Tìm hiểu về vũ trụ học

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học nói cách tổng quát khoa học nghiên cứu vật chất tương tác Nói cách cụ thể vật lý khoa học nghiên cứu quy luật vận động tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất ) đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà, vũ trụ ) Bên cạnh xem ngành khoa học định luật vật lý chi phối tất ngành tự nhiên khác Nghiên cứu vật lý học đề tài rộng thú vị nhà khoa học học giả quan tâm tìm hiểu qua nhiều kỉ qua mở cho loài người khái niệm, kiến thức giới tự nhiên Trong đó, vũ trụ học đối tượng nghiên cứu vật lý học phát triển vũ bão với phát triển xã hội loài người tiến khoa học kĩ thuật Ngày nay, nhà khoa học có nhiều cách để mô tả vũ trụ giúp có nhìn tổng quan vũ trụ rộng lớn thuyết tương đối rộng số Thuyết tương đối rộng giúp tìm hiểu vũ trụ qua việc mô tả lực hấp dẫn cấu trúc cực vĩ vũ trụ Mặc dù vũ trụ học có ý nghĩa quan trọng tìm hiểu chủ yếu thông qua môn thiên văn vật lý cổ điển Việc nghiên cứu vũ trụ học dựa vào vật lý học đại chưa quan tâm giảng đường đại học chưa đưa vào giáo trình giảng dạy cho học sinh, sinh viên Chính mà vấn đề liên quan đến vũ trụ học khó tiếp cận với sinh viên trình học tập tìm hiểu sinh viên sư phạm Tôi muốn nghiên cứu vấn đề “Tìm hiểu vũ trụ học” để làm tiền đề cho việc tìm hiểu vũ trụ học nhằm giải đáp thắc mắc mà trình học tập lớp chưa tìm hiểu kĩ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm đến vấn đề Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vũ trụ học Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học thuyết tương đối rộng Einstein để nghiên cứu vũ trụ học Đối tượng phạm vi nghi nghiên cứu Cơ sở lý thuyết vũ trụ học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vũ trụ học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý toán Cấu trúc khóa luận Mở đầu Chương Lý thuyết sở Chương Vũ trụ học Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Hệ tọa độ tổng quát Tenxơ phản biến Tenxơ hiệp biến 1.1.1 Hệ tọa độ tổng quát Khi xét không gian phẳng thực sự, ta thường dùng hệ tọa độ vuông góc chữ nhật Tenxơ độ đo (gµν = ηην ) phép biến đổi Lorentz có dạng đơn giản biểu diễn hệ tọa độ Tuy nhiên, không thời gian cong việc dùng hệ tọa độ chữ nhật hay dạng hiệu chỉnh hệ tọa độ chữ nhật thực cho kết đơn giản độ đo, trừ vùng cách xa tất trường hấp dẫn – nơi mà không thời gian gần phẳng Vì vậy, ta dùng hệ tọa độ tổng quát để mô tả điểm không thời gian Với điểm không thời gian, ta gán tương ứng tham số để xác định điểm Bộ số gán theo quy luật định nghĩa rõ ràng Ta dùng kí hiệu xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) cho hệ tọa độ tổng quát Xét phép biến đổi từ hệ tọa độ xµ sang hệ tọa độ x′µ Khi xµ = x′ µ (x) ′µ µ ′ (1.1) x = x (x ) Vi phân tọa độ tuân theo luật biến đổi dx′ µ ν dx = dx ∂xν ′µ (1.2) ∂xµ ′ ν dx = ′ ν dx ∂x µ Hay ma trận chuyển  ∂x′   ∂x12  ∂x′    ∂x1   ···   ∂x′ n ∂x1 đổi từ tọa độ cũ xµ sang tọa độ x′µ  ′1 ′1 ∂x ∂x ···  ∂x ∂xn2  ∂x′ ∂x′   ( ∂x′ µ ) · · ·  ∂x2 ∂xn  =  ∂xν  ··· ··· ···  ∂x′ n ∂x′ n  ··· ∂x2 ∂xn với µ, ν = 1, 2, n Ma trận chuyển từ hệ tọa độ  ∂x1 ∂x1 ···   ∂x′21 ∂x′22  ∂x ∂x   ∂x′ ∂x′ · · ·    ··· ··· ···   ∂xn ∂xn ··· ∂x′ ∂x′ x′µ sang hệ tọa độ cũ xµ  ∂x1  ∂x′ n  ∂x2   ( ∂xµ ) n  ′ ∂x  =  ∂x′ ν ···   ∂xn  ∂x′ n Định thức ma trận chuyển tọa độ gọi Jacobi ∂x′ µ J = Jacobi phép biến đổi xµ → x′µ ∂xν ∂xµ ′ J = Jacobi phép biến đổi x′µ → xµ ∂x′ ν ′ ( Hai ma trận ∂x′ µ ∂xν ) ( ∂xµ ∂x′ ν ) nhân với cho kết ma trận đơn vị ∂xµ ∂xν ⇒ = δσµ ν σ ∂x ∂x 1.1.2 Tenxơ phản biến tenxơ hiệp biến Một đối tượng bốn thành phần Aµ vectơ phản biến phép biến đổi hệ tọa độ tổng quát biến đổi theo quy luật: ∂x′ µ ν A = A ∂xν ′µ (1.3) Một đối tượng bốn thành phần Aµ vectơ hiệp biến nếu: A′µ = ∂xν Aν ∂x′ µ (1.4) Với tenxơ phản biến, hiệp biến dạng cao quy luật biến đổi là: A ′ αβ λ ∂x′ α ∂x′ β ∂x′ λ µν κ = ··· κ A ∂xµ ∂xν ∂x (1.5) ′ A αβ λ ∂xµ ∂xν ∂xκ = ′ α ′ β · · · ′ λ Aµν κ ∂x ∂x ∂x Chú ý : xµ vectơ tương ứng với phép biến đổi tọa độ tổng quát Tenxơ hỗn hợp hạng có quy luật biến đổi A′βγ α ∂x′ α ∂xν ∂xσ µ = A ∂xµ ∂x′ β ∂x′ γ νσ *Tại tenxơ lại nhà vật lý ý? (1.6) Xét hai tenxơ X Y hệ tọa độ (đối với nhà vật lý hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: X αβ = Y αβ (1.7) ∂x′ µ ∂x′ ν Nhân hai vế phương trình với ta được: ∂xα ∂xβ ∂x′ µ ∂x′ ν αβ ∂x′ µ ∂x′ ν αβ X = Y ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ (1.8) ⇒ X ′ µν = Y ′ µν Biểu thức (1.8) phương trình (1.7) xét hệ tọa độ (hệ quy chiếu mới) Từ ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ hệ tọa độ hệ tọa độ khác Nói cách khác, phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ qui chiếu quán tính hay không quán tính Như vậy, tenxơ công cụ toán học phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát) 1.2 Tenxơ Metric Xét không gian n chiều Chọn hệ tọa độ chuẩn x′µ cho độ dài vô bé nối hai điểm lân cận có dạng: ds2 = dx′µ dx′µ (1.9) Chuyển (1.9) sang hệ tọa độ xµ ∂x′ µ α ∂x′ ν β ∂x′ µ ∂x′ ν ′α β ds = dx dx = dx β dx = ′ α β dx dx ∂xα ∂x ∂x ∂x ′µ ′µ Nếu đặt: gαβ ∂x′ µ ∂x′ ν = ∂xα ∂xβ (1.10) Thì ds2 = gαβ dxα dxβ (1.11) gαβ gọi tenxơ metric hiệp biến Tenxơ metric phản biến g αν xác định từ biểu thức gαβ g αν = δβν Một cách định nghĩa khác: ⃗e1 , ⃗e2 vectơ sở ds2 = d⃗xd⃗x = dxα⃗e1 dxβ ⃗e2 = ⃗e1⃗e2 dxα dxβ = gαβ dxα dxβ (1.12) Với gαβ = ⃗e1 ⃗e2 Ta viết tích vô hướng hai vectơ nhờ tenxơ metric: ⃗B ⃗ = gαβ Aα B β = g αβ Aα Bβ = Aα Bα = Aα B α A 1.3 1.3.1 Đạo hàm hiệp biến Phép dịch chuyển song song Trong không gian phẳng, dịch chuyển song song vectơ nghĩa dịch chuyển cho lúc vectơ song song với Nói cách khác, dịch chuyển cho độ lớn hướng không thay đổi Trong không gian cong Riemann, hai vectơ đặt hai điểm phân biệt độ lệch không vectơ Vì vậy, ta phải dịch chuyển song song vectơ điểm đặt Dịch chuyển song song vectơ dọc theo đường C dịch chuyển cho góc tạo đường cong C không đổi Lúc thành phần vectơ thay đồi dù độ lớn không thay đổi 1.3.2 Đạo hàm hiệp biến vectơ phản biến Xét trường vectơ phản biến Aµ Tại P tương ứng với tọa độ x, vectơ có giá trị Aµ Tại Q tương ứng với tọa độ x + dx, vectơ có giá trị Aµ + dAµ Để Aµ (x + dx) − Aµ (x) vectơ, ta dịch chuyển song song Aµ (x) từ x (điểm P) đến x + dx (điểm Q) xác định độ lệch Gọi δAµ độ biến đổi thành phần vectơ Aµ dịch chuyển song song đoạn nhỏ dxν Độ biến đổi định phải tuyến tính dxν Khi ta có: DAµ = dAµ − δAµ Đại lượng δAµ có dạng tổng quát: δAµ = −Γµσν Aσ dxν Trong đó: Γµσν hàm phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn, khác Γµσν gọi kí hiệu Christoffel hay hệ số liên thông Dấu (−) ta quy ước ∂Aµ ν Mặt khác: dA = dx ∂xν µ ∂Aµ ν ⇒ DA = dx + Γµσν Aσ dxν ν ∂x µ ( = ) (1.13) ∂Aµ + Γµσν Aσ dxν ν ∂x ∂Aµ Thành phần ngoặc + Γµσν Aσ gọi đạo hàm hiệp biến ν ∂x vectơ phản biến Aµ Kí hiệu: ∂Aµ ∇ν A = + Γµσν Aσ ≡ Aµ;ν ν ∂x µ 1.3.3 (1.14) Đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến Ta biết, dịch chuyển song song vô hướng đại lượng không đổi Hay nói cách khác tích vô hướng hai vectơ không đổi dịch chuyển song song ⃗ B ⃗ Do dịch chuyển song song Xét tích vô hướng hai vectơ A, tích vô hướng chúng không thay đổi nên: δ (Aµ B µ ) = 10 (1.15) Phương trình (2.65) trở thành ) ( 4GM a + a ˙ = 8πGρ + Λ= +Λ a4 πa3 (2.69) Theo mô hình Friedmann, số vũ trụ không nhỏ so với ρ Với giả thiết phương trình (2.65) trở thành ) 4GM ( 2 a + a ˙ = a4 πa3 (2.70) Đây phương trình vi phân cho mô hình Friedmann với độ cong dương Nghiệm phương trình (2.70) có dạng a = a∗ (1 − cosη) (2.71) 2GM 3π a∗ = (2.72) Sử dụng: a˙ = a∗ sin η Lấy tích phân (2.50), ta có t = a∗ (η − sin η) (2.73) Các phương trình (2.72) (2.73) xem phương trình tham số cho a (t) Tại t = 0, ±2πa∗ , ±4πa∗ , , a (t) triệt tiêu, nghĩa vũ trụ co xuống điểm (xem hình 2) Tuy nhiên, gần ta năng-xung lượng không Điều đồng nghĩa ta chắn vũ trụ có co bóp tuần hoàn hay không 40 Ta trọng đén chu kỳ Big Bang t = có nở lớn t = πa∗ lại co lại hoàn toàn t = 2πa∗ Hình 2: Bán kính độ cong vũ trụ Friedmann với độ cong dương 2.3.2 Độ cong âm Λ = Các tính toán tương tự mục trước cho ta phương trình chuyển động (a˙ − a2 ) = 8πGρ + Λ a4 4GM = +Λ πa3 Tại đây, M xác định xác trước ρ= M 2π a3 (2.74) (2.75) Vì thể tích không gian vô hạn, M xem khối lượng toàn phần Nhưng ta nói M tổng khối lượng tĩnh chứa thể tích 2π a3 Bài tập: Kiểm tra (2.74) Như trước ta coi Λ không ) 4GM ( 2 a ˙ − a = a4 πa3 41 (2.76) Vũ trụ mô tả phương trình gọi mô hình Friedmann với độ cong âm Lời giải (2.76) a = a∗ (cosh η − 1) (2.77) t = a∗ (sinh η − η) (2.78) Hình 3: Bán kính độ cong vũ trụ Friedmann với độ cong âm Ta thấy vũ trụ bắt đầu Big Bang nở mãi (xem hình 3) Ta không hiểu tốt t = 2.3.3 Độ cong zero Λ = Để thuận tiện ta đưa vào tọa độ trục không thứ nguyên χ = r/a Khi ta có [ ] ds2 = a2 (η) dη − −dχ2 − χ2 dθ2 − −χ2 sin2 θdϕ2 42 (2.79) nên  gµν  a 0    −a2 0  =  −a2 χ2   0 −a2 χ2 sin2 θ         (2.80) Chú ý khoảng không thời gian (2.79) khác với không thời gian phẳng thừa số chung a (η) có tên gọi phẳng conformal Phương trình chuyển động a = 8πGρ + Λ a4 (2.81) M định nghĩa trước Trong trường hợp Friedmann Λ = 0, với a˙ = ada/dt, phương trình (2.81) trở thành ( da dt )2 = 4GM 3π a Lời giải phương trình ( ) 3GM 1/3 2/3 a(t) = t π 43 (2.82) (2.83) Phương trình cho vũ trụ nở mãi t → ∞ trở nên phẳng Sự biến thiên bán kính vũ trụ trường hợp mô tả hình Hình 4: Bán kính độ cong vũ trụ Friedmann phẳng 2.4 2.4.1 Các mô hình Lemaitre rỗng Độ cong dương Λ ̸= Nếu bỏ qua T00 phương trình (2.64) ta có − (a˙ + a2 ) = −Λ a Với a˙ = ada/dt, phương trình trở thành ( )2 da Λa2 = −1 + dt 44 (2.84) (2.85) Λa2 Từ suy −1 + không âm Nghĩa Λ > giá trị a √ nhỏ 3/Λ Như mô hình Lemaitre rỗng với độ cong dương đòi hỏi số vũ trụ dương bán kính độ cong không không (không Big Bang) Nghiệm (2.85) đơn giản √ √ 3 a(t) = cosh t Λ Λ (2.86) √ t nhận zero thời điểm mà a có giá trị cực tiểu: a(0) = Λ với t > tmin vũ trụ nở đơn điệu trở nên phẳng t → ∞ 2.4.2 Độ cong âm Λ ̸= Trong trường hợp ta có ( )2 Λa2 da =1+ dt (2.87) Với nghiệm sau √ a(t) = √ a(t) = sinh Λ √ sinh −Λ t, choΛ > 0, Λ √ (2.88) t, choΛ< 0, −Λ Cả hai lời giải cho: vũ trụ Big Bang với t = Tuy nhiên, trường hợp đầu cho vũ trụ nở đơn điệu (nở mãi), t = mật độ vật chất lớn, nên mô hình không áp dụng cho thời điểm ban đầu (không thể bỏ qua) 45 2.4.3 Độ cong zero Λ ̸= Phương trình chuyển động có dạng ( )2 da Λa2 = dt Phương trình có nghĩa Λ > có nghiệm √ Λ a(t) = a(0) exp t (2.89) (2.90) Mô hình mô tả (2.90) thường gọi mô hình de Sitter Chú ý phương trình (2.89) có nghiệm giảm exponent, không liên quan đến vũ trụ (nở) ta Bảng 2: Các mô hình đồng nhất, đẳng hướng Vũ trụ 46 2.5 Chuyển động ánh sáng đường chân trời hạt Tín hiệu ánh sáng theo đường dạng ánh sáng, nghĩa ds2 = Nếu đặt gốc toạ độ nguồn sáng, ánh sáng theo trục (dθ = dϕ = 0), cho tất mô hình ta vũ trụ ( ) = a (η) dη − −dχ2 (2.91) Nhắc lại: χ biến độ dài trục, η thời gian Phương trình đường dạng ánh sáng phát thời điểm ban đầu, tham số ηi χ = η − −ηi (2.92) Điều có nghĩa mặt phẳng χ − η không thời gian, quỹ đạo (worlline) ánh sáng 450 Giả sử ánh sáng phát từ nguồn χ = 0: thứ tham số thời gian ηi , thứ hai ηi + ∆ηi Quỹ đạo χ = η − −ηi , χ = η − (ηi + ∆ηi ) (2.93) Như hai tín hiệu ánh sáng đến điểm cho trước χ với độ chênh lệch thời gian ∆η (χ) = ∆ηi (2.94) Điều nói nên ∆η số, không phụ thuộc vào χ thời gian đo η dịch chuyển đỏ Tuy nhiên đồng hồ 47 nguyên tử thiên hà không đo η mà đo τ hay thời gian t Vì ∆t = a∆η , từ (2.94), suy ∆t/a số, chênh lệch thời gian ∆t hai tín hiệu tỉ lệ trực a Đối với sóng liên tục với tần số ν , đỉnh xem tín hiệu, khoảng thời gian hai tín hiệu ∆t = 1/ν , aν = [hằng số] (2.95) Điều cho ta dịch chuyển đỏ ánh sáng vũ trụ nở a tăng ν phải giảm Theo (2.95), tần số mà sóng tới điểm χ ν(χ) = ν(i) a(ηi ) a(η − χ) = ν(i) aη a(η) (2.96) i tần số phát Nếu khoảng cách nguồn phát máy thu nhỏ (χ ≪ 1), ta lấy gần a (η − χ) theo bậc [ ] a(η) ˙ ν(χ) ≃ ν(i) a − χ + ··· (2.97) a(η) Cho nên ν(χ) − ν(i) a(η) ˙ ≃ −χ ν(i) a(η) (2.98) Theo bước sóng λ = c/ν , ta viết λ(χ) − λ(0) a(η) ˙ ≃ +χ λ(0) a(η) (2.99) Khoảng cách nguồn phát máy thu, η , xác định theo (2.31)) l = a (η) χ (2.100) (2.99) có dạng quy luật Hubble a˙ λ(χ) − λ(i) ≃ 2l λ(i) a 48 (2.101) Từ ta đồng số Hubble a˙ a2 H= (2.102) Vì a = ada/dt, nên ta viết da a dt (2.103) Trong thu định luật Hubble, ta coi khoảng cách l khoảng cách metric khoảng cách theo metric không thời gian Trên thực tế, nhà thiên văn tính khoảng cách theo độ trưng khoảng cách xuất quy luật Hubble tỉ lệ với bậc hai mặt cầu bán kính cầu Đối với khoảng cách nhỏ khác không quan trọng độ dài độ trưng (luminosity distance) trùng với độ dài metric Nếu muốn có khác ta phải thêm bậc cao khai triển a (η − χ) Chú ý với biểu thức (2.102) cho H , ta có phương trình Einstein sau ( K H + a ) = 8πGρ + Λ (2.104) K = +1 K = −1 tương ứng cho trường hợp độ cong dương âm Biểu thức dẫn tới a2 = K H (Ω − + Λ/3H ) (2.105) Tính chất thú vị mô hình Friedmann mô hình khác với điều kiện Big-Bang ban đầu là: vũ trụ có phần nhìn thấy (visible) không nhìn thấy (invisible) Xét tín hiệu ánh sáng gửi từ gốc χ = vũ trụ 49 bắt đầu ηi = Tại thời điểm xác định theo η , tín hiệu ánh sáng tới điểm χ = η [xem (2.93)] Ngược lại, tín hiệu ánh sáng phát từ điểm χ vũ trụ bắt đầu tới gốc, tín hiệu ánh sáng phát từ điểm xa cần thời gian dài để đến gốc Như vậy, người quan sát gốc, mặt phẳng χ=η (2.106) biên giới vũ trụ quan sát Biên giới gọi đường chân trời hạt (particle horizon) hay đường chân trời vật thể (object horizon), cho biết: nơi xa mà ta quan sát Nếu ta nhìn vùng xa xôi vũ trụ, ta thấy vùng có từ thời điểm lâu, mà ánh sáng tới ta bắt đầu hành trình Nếu nhìn vào đường chân trời vũ trụ chúng ta, ta thấy vật chất lúc ban đầu Ta nhìn thầy cầu lửa ban đầu (primordial fireball) Khi đường chân trời nở ra, ngày nhiều phần cầu lửa tới vũ trụ quan sát Tất nhiên, đường chân trời, dịch chuyển đỏ vô hạn [xem (2.96)] ánh sáng yếu để nhìn thấy Khoảng cách đo thời điểm η người quan sát điểm chân trời mà từ ánh sáng phát l = a (η) χ l = a (η) η (2.107) Trong dạng này, phương trình cho tất mô hình vũ trụ dựa hình học Robertson-Walker Để biểu diễn khoảng cách tới đường chân trời hàm thời gian t, ta phải đánh giá a η theo t 50 Đối với mô hình Friedmann, phương trình cho a (η) η (t) cho Mục trước Đối với mô hình này, khoảng cách đường chân trời l hữu hạn, có đường chân trời Với mô hình tổng quát hơn, với hàm a (η) η (t) khác, tồn đường chân trời phụ thuộc vào: thừa số η xuất vế phải phương trình (2.104) hữu hạn Vì dη = dt/a, ta biểu diễn η (t) ∫t η(t) = dt′ a(t′ ) (2.108) Điều kiện cho tồn đường chân trời tích phân hữu hạn Rõ ràng tích phân (2.101) hữu hạn a (η) gần t biến thiên giống dãy t, nghĩa a (t) → tn với < n < Khi đường chân trời nở hàm thời gian, khoảng cách l = a (η) χ Tỉ số tăng khoảng cách với đường chân trời dl da dη = η + a = Haη + = Hl + dt dt dt (2.109) Rât hay so sánh tốc độ với tốc độ lùi lại hạt đồng chuyển động tới khoảng cách Tại thời điểm η , khoảng cách tới hạt l = a (η) χ (trong χ cố định) tốc độ da da dl = χ = η = Hl dt dt dt (2.110) Như vậy, tốc độ lùi lại đường chân trời vận tốc lùi lại hạt 1, nghĩa theo (bằng) vận tốc ánh sáng Tất nhiên diều phù hợp với đánh giá cảm tính ngày có nhiều hạt vào vùng quan sát vũ trụ Đối với mô hình độ cong dương, thể tích vùng quan 51 sát vũ trụ 2π a3 (η − sin ηcosη) /π (2.111) Thừa số (η − sin ηcosη)/π cho phần quan sát vũ trụ tới người quan sát điểm cố định Thừa số nói chung tăng Tại thời điểm tăng cực đại (η = π), toàn thể tích nhìn thấy Tại điểm co rụp (collapse) (η = 2π), ánh sáng hoàn thành chuyến quanh vũ trụ toàn vũ trụ nhìn thấy gấp đôi (mỗi điểm nhìn thấy từ hai hướng đối đầu) 52 KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu đề tài, đề tài “tìm hiểu vũ trụ học” hoàn thành nhiệm vụ đề - Xây dựng hệ thống lý thuyết sở đưa phương trình Einstein tổng quát - Nghiên cứu vũ trụ dựa vào vật lý học đại, đề tài tọa độ đồng chuyển động-Robertson-Walker metric từ trường hợp khác không gian có độ cong không đổi Với độ cong dương thể tích ba chiều lúc hữu hạn đóng, với độ cong âm zero thể tích ba chiều lúc vô hạn mở - Tương tự với mô hình đồng đẳng hướng vũ trụ (mô hình Fiedmann mô hình Lemaitre rỗng) luận văn trạng thái khác thể tích ba chiều phụ thuộc vào thời gian chuyển động ánh sáng đường chân trời hạt Qua thời gian thực đề tài nghiêm túc, khẩn trương bước đầu tìm hiểu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong bạn đọc góp ý để đề tài hoàn thiện 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Ngọc Long Nguyễn Thị Hương, Bài giảng thuyết tương đối vũ trụ học [2] Lê Nam, Thuyết tương đối rộng, trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh, 2002 [3] H.C Ohanian and R Ruffini, Gravitation and Spacetime, W W Norton Company, New York, London, 2nd Edition, (1994) [4] P J E Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1993) 54 [...]... phương trình có dạng: 1 Rµν − Rgµν − λgµν = kTµν 2 (1.55) λ là hằng số vũ trụ do Einstein đưa vào để phù hợp với mô hình vũ trụ khi đó là tĩnh Sau này các quan sát của Hubble chứng minh rằng vũ trụ đang nở ra 23 CHƯƠNG 2 VŨ TRỤ HỌC 2.1 Tọa độ đồng chuyển động-Robertson-Walker metric Để mô tả thế giới thực ta phải chấp nhận tiên đề sau: Vũ trụ có không gian đồng nhất (homogeneous), đẳng hướng (isotopic) nhưng... Khi có hằng số vũ trụ Λ, tức là Gµν = Rµν − 21 gµν R − Λµν , các phương trình tương ứng là R˙ 2 κ Λ 8πG + − = ρ R2 R2 3 3 (2.47) ¨ R˙ 2 R κ 2 + 2 + 2 − Λ = −8πGρ R R R (2.48) và 2.3 Các mô hình Friedmann Ta sẽ gọi các mô hình đồng nhất, đẳng hướng của vũ trụ với mật độ vật chất, áp xuất và số hạng vũ trụ là các mô hình Friedmann-Lemaitre Trường hợp dặc biệt, khi áp xuất và số hạng vũ trụ đều bằng không... 1.6 1.6.1 Đường trắc địa Hệ tọa độ trắc địa Phương trình cho đường trắc địa Ta sẽ tìm phương trình đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Trước hết ta tìm hiểu về đường trắc địa.Trong cơ học, cơ hệ chuyển động từ điểm P đến điểm Q của đường trắc địa thì biến phân của hàm tác dụng bằng 0 Còn trong hình học, nó là đường cong ngắn nhất nối hai điểm P và Q (biến phân của hàm tác dụng bằng... động” Chỉ có người quan sát đồng chuyển động mới nghĩ rằng vũ trụ là đẳng hướng Thực tế ta ở trên Trái đất, ta không là đồng chuyển động Kết quả là ta thấy có sự bất đẳng hướng lưỡng cực (dipole anisotropy) trong nền sóng micro vũ trụ (CMB) như là hiệu ứng Doppler thông thường Nếu không gian đối xứng cực đại, thì nó là đối xứng cầu Ta đã biết về không gian đối xứng cầu khi xét lời giải Schwarzschild... vai trò như là thừa số kích thước chung đặc trưng cho khoảng cách của hình học ba chiều Ví dụ, theo công thức (2.26), 31 khoảng cách bán kính từ gốc tới điểm χ là l = [khoảng bán kính] = aχ (2.31) Chú ý: Trong trường hợp đang xét, bán kính r bị giới hạn bởi aπ nên vũ trụ là hữu hạn (đóng) 2.2.2 Độ cong âm Tiếp theo ta tìm hình học đồng nhất của độ cong âm K < 0 Khoảng không thời gian là biểu thức (2.21)... (isotopic) nhưng nở ra theo thời gian Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cách nhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độ không đổi ở mọi nơi Ta nói về hệ toạ độ mà ta sẽ sử dụng - toạ độ đồng chuyển động (commoving coordinates) Toạ độ không gian chia sẻ chuyển động nở đồng dạng của vật chất trong vũ trụ Nếu bỏ qua những điểm khác biệt nhỏ trong chuyển động của các thiên hà (galaxy)... trình Einstein tổng quát Ta đã tìm được phương trình Einstein cho chân không Muốn tìm phương trình tổng quát, ta phải cộng thêm hàm Lagrange tương ứng với sự có mặt của vật chất Ta gọi là IM Khi đó hàm tác dụng có dạng: ∫ I = (IG + kIM )dΩ (1.50) Ω Với k là hệ số kết nối Bằng nguyên lí tác dụng tối thiểu ta tính được: δIG = −(−g)1/2 Gµν δgµν 21 (1.51) Tương tự ta cũng tìm ra được: δIM = (−g)1/2 T µν... 1 sin2 θ (3) (2.16) Thay (2.16) vào (2.12) ta có thể tìm được β (r) 1 β = − ln(1 − Kr2 ) 2 28 (2.17) Do vậy, metric trong bề mặt ba chiều Σ dr2 dσ = + r2 dΩ2 2 1 − Kr 2 2.2 2.2.1 (2.18) Không gian cong có độ cong không đổi Độ cong dương Ta nói qua về sự tương tự Bề mặt đồng nhất, đẳng hướng là mặt cầu Trong toán học gọi mặt cầu là hình cầu hai chiểu ( two-sphere) Để có không gian ba chiều với độ cong... dạng), ta có thể nói mỗi thiên hà có toạ độ không gian của mình Các điểm toạ độ chuyển động với thiên hà khi thiên hà rơi tự do trong trường hấp dẫn của vũ trụ Khoảng tọa độ (coordinate interal) giữa hai thiên hà bất kỳ luôn luôn không đổi và sự nở vũ trụ là kết quả không phải từ sự thay đổi vị trí toạ độ của thiên hà mà là từ sự thay đổi của metric của không thời gian Với toạ độ thời gian x0 , ta sẽ... tenxơ metric chỉ ra rằng metric γij ba chiều chứ không phải của toàn không thời gian Để xây dựng hình học của không thời gian, đầu tiên ta xây dựng hình học của không gian ba chiều Hình học phải không phân biệt giữa các điểm khác nhau hoặc các hướng khác nhau 26 Từ sự đồng nhất và đẳng hướng của hình học ba chiều, thì tenxơ Riemann trong không gian ba chiều (3) [ Rmnsk = K (3) (3) Rmnsk phải có dạng ... liên quan đến vũ trụ học khó tiếp cận với sinh viên trình học tập tìm hiểu sinh viên sư phạm Tôi muốn nghiên cứu vấn đề Tìm hiểu vũ trụ học để làm tiền đề cho việc tìm hiểu vũ trụ học nhằm giải... mắc mà trình học tập lớp chưa tìm hiểu kĩ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm đến vấn đề Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vũ trụ học Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học thuyết tương... thuyết tương đối rộng Einstein để nghiên cứu vũ trụ học Đối tượng phạm vi nghi nghiên cứu Cơ sở lý thuyết vũ trụ học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vũ trụ học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên