BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : a./ (- 4xy)(2xy 2 – 3x 2 y) b./ (- 5x)(3x 3 + 7x 2 – x) 2. Rút gọn: A = x 2 (a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x 2 (11x – 2) + x 2 (x – 1) – 3x(4x 2 - x – 2) 3. Tìm hệ số của x 3 và x 2 trong đa thức sau: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 1 2 3 1Q x x x x x x x= − + + − − − + Bài 2: 1) Tính : 3 2 4 3 1 3 4 2 4 3 a b ab a b − ÷ ÷ 2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) 12 3 4 5 , 4, 5 5 Q x x y y y x cho x y= − − − = = − 3) Tìm x, biết : 2x 3 (2x – 3) – x 2 (4x 2 – 6x + 2) = 0 4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x 2 – y 2 ) – 1. 5) Cho S = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 .Cm : xS – S = x 6 - 1 Bài 3: 1. Tính (3a 3 – 4ab + 5c 2 )(- 5bc). 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: A = 4a 2 ( 5a – 3b) – 5a 2 (4a + b),với a = -2,b = -3. 3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: B = x(x 2 + x + 1) – x 2 ( x + 1) – x +5. 4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x 2 + 2x = 5 5. Tìm m,biết: ( x 2 – x + 1)x – ( x + 1)x 2 + m = - 2x 2 + x + 5. Bài 4: 1. Rút gọn: 9y 3 – y(1 – y + y 2 ) – y 2 + y 2. Tìm hệ số của x 2 trong đa thức: 3. 2 2 2 2 5 ( ) 3( ) 2 2 4( 2 )Q x a x a a x ax ax a ax = − + − − + + − + 4. Tìm m, biết: 2 – x 2 (x 2 + x + 1) = - x 4 – x 3 – x 2 + m. 5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5. 6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25. Bài 5: 1. Tính : ( -a 4 x 5 )(- a 6 x + 2a 3 x 2 – 11ax 5 ). 2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y 3 (x + y) tại x = -1,y = 1 3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2. 4. Tìm hệ số của x 2 trong đa thức : Q = 5x( 3x 2 – x + 2) – 2x 2 ( x – 2) + 15(x – 1). 1 A(B + C) = AB + AC A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : ( 2a – b)(4a 2 + 2ab + b 2 ). 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: ( ) 3 4 ( 2) ( 1)( 3), 1 4 Q x x x x cho x= − − − − − = 3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 4. Tìm hệ số của x 4 trong đa thức: P = ( x 3 - 2x 2 +x – 1)( 5x 3 – x). Bài 2: 1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 9 8 2 (9 1)A a a a a= + − − + − bằng – 29. 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 2 11 2 3 3 7Q x x x x= − + − + + 3. Biết (x – 3)(2x 2 + ax + b) = 2x 3 – 8x 2 + 9x – 9 .Tìm a,b. Bài 3: 1. Tính : a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x 2 ) b./ ( x 2 – 2xy + 2y 2 )(x – y)(x + y) 2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x 2 - 8) = 0 3. Tìm m sao cho: 2x 3 – 3x 2 + x + m = (x + 2)(2x 2 – 7x + 15). Bài 4: 1. Rút gọn : A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) B = (3a – 2b)( 9a 2 + 6ab + 4b 2 ). 2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n. 3. Biết : x 4 – 3x +2 = ( x – 1)(x 3 + bx 2 + ax – 2). Bài 5: 1. Tìm m,biết : x 4 – x 3 + 6x – x + m = (x 2 – x + 5)(x 2 + 1). 2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x). 3. Chứng minh: ( x – y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) = x 5 – y 5 . A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 2 BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC ( ) ( ) A B C D AC AD BC BD+ + = + + + BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 A B A AB B A B A AB B A B A B A B A B A A B AB B A B A A B AB B A B A B A AB B A B A B A AB B • + = + + • − = − + • − = − + • + = + + + • − = − + − • + = + − + • − = − + + B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Chứng minh : ( a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab 2. Rút gọn: ( a +2) 2 – ( a + 2)(a – 2) 3. Tìm x,biết : ( 2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 4. Tìm giá trị biểu thức: ( ) ( ) 2 1 3 3 ( 3) 2( 2)( 4), 2 Q x x x x x cho x= + + + − − + − = Bài 2: 1. Rút gọn biểu thức : 2 2 (4 )(2 )(2 )A x y x y x y= + + − 2. Chứng minh: (7x + 1) 2 – (x + 7) 2 = 48(x 2 – 1) 3. Tìm x,biết : 16x 2 - (4x – 5) 2 = 15 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 + 2x + 3 Bài 3: 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m: 2 2 (2 5) (2 5) 40A m m= − − + + 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4) 2 – 10x – (x – 4)(x +4). 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x 2 – 4x +5. Bài 4: 1. Chứng minh rằng: (x – y) 2 – (x + y) 2 = - 4xy 2. Chứng minh: (7n – 2) 2 – (2n – 7) 2 luôn luôn chia hết cho 9, với mọi n là giá trị nguyên 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x 2 + 6x +1. 4. Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 thì ay – bx = 0 Bài 5: 1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b 2 + c 2 + 2bc – a 2 = 4p(p – a). 2. CMR nếu a 2 + b 2 + c 2 = ab +bc + ca thì a = b = c. 3. Tìm x,y biết : x 2 + y 2 – 2x + 4y + 5 = 0. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b) 3 – 3ab(a +b) = a 3 + b 3 2. Tính x 3 + y 3 ,biết x + y = 3 và xy = 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a 3 + b 3 = 1 – 3ab. Bài 7: 1. Chứng minh : (a – b) 3 + 3ab(a - b) = a 3 + b 3 2. Rút gọn: (x – 3) 3 – (x + 3) 3 . 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a 3 - b 3 = 1 + 3ab. Bài 8 : 3 1. Rút gọn : 3 3 1 1 2 2 a b a b + + − ÷ ÷ . 2. Tìm x,biết : x 3 – 3x 2 + 3x – 1 = 0. 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: ( ) ( ) ( ) 3 2 4 1 4 3 16 3x x x− − − + Bài 9 : 1. Rút gọn biểu thức : (x + 5) 3 – x 3 – 125. 2. Tìm x, biết : (x – 2) 3 + 6(x + 1) 2 - x 3 + 12 = 0 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: ( ) 3 3 2 1 3 3 1x x x x− − + − − Bài 10: 1. Tìm x,biết : x 3 + 6x 2 + 12x +8 = 0 2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 3. Chứng minh rằng: (a + 2) 3 – (a +6)(a 2 +12) + 64 = 0,với mọi a. Bài 11 : 1. Rút gọn biểu thức : A = (m – n)(m 2 + mn + n 2 ) - (m + n)(m 2 - mn + n 2 ) 2. Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a 2 )(4 + 2a + a 2 ) = a 6 – 9a 3 + 8 3. Tìm x, biết : (x +2 )(x 2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = 26. Bài 12 : 1. Tính giá trị biểu thức: A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x 2 + 3x +9),với 1 4 x = 2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x 2 – 4x +1) – 16x(4x 2 – 5) = 17. 3. Rút gọn : Q = (a 2 – 1)(a 2 – a +1)(a 2 +a +1). Bài 13: 1. Tính giá trị biểu thức : Q = (2x – 1)(4x 2 + 2x +1) – 4x(2x 2 – 3),với x = 1 2 2. Tìm x, biết : (x – 3)(x 2 + 3x +9) – (3x – 17) = x 3 – 12. 3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x 3 + y 3 . Bài 14 : 1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1A x x x x x x= + − + − − + + 2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x 2 )(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0. 3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x 3 + y 3 ) – 3(x 2 + y 2 ). Bài 15 : 1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x 2 – 6xy + 9y 2 ) 2. Tìm x, biết: (4x 2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x 2 – 3) = 23. 3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a 3 – b 3 . Bài 16: Ruùt goïn: a) ( ) ( )( ) 1332252 −−++ mmmm b) ( )( ) ( ) 2 143842 +−−+ xxx c) ( ) ( )( ) 171727 2 −+−− yyy 4 d) ( ) ( ) 23 3.2 −−+ aaa Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y: a) ( )( ) ( ) xxxx 12325252 2 −−−+− b) ( ) ( ) ( ) 22632.212 23 −−−−− yyyyy c) ( ) ( ) ( ) 32 20933 xxxx +−+−+ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 161391323.3 −−−++−−−− yyyyyy Bài 18: Tìm x: a) ( )( ) ( ) 16347252 2 =−−−−+ xxx b) ( )( ) ( ) 22183838 2 222 =−−−+ xxx c) 011449 2 =++ xx d) ( ) ( ) ( ) 022.1 23 =−−−−− xxxx Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 3816 2 ++ xx b) 85 2 +−= yyB c) 222 2 +−= xxC d) 4102569 22 +++−= yyxxD Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: a) 16 2 −+= xxM b) 3510 2 −−= yyN Bài 21:Thu gọn: a) ( ) ( )( ) 121212 42 +++ . . . . . ( ) 6432 212 −+ b) ( ) ( )( ) 4422 353535 +++ . . . . . ( ) 2 35 35 128128 6464 − ++ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. (Thùc hiƯn trong 6 tiÕt) A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ? Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ biÕn ®ỉi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cđa nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c. Bµi to¸n 1. Trong c¸c c¸ch biÕn ®ỉi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn ®ỉi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ? 2x 2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 2x 2 + 5x – 3 = x(2x + 5 - x 3 ) (2) 2x 2 + 5x – 3 = 2(x 2 + 2 5 x - 2 3 ) (3) 2x 2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x 2 + 5x – 3 = 2(x - 2 1 )(x + 3) (5) B. Nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo thêng dïng ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư? - Ph¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung. 5 - Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. Một số phơng pháp khác nh : - Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử. - Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất. - Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến). - Phơng pháp hệ số bất định. - Phơng pháp xét giá trị riêng. - Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức. Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phơng pháp này không ? Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Công thức : AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Phơng pháp: Tìm nhân tử chung. - Lấy ƯCLN của các hệ số. - Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử. - Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Chú ý: - Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. - Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 3x 2 + 12xy. b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). c) 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y). Giải a) 3x 2 + 12xy = 3x(x + 4y). b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). c) 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y) = 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) = (3y - 2) (14x 2 + 35x - 28y). Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ? Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: - Nhận dạng các hằng đẳng thức. - Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không. Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. 6 a) x 2 4x + 4. b) 8x 3 + 27y 3 . c) 9x 2 - (x - y) 2 . Giải a) x 2 4x + 4 = (x - 2) 2 b) 8x 3 + 27y 3 = (2x + 3y)(4x 2 6xy + 9y 2 ) c) 9x 2 (x - y) 2 = [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y) = (2x + y)(4x - y). Ví dụ 2 a, (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 HD: nhóm 2 hạng tử đầu a 3 + b 3 = 3(x z)(x- y)(z y) b, (x 2 +y 2 ) 3 + (z 2 - x 2 ) (y 2 + z 2 ) 3 = 3(x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(x z)(x + z) c, a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 + c 3 3ab(a +b + c) = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) d, x 3 + y 3 z 3 + 3xyz = (x + y) 3 z 3 3xy( x + y z) = Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ? Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ. Chú ý: - Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm - Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y 2 + 4xy. c) 8x 3 + 4x 2 - y 3 - y 2 Giải a) x 2 2xy + 5x 10y = ( x 2 2xy) + ( 5x 10y) = x(x 2 y) + 5 (x 2y) = (x 2 y)(x + 5) b) x(2x 3y) 6y 2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y 2 = x(2x 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x 3y)(x + 2y) c) 8x 3 + 4x 2 y 3 y 2 = (8x 3 - y 3 ) + (4x 2 y 2 ) = (2x -y)( x 2 + xy + y 2 ) + (2x y)( 2x +y) = (2x -y)( x 2 + xy + y 2 + 2x +y). Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ? Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) a 3 - a 2 b - ab 2 + b 3 b) ab 2 c 3 + 64ab 2 c) 27x 3 y - a 3 b 3 y. Giải a) a 3 a 2 b ab 2 + b 3 = a 2 (a b) b 2 (a - b) = (a - b)(a 2 - b 2 ) = (a - b) 2 (a + b). b) ab 2 c 3 + 64ab 2 = ab 2 (c 3 +64) = ab 2 (c 3 + 4 3 ) = ab 2 (c + 4)(c 2 4c + 16). c) 27x 3 y a 3 b 3 y = y(27x 3 a 3 b 3 ) = y(3 - ab) (9x 2 3ab + a 2 b 2 ). 7 Kiến thức Nâng cao. Phơng pháp 5: Phơng pháp tách Khi phân tích đa thức : ax 2 + bx + c thành nhân tử Cách 1: Tách ax 2 + bx + c = a x 2 + b 1 x + b 2 x + c Với b = b 1 + b 2 và b 1 .b 2 = a.c Cách 2: Tách ax 2 + bx + c = X 2 - B 2 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x 2 - 3x + 1. b) 6x 2 + x - 2 c) x 2 - 2x - 3 Giải a) 2x 2 3x + 1 = 2x 2 2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1) = (x 1)(2x 1). b) 6x 2 + x 2 = 6x 2 + 4x 3x 2 = 2x(3x + 2) (3x + 2) = (3x + 2) (2x 1) c) x 2 2x - 3 = x 2 + x 3x 3 = Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 2x 3 b) x 2 - 10x + 16 Giải a)x 2 2x 3 = x 2 2x + 1 4 = (x- 1) 2 2 2 = (x 3)(x+1) b)x 2 10x + 16 = x 2 10x + 25 9 = (x 5) 2 3 2 = (x 8)(x 2) Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) y 4 + 64. b) x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) c) a 2 b 2 (b -a) + b 2 c 2 (c - b) - a 2 c 2 ( c - a) Giải a) y 4 + 64 = y 4 +16y 2 + 64 - 16y 2 = (y 2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y 2 + 8 - 4y) (y 2 + 8 + 4y). b) x(y 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) = x( y 2 x 2 + x 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) = x( y 2 x 2 ) + x(x 2 z 2 ) - y(x 2 -z 2 ) - z( y 2 x 2 ) = (y 2 - x 2 ) ( x z) + (x 2 z 2 )(x y) = (y x)( x z) (y +x x z) c) a 2 b 2 (b a) + b 2 c 2 (c b) a 2 c 2 ( c a) = a 2 b 2 (b- c + c a) + b 2 c 2 (c b) a 2 c 2 ( c a) = = (b c) (a c)(b- a) (ab + bc + ca) Phơng pháp 7: Đặt biến phụ Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích Ví dụ 1: A , (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x( x 2 + 4x + 8) + 2x 2 8 B , (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x - 3) -5 C , ( x 2 - 2x + 2) 4 - 20x 2 (x 2 - 2x + 2) 2 + 64 x 4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 F , (x 2 + x)(x 2 + x + 1) - 2. Giải A.Đặt y = x 2 + 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích Kết quả: A = (x 2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B. đặt y = x 2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.Đặt y = x 2 2x + 2 C = (x 2 + 2)(x 2 4x + 2)(x 2 6x + 2)(x 2 + 2x + 2) D = (x 2 + 8x + 7)( x 2 + 8x + 15) + 15 = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x 2 + x)(x 2 + x + 1) 2. (*) Đặt(x 2 + x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) 2 = y 2 + y - 1 1 = (y 2 - 1) + (y 1) = (y + 1)(y 1) + (y 1) = (y 1)(y + 2). (**) Thay trở lại vào (**) ta có : (x 2 + x - 1) )(x 2 + x + 2). Vậy(x 2 + x)(x 2 + x + 1) 2 = (x 2 + x - 1) )(x 2 + x + 2). Ví dụ 2: a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b. 4(x 2 + 15x + 50)(x 2 + 18x + 72) - 3x 2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y 2 z 2 HD: c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y 2 z 2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y 2 z 2 = 4 (x 2 +xy+xz)(x 2 +xy +xz +yz)+ y 2 z 2 (Đặt t = x 2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y 2 z 2 = (2t + yz) 2 Ví dụ 3: Giải phơng trình a. (2x 2 + x) 2 - 4(2x 2 + x) + 3 = 0 b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0 HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích a. (t - 1)(t- 3) = 0 *. t = 1 2x 2 + x = 1 (x +1)(2x-1)= 0 *. t = 3 2x 2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng Kiến thức: 1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0 2. x = a là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x a)M Lợc đồ Hoor ne . Sơ đồ Hoóc - ne Nếu đa thức bị chia là a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 , đa thứ chia là x - a ta đợc thơng là b 0 x 2 + b 1 x + b 2 . Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có: a 0 a 1 a 2 a 3 a b 0 = a 0 b 1 = ab 0 + a 1 b 2 = ab 1 + a 2 r = ab 2 + a 3 9 Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử. Đối với tam thức bậc hai dạng ax 2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích đợc thành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau: - Tính = b 2 4ac. - Nếu 0 thì phân tích đợc. - Nếu < 0 thì không phân tích đợc. Ví dụ 1: f(x) = x 3 -x 2 - 4 Lần lợt kiểm tra với ớc của 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4. f(-1) = (-1) 3 - (-1) 2 - 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm. f(1) = (1) 3 - (1) 2 - 4 = - 4 => x = 1 không phải là nghiệm. f(2) = 2 3 - 2 2 - 4 = 0. f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm. f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm. f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm. Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x 2). Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x 2)(x 2 x + 2). Ví dụ 2: Phân tích f(x) = x 3 - 2x - 4 Giải Ta có f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x 2)M => f(x) = (x - 2)(x 2 + 2x + 2) Ví dụ 3: g(x) = 4x 3 - 7x 2 -x - 2 = (x - 2)(4x 2 + x +1) Ví dụ 4 : H(x) = x 3 - x 2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) Ví dụ 5 P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y). P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y). Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi. Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số). => P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0). Ta đợc: k = -1 Vậy P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y - z)( z - x). Ví dụ 6 A = x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) Giải +.Nếu x = y => A = 0 => A M (x - y) +.Vì vai trò của x,y,z nh nhau =>A M (y-z); (z-x) =>A M (x - y)(y-z)(z-x) nhân cộng a 10 [...]... - 4x - 8 Bài 12 Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 là bình phơng đúng của đa thức g(x) = x2 + cx + d Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 - 8) 2 + 36 b) 81 x4 + 4 c) x5 + x + 1 Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử A = (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8) 2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2... chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc f(x) - g(x) chia hết cho g(x) Ví dụ 3: Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + 1 g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Giải: f(x) - g(x) = x99 - x9+ x 88 - x8 + + x11 - x = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + x(x10 - 1) Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10 - 1, mà x10 - 1 chia hết cho g(x) Vậy f(x) chia hết cho g(x) * Chứng... x7 + x5 + 1; ROI 8 7 c) x + x + 1; f) x8 + x4 + 1; Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (176): a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy + y3 - 1 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc bằng cách đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n Bài tập 6**: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (1 78) : a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + 1 Bài tập 7:... chữ số tân cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 87 6 Mà 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng phải chia hết cho 8 Trong bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376 Bài tập: 1) Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân 2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171 983 + 111 983 - 71 983 3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m100 trong đó... với biến cũ Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 1 28 Giải: Ta có: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 1 28 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức trở thành: f(y) = (y - 12)(y + 12) + 1 28 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8) ( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8) ( x2 + 10x + 8) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải: Cách 1:... pháp hệ số bất định Ví dụ 1: Phân tích : x3 15x 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai Giải Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x3 15x 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) x3 15x 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac a + b = 0(1) Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc: ab + c = 15(2) ac = 18( 3) Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2) Vậy: x3 15x 18 = (x + 3) (x2 3x 6) Ví dụ 2 Phân tích : x3 19x... phơng ( 180 ) Bài tập 8* : Chứng minh rằng: số A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phơng khác 1 với mọi số n nguyên dơng ( 181 ) Bài tập 9: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức (x + a)(x - 4) - 7 ra nhân tử ta đợc (x + b)(x + c) < 182 > Bài tập 10: Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức x3 + ax2 + bx2 + c thành nhân tử ta đợc (x + a)(x + b)(x + c) < 183 > Bài... Q= -8 2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) c) A = y(x A=0 3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x d) B = (x - 1) B=2 2 1 1 2 1 e) M = + 2x ữ 4x 2 - x + ữ 8x 3 ữ M= 3 9 27 27 3 D Bài tập áp dụng Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (3x - 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2 d) x4 - x2-2x-1 Bài 2 Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y với x =88 ... nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia Ví dụ 1: Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi một số tự nhiên n Giải: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - (x2n)2 = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1) x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n = (x2n + 1)2 - (xn)2 = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) Vậy x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 * Biến đổi các đa thức chia thành một... b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 - 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2 Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy + xz + yz) Ta đợc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + yz)2 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + z) 17 IV) Phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Giải: Nhận xét: Các số 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức . sau ra nhân tử (1 78) : a) x 8 + 14x 4 + 1; b) x 8 + 98x 4 + 1. Bài tập 7: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phơng. ( 180 ) Bài tập 8* : Chứng minh rằng:. 10) + 1 28. Giải: Ta có: f(x) = (x 2 + 10x)(x 2 + 10x + 24) + 1 28. Đặt x 2 + 10x + 12 = y, đa thức trở thành: f(y) = (y - 12)(y + 12) + 1 28 = y 2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x 2 + 10x + 8) ( x 2 . xz + yz). Ta đợc M = -4(x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 ) + 4(xy + xz + yz) 2 = 8x 2 yz + 8xy 2 z + 8xyz 2 = 8xyz(x + y + z). 17 IV) Phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau