Tích phân itô

Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên.. Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản.. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu Tích phân Itô là một trong những khái niệm quan trọng của

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Trung Dũng Thầy đã giao đề tài và tận tìnhhướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Nhân dịp này emxin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán đãgiảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa

Đồng thời, em xin cảm ơn anh Phạm Văn Duẩn đã nhiệt tình giúp đỡ emtrong quá trình làm khóa luận và em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35CNTOÁN nghành cử nhân Toán, khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quátrình học tập tại lớp

Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Ánh Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Nguyễn Ánh Tuyết, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013lớp K35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin cam đoan đề tài: “Tích phân Itô”, là kết quả nghiên cứu và thu thậpcủa riêng em Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, khôngtrùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong khóa luận emxin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Ánh Tuyết

Mục lục

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 Cơ sở lý thuyết 9

1.1 Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên 9

1.1.1 Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản 9

1.1.2 Ví dụ 10

1.2 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 13

1.2.1 Hội tụ bình phương trung bình 13

1.2.2 Hội tụ theo xác suất 14

1.2.3 Hội tụ hầu chắc chắn( Hội tụ với xác suất 1) 14

1.2.4 Hội tụ yếu 15

1.2.5 Luật số lớn và Định lí giới hạn trung tâm 15

1.2.6 Ví dụ 16

1.3 Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên 17

1.3.1 Định nghĩa 17

1.3.2 Một số ví dụ về sự hội tụ của dãy quá trình ngẫu nhiên 19

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 22

2.1 Tích phân có dạng R t a f(s, ω)ds 22

2.1.1 Tích phân của hàm đơn giản 22

2.1.2 Tích phân của hàm bất kì 24

2.1.3 Ví dụ 25

2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 25

2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản 25

2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng R b a f (s)dW (s) 27

2.2.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng R t a f (s)dW (s) 27

2.2.4 Tính chất của tích phân Itô 28

2.2.5 Một số ví dụ 29

2.3 Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô 30

2.3.1 Định nghĩa (Vi phân ngẫu nhiên Itô) 30

2.3.2 Công thức Itô 30

2.3.3 Ví dụ 34

KẾT LUẬN 36

Tài liệu tham khảo 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói giải tích toán học là lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân

và tích phân Từ cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phéptính vi phân và tích phân cổ điển Tới nửa đầu thế kỷ 20, tích phânngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng Ngày nay, giải tích ngẫu nhiênđóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất- thống kêhiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau nhưcông nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứngkhoán, bảo hiểm, nông nghiệp Và hiện đang được dạy ở hầu hết cáctrường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa họckhông ngừng nghiên cứu và phát triển về nó Trong đó tích phân Itô

là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên Từkhái niệm đó người ta đã xây dựng nên một lớp các quá trình ngẫunhiên Itô, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng Để cóthể hiểu rõ hơn về tích phân Itô nên em đã chọn đề tài “Tích phân Itô”cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Tích phân Itô là một trong những khái niệm quan trọng của giải tíchngẫu nhiên, nó được xây dựng theo quá trình Wiener và từ đó họ đãxây dựng nên một lớp các quá trình ngẫu nhiên Itô

Khóa luận này em trình bày về tích phân Itô

Khóa luận gồm 2 chương:

• Chương 1: Cơ sở lý thuyết

• Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

4 Đối tượng nghiên cứu

Tích phân ngẫu nhiên Itô và các kiến thức liên quan

5 Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

• Thời gian thực hiện đề tài

• Nơi hoàn thành khóa luận (những khó khăn và thuận lợi)

• Chương 1: Cơ sở lý thuyết

- Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên

- Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

- Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên

• Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô

- Tích phân có dạngR t

a f(s, ω)ds

- Tích phân ngẫu nhiên Itô

- Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Phương pháp quan sát, đọc sách

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

1.1.1 Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản

Định nghĩa 1.1.1 (biến ngẫu nhiên đơn giản)

Cho (Ω,A ,P) là không gian xác suất Cho A ∈ A và IA là hàm chỉ tiêucủa A Nghĩa là, IA là biến ngẫu nhiên được định nghĩa

IA(ω) =



1 nếu ω ∈ Ai

0 nếu ngược lại

Ta có E(IA) = P(A) Khi đó tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm chỉ tiêuđược gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì X có dạng

ngẫu nhiên đơn giản cũng là một biến ngẫu nhiên đơn giản.

Cho X ,Y ∈ SRV, ta sẽ định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên SRV như sau :

Tích vô hướng

Tích vô hướng (X ,Y ) được định nghĩa trên SRV là

(X ,Y ) = E(X Y ) với X ,Y ∈ SRV.Chú ý rằng cho X ,Y ∈ SRV thì

Chú ý 1.1.1.

Trong không gian Hilbert HRV tích vô hướng được định nghĩa là

(X ,Y ) = E(XY )chuẩn trong không gian này là

k X kRV= (E |X |2)1/2

và tập hợp các hàm đơn giản trong SRV là trù mật trong HRV

1.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1.1 Không gian Hilbert L2[0, 1]

Xét không gian xác suất (Ω,A ,P) trong đó không gian mẫu là Ω ={x : 0 ≤ x ≤ 1} Không gian các biến cốA là σ - đại số của tập các khoảng

có dạng (a, b] ⊂ [0, 1] Độ đo xác suất P là độ đo Lebesgue trong đó P(A) =

b− a nếu A = [a, b] ∈A Cho SRV là tập tất cả các hàm đơn giản định nghĩatrênA Nếu X ∈ SRV thì biến ngẫu nhiên X có dạng

0 nếu ngược lại

Cho HRV là không gian đủ của SRV Không gian Hilbert HRV bao gồm, ví dụtất cả các biến ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1] Thật vậy, cho f : [0, 1] → R làmột hàm liên tục Đặt xi = (i − 1)/n với i = 1, 2, , n và định nghĩa

0 nếu ngược lại

Ta có dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản { fn}∞

n=1 là dãy Cauchy trong HRV,

k f − fn kRV→ 0 khi n → ∞ Vì vậy, f là giới hạn của dãy các biến ngẫunhiên đơn giản trong không gian HRV và f ∈ HRV Chú ý rằng nếu X (x) = xthì X có phân phối đều trên [0,1],nghĩa là X ∼ U [0, 1]

Không gian Hilbert HRV trong ví dụ này là không gian đầy đủ L2[0, 1],nghĩa là HRV = L2[0, 1] = { hàm f đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho

R 1

0 | f (x)|2dx< ∞} Chú ý rằng với X ,Y ∈ HRV thì

(X ,Y ) =

Z 1 0

X(x)Y (x)dx và k X k2RV=

Z 1 0

|X(x)|2dx

Ví dụ 1.2 Ví dụ về sự hội tụ trong không gian Hilbert HRV = L2[0, 1]Giả sử HRV được định nghĩa như trong ví dụ 1.1 Cho Y ∼ U [0, 1] và dãycác biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được định nghĩa là

Xn(x) =

2Y(x) nếu 1/n ≤ Y (x) ≤ 1

Khi đó k Xn− Xm kRV→ 0 khi m, n → ∞ Vì vậy, {Xn} ⊂ HRV là dãy Cauchytrong HRV, Xn hội tụ trong HRV tới X = 12Y khi n → ∞

1 2

n2x2dx

1 2

=



√n3

1 2

→ ∞ khi n → ∞

Vì vậy, dãy {Xn}∞

n=1 không là dãy Cauchy trong không gian HRV

Ví dụ 1.4 Không gian Hilbert định chuẩn

Xét Ω = {x : −∞ < x < ∞} Kí hiệuA là σ - đại số sinh bởi các khoảngdạng (a, b],A là σ - đại số Borel trên R

Định nghĩa biến ngẫu nhiên X là X (x) = x Với A ⊂A , µ ∈ R và σ > 0 làhằng số Định nghĩa

P(a ≤ X ≤ b) =

Z b a

1

√2πσ2exp

−(s − µ)22σ2

ds

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với trung bình µ vàphương sai σ2, kí hiệu là X ∼ N(µ, σ2)

SRV là không gian các hàm đơn giản trên không gian xác suất (Ω,A ,P) vớitích vô hướng

( f , g) = E( f g) =

Z ∞

−∞ f(s)g(s)p(s)ds với f , g ∈ SRV

HRV là đầy đủ của SRV Khi đó HRV là không gian các biến ngẫu nhiên địnhnghĩa trên R với chuẩn



ds với f ∈ HRV

Tập hợp các biến ngẫu nhiên liên tục f sao choR ∞

−∞| f (s)|2p(s)ds < ∞ là trùmật trong HRV

1.2.1 Hội tụ bình phương trung bình

Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên rất quan trọng trong nghiên cứuphương trình vi phân ngẫu nhiên Xét {Xn}∞

n=1 là một dãy các biến ngẫunhiên xác định trên không gian xác suất (Ω,A ,P)

Định nghĩa 1.2.1.

Dãy biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ bình phương trung bìnhđến biến ngẫu nhiên X nếu

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ mạnh tới X nếu

Bất đẳng thức Lyapunov:

(E(|X |p))1/p ≤ (E(|X|r))1/r khi 0 < p < r

Đặc biệt, với p = 1, r = 2 thì bất đẳng thức Lyapunov quy về bất đẳng thức

E(|X |) ≤ (E(|X |2)1/2)

1.2.2 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.2.3.

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ theo xác suất tới Xnếu với mọi ε > 0 thì

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn(w.p.1) tới X nếu

chắc chắn tới X.

Chú ý 1.2.3.

Hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất Tuy nhiên, hội tụbình phương trung bình không kéo theo hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ hầuchắc chắn không kéo theo hội tụ bình phương trung bình

1.2.4 Hội tụ yếu

Định nghĩa 1.2.5 Hội tụ theo phân phối

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ theo phân phối tớibiến ngẫu nhiên X nếu

lim

n→∞FXn(x) = FX(x),tại tất cả các điểm liên tục của hàm phân phối FX

Định nghĩa 1.2.6 Hội tụ yếu

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

n=1 được gọi là hội tụ yếu tới biến ngẫunhiên X nếu

với mọi hàm trơn f

Một dãy hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ theo phân phối

1.2.5 Luật số lớn và Định lí giới hạn trung tâm

Hai kết quả quan trọng liên quan đến dãy biến ngẫu nhiên đó là luật sốlớn và định lí giới hạn trung tâm

Luật số lớn:

Cho X1, X2, là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối Giả

sử µ = E(Xn) và σ2 = Var(Xn) Định nghĩa Sn =

n

∑

i=1

Xi Khi đó Sn/n → µ

hầu chắc chắn và theo bình phương trung bình Nghĩa là

lim

n→∞E

Sn

Định lí giới hạn trung tâm:

Cho X1, X2, là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối.Giả sử µ = E(Xn) và σ2 = Var(Xn) Định nghĩa Sn =

n

∑

i=1

Xi và đặt Zn =(Sn− nµ)/(σ√n) Khi đó Zn hội tụ theo phân phối tới Z ∼ N[0, 1], nghĩa là

lim

n→∞FZn(x) = FZ(x),trong đó FZn là hàm phân phối của Zn và FZ là hàm phân phối chuẩn tắc

1.2.6 Ví dụ

Ví dụ 1.5 Hội tụ chắc chắn và hội tụ bình phương trung bình

Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0, 1], nghĩa là

X ∼ U[0, 1] và dãy các biến ngẫu nhiên {Xn}∞

E(|Xn− X|2) =

Z 1/n20

x2dx= 1

3n6 → 0 khi n → ∞

Do đó Xn → X theo bình phương trung bình

Ví dụ 1.6 Hội tụ yếu nhưng không là hội tụ bình phương trung bình

Như trong ví dụ 1.1, cho không gian mẫu là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1} vớikhông gian các biến cố A là σ - đại số Borel sinh bởi các khoảng (a, b]trong [0, 1] Giả sử

FXn(x) =

Z x 0

p(s)ds,trong đó

p(s) =



1 nếu s ∈ [0, 1]

0 nếu ngược lại

Tức là X ∼ U [0, 1] và Xn∼ U[1/n, 1 − 1/n], trong đó X và Xn là độc lập Khi

đó với mọi f ∈ C[0, 1],

lim

n→∞

Z 1−1/n 1/n

f(x)pn(x)dx =

Z 1 0

f(x)p(x)dx

vì vậy Xn hội tụ yếu tới X Chý ý, Xn và X là độc lập với mỗi n và do đó

E(|X − Xn|2) = E(X2− 2XXn+ Xn2) → 1

6 khi n → ∞

vì vậy Xn không hội tụ theo bình phương trung bình tới X

1.3.1 Định nghĩa

Xét quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên [0, T] và không gian xácsuất (Ω,A ,P) Cho f (t) = f (t,ω) là quá trình ngẫu nhiên sơ cấp hay hàmngẫu nhiên đơn giản định nghĩa trên [0, T ] × Ω, nghĩa là f có dạng

trong đó 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = T là một phân hoạch trên [0, T] và

E( f (t)g(t))dt,

và chuẩn được định nghĩa là

k f kSP= ( f , f )1/2SP =

Z T 0

f(t, ω) thỏa mãn với hằng số dương k1, k2 sao cho k f (0) k2RV≤ k1 và k

f(t2) − f (t1) k2RV≤ k2|t2− t1| với mọi t1,t2 ∈ [0, T ] Khi đó f ∈ HSP và

E | f(t) − f (0)|2dt+ 2

Z T 0

E | f(0)|2dt ≤ k2T2+ 2k1T.Hơn nữa, theo định lý Fubini

Z T

0

E | f(t)| dt = E

Z T 0

| f (t)| dt và

Z T 0

E | f(t)|2dt = E

Z T 0

| f (t)|2dt

Với f ∈ HSP, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

|( f , g)SP| ≤k f kSPk g kSP

Z T 0

E | f(t)|2dt

!1/2

Z T 0

E | f(t)| dt ≤ T1/2

Z T 0

E | f(t)|2dt

!

Ngoài ra, từ bất đẳng thức tam giác k f + g kSP≤k f kSP + k g kSP áp dụngvới f , g ∈ HSP cụ thể là

Từ đó ta có k fN− W kSP→ 0 khi N → ∞, dãy các quá trình ngẫu nhiên{ fN}∞

N=1 hội tụ tới W trong HSP

k Xn−W k2SP=

Z T 0

E(Xn(t) −W (t))2dt =

Z T 0

E(W (t))2 1

n2dt =

T22n2.

Từ đó ta thấy Xn hội tụ tới W trong HSP khi n → ∞

exp(−X (t))dt =

Z T 0

Z λ T 0

xiexp(−x)dx

Vì vậy, khi T → ∞ thì Bi(λ T ) → i! và E(R ∞

λ (e−1)

Ví dụ 1.10 Xấp xỉ quá trình Wiener

Xét đoạn 0 ≤ t ≤ T và cho ti = ih với i = 0, 1, , N trong đó h = T /N.Cho W (t) ∼ N(0,t) là quá trình Wiener Quá trình ngẫu nhiên XN(t) liên tụctrên từng đoạn của phân hoạch của [0, T] được định nghĩa bởi

XN(t) = W (ti)ti+1− t

h +W (ti+1)

t− tihvới ti ≤ t ≤ ti+1 và i = 0, 1, , N − 1 Chú ý rằng XN(ti) = W (ti) với i =

0, 1, , N − 1 và XN(t) liên tục trên [0, T] Hơn nữa

Vì vậy k XN− W k2

SP→ 0 khi N → ∞, nghĩa là XN → W trong không gian

HSP khi N → ∞

Với N đủ lớn ta có thể xấp xỉ XN(t) cho W(t)

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên Itô

2.1 Tích phân có dạng R a t f (s, ω)ds

2.1.1 Tích phân của hàm đơn giản

Cho f là quá trình ngẫu nhiên và f ∈ HSP và thỏa mãn các giả thiết:

• Giả thiết (c1): f (a) ∈ HRV vì vậy k f (a) k2RV= E | f (a)|2 ≤ k1 với

k f (t) kRV≤ k1/22 (b − a)1/2+ k f (a) kRV với mọi t ∈ [a, b].

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được

k f (t) kRV≤k f (t) − f (a) kRV + k f (a) kRV

Chú ý 2.1.1.

Giả thiết (c3) rằng f không dự báo được trên [a,b] về bản chất có thể hiểu là

f(t, ω) không phụ thuộc vào thời gian t0 với t0 > t Do đó, E( f (t)(W (t0) −

W(t))) = E( f (t))E(W (t0) −W (t)) = 0 với mọi a ≤ t ≤ t0 ≤ b

Ví dụ, f1(t) = 3cos(W2(t)) + 4W (t) − 5t là không dự báo được trong khi

f2(t) = W ((t +b)/2) là dự báo được với a < t < b Thật vậy, E( f1(t)(W (t0)−

W(t))) = 0 với t0 > t trong khi

E( f2(t)(W (t0) −W (t))) =



t0− t nếu t < t0 ≤ (t + b)/2(b − t)/2 nếu(t + b)/2 ≤ t0 ≤ b

Trong kết quả của chương trước, tập hợp các hàm đơn giản SSP ⊂ HSP làtrù mật trong HSP

Cho a = t0< t1< · · · < tm−1< tm= b là một phân hoạch của [a,b], trongđó

max

1≤i≤m|ti− ti−1| −→ 0khi m → ∞ và đặt

Z b a

fm(s)ds

E | fm(t)|2dt =k fm k2SP,

trong đó ∆ti = ti+1− ti với i = 0, 1, , m − 1 Vì vậy,

fm ∈ SSP, k I( fm) kRV=k fm kSP.Cho a = t0(m) < t1(m) < · · · < tm(m) = b là một họ các phân hoạch của [a, b],trong đó ti(m)= i∆t + a với i = 0, 1, , m và ∆t = (b − a)/m Định nghĩa dãy{ fm}∞

2

= k2(b − a)

2

Từ đó ta có fm → f trong HSPkhi m → ∞ Dãy { fm}∞

m=0 là dãy Cauchy trong

SSP hội tụ đến f ∈ HSP Xét I( fm) ∈ HRV với m = 0, 1, 2, Đặc biệt,

k I( fm) − I( fn) k2RV = E

Z b a

2.2.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng Rab f (s)dW (s)

I( f ) = lim

m→∞

Z b a

Mệnh đề 2.2.1 Giới hạn I( f ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy fm.

Chứng minh. Giả sử cho dãy { fm0 }∞

m=1 ∈ HSP sao cho k f − fm0 kSP→ 0 khi

m→ ∞ Ta giả thiết I( fm0 ) → I( f0), m → ∞ Ta sẽ chứng minh I( f ) ≡ I( f0)

Từ trên ta cho m → ∞ ta được I( f ) ≡ I( f0)

2.2.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng Rat f (s)dW (s)

a f(t)dW (t) được định nghĩalà

... 2

Tích phân ngẫu nhiên Itơ

2.1 Tích phân có dạng R a t f (s, ω)ds

2.1.1 Tích phân hàm đơn giản... FZ hàm phân phối chuẩn tắc

1.2.6 Ví dụ

Ví dụ 1.5 Hội tụ chắn hội tụ bình phương trung bình

Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối [0, 1],... Zn hội tụ theo phân phối tới Z ∼ N[0, 1], nghĩa

lim

n→∞FZn(x) = FZ(x),trong FZn hàm phân phối Zn