Lý do chọn đề tài Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chơng trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chơng IV Đại số 8 tôi nhận
Trang 1Phần i: Mở đầu
I Lý do chọn đề tài
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chơng trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chơng IV Đại
số 8 tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng nh các phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng trong chơng trình, đặc biệt là chơng trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này
Vì sao học sinh thờng không nắm vững các bớc giải phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối?
Bài toán giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiều kiến thức nh tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân, kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phơng trình, giải bất phơng trình Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thờng ngại khó vì vậy ít lu tâm khi phải tiếp thu kiến thức
Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm đợc các kiến thức, nắm vững các
ph-ơng pháp, các bớc giải phph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong những năm qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi xin đề xuất
hệ thống các dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thờng gặp và các bớc giải từng dạng phơng trình náy Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong chơng trình toán 8 Tôi hi vọng đề tài sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Qua đó các em có phơng pháp giải nhất định, tránh tình trạng giải cha đúng, lúng túng trong việc trình bày lời giải Qua đây giúp các em có hứng thú tích cực hơn trong học tập, đạt kết quả cao trong học tập và nghiên cứu
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số dạng cơ bản và cách giải những
ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán
và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân Vì vậy tôi
Trang 2rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này
đ-ợc hoàn thiện hơn
iI Mục đích – nhiệm vụ của đề tài
- Các dạng toán cơ bản và phơng pháp giải những phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Các ví dụ minh họa
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập
IIi Đối t ợng và phạm vi nghiên cứu
1 Đối tợng nghiên cứu:
Học sinh lớp 8 trờng THCS Duy Minh, huyện Duy Tiên, tỉnh Hà Nam
2 Phạm vi nghiên cứu:
Các dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 THCS
Iv/ Ph ơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu ,thu thập tài liệu
- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học ia1
i cơ sở lí luận
1 Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Rèn cho học sinh những kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Rèn cho học sinh các thao tác t duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tợng hoá, tơng tự hoá…
- Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu
dễ dàng các môn học khác ở trờng THCS, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế
- Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán
2 Các kĩ năng, kiến thức khi học giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số
Trang 3- Giá trị tuyệt đối của một số Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức
- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn
- Giải phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình đa đợc về dạng bậc nhất một ẩn
ii các kiến thức cơ bản về GIá TRị TUYệT Đối
Trớc khi đa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phơng pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ đợc định nghĩa về giá trị tuyệt đối,
từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập
1 Định nghĩa
a, Định nghĩa 1( lớp 6) :
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1)
Hình 1
Ví dụ 1:
a = 3 ⇒
−
=
3
3
a
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
−
=
⇒
>
=
b
b a b
b a
−
=
⇒
=
b
b a b a
Ví dụ 2:
a ≤ 3 nếu a ≥ 0 0 ≤ a ≤3
a ≤ 3 ⇒ ⇔ ⇔ -3 ≤ a ≤ 3
-a ≤ 3 nếu a < 0 -3 ≤a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [−3;3] và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [−3;3] ( hình 3)
Hình 3
Trang 4a ≥ 3 nếu a ≥ 0 a ≥ 3 nếu a ≥ 0
a ≤ 3⇒ ⇔ ⇔3 ≤ a hoặc a ≤ 3
-a ≥ 3 nếu a < 0 a ≤-3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (-∞; 3]
và [3; + ∞) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó (hình 4)
Hình 4
−
≤
≥
⇔
≥
b a
b a b
a
b, Định nghĩa 2 ( lớp 7-9):
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:
a nếu a ≥ 0
a =
-a nếu a < 0
Ví dụ1: 15 =15 −32 =32 0 =0
−1 =1 −17 =17
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu
)
(x
A là:
A(x) nếu A(x) ≥ 0
A (x) =
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1 ≥ 0 2x - 1 nếu
2
1
≥
x
1
2x− = =
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x <
2
1
2 Các tính chất
2.1 Tính chất 1: a ≥ 0 ∀ a
2.2 Tính chất 2: a = 0 ⇔a = 0
2.3 Tính chất 3: - a ≤ a ≤ a
2.4 Tính chất 4: a = a−
Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính chất trên
Trang 52.5 TÝnh chÊt 5: a+b ≤ a + b
ThËt vËy: - a ≤ a ≤ a ; - b ≤ a ≤ b ⇒-( a +b ) ≤ a + b ≤ a +b
2.6 TÝnh chÊt 6:
a - b ≤ a−b≤ a + b ThËt vËy: a = a−b+b ≤ a−b + b ⇒ a − b ≤ a−b (1)
a−b =a+ ( −b) ≤a + −b =a +b ⇒a−b ≤a +b (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm
2.7 TÝnh chÊt 7:
a −b ≤ ab
b − a ≤ b−a = − (b−a) = a−b ⇒ − (a −b) ≤ a−b (2)
−
−
−
=
−
) (a b
b a b
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ a − b ≤ a−b (4)
a − b ≤ a − −b ≤ a− ( −b) ≤ a+b ⇒ a −b ≤ a+b (5)
Tõ (4) vµ (5) ⇒ ®pcm
2.8 TÝnh chÊt 8:
a.b = a.b
ThËt vËy: a = 0, b = 0 hoÆc a = 0, b ≠0 hay a ≠0, b= 0
⇒ a.b = a.b (1)
a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ a.b > 0
⇒ a.b =a.b= a.b ⇒ a.b = a.b (2)
a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ a.b > 0
⇒ a.b =a.b= ( −a)( −b) = a.b ⇒ a.b = a.b (3)
a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ a.b < 0
⇒ a.b = −a.b=a.( −b) = a.b ⇒ a.b = a.b (4)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm
2.9 TÝnh chÊt 9:
= (b≠ 0 )
b
a b a
ThËt vËy: a = 0 ⇒ = 0 ⇒ = ≡ 0
b
a b
a b
a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ
b
a b
a b
a b
Trang 6a < 0 và b < 0 ⇒ a = -a, b = -b và
b
a b
a b
a b
a b
a
=
−
−
=
=
⇒
a > 0 và b < 0 ⇒ a = a, b = -b và
b
a b
a b
a b
a b
a
=
−
=
−
=
⇒
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ đpcm
III Các dạng cơ bản và phơng pháp giảI phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trớc tiên học sinh cần nắm chắc đợc các tính chất của giá trị tuyệt đối Làm các bài tập đơn giản với sự hớng dẫn của giáo viên Sau đó làm các bài tập nâng cao
và bài tập đòi hỏi sự t duy của học sinh
Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đa bài toán trên về bài toán trong
đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc
Xuất phát từ kiến thức trên ngời ta phát triển thành yêu cầu giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hớng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Phơng trình: f(x) =k, với k là hằng số không âm
Dạng 2: Phơng trình: f(x) = g(x)
Dạng 3: Phơng trình: f(x) g(x)=
Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phơng pháp giải ta cần hớng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể nh sau:
Ví dụ1: Giải các phơng trình sau:
a, 2x 3 1− = b, x 1
x + - 2 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2
b, Điều kiện xác định của phơng trình là x ≠0
Bài toán 1: Giải phơng trình: f(x) k= , với k là hằng số không âm
Phơng pháp giải:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
Bớc 2: Khi đó f(x) k= f(x) k
f(x) k
=
= −
Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Trang 7x 1 x 1
3 x
+
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1
3
− và x = 1.
• Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
a, 2x− 3 = 5
b, 2 − 7x = 12
c, 0 , 5x = 3
d,
4
1
2 =
− x
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
a, 2x 3+ = −x 3 b,
2
x 1− + − =
Giải:
a, Biến đổi tơng đơng phơng trình:
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0
b, Điều kiện xác định của phơng trình là x ≠ 0
Biến đổi tơng đơng phơng trình:
2
2
2
2x 2 vô nghiệm
x
x 1
− + =
= −
+
Bài toán 2: Giải phơng trình: f(x) = g(x)
Phơng pháp giải:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bớc 2: Khi đó f(x) = g(x) f(x) g(x)
f(x) g(x)
=
= −
Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Trang 8Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x 3m− = x 6+ , với m là tham số
Giải :
Biến đổi tơng đơng phơng trình:
x m 2
= +
= −
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m – 2
• Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
a, 2x− 1 = 2x+ 3
b, |x - 3,5| = |4,5 - x|
c, x− 6 = − 5x+ 9
d, − 2x = 3 +x
Ví dụ 4: Giải phơng trình: x 4 3x 5+ + =
Cách 1: Xét hai trờng hợp:
-Trờng hợp 1: Nếu x + 4 ≥ 0 ⇔x ≥ -4 (1)
Phơng trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 ⇔ 4x = 1 ⇔ x = 1
4 thoả mãn điều kiện (1)
-Trờng hợp 2: Nếu x + 4 < 0 ⇔ x < - 4 (2)
Phơng trình có dạng: -x - 4 + 3x = 5 ⇔ 2x = 9 ⇔ x = 9
2 không thoả mãn tra
điều kiện (2)
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
4. Cách 2: Viết lại phơng trình dới dạng x 4+ = − +3x 5
Với điều kiện - 3x + 5 ≥ 0 ⇔ - 3x ≥ - 5 ⇔ x ≤ 5
3
Bài toán 3: Giải phơng trình: f(x) g(x)=
Phơng pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực hiện các bớc:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bớc 2: Xét hai trờng hợp:
-Trờng hợp 1: Nếu f(x) ≥ 0 (1)
Phơng trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1) -Trờng hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2)
Phơng trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Cách 2: Thực hiện các bớc:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) ≥ 0
Bớc 2: Khi đó: f(x) g(x)= f(x) g(x)
f(x) g(x)
=
= −
Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Trang 9Khi đó phơng trình đợc biến đổi:
x 4+ = − +3x 5
( )
1 x
x không thoả mãn * 2
=
+ = − +
⇔ + = − ⇔ =
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
4.
Lu ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp nh nhau Vậy trong trờng hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngợc lại?
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách
1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phơng trình f(x) ≥ 0 và f(x) < 0 Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện các bớc biến đổi phơnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Ví dụ 5: Giải các bất phơng trình:
a, x 1 x+ = 2 +x b, x2 −2x + =4 2x
Giải:
a, Xét hai trờng hợp.
-Trờng hợp 1:
Nếu x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 (1)
Khi đó phơng trình có dạng: x + 1 = x2 + x
⇔ x2 = 1
⇔ x = ±1 (thoả mãn đk 1) -Trờng hợp 2:
Nếu x + 1 < 0 ⇔ x < -1 (2)
Khi đó phơng trình có dạng: - x - 1 = x2 + x
⇔ x2 + 2x + 1 = 0
⇔ (x+1)2 = 0 ⇔x = -1 ( không thoả mãn đk 2)
Vậy phơng trình cób hai nghiệm x = ±1
b, Viết lại phơng trình dới dạng:
x2 −2x =2x 4− với điều kiện 2x - 4 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 4 ⇔x ≥ 2 (*)
Ta có:
2
− = − − + =
( )
x 2 không thoả mãn *
=
+ =
⇔ = ± ⇔ = −
Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
Trang 10Lu ý 2: - Đối với một số dạng phơng trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có
những cách giải khác phù hợp chẳng hạn nh phơng pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 6: Giải phơng trình 2 x 1 x− = 2 −2x 2−
Viết lại phơng trình dới dạng
2
(x −2x 1) 2 x 1 3 0+ − − − =
⇔ −(x 1)2 −2 x 1 3 0− − = (1)
Đặt x 1− = t ( t ≥ 0)
Khi đó từ (1) ta có phơng trình
t2 - 2t - 3 = 0
⇔ t2 + t - 3t - 3 = 0
⇔ t(t + 1) - 3(t + 1) = 0
⇔ (t + 1)(t - 3) = 0
⇔ t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Với t = 3 ta đợc x 1− = 3
⇔ x 1 3 x 4
− = − = −
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4
• Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải các phơng trình:
a, x− 7 = 2x+ 3
b, 4 + 2x = − 4x
c, x− 3 = (x− 3 ) 2
d, x2 − 3x+ 2 = 3x−x2 − 2
e, 3 −x +x2 − ( 4 +x)x= 0
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau
0 2
2 4 ).
2
1 3
).
1
−
= +
m m
x x x
x m x
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x2 - 2x + m| = x2 + 3x - m - 1
Bài toán 4: Giải phơng trình: |f(x)| + |g(x)| = a
Phơng pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối
ở dạng này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trờng hợp xảy ra (lu
ý học sinh số trờng hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối
Trang 11Ví dụ 7: Giải phơng trình 3 x 1 2
+
Điều kiện xác định của phơng trình là x ≠ -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1 : Đặt t = x 1
3
+ điều kiện t > 0
t + = ⇔ − + = ⇔ =
x 1
+ = − = −
⇔Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
+ +
x 1 3
+
Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là 3 x 1 2
+
9 (x 1)
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Đối với những phơng trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm Những giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1 Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phơng trình tìm đợc.
Ví dụ 8: Giải phơng trình x 1− + x 3− = 2
Ta thấy x - 1 ≥ 0 ⇔x ≥ 1
x - 3 ≥ 0 ⇔x ≥ 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trờng hợp +Trờng hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phơng trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 ⇔ -2x = - 2 ⇔ x = 1 (không t/m đk)
Trang 12+Trờng hợp 2: Nếu 1 ≤ x < 3.
Khi đó ta có phơng trình:
x - 1 - x + 3 = 2 ⇔ 0x = 0 luôn đúng => 1 ≤ x < 3 là nghiệm
+Trờng hợp 3: Nếu x ≥ 3
Khi đó phơng trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 ≤ x ≤ 3
• Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
1) 2x− + 1 2x+ = 1 4 2). x− + − = 2 x 3 4 3) 2x+ + 2 2 x− = 1 5
4) x2 − 1 + x = 1
5) 4x− 1 − 2x− 3 + x− 2 = 0
6) x+ 2 + x + x− 2 = 4
Phần iii:
Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phơng pháp giải nêu trên tôi nhận thấy
đa số học sinh nắm vững dợc kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phơng trình chứa đấu giá trị tuyệt đối Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và
ph-ơng pháp giải đợc xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy
đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này Đơng nhiên hệ thống kiến thức trên chỉ dừng lại đối với đối tợng học sinh có học lực trung bình và khá, còn đối với học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và
bổ sung các dạng toán phong phú hơn
Nh vậy, từ chỗ học sinh còn lúng túng trong kiến thức và phơng pháp giảI, thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống