VŨ TRỤ HỌC
2.5 Chuyển động của ánh sáng đường chân trời của các hạt.
các hạt.
Tín hiệu ánh sáng theo đường dạng ánh sáng, nghĩa là ds2 = 0. Nếu đặt gốc toạ độ tại nguồn sáng, khi đó ánh sáng sẽ đi theo trục (dθ = dϕ = 0), vì vậy cho tất cả các mô hình của ta về vũ trụ
0 =a(η)(
dη2 − −dχ2)
(2.91) Nhắc lại: χ là biến độ dài trục, η là thời gian.
Phương trình của đường dạng ánh sáng phát ra tại thời điểm ban đầu, tham số ηi sẽ là
χ = η − −ηi (2.92)
Điều này có nghĩa là trong mặt phẳng χ−η không thời gian, các quỹ đạo (worlline) của ánh sáng là tại 450.
Giả sử rằng ánh sáng phát ra từ nguồn tại χ = 0: thứ nhất khi tham số thời gian là ηi , thứ hai khi ηi + ∆ηi. Quỹ đạo sẽ là
χ = η − −ηi,
χ = η − (ηi + ∆ηi)
(2.93)
Như vậy hai tín hiệu ánh sáng đến điểm cho trước bất kỳ χ với độ chênh lệch thời gian
∆η(χ) = ∆ηi (2.94)
Điều này nói nên ∆η là hằng số, không phụ thuộc vào χ và như vậy nếu thời gian đo bằng η thì sẽ không có dịch chuyển đỏ. Tuy nhiên đồng hồ
nguyên tử trên các thiên hà không đo bằng η mà đo bằng τ hay thời gian
t. Vì ∆t = a∆η, từ (2.94), suy ra ∆t/a vẫn là hằng số, chênh lệch thời gian ∆t giữa hai tín hiệu tỉ lệ trực tiếp theo a. Đối với các sóng liên tục
với tần số ν, mỗi đỉnh có thể xem như là tín hiệu, khoảng thời gian giữa hai tín hiệu bằng ∆t= 1/ν, và vì vậy
aν = [hằng số] (2.95)
Điều này cho ta dịch chuyển đỏ của ánh sáng trong vũ trụ đang nở. a tăng và ν phải giảm.
Theo (2.95), tần số mà sóng đi tới điểm χ là
ν(χ) =ν(i)a(ηi)
aη = ν(i)
a(η −χ)
a(η) (2.96)
trong đó i là tần số phát ra. Nếu khoảng cách giữa nguồn phát và máy thu là nhỏ (χ ≪1), thì ta có thể lấy gần đúng a(η −χ) theo bậc nhất ν(χ) ≃ ν(i) [ a−χa(η)˙ a(η) + · · · ] (2.97) Cho nên ν(χ)−ν(i) ν(i) ≃ −χa(η)˙ a(η) (2.98)
Theo bước sóng λ = c/ν, ta có thể viết λ(χ)−λ(0)
λ(0) ≃+χa(η)˙
a(η) (2.99)
Khoảng cách giữa nguồn phát và máy thu, tại η, xác định theo (2.31))
l = a(η)χ (2.100)
và (2.99) có dạng quy luật Hubble
λ(χ)−λ(i) λ(i) ≃ a˙
Từ đây ta có thể đồng nhất hằng số Hubble
H = a˙
a2 (2.102)
Vì a = ada/dt, nên ta còn có thể viết
1
a da
dt (2.103)
Trong khi thu định luật Hubble, ta đã coi khoảng cách l là khoảng cách metric là khoảng cách theo metric không thời gian. Trên thực tế, các nhà thiên văn tính khoảng cách theo độ trưng và như vậy khoảng cách xuất hiện trong quy luật Hubble tỉ lệ với căn bậc hai của mặt cầu chứ không phải bán kính cầu. Đối với khoảng cách nhỏ sự khác nhau là không quan trọng và độ dài độ trưng (luminosity distance) trùng với độ dài metric. Nếu muốn có sự khác nhau này ta phải thêm bậc cao hơn trong khai triển
a(η −χ).
Chú ý rằng với biểu thức (2.102) choH , ta có phương trình Einstein như sau 3 ( H2 + K a2 ) = 8πGρ+ Λ (2.104)
trong đó K = +1 hoặc K = −1 tương ứng cho trường hợp độ cong dương và âm. Biểu thức này dẫn tới
a2 = K
H2(Ω−1 + Λ/3H2) (2.105) Tính chất thú vị của các mô hình Friedmann và các mô hình khác với điều kiện Big-Bang ban đầu là: vũ trụ có phần nhìn thấy (visible) và không nhìn thấy (invisible). Xét tín hiệu ánh sáng gửi từ gốc χ = 0 khi vũ trụ
bắt đầu tại ηi = 0. Tại thời điểm xác định theo η, tín hiệu ánh sáng này sẽ
tới điểm χ = η [xem (2.93)]. Ngược lại, tín hiệu ánh sáng phát ra từ điểm này χ khi vũ trụ đã bắt đầu sẽ tới gốc, nhưng bất kỳ tín hiệu ánh sáng phát ra từ điểm xa hơn sẽ cần thời gian dài hơn để đến gốc. Như vậy, đối với người quan sát ở gốc, mặt phẳng
χ = η (2.106)
là biên giới của vũ trụ quan sát được. Biên giới này được gọi là đường chân trời của hạt (particle horizon) hay đường chân trời vật thể (object horizon), vì nó cho biết: đây là nơi xa nhất mà ta có thể quan sát được. Nếu ta nhìn ra vùng xa xôi của vũ trụ, ta thấy vùng này có từ thời điểm rất lâu, khi mà ánh sáng tới ta hiện nay bắt đầu hành trình của mình. Nếu nhìn vào đường chân trời của vũ trụ chúng ta, ta sẽ thấy vật chất tại lúc ban đầu. Ta nhìn thầy quả cầu lửa ban đầu (primordial fireball). Khi đường chân trời nở ra, ngày càng nhiều phần của quả cầu lửa tới vũ trụ quan sát được của chúng ta. Tất nhiên, tại đường chân trời, dịch chuyển đỏ là vô hạn [xem (2.96)] và vì vậy ánh sáng sẽ rất yếu để nhìn thấy.
Khoảng cách hiện tại đo được tại thời điểm η giữa người quan sát và điểm chân trời mà từ đó ánh sáng phát ra là l = a(η)χ hoặc
l = a(η)η (2.107)
Trong dạng này, phương trình là đúng cho tất cả các mô hình vũ trụ dựa trên hình học Robertson-Walker. Để biểu diễn khoảng cách này tới đường chân trời như là hàm của thời gian t, ta phải đánh giá a và η theo t.
Đối với các mô hình Friedmann, các phương trình choa (η) và η(t) được cho ở Mục trước. Đối với các mô hình này, khoảng cách đường chân trời l là hữu hạn, như vậy có đường chân trời. Với các mô hình tổng quát hơn, với hàm a (η) và η(t) khác, sự tồn tại của đường chân trời phụ thuộc vào: thừa số η xuất hiện ở vế phải của phương trình (2.104) là hữu hạn. Vì dη = dt/a, ta có thể biểu diễn η(t) như là
η(t) = t ∫ 0 dt′ a(t′) (2.108)
Điều kiện cho sự tồn tại của đường chân trời là tích phân trên hữu hạn. Rõ ràng rằng tích phân (2.101) hữu hạn khi a (η) gần t biến thiên giống dãy của t, nghĩa là a(t) → tn với 0< n < 1.
Khi đường chân trời nở như hàm của thời gian, thì khoảng cách cũng vậy l = a(η)χ . Tỉ số của sự tăng của khoảng cách này với đường chân trời là dl dt = da dtη +a dη dt = Haη+ 1 = Hl + 1 (2.109)
Rât hay khi so sánh tốc độ này với tốc độ lùi lại của hạt đồng chuyển động tới khoảng cách như vậy. Tại thời điểm η, khoảng cách tới hạt này
là l = a(η)χ (trong đó χ cố định) và tốc độ là dl dt = da dtχ = da dtη = Hl (2.110)
Như vậy, tốc độ lùi lại của đường chân trời hơn vận tốc lùi lại của hạt là 1, nghĩa là theo (bằng) vận tốc của ánh sáng. Tất nhiên diều này phù hợp với sự đánh giá cảm tính khi ngày càng có nhiều hạt đi vào vùng quan sát được của vũ trụ. Đối với mô hình độ cong dương, thể tích của vùng quan
sát được của vũ trụ là
2π2a3(η−sinηcosη)/π (2.111) Thừa số (η −sinηcosη)/π cho phần quan sát được của vũ trụ tới người quan sát tại điểm cố định. Thừa số này nói chung tăng. Tại thời điểm tăng cực đại (η = π), toàn bộ thể tích được nhìn thấy. Tại điểm co rụp
(collapse) (η = 2π), ánh sáng hoàn thành chuyến đi quanh vũ trụ và toàn bộ vũ trụ nhìn thấy gấp đôi (mỗi điểm nhìn thấy từ hai hướng đối đầu).
KẾT LUẬN
Đối chiếu với mục đích nghiên cứu của đề tài, đề tài “tìm hiểu về vũ trụ học” đã cơ bản hoàn thành được nhiệm vụ đề ra.
- Xây dựng được hệ thống lý thuyết cơ sở và đưa ra được phương trình Einstein tổng quát.
- Nghiên cứu vũ trụ dựa vào vật lý học hiện đại, đề tài đã chỉ ra được tọa độ đồng chuyển động-Robertson-Walker metric và từ đó chỉ ra được các trường hợp khác nhau của không gian có độ cong không đổi. Với độ cong dương thể tích ba chiều lúc này sẽ là hữu hạn và đóng, với độ cong âm và zero thể tích ba chiều lúc này sẽ là vô hạn và mở.
- Tương tự với các mô hình đồng nhất đẳng hướng của vũ trụ (mô hình Fiedmann và mô hình Lemaitre rỗng) luận văn cũng đã chỉ ra được các trạng thái khác nhau của thể tích ba chiều và sự phụ thuộc vào thời gian và chuyển động của ánh sáng đường chân trời của các hạt.
Qua thời gian thực hiện đề tài nghiêm túc, khẩn trương tôi đã bước đầu tìm hiểu và làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong được bạn đọc góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.