Tìm hiểu về vũ trụ học

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học nói cách tổng qt khoa học nghiên cứu vật chất tương tác Nói cách cụ thể vật lý khoa học nghiên cứu quy luật vận động tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất ) đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà, vũ trụ ) Bên cạnh xem ngành khoa học định luật vật lý chi phối tất ngành tự nhiên khác Nghiên cứu vật lý học đề tài rộng thú vị nhà khoa học học giả quan tâm tìm hiểu qua nhiều kỉ qua mở cho loài người khái niệm, kiến thức giới tự nhiên Trong đó, vũ trụ học đối tượng nghiên cứu vật lý học phát triển vũ bão với phát triển xã hội loài người tiến khoa học kĩ thuật Ngày nay, nhà khoa học có nhiều cách để mơ tả vũ trụ giúp có nhìn tổng quan vũ trụ rộng lớn thuyết tương đối rộng số Thuyết tương đối rộng giúp tìm hiểu vũ trụ qua việc mô tả lực hấp dẫn cấu trúc cực vĩ vũ trụ Mặc dù vũ trụ học có ý nghĩa quan trọng tìm hiểu chủ yếu thông qua môn thiên văn vật lý cổ điển Việc nghiên cứu vũ trụ học dựa vào vật lý học đại chưa quan tâm giảng đường đại học chưa đưa vào giáo trình giảng dạy cho học sinh, sinh viên Chính mà vấn đề liên quan đến vũ trụ học khó tiếp cận với sinh viên trình học tập tìm hiểu sinh viên sư phạm Tơi muốn nghiên cứu vấn đề “Tìm hiểu vũ trụ học” để làm tiền đề cho việc tìm hiểu vũ trụ học nhằm giải đáp thắc mắc mà trình học tập lớp chưa tìm hiểu kĩ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm đến vấn đề Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vũ trụ học Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học thuyết tương đối rộng Einstein để nghiên cứu vũ trụ học Đối tượng phạm vi nghi nghiên cứu Cơ sở lý thuyết vũ trụ học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vũ trụ học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý tốn Cấu trúc khóa luận Mở đầu Chương Lý thuyết sở Chương Vũ trụ học Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Hệ tọa độ tổng quát Tenxơ phản biến Tenxơ hiệp biến 1.1.1 Hệ tọa độ tổng quát Khi xét không gian phẳng thực sự, ta thường dùng hệ tọa độ vng góc chữ nhật Tenxơ độ đo (gµν = ηην ) phép biến đổi Lorentz có dạng đơn giản biểu diễn hệ tọa độ Tuy nhiên, khơng thời gian cong việc dùng hệ tọa độ chữ nhật hay dạng hiệu chỉnh hệ tọa độ chữ nhật thực cho kết đơn giản độ đo, trừ vùng cách xa tất trường hấp dẫn – nơi mà không thời gian gần phẳng Vì vậy, ta dùng hệ tọa độ tổng quát để mô tả điểm không thời gian Với điểm không thời gian, ta gán tương ứng tham số để xác định điểm Bộ số gán theo quy luật định nghĩa rõ ràng µ hệ tọa độ tổng Ta dùng kímột hiệu xµ = (xđổi , xtừ ,hệ x2tọa , xđộ )x cho quát phép biến sang hệ tọa độ x′µXét Khi µ ′µ µ x =′)xx′µ = x(x) (x (1.1) Vi phân tọa độ tuân theo luật biến đổi µ µ dx′ dx = ′ d(1.2) ∂xν µ dxµ x ∂x = ∂x′ν ν d x ′ ν Hay ma trận chuyển đổi từ tọa độ cũ xµ sang tọa độ x  ′µ  ∂x ∂ ∂ ′   xx ′ ′ 11 ∂x ∂ ∂x ′2 ∂ x xn (  ∂ ∂x · ∂x x′ µ )  ·′     ′ n với ∂ ( = ∂x ∂xn  ′1 =  ∂ µ, x 2 ′ n  ν · ∂xν ∂ ∂ x ′  ∂ ∂ ∂x x x  ′n ·· ·       ∂x ∂x′1  ∂x2  ∂x 2n x   ∂∂ xx 1 ′µ x ∂ ∂x ) sang x′n µ ′ hệ · ∂tọa x ·2 độ cũ ·∂ µ x ∂x x′ ∂ x ′ x = · · n · ∂ 1, x  2, · ·  ··· ··· ··· ··· ∂ x ′ ν n n∂   n ∂ x  ∂x x ·  ·  · n ·  ·· · ·· · ·· ·  Ma trận chuyển từ hệ tọa độ ∂x′1 ∂ x ′2 ·· · ∂ x → x ′n x Định thức ma trận chuyể n tọa độ gọi Jacobi J′ ∂x ′µ = Ja c o bi p h é p bi ế n đ ổi x µ → x ′µ ∂x ν ′ J ∂x = µ ν ′là ∂x Jac obi ph ép biế n đổi ′ µ µ Hai ma trận ( ′ ∂x ) trận đơn vị ∂xν nhân với cho kết ma ( µ ∂x ) µ µ ∂x′ν µ ν ∂x ∂x ⇒ 1.1.2 µ = δσ ∂xν ∂xσ Tenxơ phản biến tenxơ hiệp biến Một đối tượng bốn thành phần Aµ vectơ phản biến phép biến đổi hệ tọa độ tổng quát biến đổi theo quy luật: ∂x′ ν ′µ A = (1.3) A ∂xν Một đối tượng bốn thành phần Aµ vectơ hiệp biến nếu: ∂xν A′ µ = ∂ x ′ µ ∂∂xc A′ σ ó Aα x q ν µ u = ∂x (1.4) y ′ Với tenxơ l phản biến, hiệp u biến dạng cao ậβ quy luật biến t đổi là: b µν κ α ∂ ∂ i∂ A ∂x x ế ′ ′ (1.6) n β *Tại đ ổ tenxơi ∂ ∂ (1.5) lại ∂ A′αβ λ µ x x ν x nhà = vật lý µ κ ν κ ý? ∂ · x A µ· ∂ ∂ x· x ∂κ x ν ′ Chú ý : xµ khơng phải vectơ tương ứng với phép biến đổi tọa độ tổng quát Tenxơ hỗn hợp hạng ∂ α Xét hai tenxơ X Y hệ tọa độ (đối với nhà vật lý hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: Xαβ = Y αβ (1.7) ′µ Nhân hai vế phương trình với ′µ ∂x ∂x ∂xα ′ν ∂xβ X µν ∂x ∂x ∂x ∂x α ′µ β ∂x ∂x′ αβ ′ν = ∂xα ta được: ν αβ ∂xβ (1.8) Y µν ⇒ X′ = Y ′ Biểu thức (1.8) phương trình (1.7) xét hệ tọa độ (hệ quy chiếu mới) Từ ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ hệ tọa độ hệ tọa độ khác Nói cách khác, phương trình tenxơ khơng phụ thuộc vào hệ qui chiếu qn tính hay khơng qn tính Như vậy, tenxơ cơng cụ tốn học phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát) 1.2 Tenxơ Metric Xét không gian n chiều Chọn hệ tọa độ chuẩn x′µ cho độ dài vơ bé nối hai điểm lân cận có dạng: Phương trình cho vũ trụ nở mãi t → ∞ trở nên phẳng Sự biến thiên bán kính vũ trụ trường hợp mơ tả hình Hình 4: Bán kính độ cong vũ trụ Friedmann phẳng 2.4 Các mơ hình Lemaitre rỗng 2.4.1 Độ cong dương Λ ̸= Nếu bỏ qua T phương trình (2.64) ta có − a4 ) = −Λ (a˙ + a2 (2.84) Với = ada/dt, phương trình trở thành a˙ ( ) = −1 Λa da + dt (2.85) Từ suy −1 + Λa không âm Nghĩa Λ > giá trị a nhỏ √3/Λ Như mơ hình Lemaitre rỗng với độ cong dương đòi hỏi số vũ trụ dương bán kính độ cong không không (không Big Bang) Nghiệm (2.85) đơn giản √ √ ct os (2.86) a(t) = Λ h Λ √ t nhận zero thời điểm mà a có giá trị cực tiểu: a(0) = Λ với t > tmin vũ trụ nở đơn điệu trở nên phẳng t → ∞ 2.4.2 Độ cong âm Λ ̸= Trong trường hợp ta có Λa ( )2 = da + dt Với nghiệm sau (2 7) √ a(t) = √ 3 si t, n h Λ c h o Λ > √ 0, Λ √ a(t) = sin h − Λ t, choΛ < 0, −Λ Cả hai lời giải cho: vũ trụ Big Bang với t = Tuy nhiên, trường hợp đầu cho vũ trụ nở đơn điệu (nở mãi), t = mật độ vật chất lớn, nên mơ hình khơng áp dụng cho thời điểm ban đầu (không thể bỏ qua) 2.4.3 Độ cong zero Λ ̸= Phương trình chuyển động có dạng ( da )2 dt = Λa (2.89) Phương trình có nghĩa Λ > có nghiệm √Λ t a(t) = a(0) (2.90) exp Mơ hình mơ tả (2.90) thường gọi mơ hình de Sitter Chú ý phương trình (2.89) có nghiệm giảm exponent, khơng liên quan đến vũ trụ (nở) ta Bảng 2: Các mơ hình đồng nhất, đẳng hướng Vũ trụ 2.5 Chuyển động ánh sáng đường chân trời hạt Tín hiệu ánh sáng theo đường dạng ánh sáng, nghĩa ds2 = Nếu đặt gốc toạ độ nguồn sáng, ánh sáng theo trục (dθ = dϕ = 0), cho tất mơ hình ta vũ trụ ( ) = a (η) dη − −dχ (2.91) Nhắc lại: χ biến độ dài trục, η thời gian Phương trình đường dạng ánh sáng phát thời điểm ban đầu, tham số ηi χ = η − −ηi (2.92) Điều có nghĩa mặt phẳng χ − η không thời gian, quỹ đạo (worlline) ánh sáng 450 rằnglà ánh phát χ tham sốGiả thờisửgian ηi , sáng thứ hai khiraηitừ+nguồn ∆ηi Quỹ đạo=sẽ0:là thứ (2.93) χ = η − −ηi, χ = η − (ηi + ∆ηi) Như hai tín hiệu ánh sáng đến điểm cho trước χ với độ chênh lệch thời gian ∆η (χ) = ∆ηi (2.94) Điều nói nên ∆η số, không phụ thuộc vào χ thời gian đo η khơng có dịch chuyển đỏ Tuy nhiên đồng hồ nguyên tử thiên hà không đo η mà đo τ hay thời gian t ∆t ∆t = a∆η, từ (2.94), suy ∆t/a tín số,với chênh lệch thời gian hai tín hiệu tỉcó1/ν, lệra trực theo a Đối sóng liênVìtục số ν, đỉnh thể xem hiệu, khoảng thời gian giữavới haitần tín hiệu ∆t = tiếp vìnhư aν = [hằng số] (2.95) Điều nàyν cho dịch chuyển đỏ ánh sáng vũ trụ nở a tăng phảitagiảm Theo (2.95), tần số mà sóng tới điểm χ a(η a(a(η) η) − χ )aηi ν(χ) = = (2.96) ν(i) ν(i) i tần số phát Nếu khoảng cách nguồn phát máy thu nhỏ (χ ≪ 1), ta lấy[ gần a (η ]− χ) theo bậc a˙ (η) (2.97) Cho nên ν(χ) ≃ a−χ a(η) ν(i) +·· · ν (χ) − ν (i) a˙ (η ) ≃ −χ ν(i) a(η) Theo bước sóng λ = c/ν, ta viết λ(χ) − λ(0) a˙ (η ) (2.98) ≃ +χ (2.99) l = a (η) χ (2.99) có dạng quy luật Hubble (2.100) λ(0) a(η) Khoảng cách nguồn phát máy thu, η, xác định theo (2.31)) a˙ λ(χ) − λ(i) λ(i) ≃ a l (2.101) Từ ta đồng số Hubble a˙2 H = a Vì a = ada/dt, nên ta viết da a dt (2.102) (2.103) Trong thu định luật Hubble, ta coi khoảng cách l khoảng cách metric khoảng cách theo metric không thời gian Trên thực tế, nhà thiên văn tính khoảng cách theo độ trưng khoảng cách xuất quy luật Hubble tỉ lệ với bậc hai mặt cầu khơng phải bán kính cầu Đối với khoảng cách nhỏ khác không quan trọng độ dài độ trưng (luminosity distance) trùng với độ dài metric Nếu muốn có khác ta phải thêm bậc cao khai triển a (η − χ) Chú ý với biểu thức (2.102) cho H , ta có phương trình Einstein sau (H + K ) = 8πGρ + Λ (2.104) a2 K = +1 K = −1 tương ứng cho trường hợp độ cong dương âm Biểu thức dẫn tới a2 = K H (Ω − + (2.105) Λ/3H2) Tính chất thú vị mơ hình Friedmann mơ hình khác với điều kiện Big-Bang ban đầu là: vũ trụ có phần nhìn thấy (visible) khơng nhìn thấy (invisible) Xét tín hiệu ánh sáng gửi từ gốc χ = vũ trụ bắt đầu χηχi = điểm xácsẽđịnh tínánh hiệu ánh sáng điểm = η [xem (2.93)] Ngược lại,theo tín η, hiệu sáng từ điểm vũTại trụthời bắt đầu tới gốc, bất kỳphát tín hiệu ánhtớisáng phát từ điểm xa cần thời gian dài để đến gốc Như vậy, người quan sát gốc, mặt phẳng χ = η (2.106) biên giới vũ trụ quan sát Biên giới gọi đường chân trời hạt (particle horizon) hay đường chân trời vật thể (object horizon), cho biết: nơi xa mà ta quan sát Nếu ta nhìn vùng xa xơi vũ trụ, ta thấy vùng có từ thời điểm lâu, mà ánh sáng tới ta bắt đầu hành trình Nếu nhìn vào đường chân trời vũ trụ chúng ta, ta thấy vật chất lúc ban đầu Ta nhìn thầy cầu lửa ban đầu (primordial fireball) Khi đường chân trời nở ra, ngày nhiều phần cầu lửa tới vũ trụ quan sát Tất nhiên, đường chân trời, dịch chuyển đỏ vô hạn [xem (2.96)] ánh sáng yếu để nhìn thấy Khoảng cách đo ánh đượcsáng thời sát điểm chân trờihiện mà từ phátđiểm ηl = a người (η) χ quan l = a (η) η (2.107) Trong dạng này, phương trình cho tất mơ hình vũ trụ dựa hình học Robertson-Walker Để biểu diễn khoảng cách tới đường chân trời hàm thời gian t, ta phải đánh giá a η theo t Đối với mơ hình Friedmann, phương trình cho a (η) η (t) cho Mục trước Đối với mơ hình này, khoảng cách đường chân trời l hữu hạn, có đường chân trời Với mơ hình tổng quát hơn, với hàm a= (η) ηta(t) khác, tồn đường chân(2.104) trời phụ t phải thuộc vào: số dt/a, ηvàxuất ởbiểu vếsự phương hữu hạn Vìthừa dη diễn η (t) trình (2.108) ∫ ′ ′ a(t )dt η(t) = Điều kiện cho tồn đường chân trời tích phân hữu hạn Rõ ràng tíchlà phân hữu0 hạn dãy t,rằng nghĩa a (t)(2.101) → t với < nkhi