Chuyên đề tọa độ trong mp HH10

PHNG PHP TO TRONG MT PHNG Chuyên đề : Véc t v ta véc t A tóm tắt lí thuyết I H Trc to II Ta véc t nh ngha r r r r u = ( x; y ) u = xi + y j Các tính cht r r Trong mt phng Oxy cho u = ( x; y ); v = ( x '; y ') , ta có : r r a u + v = ( x + x '; y + y ') r b ku = (kx; ky ) rr c u.v = xx '+ yy ' r2 r d u = x + x '2 u = x + x '2 r r rr e u v u.v = xx '+ yy ' = rr x y f u , v phng = x' y' r r x = x' g u = v y = y' Ví d Ví d Tìmm ta véc t sau : r r r r r r r ur r r r r r ur r r a = i; b = j ; c = 3i j; d = ( j i ); e = 0,15i + 1,3 j; f = i (cos 240 ) j 2r r r Ví d Cho véc t : a = (2;1); b = (3; 4); c = (7; 2) r r r r a Tìm to ca véc t u = 2a 3b + c r r r r r b Tìm to ca véc t x cho x + a = b c r r r c Tìm s k , l c = k a + lb r r r Ví dụ Trong mt phng to Oxy cho véc t : a = (3; 2); b = (1;5); c = (2 ' 5) a Tìm to véc t sau r r r r r r r r r r r uur u = 2a + b 4c v = a + 2b + 5c ; w = 2(a + b) + 4c r r r b Tìm s x, y cho c = xa + yb r r rr r r r r r r c Tính tích vô hng a.b; b.c; a (b + c); b(a c) r 1r r r r r Ví d Cho u = i j; v = ki j rr Tìm k u , v phng III To ca im nh ngha uuuur uuuur r r M = ( x; y ) OM = ( x; y ) OM = xi + y j Mi liên h gia to im v to ca véc t Trong mt phng to Oxy cho hai im A( x1 ; y1 ); B ( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) Khi đó: uuur uuur a AB = ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) x1 + x2 y1 + y2 ; ) 2 x + x + x y + y2 + y3 ) c To trng tâm G ca ABC l : G ( ; 3 uuur uuur d Ba im A, B, C thng hng AB, AC phng Ví d Ví d Cho ba im A(4;1), B (2; 4), C (2; 2) a Chng minh ba im không thẳng hng b Tính chu vi ABC c Tìm ta trc tâm H Ví d Cho ba im A(3; 4), B (1;1), C (9; 5) a Chng minh A, B, C thẳng hng b Tìm to D cho A l trung im ca BD c Tìm to iểm E Ox cho A, B, E thẳng hng Ví d Cho ba im A(4;1), B (2; 4), C (2; 2) a Chng minh ba im A, B, C to thnh tam giác b Tìm to trng tâm ABC c Tìm to im E cho ABCE l hình bình hnh đờng thẳng b To trung im I ca on AB l : I ( Chuyên đề : phơng trình đờng thẳng A kiến thức I Véc tơ phơng véc tơ pháp tuyến đờng thẳng r r 1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ n đợc gọi véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) đờng thẳng có giá r r 2) Véc tơ phơng: Véc tơ u đợc gọi véc tơ phơng( vtcp) đờng thẳng có giá song song trùng với đờng thẳng * Chú ý: r r r r - Nếu n; u véc tơ pháp tuyến phơng đờng thẳng k véc tơ k n; ku tơng r ứng véc tơ pháp tuyến phơng đờng thẳng r - Nếu n = (a; b) véc tơ pháp tuyến đờng thẳng véc tơ phơng u = (b; a ) r u = (b; a ) r r - Nếu u = (u1 ; u2 ) véc tơ phơng đờng thẳng véc tơ pháp tuyến n = (u2 ; u1 ) r n = (u2 ; u1 ) II Phơng trình tổng quát đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng qua M ( x0 ; y ) có véc tơ pháp tuyến r n = (a; b) Khi phơng trình tổng quát đợc xác định phơng trình : a ( x x0 ) + b( y y ) = (1) ( a + b ) III Phơng trình tham số đờng thẳng r Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng qua M ( x0 ; y ) có véc tơ phơng u = (u1 ; u ) Khi phơng trình tham số đợc xác định phơng trình : x = x + u1t (2) y = y0 + u2t ( t R ) r * Chú ý : Nếu đờng thẳng có hệ số góc k có véc tơ phơng u = (1; k ) IV Chuyển đổi phơng trình tổng quát phơng trình tham số r Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (1) n = (a; b) Từ đờng thẳng có vtcp r r u = (b;a ) u = (b; a ) Cho x = x thay vào phơng trình (2) y = y Khi ptts : x = x0 + bt y = y at ( t Ă ) r Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (2) vtcp u = (u1 ; u ) Từ đờng thẳng có r r vtpt n = (u ;u1 ) n = (u ; u1 ) Và phơng trình tổng quát đợc xác định : u ( x x0 ) u1 ( y y ) = * Chú ý : - Nếu u1 = pttq : x x = - Nếu u = pttq : y y = B tập r I Viết phơng trình đờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ) có vtcp u = (u1 ; u2 ) Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng r trờng hợp sau : M (1; 2) a Đi qua có vtcp u = (2; 1) b Đi qua hai điểm A(1; 2) B (3; 4) ; A(1; 2) B (1; 4) ; A(1; 2) B (3; 2) x = + 2t (t Ă ) c Đi qua M (3; 2) // d : y = t d Đi qua M (2; 3) d : x y + = r II Viết phơng trình đờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = (a; b) Ví dụ : Viết phơng trình tổng quát đờngrthẳng trờng hợp sau : a Đi qua M (1; 2) có vtpt n = (2; 3) b Đi qua A(3; 2) // d : x y = x = + 2t (t R Ă ) c Đi qua B (4; 3) d : y = t III Viết phơng trình đờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k cho trớc + Phơng trình đờng thẳng có dạng y = kx + m + áp dụng điều kiện qua M ( x0 ; y0 ) m Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng trờng hợp sau : a Đi qua M (1; 2) có hệ số góc k = b Đi qua A(3; 2) tạo với chiều dơng trục Ox góc 450 III Luyện tập Viết phơng trình đờng thẳng trờng hợp sau : a Đi qua A(3; 2) B (1; 5) ; M (3;1) N (1; 6) ; r b Đi qua A có vtcp u , : r + A(2;3) u = (1; 2) r + A(1; 4) u = (0;1) c Đi qua A(3; 1) // d : x + y = r d Đi qua M (3; 2) n = (2; 2) e Đi qua N (1; 2) với : + Trục Ox + Trục Oy f Đi qua A(1;1) có hệ số góc k = g Đi qua B (1; 2) tạo với chiều dơng trục Ox góc 600 Viết phơng trình cạnh ABC biết : a A(2;1); B(5;3); C (3; 4) b Trung điểm cạnh : M (1; 1); N (1;9); P(9;1) c C (4; 5) hai đờng cao ( AH ) : x + y = 0;( BK ) : x + y + 13 = d ( AB) : x y + = hai đờng cao ( AH ) : x y + = 0;( BK ) : x + y 22 = e A(1;3) hai trung tuyến ( BM ) : x y + = 0;(CN ) : y = f C (4; 1) đờng cao ( AH ) : x y = trung tuyến ( BM ) : x + y = Chuyên đề 2: vị trí tơng đối hai đờng thẳng A tóm tắtlí thuyết I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng ; có phơng trình (1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0, ( a12 + b12 ) ( ) : a2 x + b2 y + c2 = 0, ( a22 + b22 ) Hỏi: Hai đờng thẳng cắt nhau, song song hay rùng ? Trả lời câu hỏi toán xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng II Phơng pháp Cách 1: a1 a2 Nếu hai đờng thẳng cắt b1 b2 a1 a2 c1 = Nếu hai đờng thẳng song song b1 b2 c2 a1 a2 c1 = = hai đờng thẳng trùng b1 b2 c2 Cách 2: a1 x + b1 y + c1 = Xét hệ phơng trình (1) a2 x + b2 y + c2 = Nếu hệ (1) có nghiệm hai đờng thẳng cắt toạ độ giao điểm nghiệm hệ Nếu hệ (1) vô nghiệm hai đờng thẳng song song Nếu hệ (1) nghiệm với ( x; y ) hai đờng thẳng trùng * Chú ý: Nếu toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách Nếu b tập I Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau tìm toạ độ giao điểm trờng hợp cắt nhau: : 2x + y = a) : x + y = 0; x = 4t : (t Ă ) b) : x + y 10 = 0; y = + 2t x = 5t x = + 5t ' (t Ă ) : (t ' Ă ) c) : y = + 4t y = 4t ' II Biện luận theo tham số vị trí tơng đối hai đờng thẳng Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng : (m 3) x + y + m = 0; : x + my + (m 1) = Tìm m để hai đờng thẳng cắt Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng : mx y + m = 0; : x + my + = Biện luận theo m vị trí tơng đối hai đờng thẳng III Luyện tập Bài 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau tìm toạ độ giao điểm trờng hợp cắt nhau: : x + y 16 = a) : x + 10 y 12 = 0; x = 5+t : (t Ă ) b) :12 x y + 10 = 0; y = + 2t x=t x = + 5t ' : (t ' Ă ) c) : (t Ă ) y = 4t ' y = 10 + t Bài 2: Biện luận theo m vị trí cặp đờng thẳng sau : x + my m = a) : mx + y 2m = 0; : x + my + m + = b) : mx + y + = 0; Chuyên đề 3: góc hai đờng thẳng A tóm tắt lí thuyết I Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng ; cắt Khi góc ; góc nhọn đợc kí hiệu là: ( , ) * Đặc biệt: o - Nếu ( , ) = 90 o - Nếu ( , ) = // II Công thức xác định góc hai đờng thẳng mặt phẳng toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đờng thẳng ; có phơng trình (1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0, ( a12 + b12 ) ( ) : a2 x + b2 y + c2 = 0, ( a22 + b22 ) Khi góc hai đờng thẳng ( , ) đợc xác định theo công thức: cos ( , ) = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 * Nhận xét: Để xác định góc hai đờng thẳng ta cần biết véc tơ phơng chúng b tập I Xác định góc hai đờng thẳng Ví dụ: Xác định góc hai đờng thẳng : x y + = 0; : x y + = 0; : x y + = x=t : ( t Ă ) y = 5t x =t' : ( t ' Ă y = t ' x=t : ) ( t Ă ) y = + t II Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cho trớc tạo với đờng thẳng cho trớc góc cho trớc Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d : x y + = M ( 1; ) Viết phơng trình đờng thẳng qua M tạo với d góc 45o Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Biết ( AB ) : x + y + = 0; ( BC ) : x y = Viết phơng trình cạnh AC biết qua M ( 1;1) Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết A ( 3; ) ( BD ) : x + y 27 = Viết phơng trình cạnh đờng chéo lại III Luyện tập Bài 1: Xác định góc cặp đờng thẳng sau : 3x y = a) : x y + = 0; : 2x y + = b) : x + y + = 0; : x y + = c) : x y + = 0; Bài 2: Cho hai đờng thẳng : x y + = 0; : mx + y + = o Tìm m để ( , ) = 30 Bài 3: Cho đờng thẳng d : x y + = M ( 3;1) Viết phơng trình đờng thẳng qua M tạo với d góc 45o Bài 4: Cho ABC cân đỉnh A , biết: ( AB ) : x y + = ; ( AC ) : 3x + y = Viết phơng trình BC qua M ( 2; 1) Bài 5: Cho hình vuông tâm I ( 2;3) ( AB ) : x y = Viết phơng trình cạnh, đờng chéo lại Bài 6: Cho ABC cân đỉnh A , biết: ( AB ) : x + y 13 = ; ( BC ) : x y = Viết phơng trình AC qua M ( 11;0 ) Bài 7: Cho ABC đều, biết: A ( 2;6 ) ( BC ) : x y + = Viết phơng trình cạnh lại Đờng tròn A Tóm tt lý thuyt Phng trình tc Trong mt phng Oxy cho ng tròn tâm I (a; b) bán kính R Khi ó phng trình tc ca ng tròn l : ( x a ) + ( y b) = R Phng trình tổng quát L phng trình có dng : x + y + Ax + By + C = Vi A2 + B > C Khi tâm I ( A; B ) , bán kính R = A2 + B C Bi toán vit phng trình ng tròn Ví d Vit phng trình ng tròn ng kính AB , vi A(1;1), B (7;5) Đáp s : ( x 4) + ( y 3) = 13 hay x + y x y + 12 = Ví d Vit phng trình ng tròn ngoi tip ABC , vi A(2; 4), B(5;5), C (6; 2) Đáp s : x + y x y 20 = Ví d Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm I (1; 2) v tip xúc vi ng thng : x 2y + = 2 Đáp s : ( x + 1) + ( y 2) = Ví d Vit phng trình ng tròn qua A(4; 2) v tip xúc vi hai trc to Đáp s : ( x + 2) + ( y 2) = hoc ( x + 10) + ( y 10) = 100 Bi toỏn tỡm tham s phng trỡnh dng x + y + Ax + By + C = l phng trỡnh ca mt ng trũn iu kin : A2 + B > C Ví d Trong phng trình sau ây, phng trình no l phng trình ca mt ng tròn Xác nh tâm v tính bán kính a x + y x + y + = c x + y + x y + 16 = b x y + x y + = d x + y x = Đáp s : c ) I (3; 4), R = d) I ( ;0), R = 4 2 x + y + mx 2( m 1) y + 11m + 2m = Ví d Cho phng trình : a Tìm iu kin ca m pt l ng tròn b Tìm qu tích tâm ng tròn Ví d Cho phng trình x + y + (m 15) x ( m 5) y + m = a Tìm iu kin ca m pt l ng tròn b Tìm qu tích tâm ng tròn Ví d Cho phng trình (Cm ) : x + y + 2(m 1) x 2(m 3) y + = a Tìm m (Cm ) l phng trình ca mt ng tròn b Tìm m (Cm ) l ng tròn tâm I (1; 3) Vit phng trình ng tròn ny c Tìm m (Cm ) l ng tròn có bán kính R = Vit phng trình ng tròn ny d Tìm hp tâm ng tròn (Cm ) II BI TP Tìm phng trình ng tròn (C ) bit rng : a (C ) tip xúc vi hai trc to v có bán kính R = b (C ) tip xúc vi Ox ti A(5;0) v có bán kính R = c Tip xúc vi Oy ti B (0;5) v i qua C (5; 2) Tìm phng trình ng tròn (C ) bit rng : a Tìm I (1; 5) v qua gc to b Tip xúc vi trc tung v ti gc O v có R = c Ngoi tip OAB vi A(4;0), B (0; 2) d Tip xúc vi Ox ti A(6;0) v qua B (9;3) Cho hai i m A(1;6), B(5; 2) Lp phng trình ng tròn (C ) , bit : a ng kính AB b Tâm O v i qua A ; Tâm O v i qua B c (C ) ngoi tip OAB Vit phng trình ng tròn i qua ba im : a A(8;0) , B(9;3) , C (0;6) b A(1; 2) , B (5; 2) , C (1; 3) B Bi c bn Vit phng trình ng tròn (C ) có tâm l im I (2;3) v tho mãn iu kin sau : a (C ) có bán kính R = b (C ) tip xúc vi Ox c (C ) i qua gc to O d (C ) tip xúc vi Oy e (C ) tip xúc vi ng thẳng : x + y 12 = Cho ba im A(1; 4) , B (7; 4) , C (2; 5) a Lp phng trình ng tròn (C ) ngoi tip ABC b Tìm to tâm v tính bán kính Cho ng tròn (C ) i qua im A(1; 2) , B(2;3) v có tâm ng thng : 3x y + 10 = a Tìm to tâm ca ng tròn (C ) b Tính bán kính R c Vit phng trình ca (C ) Lp phng trình ng tròn (C ) i qua hai im A(1; 2) , B(3; 4) v tip xúc vi ng thng : 3x + y = Lp phng trình ng tròn ng kính AB trng hp sau : a A(1;1) , B(5;3) b A(1; 2) , B(2;1) Lp phng trình ng tròn (C ) tip xúc vi trc to v i qua im M (4; 2) Tìm ta tâm v tính bán kính ca ng tròn sau : a ( x + 4) + ( y 2) = d x + y 10 x 10 y = 55 b ( x 5) + ( y + 7) = 15 e x + y + x y + = c x + y x y = 36 f x + y + x + 10 y + 15 = Vit phng trình ng tròn ng kính AB trng hp sau : a A(7; 3) , B(1;7) b A(3; 2) , B (7; 4) Vit phng trình ng tròn ngoi tip ABC bit : A(1;3) , B(5;6) , C (7;0) 10 Vit phng trình ng tròn (C ) tip xúc vi trc to v : a i qua A(2; 1) b Có tâm thuc ng thẳng : 3x y = 11 Vit phng trình ng tròn (C ) tip xúc vi trc honh ti im A(6;0) v i qua im B(9;9) 12 Vit phng trình ng tròn (C ) i qua hai iểm A(1;0) , B(1; 2) v tip xúc vi ng thng : x y = ... (4; 1) đờng cao ( AH ) : x y = trung tuyến ( BM ) : x + y = Chuyên đề 2: vị trí tơng đối hai đờng thẳng A tóm tắtlí thuyết I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng ; có phơng trình (1... 90 o - Nếu ( , ) = // II Công thức xác định góc hai đờng thẳng mặt phẳng toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đờng thẳng ; có phơng trình (1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0, ( a12 + b12... thẳng cắt toạ độ giao điểm nghiệm hệ Nếu hệ (1) vô nghiệm hai đờng thẳng song song Nếu hệ (1) nghiệm với ( x; y ) hai đờng thẳng trùng * Chú ý: Nếu toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta