Tích phân itô

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN ÁNH TUYẾT TÍCH PHÂN ITÔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Trung Dũng Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo khoa Toán giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, em xin cảm ơn anh Phạm Văn Duẩn nhiệt tình giúp đỡ em trình làm khóa luận em xin cảm ơn bạn lớp K35CN TOÁN nghành cử nhân Toán, khoa Toán nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập lớp Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Ánh Tuyết LỜI CAM ĐOAN Tên em là: Nguyễn Ánh Tuyết, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Tích phân Itô”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực khóa luận em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Ánh Tuyết Mục lục MỞ ĐẦU Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian Hilbert biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian biến ngẫu nhiên đơn giản 1.1.2 Ví dụ 10 1.2 Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.2.1 Hội tụ bình phương trung bình 1.2.2 Hội tụ theo xác suất 1.2.3 Hội tụ hầu chắn( Hội tụ với xác suất 1) 1.2.4 Hội tụ yếu 1.2.5 Luật số lớn Định lí giới hạn trung tâm 1.2.6 Ví dụ 1.3 Không gian Hilbert trình ngẫu nhiên 13 13 14 14 15 15 16 17 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Một số ví dụ hội tụ dãy trình ngẫu nhiên 17 19 Chương Tích phân ngẫu nhiên Itô 22 2.1 Tích phân có dạng t a f (s, ω)ds 2.1.1 Tích phân hàm đơn giản 2.1.2 Tích phân hàm 2.1.3 Ví dụ 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô hàm đơn giản 2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng ab f (s)dW (s) 2.2.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng at f (s)dW (s) 2.2.4 Tính chất tích phân Itô 22 22 24 25 25 25 27 27 28 2.2.5 Một số ví dụ 29 2.3 Vi phân ngẫu nhiên công thức Itô 30 2.3.1 Định nghĩa (Vi phân ngẫu nhiên Itô) 2.3.2 Công thức Itô 2.3.3 Ví dụ 30 30 34 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói giải tích toán học lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân tích phân Từ cuối kỷ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Ngày nay, giải tích ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất- thống kê đại, có ứng dụng rộng rãi tất lĩnh vực khác công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, nông nghiệp Và dạy hầu hết trường đại học nước, thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển Trong tích phân Itô khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây dựng nên lớp trình ngẫu nhiên Itô, chúng có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Để hiểu rõ tích phân Itô nên em chọn đề tài “Tích phân Itô” cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Tích phân Itô khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên, xây dựng theo trình Wiener từ họ xây dựng nên lớp trình ngẫu nhiên Itô Khóa luận em trình bày tích phân Itô Khóa luận gồm chương: • Chương 1: Cơ sở lý thuyết • Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô Mục đích- Yêu cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Tích phân ngẫu nhiên Itô kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực đề tài • Nơi hoàn thành khóa luận (những khó khăn thuận lợi) Nội dung Tên đề tài Tích phân Itô Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Cơ sở lý thuyết - Không gian Hilbert biến ngẫu nhiên - Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên - Không gian Hilbert trình ngẫu nhiên • Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô - Tích phân có dạng at f (s, ω)ds - Tích phân ngẫu nhiên Itô - Vi phân ngẫu nhiên công thức Itô Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Phương pháp quan sát, đọc sách Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian Hilbert biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian biến ngẫu nhiên đơn giản Định nghĩa 1.1.1 (biến ngẫu nhiên đơn giản) Cho (Ω, A , P) không gian xác suất Cho A ∈ A IA hàm tiêu A Nghĩa là, IA biến ngẫu nhiên định nghĩa IA (ω) = ω ∈ Ai ngược lại Ta có E(IA ) = P(A) Khi tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm tiêu gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản X có dạng n X(ω) = ∑ ci IAi (ω) n E(X) = ∑ ci P(Ai ) i=1 i=1 Định nghĩa 1.1.2 Không gian biến ngẫu nhiên đơn giản Kí hiệu SRV = {X : X biến ngẫu nhiên đơn giản định nghĩa không gian xác suất (Ω, A , P)} Ta có tổng hai biến ngẫu nhiên đơn giản tích số với biến Giả thiết (c3) f không dự báo [a,b] chất hiểu f (t, ω) không phụ thuộc vào thời gian t với t > t Do đó, E( f (t)(W (t ) − W (t))) = E( f (t))E(W (t ) −W (t)) = với a ≤ t ≤ t ≤ b Ví dụ, f1 (t) = 3cos(W (t)) + 4W (t) − 5t không dự báo f2 (t) = W ((t +b)/2) dự báo với a < t < b Thật vậy, E( f1 (t)(W (t )− W (t))) = với t > t t −t (b − t)/2 E( f2 (t)(W (t ) −W (t))) = t < t ≤ (t + b)/2 nếu(t + b)/2 ≤ t ≤ b Trong kết chương trước, tập hợp hàm đơn giản SSP ⊂ HSP trù mật HSP Cho a = t0 < t1 < · · · < tm−1 < tm = b phân hoạch [a,b], max |ti − ti−1 | −→ 1≤i≤m m → ∞ đặt Ii (t) = ti ≤ t ≤ ti+1 ngược lại với i = 0, 1, 2, , m − Hơn nữa, đặt m−1 fm (t, ω) = ∑ (m) fi (ω)Ii (t), i=0 (m) fi ∈ HRV với i m, dãy hàm đơn giản SSP hội tụ tới f Tức với ε > cho trước, tồn M > cho f − fm SP < ε m ≥ M Định nghĩa 2.1.1 (Tích phân hàm đơn giản) m−1 Cho fm (t, ω) = ∑ (m) fi (ω)Ii (t) hàm đơn giản SSP Khi i=0 tích phân b a f m (s)ds kí hiệu J( fm ) định nghĩa sau m−1 b J( fm ) = a fm (s)ds = ∑ i=0 23 (m) fi (ti+1 − ti ) Mệnh đề 2.1.1 J( fm ) ∈ HRV Chứng minh Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có J( fm ) RV b = E a m−1 fm (s)ds ≤ m−1 ∑ (ti+1 − ti )E i=0 b = (b − a)E a ∑ (m) fi (ti+1 − ti ) i=0 | fm (s)|2 ds = (b − a) fm SP < ∞ Mệnh đề 2.1.2 {J( fm )}∞ m=1 dãy Cauchy HRV Chứng minh Xét RV = E J( fm ) − J( fn ) b a ( fm (t) − fn (t))dt ≤ (b − a) fm − fn SP → m, n → ∞ Vế phải nhỏ cách tùy ý { fm }∞ m=1 dãy Cauchy HSP Vì vậy, J( fm ) hội tụ HRV m → ∞, giới hạn thu kí hiệu J( f ) 2.1.2 Tích phân hàm Định nghĩa 2.1.2 Cho f ∈ HSP dãy { fm }∞ m=1 ∈ HSP cho f − f m SP → m → ∞ b Khi tích phân a f (s)ds kí hiệu J( f ) định nghĩa b J( f ) = f (s)ds = lim a m−1 b m→∞ a fm (s)ds = lim ∑ m→∞ i=0 24 (m) fi (ti+1 − ti ) 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 2.1 (Tích phân hàm trình Wiener) Xét J(e−W ) = 0T exp(−W (t))dt W (t) trình Wiener đoạn [0, T ] Khi ta có −W E(J(e T )) = E exp(−W (t))dt = E T = T = (−W (t))k ∑ k! dt k=0 T ∞ (−W (t))k E∑ dt = k! k=0 (t/2) j ∑ j! dt j=0 T ∞ ∞ et/2 dt = 2(eT /2 − 1) 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô Cho f ∈ HSP giả thiết f thỏa mãn giả thiết (c1), (c2), (c3) 2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô hàm đơn giản Định nghĩa 2.2.1 m−1 Với fm ∈ SSP hàm không dự báo được, fm (t, ω) = (m) fi ∈ HRV với i m Khi tích phân I( fm ) = a fm (s)dW (s) = ∑ i=0 ∆Wi = W (ti+1 ) −W (ti ) Chú ý 2.2.1 25 (m) fi (ω)Ii (t) i=0 b a f m (s)dW (s) định nghĩa m−1 b ∑ (m) fi ∆Wi , I( fm ) ∈ HRV m−1 RV I( fm ) = E ∑ (m) fi ∆Wi m−1 = i=0 b = a (m) fi ∑ RV ∆ti i=0 E | fm (t)|2 dt = fm SP , ∆ti = ti+1 − ti với i = 0, 1, , m − Vì vậy, fm ∈ SSP , I( fm ) (m) Cho a = t0 (m) (m) RV = fm SP (m) < · · · < tm = b họ phân hoạch [a, b], < t1 ti = i∆t + a với i = 0, 1, , m ∆t = (b − a)/m Định nghĩa dãy { f m }∞ m=0 ⊂ SSP m−1 fm (t, ω) = ∑ (m) f (tim , ω)Ii (t) i=0 (m) Ii (t) = (m) (m) ti ≤ t ≤ ti+1 ngược lại Từ điều kiện (c2) ta có f − fm SP b = a E | f (t) − fm (t)|2 dt (m) m−1 = ∑ i=0 ti+1 (m) ti (m) m−1 ≤ k2 ∑ i=0 E | f (t) − fm (t)|2 dt ti+1 (m) (t − ti )dt (m) ti k2 m−1 b − a = ∑ m i=0 k2 (b − a)2 = 2m Từ ta có fm → f HSP m → ∞ Dãy { fm }∞ m=0 dãy Cauchy SSP hội tụ đến f ∈ HSP Xét I( fm ) ∈ HRV với m = 0, 1, 2, Đặc biệt, I( fm ) − I( fn ) RV b = E a = ( fm (t) − fn (t))dW (t) fm − fn SP → m, n → ∞ Dãy {I( fm )}∞ m=1 dãy Cauchy HRV có giới hạn HRV 26 2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng b a f (s)dW (s) Định nghĩa 2.2.2 m−1 Cho f ∈ HSP thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3), fm (t, ω) = ∑ (m) f (tim , ω)Ii (t) i=0 b a hội tụ đến f HSP m → ∞ Tích phân m−1 b I( f ) = lim m→∞ a (m) ti fm (t)dW (t) = lim ∑ m→∞ f (t)dW (t) định nghĩa (m) f (ti (m) (m) ) W (ti+1 ) −W (ti ) , i=0 = a + i( b−a m ) hội tụ HRV Mệnh đề 2.2.1 Giới hạn I( f ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy fm Chứng minh Giả sử cho dãy { fm }∞ f − fm SP → m=1 ∈ HSP cho m → ∞ Ta giả thiết I( fm ) → I( f ), m → ∞ Ta chứng minh I( f ) ≡ I( f ) Xét I( f ) − I( f ) RV = I( f ) − I( fm ) + I( fm ) − I( f ) RV −I( fm ) + I( fm ) ≤ I( f ) − I( fm ) RV + I( fm ) − I( f ) RV + I( fm ) − I( fm ) RV Xét I( fm ) − I( fm ) RV = E(I( fm ) − I( fm )2 ) = E( b b a f m (s)dW (s) − a f m (s)dW (s)) b = E( ab ( fm (s) − fm (s))dW (s))2 = a E( f m (s) − f m (s)) ds = fm − fm SP = fm − f SP + f − fm SP →0 (m → ∞) Từ ta cho m → ∞ ta I( f ) ≡ I( f ) 2.2.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng t a f (s)dW (s) Định nghĩa 2.2.3 m−1 Cho f ∈ HSP thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3) fm (t, ω) = hội tụ đến f HSP m → ∞ Tích phân m−1 I( f )(t) = lim ∑ m→∞ (m) f (ti t a (m) i=0 (m) 27 ) , (m) f (tim , ω)Ii f (t)dW (t) định nghĩa ) W (ti+1 ) −W (ti i=0 ∑ (t) (m) ti 2.2.4 = a + i( t−a m ) hội tụ HRV Tính chất tích phân Itô Tính chất 2.2.1 I(f + g) = I(f) + I(g) Tính chất 2.2.2 I(cf) = cI(f) Tính chất 2.2.3 E(I(f)) = Chứng minh Cho m−1 I( f ) = lim I( fm ), fm (t) = m→∞ ∑ (m) f (ti (m) )Ii (t) i=0 (m) Ii (t) = (m) (m) ti ≤ t ≤ ti+1 ngược lại với ε > tồn M cho I( f ) − I( fm ) đẳng thức Lyapunov, RV < ε m > M Từ bất |E(I( f ) − I( fm ))| ≤ (E |I( f ) − I( fm )|2 )1/2 < ε m > M Ta thấy m−1 (m) E(I( fm )) = E( ∑ f (ti )∆Wi ) = với giá trị m i=0 Ta có |E(I( f ))| ≤ |E(I( f ) − I( fm ))| + |E(I( fm ))| < ε m > M Khi ε tùy ý E(I( f )) = Tính chất 2.2.4 E |I( f )|2 = b a E | f (t)| dt 28 Chứng minh Tiếp tục chứng minh chứng minh tính chất 2.2.3 Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có, I( fm ) RV − I( f ) − I( fm ) RV ≤ I( f ) ≤ I( fm ) RV RV + I( f ) − I( fm ) RV Từ ta có I( fm ) RV −ε ≤ I( f ) RV ≤ I( fm ) RV +ε m > M Ta m−1 I( fm ) = RV ∑ i=0 b → (m) E f (ti ) E | f (t)|2 dt b−a m 1/2 1/2 m → ∞ a Với ε giá trị tùy ý, I( f ) RV = E b b f (t)dW (t) = a E | f (t)|2 dt a Tích phân J( f ) thỏa mãn tính chất 2.2.1 tính chất 2.2.2 không thỏa mãn tính chất 2.2.3 tính chất 2.2.4., tích phân I( f ) thỏa mãn tính chất 2.2.1 - 2.2.4 2.2.5 Một số ví dụ Ví dụ 2.2 Trung bình bình phương trung bình tích phân ngẫu nhiên Cho I( f ) = tdW (t) Từ tính chất 2.2.3 2.2.4 tích phân Itô ta có 1 t dt = Ví dụ 2.3 Trung bình bình phương trung bình tích phân ngẫu nhiên E(I( f )) = E(|I( f )| ) = Cho I( f ) = ta có W (t)dW (t) Từ tính chất 2.2.3 2.2.4 tích phân Itô 2 E |W (t)| dt = E(I( f )) = E(|I( f )| ) = 29 tdt = 2.3 Vi phân ngẫu nhiên công thức Itô 2.3.1 Định nghĩa (Vi phân ngẫu nhiên Itô) Quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈ [a, b]} xác định không gian xác suất (Ω, A , P) gọi có vi phân ngẫu nhiên Itô dX(t) = f (t)dt + g(t)dW (t) với a < t < b (2.1) thỏa mãn t X(t) = X(a) + t g(s)dW (s) với a ≤ t ≤ b, f (s)ds + a (2.2) a f , g ∈ HSP cho P{ω : ab | f (t, ω)| dt < ∞} = 1, X(a) ∈ HRV , P{ω : ab |g(t, ω)| dt < ∞} = f g thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3) 2.3.2 Công thức Itô Một số giả thiết • Giả thiết (c4): Với hàm G : [a, b] × R → R, tồn số không âm k3 cho với t1 ,t2 ∈ [a, b] X ∈ HSP E |G(t2 , X(t2 )) − G(t1 , X(t1 ))|2 ≤ k3 (|t2 − t1 | + E |X(t2 ) − X(t1 )|2 ) • Giả thiết (c5): Với hàm G : [a, b] × R → R G(a, X(a)) ∈ HRV X(a) ∈ HRV Định lý 2.3.1 ( Công thức Itô) Cho X ∈ HSP thỏa mãn (2.2) với t ∈ [a, b], f g thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3) f (t) RV , g2 (t) RV ≤ k4 với t ∈ [a, b] Cho F hàm theo biến t x Giả thiết F(t, x) có đạo hàm liên tục ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) , , , , với t ∈ [a, b] x ∈ R ∂t ∂x ∂ x2 ∂t ∂ x∂t 30 hàm F đạo hàm thỏa mãn giả thiết (c4) (c5) Giả sử hàm f (t) ∂ F(t, x) , ∂x ∂ F(t, x) g (t) , ∂ x2 g(t) ∂ F(t, x) ∂x thỏa mãn giả thiết (c4) (c5) Đặt ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) ∂ F(t, x) f˜(t, x) = + f (t) + g (t) ∂t ∂x ∂ x2 g(t, ˜ x) = g(t) ∂ F(t, x) ∂x F thỏa mãn vi phân ngẫu nhiên dF(t, X(t)) = f˜(t, X(t))dt + g(t, ˜ X(t))dW (t) (2.3) Chứng minh Cho fˆ(t) ≡ f˜(t, X(t)) g(t) ˆ ≡ g(t, ˜ X(t)) X(t) thỏa mãn vi phân ngẫu nhiên (2.2) Ta fˆ gˆ thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3) Do cho Y(t) trình ngẫu nhiên HSP thỏa mãn vi phân ngẫu nhiên dY (t) = fˆ(t)dt + g(t)dW ˆ (t) với Y (a) = F(a, X(a)) Do đó, t Y (t) = F(a, X(a)) + t fˆ(s)ds + a g(s)dW ˆ (s) với a ≤ t ≤ b a Bây ý hàm G thỏa mãn giả thiết (c4) X thỏa mãn (2.2) tồn số k5 > cho E |G(t2 , X(t2 )) − G(t1 , X(t1 ))|2 ≤ k5 |t2 − t1 | với t1 ,t2 ∈ [a, b] Vì vậy, sử dụng kết G thỏa mãn giả thiết (c4) - (c5) X thỏa mãn (2.2) tồn số k6 > cho G(t, X(t)) RV ≤ k6 với t ∈ [a, b] Cố định t ∈ [a, b] cho tk = a + k∆t, ∆t = (t − a)/m, ∆Wk = W (tk+1 ) −W (tk ) với k = 0, 1, , m Theo định lí Taylor, tồn θk , ≤ θk ≤ 31 cho k )) F(tk+1 , X(tk+1 )) = F(tk , X(tk )) + ∂ F(tk∂t,X(tk )) ∆t + ∂ F(tk∂,X(t ∆Xk x ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk + θk ∆Xk )) g (tk ) ∆t + (∆t)2 2 ∂x ∂t ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk + θk ∆Xk )) ∆t∆Xk ∂ x∂t ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk + θk ∆Xk )) − ) (∆Xk ) ( ∂ x2 ∂ x2 ∂ F(tk , X(tk )) ((∆Xk )2 − g2 (tk )∆t) ∂ x2 + + + + ∆Xk εk = X(tk+1 ) − X(tk ) = f (tk )∆t + g(tk )∆Wk + εk tk+1 = tk tk+1 ( f (t) − f (tk ))dt + tk (g(t) − g(tk ))dW (t) giả thiết (c2), εk RV ≤ k2 ((∆t) + (∆t) ) Tổng biểu thức Taylor với k = 0, 1, , m − kết t F(t, X(t)) − F(a, X(a)) − a (m) t fˆ(s)ds − g(s)dW ˆ (s) a (m) = E1 (t) + E2 (t) + · · · + E1 0(m) (t), (m) E1 (t) m−1 = (m) E2 (t) = (m) E3 (t) = tk+1 ∑ ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) − dt ∂t ∂t ∑ ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) f (tk ) − f (t) dt ∂x ∂x k=0 tk m−1 tk+1 k=0 tk m−1 ∑ tk+1 k=0 tk ∂ F(tk , X(tk )) (∆Wk )2 g (t ) −1 k ∂ x2 ∆t 32 dt (m) E4 (t) m−1 ∑ k=0 = m−1 (m) E5 (t) = (m) E6 (t) = (m) E7 (t) ∂ F(t, X(t)) ∂ F(tk , X(tk )) g (tk ) − g (t) dt ∂ x2 ∂ x2 tk+1 tk tk+1 ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) g(tk ) − g(t) dW (t) ∂x ∂x ∑ k=0 tk m−1 ∂ F(t 2 = k , X(tk )) ∂ x2 ∑ k=0 m−1 ∑ (∆Xk )2 − g2 (tk )(∆Wk )2 ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk ) + θk ∆Xk ) (∆t)2 ∂t k=0 m−1 (m) E8 (t) = ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk ) + θk ∆Xk ) ∆t∆Xk ∂t∂ x ∑ k=0 m−1 (m) E9 (t) = ∑ k=0 m−1 (m) E10 (t) = ∑ k=0 ∂ F(tk + θk ∆t, X(tk ) + θk ∆Xk ) − F(tk , X(tk )) (∆Xk )2 ∂x ∂ F(tk , X(tk )) εk ∂x Lấy Y(t) trừ F(t, X(t)) sử dụng bất đẳng thức tam giác ta 10 Y (t) − F(t, X(t)) RV ≤ ∑ (m) Ei (t) RV với t ∈ [a, b] i=1 (m) Ta có Ei (t) RV → m → ∞ với i thỏa mãn ≤ i ≤ 10 với t ∈ [a, b] (m) Thật vậy, F thỏa mãn vi phân (II.3) Ta thấy Ei (t) RV → (m) (m) m → ∞ với i thỏa mãn ≤ i ≤ 10 Chúng ta xét chi tiết E1 E3 số hạng lại làm tương tự (m) Với E1 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giả thiết (c3) ta (m) E1 (t) 2RV = E m−1 ∑ k=0 tk m−1 ≤ E ∑ (∆t)1/2 k=0 tk+1 tk+1 tk ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) − dt ∂t ∂t ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) − ∂t ∂t 33 1/2 2 dt m−1 ≤ (b − a) tk+1 ∑ k=0 tk m−1 ≤ k5 (b − a) ∂ F(tk , X(tk )) ∂ F(t, X(t)) E − dt ∂t ∂t tk+1 ∑ k=0 tk (t − tk )dt ≤ k5 (b − a)2 /(2m) (m) E1 (t) RV → m → ∞ (m) Xét E3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sử dụng độc lập (∆Wk )2 ∂ F(tk , X(tk )) g (tk ) −1 , ∂ x2 ∆t E (∆Wk )2 −1 = ∆t ta (m) E3 (t) RV m−1 ∂ F(tk , X(tk )) g (tk ) ∑ ∆t ∂ x2 k=0 (∆Wk )2 −1 ∆t = E = m−1 ∂ F(tk , X(tk )) (∆Wk )2 g (tk ) E −1 ∑ (∆t) E k=0 ∂ x2 ∆t k62 (b − a)2 , 2m m−1 ≤ k62 ∑ (∆t)2 = k=0 sử dụng giả thiết trình thỏa mãn giả thiết (c3) (c4) để (m) suy tính bị chặn trình Từ biểu thức ta suy E3 (t) RV → m → ∞ 2.3.3 Ví dụ Ví dụ 2.4 Tính tích phân ngẫu nhiên t sdW (s) Cho dX(t) = dW (t) g = f = Cho F(t, x) = tx Áp dụng công thức Itô ta t t d(sW (s)) = t W (s)ds + sdW (s) 34 t t sdW (s) = − W (s)ds + tW (t) 0 t W (s)dW (s) Ví dụ 2.5 Tính tích phân ngẫu nhiên Cho dX(t) = dW (t) g = f = Cho F(t, x) = 12 x2 Áp dụng công thức Itô ta t d( W (s)) = t t ds + W (s)dW (s) t W (s)dW (s) = t W (t) −W (0) − 2 Ví dụ 2.6 Cho dX(t) = W (t)dt X(0) = f = W g = Cho F(t, x) = tx theo công thức Itô ta d(tX(t)) = (X(t) + tW (t))dt Do đó, t tX(t) = t X(s)ds + Vì X(t) = t W (s)ds t áp dụng ví dụ 2.4 ta s t t W (s)ds − W (z)dzds = t sW (s)ds 0 sW (s)ds t W (s)ds − tW (t) = (t + 1) 35 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Tích phân Itô”, em nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: • Cơ sở lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Itô • Tích phân ngẫu nhiên Itô Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo NGUYỄN TRUNG DŨNG ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp đạt mục đích đề Tuy nhiên thời gian có hạn bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn 36 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [2] Trần Trọng Nguyên, Cơ sở tính toán tài chính, giảng chuyên đề, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, 2003 [3] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nxb Khoa học Kĩ thuật, 2000 [4] Trần Hùng Thao, Toán học tài chính, Nxb Khoa học Kĩ thuật, 2004 [5] E.Allen, Modeling with I.to Stochastic Differential Equations, Springer, 2007 [6] I.I Gihman.A.V Skorohod, Stochastic Differential Equations, Springer, 1995 [7] A.D Ventxel, Giáo trình lý thuyết trình ngẫu nhiên, Bản dịch Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến 37 [...]... của tích phân ngẫu nhiên 2 E(I( f )) = 0 và E(|I( f )| ) = Cho I( f ) = ta có 1 0 W (t)dW (t) Từ tính chất 2.2.3 và 2.2.4 của tích phân Itô 1 2 1 2 E |W (t)| dt = E(I( f )) = 0 và E(|I( f )| ) = 0 29 0 1 tdt = 2 2.3 Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô 2.3.1 Định nghĩa (Vi phân ngẫu nhiên Itô) Quá trình ngẫu nhiên {X(t),t ∈ [a, b]} xác định trên không gian xác suất (Ω, A , P) được gọi là có vi phân. .. b b f (t)dW (t) = a E | f (t)|2 dt a Tích phân J( f ) thỏa mãn tính chất 2.2.1 và tính chất 2.2.2 nhưng không thỏa mãn tính chất 2.2.3 và tính chất 2.2.4., tích phân I( f ) thỏa mãn tính chất 2.2.1 - 2.2.4 2.2.5 Một số ví dụ Ví dụ 2.2 Trung bình và bình phương trung bình của tích phân ngẫu nhiên Cho I( f ) = 1 0 tdW (t) Từ tính chất 2.2.3 và 2.2.4 của tích phân Itô ta có 1 1 t 2 dt = 3 0 Ví dụ 2.3... (t))k E∑ dt = k! k=0 (t/2) j ∑ j! dt j=0 T ∞ ∞ 0 et/2 dt = 2(eT /2 − 1) 0 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô Cho f ∈ HSP và giả thiết f thỏa mãn các giả thiết (c1), (c2), (c3) 2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản Định nghĩa 2.2.1 m−1 Với fm ∈ SSP là hàm không dự báo được, fm (t, ω) = (m) fi ∈ HRV với mỗi i và m Khi đó tích phân là I( fm ) = a fm (s)dW (s) = ∑ i=0 trong đó ∆Wi = W (ti+1 ) −W (ti )... 2.2.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng t a f (s)dW (s) Định nghĩa 2.2.3 m−1 Cho f ∈ HSP thỏa mãn các giả thiết (c1) - (c3) và fm (t, ω) = hội tụ đến f trong HSP khi m → ∞ Tích phân là m−1 I( f )(t) = lim ∑ m→∞ (m) f (ti t a (m) i=0 (m) 27 ) , (m) f (tim , ω)Ii f (t)dW (t) được định nghĩa ) W (ti+1 ) −W (ti i=0 ∑ (t) (m) trong đó ti 2.2.4 = a + i( t−a m ) và hội tụ trong HRV Tính chất của tích phân Itô. .. t) dt h T2 = = ∑ 3N i=0 3 Vì vậy XN − W 2SP → 0 khi N → ∞, nghĩa là XN → W trong không gian HSP khi N → ∞ Với N đủ lớn ta có thể xấp xỉ XN (t) cho W(t) 21 Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên Itô t a 2.1 Tích phân có dạng f (s, ω)ds 2.1.1 Tích phân của hàm đơn giản Cho f là quá trình ngẫu nhiên và f ∈ HSP và thỏa mãn các giả thiết: • Giả thiết (c1): f (a) ∈ HRV vì vậy k1 > 0 • Giả thiết (c2): f (t2 )− f (t1... m → ∞, giới hạn thu được kí hiệu là J( f ) 2.1.2 Tích phân của hàm bất kì Định nghĩa 2.1.2 Cho f ∈ HSP và dãy { fm }∞ m=1 ∈ HSP sao cho f − f m SP → 0 khi m → ∞ b Khi đó tích phân a f (s)ds được kí hiệu là J( f ) và được định nghĩa là b J( f ) = f (s)ds = lim a m−1 b m→∞ a fm (s)ds = lim ∑ m→∞ i=0 24 (m) fi (ti+1 − ti ) 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 2.1 (Tích phân của hàm của quá trình Wiener) Xét J(e−W ) = 0T... ∞ 2.3.3 Ví dụ Ví dụ 2.4 Tính tích phân ngẫu nhiên t 0 sdW (s) Cho dX(t) = dW (t) vì vậy g = 1 và f = 0 Cho F(t, x) = tx Áp dụng công thức Itô ta được t t d(sW (s)) = 0 t W (s)ds + 0 sdW (s) 0 34 vì vậy t t sdW (s) = − W (s)ds + tW (t) 0 0 t 0 W (s)dW (s) Ví dụ 2.5 Tính tích phân ngẫu nhiên Cho dX(t) = dW (t) vì vậy g = 1 và f = 0 Cho F(t, x) = 12 x2 Áp dụng công thức Itô ta được t 0 1 d( W 2 (s))... nhiên độc lập và có cùng phân phối n σ2 Giả sử µ = E(Xn ) và = Var(Xn ) Định nghĩa Sn = ∑ Xi và đặt Zn = i=1 √ (Sn − nµ)/(σ n) Khi đó Zn hội tụ theo phân phối tới Z ∼ N[0, 1], nghĩa là lim FZn (x) = FZ (x), n→∞ trong đó FZn là hàm phân phối của Zn và FZ là hàm phân phối chuẩn tắc 1.2.6 Ví dụ Ví dụ 1.5 Hội tụ chắc chắn và hội tụ bình phương trung bình Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0,... SP → 2 0 khi m, n → ∞ Dãy {I( fm )}∞ m=1 là dãy Cauchy trong HRV và do đó có giới hạn trong HRV 26 2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng b a f (s)dW (s) Định nghĩa 2.2.2 m−1 Cho f ∈ HSP thỏa mãn giả thiết (c1) - (c3), fm (t, ω) = ∑ (m) f (tim , ω)Ii (t) i=0 b a hội tụ đến f trong HSP khi m → ∞ Tích phân là m−1 b I( f ) = lim m→∞ a (m) trong đó ti fm (t)dW (t) = lim ∑ m→∞ f (t)dW (t) được định nghĩa (m)... giản Cho X,Y ∈ SRV , ta sẽ định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên SRV như sau : Tích vô hướng Tích vô hướng (X,Y ) được định nghĩa trên SRV là với X,Y ∈ SRV (X,Y ) = E(X.Y ) Chú ý rằng cho X,Y ∈ SRV thì n (X,Y ) = E(X.Y ) = E n n ∑ ∑ ci IAi d j IB j i=1 j=1 n = ∑ ∑ ci d j P(Ai ∩ B j ) i=1 j=1 Chuẩn Chuẩn có dạng X 1/2 RV = (X, X) = (E |X|2 )1/2 Nói chung, không gian tích vô hướng của các biến ngẫu nhiên ... Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô - Tích phân có dạng at f (s, ω)ds - Tích phân ngẫu nhiên Itô - Vi phân ngẫu nhiên công thức Itô Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu... Tích phân ngẫu nhiên Itô 2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô hàm đơn giản 2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng ab f (s)dW (s) 2.2.3 Tích. .. Có thể nói giải tích toán học lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân tích phân Từ cuối kỷ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên