfBxAf Ph ơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) 2 0 txfttxf == ; Phơng trình đã cho trở thành : ( ) 00 2 =++ tCBtA t Làm t ơng tự với bất ph ơng trình dạng: ( ) ( ) 0 ++ CxfBxAf Dạng 2 : Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA (Với ( ) Dxgxf =+ )( ) Ph ơng pháp giả i : Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) xgxfDtttxgxf 20)( 2 +==+ Phơng trình đã cho trở thành : ( ) 00 2 =++ tCAtBt Làm t ơng tự với bất ph ơng trình dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(2 ++++ CDxgxfxgxfA bài tập áp dụng: Bài 2 . 1 : Giải các ph ơng trình )1(75553,1 22 +=+ xxxx Trờng THPT Tam Dơng II 4 Lê Thị Phơng Hoa )2(3012.2,2 22 =++ xx (ĐH DL Hồng lạc-2001) Giải1: )1(75553,1 22 +=+ xxxx Đặt )0(55 2 =+ ttxx Phơng trình đã cho trở thành: = = = =+ =+ = = =+ 2 215 4 1 455 155 2 1 023 2 2 2 x x x xx xx t t tt Giải2: )2(30122,2 22 =++ xx Đặt )0(12 2 >+= txt Phơng trình đã cho trở thành: = = =+ )(7 )(6 042 2 Lt tmt tt Vậy 62612 2 ==+ xx Bài 2. 2 : Giải các ph ơng trình )1(4 2 47 .1 2 x x xx = + ++ (ĐH Đông đô-2000). )2(4324.2 22 xxxx +=+ (ĐH Mỏ -2001) Giải2: Đặt )0(4 2 = yxy Phơng trình đã cho trở thành: =+ =+ +=+ =+ 23 42)( 32 4 222 xyyx xyyx xyyx yx Trờng THPT Tam Dơng II 5 Lê Thị Phơng Hoa Giải hệ đối xứng này ta đợc nghiệm: + = = = == == 3 142 2 0 02 20 x x x yx yx Giải1:Điều kiện: 0 x Đặt )0( = ttx Phơng trình đã cho trở thành: 04874 234 =++ tttt Giải phơng trình bậc 4 : Xét t=0 không là nghiệm Xét t 0 ,chia hai vế cho t 2 và đặt )22( 2 += u t tu Ta đợc phơng trình = = = = = = =+ 4 1 2 1 3 )(1 034 2 x x t t u Lu uu Bài 2 . 3 : Giải các bất ph ơng trình sau 123342.1 22 >++ xxxx (ĐHDL Phơng Đông -2000) 2)2(4)4(.2 22 <++ xxxxx (ĐH QG HCM -1999) Giải1: Điều kiện: 13 x Đặt: )0(23 2 = txxt Bất phơng trình đã cho trở thành: 2 5 0 0 2 5 1 0 0532 2 < << >++ t t t t tt Thay vào cách đặt: 13 0 4 13 2 13 2 ++ x xx x Giải2 : 2)2(4)4(.2 22 <++ xxxxx Điều kiện: 40 x Đặt: 04 2 += xxt Trờng THPT Tam Dơng II 6 Lê Thị Phơng Hoa Thay vào BPT Đã cho và giải ra ta đợc 1 > t Thay vào cách đặt ta đợc: 3232 +<< x Bài 2 . 4 : Giải các bất ph ơng trình sau 7 2 1 2 2 3 3.1 +<+ x x x x (ĐH Thái Nguyên -2000) 3)7)(2(72.2 ++++ xxxx Giải1: Biến đổi bất phơng trình đã cho trở thành: ( ) 09 2 1 3 2 1 2 9 2 1 12) 2 1 (3 2 2 2 > + + ++<+ x x x x x x x x Đặt: 2 2 1 += t x xt BPT đã cho trở thành: +> << >+ > > 7 2 3 4 7 2 3 40 3 2 1 3 0932 2 2 x x x x t tt t Giải 2: Điều kiện: 72 x Đặt )0(72 ++= txxt Vậy 2 9 )7)(2( 2 =+ t xx Bất phơng trình đã cho trở thành: = = ++ + 7 2 9)7)(2(29 72 300152 2 x x xx x ttt Bài tập. Giải các PT sau: Trờng THPT Tam Dơng II 7 Lª ThÞ Ph¬ng Hoa Bµi 1: 2 2 2 2 2 2 2 1. 3 5 5 5 7; 2. 2 12 30; 3. 13 7; 4. ( 5)(2 ) 3 3 ; x x x x x x x x x x x x x x − + = − + + = − − − + = + − = + 2 6. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + = 2 2 11. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − = 2 2 12. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − + ( ) ( ) 2 15. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + − ( ) 2 2 16. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − = 2 2 17. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + = Bµi 2: 2 2 5. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + = 2 2 7. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − = 9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − = 2 2 10. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + − 2 2 13. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − = 2 2 14. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = − 2 2 2 18. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + + 2 2 2 8. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + + 2 2 19. 1 2 1 2;x x x x− − + + − = 2 2 20. 17 17 9;x x x x+ − + − = 2 2 21. 1 1 ; 3 x x x x+ − = + − 2 4 4 22. 16 6; 2 x x x x + + − = + − − 2 23. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − + Trêng THPT Tam D¬ng II 8 Lê Thị Phơng Hoa 2 24. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + 25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x + + + + = ( ) ( ) 3 3 5 5 26. 7 3 8 7 3 7;x x = 2 27. 2 3 2 ; 2 3 x x x x + + = + 4 2 2 28. 1 1 2;x x x x + + = 2 2 29. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + = + ( ) 3 2 30. 10 8 3 6 ;x x x+ = 3 2 31. 1 3 1;x x x = + 2 32. 1 ( 1) 0;x x x x x x + = Đặt ẩn phụ để trở thành phơng trình có 2 ẩn: * Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x * PP này thờng đợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không BD đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đợc thì công thức BD quá phức tap. * Khi đó thờng ta đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số là 1 số chính phơng. Bài tập. Giải các PT sau: Bài 1: 2 2 1. 1 2 2 ;x x x x = 2 2 2. 1 2 2;x x x = + 2 2 3. (4 1) 1 2 2 1;x x x x + = + + 2 2 4. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ = + + 2 2 5. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + + 2 2 6. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x + = + + 2 7. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ = + + Trờng THPT Tam Dơng II 9 Lê Thị Phơng Hoa 2 2 2 2 2 8. 2(1 ) 2 1 2 1; 9. 1 2 4 1 2 1; 10. 12 1 36; 1 1 1 11. 2 1 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + + = + = 3.Ph ơng pháp Đặt hai ẩn phụ Dạng 1: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) Dxgxf =+ )( ) Ph ơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n =+ = = Phơng trình đã cho trở thành: ( ) =+ =+++ Dvu CBuvvuA nn 0 Dạng 2: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( =++ CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) ( ) Dxgxf = ) Ph ơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n = = = Phơng trình đã cho trở thành: ( ) = =++ Dvu CBuvvuA nn 0 bài tập áp dụng: Bài 3 . 1 : Giải ph ơng trình: )x6)(2x(x62x +=++ (ĐH Ngoại Ngữ-2001) Giải : Đặt )0v,u( vx6 u2x = =+ Phơng trình đã cho trở thành: 2vu 08uv2)uv( vuuv vuuv 8vu 2 22 == = += += =+ Vậy: Trờng THPT Tam Dơng II 10 [...]... bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0 Kết luận:nghiệm x=0 Bài 8.3: Giải các phơng trình sau: x < x+ x 3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 Giải: Nhận thấy x=-2 là một nghiệm Với x>-2 thì x+1>-1 3 x + 1 > 1 3 x + 2 > 0 VT > 0 3 x +3 >1 Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2 Tơng tự với x 0) ; bài tập áp dụng: -Bài 11.3: Giải phơng trình: x 2 8 x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003 (Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) Giải: ( ( ) a = 4 x;20 2 a + b = 9;31 2 Đặt b = 5 + x;11 2 ) ( Vậy ta có: a = x 2 8 x + 816 a + b = 2003 ) b = x 2 + 10 x +... với t ; ; hoặc = cos t với t [ 0; ] ; và giải phơng trình lợng giác 2 2 x bài tập áp dụng: -Bài 11.4: Giải phơng trình: : 1 x 2 = 4 x 2 3x ; (Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) -Giải: Điều kiện x 1 Dựa vào điều kiện này ta đặt x=cost với phơng trình lợng giác: 4 cos 3 t 3 cos t = sin 2 t cos 3t = sin t ( sin t >... 2 Do t [ 0; ] nên ta chọn: 3 t = 4 t = 8 t = 5 8 2 x = 2 2+ 2 x = 4 x = 2 + 2 4 -Bài 11.5: Giải phơng trình: : x+ x 1 x2 > 35 ; 12 (Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) -Trờng THPT Tam Dơng II 28 t [ 0; ] ; và giải Lê Thị Phơng Hoa Giải : Điều kiện x > 1 Vì vế trái luôn dơng nên yêu cầu x > 0 , do đó x>1 . giải : * Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) * Tính đạo hàm f (x) ,lập bảng biến thi n . * Dựa vào bảng biến thi n để biện luận số nghiệm của phơng trình . bài tập áp dụng: Bài 7 . 1 : Tìm m. 0 13 02 11 3 3 3 > >+ >+ >+ VT x x x Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2 Tơng tự với x<-2 0 13 02 11 3 3 3 < <+ <+ <+ VT x x x Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x<-2 Kết luận :. ) 42 4 2 54 1 45442 42094224942 22 + = += ++=+= x xx xxx xxxxxx Vì 8 x Nên ( ) 3 42 4 2 54 + x xx vậy phơng trình này vô nghiệm Nếu 84 < x pt trở thành: 542494 2 ==+= xxxx Vậy pt đã cho có nghiệm là x=4 và x=5. Giải