f Is (f ) I2 (f ) < , > Hn (x, t) Hn (Wt , t) Bằng theo nghĩa phân phối |a|p sign(a) Hàm đối xứng hóa f Tích phân Stratonovich hàm f Tích phân Wiener-Itơ kép hàm f Tích vơ hướng Đa thức Hermite bậc n Quá trình ngẫu nhiên Hermite Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Bảng ký hiệu Q trình ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên 1.2 Quá trình Wiener 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3 Quá trình Poisson 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất 1.4 Tích phân Wiener 1.4.1 Tích phân Wiener hàm đơn giản 1.4.2 Tính chất tích phân Wiener hàm đơn giản 1.4.3 Tích phân Wiener hàm bình phương khả tích 1.4.4 Một số ví dụ tích phân Wiener 1.5 Tích phân Itơ 1.5.1 Định nghĩa tích phân Itơ 1.5.2 Các tính chất tích phân Itơ 1.6 Tích phân Stratonovich 1.6.1 Các định nghĩa 1.6.2 Liên hệ tích phân Stratonovich tích phân Itơ 1.7 λ− Tích phân 8 10 10 10 13 13 14 15 15 16 18 21 22 22 24 27 27 30 31 MỤC LỤC Phân phối ổn định tích phân theo độ đo ngẫu định 2.1 Phân phối ổn định 2.1.1 Các định nghĩa 2.1.2 Các tính chất 2.2 Vector ngẫu nhiên ổn định 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tính chất 2.3 Tích phân theo độ đo ngẫu nhiên ổn định 2.3.1 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 2.3.2 Độ đo ngẫu nhiên α− ổn định 2.3.3 Tích phân ngẫu nhiên α− ổn định Q trình Itơ 3.1 Tích phân Wiener - Itô kép 3.2 Q trình Itơ 3.2.1 Các định nghĩa 3.2.2 Công thức Itô trường hợp chiều 3.2.3 Công thức Itô tổng quát 3.2.4 Tính chất q trình Itơ 3.3 Quá trình Itơ-Hermite nhiên ổn 33 33 33 35 40 40 40 42 42 43 45 49 49 57 57 58 61 63 64 Ứng dụng 4.1 Giới thiệu mơ hình Black-Scholes 4.1.1 Tại dẫn đến phương trình (4.1)? 4.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học 4.1.3 Xác định tham số chuyển động Brown hình học 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khốn 4.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính 4.2.2 Bài toán đầu tư 68 68 68 69 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 70 72 72 76 Chương Q trình ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) Cho (Ω, F, P ) khơng gian xác suất Một q trình ngẫu nhiên X = {Xt : t ≥ 0} hàm hai biến X(t, ω) xác định tích R+ × Ω lấy giá trị R, hàm đo σ- đại số tích BR+ × F, BR+ σ- đại số tập Borel R+ = [0, ∞) Điều có nghĩa với tập Borel B R tập hợp {(t, ω) ∈ R+ × Ω : X(t, ω) ∈ B} phần tử σ-đại số tích BR+ × F σ-đại số σ-đại số nhỏ chứa tập có dạng [0, t] × A với t ∈ R+ A ∈ F • Khi ta cố định t = t0 X(t0 , ω) biến ngẫu nhiên Vì vậy, ta nói q trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên • Khi cố định ω ∈ Ω, ánh xạ riêng phần t −→ X(t, ω) từ R+ vào R gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên X = {Xt : t ≥ 0}, ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω 1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên • Nếu X lấy giá trị khơng gian Rn (n ≥ 1) ta có q trình ngẫu nhiên n-chiều Định nghĩa 1.1.2 (Bộ lọc) Một họ σ- đại số (Ft , t ≥ 0) F, Ft ⊂ F, gọi lọc thỏa mãn điều kiện sau: (i) Ft họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t; (ii) Ft họ liên tục phải, tức Ft = Ft+ ; >0 (iii) Một tập có độ đo khơng (theo độ đo xác suất P) chứa F0 , tức là, A ∈ F P (A) = A ∈ F0 • Cho q trình ngẫu nhiên X = {Xt : t ≥ 0} Ta xét σ- đại số FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t) σ- đại số chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên q trình X, lịch sử X, hay gọi trường thơng tin X • Một khơng gian xác suất (Ω, F, P ) ta gắng thêm vào lọc (Ft ), gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P ) • Q trình ngẫu nhiên {Xt : t ≥ 0} gọi thích nghi với lọc (Ft , t ≥ 0) với t ≥ 0, Xt Ft - đo • Ta quy ước, từ trở sau luận văn, trình ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất có gắng lọc (Ω, F, (Ft ), P ) Định nghĩa 1.1.3 (Martingale) Cho trình ngẫu nhiên X = {Xt : t ≥ 0} thích nghi với lọc Ft E|Xt | < ∞ với t ≥ Nếu với s, t : ≤ s ≤ t < ∞, E(Xt |Fs ) = Xs Xt gọi Martingale lọc (Ft , t ≥ 0) Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình Gauss) Quá trình X = {Xt , t ∈ T } gọi trình Gauss hay trình chuẩn, phân phối hữu hạn chiều Gauss, tức là, phân phối vector ngẫu nhiên (Xt1 , , Xtn ) Gauss tập hữu hạn I = (t1 , , tn ) ⊂ T Như vậy, trình X = {Xt , t ∈ T } Gauss tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn R 3.3 Q trình Itơ-Hermite 67 Từ đó, áp dụng cơng thức Itô cho hàm ϕ(Hn , t) = Hnm (Wt , t); m = 2, 3, sử dụng kết vừa chứng minh trường hợp 1, ta có dHnm (Wt , t) = mHnm−1 (Wt , t)dHn (Wt , t) + n2 Cm Hnm−2 (Wt , t)dt 2 = nmHnm−1 (Wt , t)Hn−1 (Wt , t)dWt + n2 Cm Hnm−2 (Wt , t)Hn−1 (Wt , t)dt Sử dụng tính chất kỳ vọng tích phân Itô không, ta suy điều phải chứng minh Sử dụng tính đẳng cự tích phân Itô cho t Hn (Wt , t) = Hn−1 (Wt , t)dWt , ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 3.3.3 (Quá trình ngẫu nhiên Hermite suy rộng) Cho f (x) t hàm bình phương khả tích [0, T ], với chuẩn f T ∞ tích phân ngẫu nhiên Wiener I(f ) = f (s)ds < = f (s)dWs Khi đó, biểu thức (3.19) thay x I(f ) thay t f ta thu trình ngẫu nhiên Hermite suy rộng ký hiệu Hn (I(f ), f ) Quá trình Hermite suy rộng cịn gọi q trình Itơ - Hermite Nhận xét: Có thể thấy lớp q trình Itơ-Hermite tập tập q trình ngẫu nhiên Itơ Tính chất 3.3.5 (Tính chất trình ngẫu nhiên Hermite suy rộng) Cho Hn (I(f ), f ) trình ngẫu nhiên Hermite suy rộng Khi đó: T Hn I(f ), f =n Hn−1 I(f ), f f (s)ds E Hn (I(f ), f ) = E Hn (I(f ), f ) T Hn−1 (I(f ), f ) =n E f (s)ds exp λI(f ) − f λ2 = ∞ λn (I(f ), f ) n! E Hn (I(f ), f )Hm (I(f ), f ) = 0, ∀m, n ∈ N, m = n Chứng minh xem [3], trang Chương Ứng dụng 4.1 Giới thiệu mơ hình Black-Scholes Gọi S = St giá cổ phiếu thời điểm t Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên thị trường, nên ta coi St trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục St = S(t, ω) Mô hình Black-Scholes mơ tả phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau dSt = µSt dt + σSt dWt (4.1) µ σ số, cịn Wt q trình Wiener 4.1.1 Tại dẫn đến phương trình (4.1)? Giả sử ta có thị trường M hoạt động liên tục, có lãi suất khơng đổi, khơng chia lợi tức cho cổ đơng trước đáo hạn, khơng có chi phí giao dịch, khơng trao đổi chứng khốn Ký hiệu St giá cổ phiếu thời điểm t, dSt lượng giá cổ phiếu thay đổi khoảng thời gian nhỏ [t, t + dt] Một điều tự nhiên ta giả thiết độ thay đổi tương đối giá dSt tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt với hệ số tỷ lệ St dSt ≈ µdt St (4.2) Ngồi ra, phải kể đến tác động yếu tố ngẫu nhiên thị trường lên tỷ lệ Các yếu tố ngẫu nhiên tạo nên loại "nhiễu" 4.1 Giới thiệu mơ hình Black-Scholes 69 ngẫu nhiên Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhiễu có phân phối xác suất chuẩn, thể qua vi phân ngẫu nhiên dWt trình Wiener Wt với hệ số tỷ lệ σ Do đó, ta đặt dSt = µdt + σdWt St (4.3) Qua hệ thức này, ta nhận thấy σ lớn tác động ngẫu nhiên lớn, mà σ gọi độ biến động giá cổ phiếu St 4.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học Xét phương trình ta vừa thiết lập dSt = µSt dt + σSt dWt Đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính (dạng tổng quát giới thiệu mục 4.2.1 ) Nghiệm phương trình trình ngẫu nhiên St = S(t, ω) có dạng σ2 (4.4) St = S0 exp σWt + (µ − )t Thật vậy, Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dSt = µSt dt + σSt dWt Đặt f (x) = ln x, f (x) = 1 f (x) = − x x Áp dụng công thức Itô, ta có 1 dSt + − σ St2 dt St St 1 = (µSt dt + σSt dWt ) − σ dt St = (µ − σ )dt + σdWt d(ln St ) = 4.1 Giới thiệu mơ hình Black-Scholes 70 Đặt Yt = ln St , dYt = (µ − σ )dt + σdWt Phương trình viết dạng phương trình tích phân Yt = Y0 + (µ − σ )t + σWt Do đó, σ2 St = S0 exp σWt + (µ − )t Quá trình St chuyển động Brown hình học Trong phương trình (4.4), S0 giá cổ phiếu quan sát thời điểm t = 4.1.3 Xác định tham số chuyển động Brown hình học Bằng quan sát, ta ước lượng tham số µ σ chuyển động Brown hình học, điều có nghĩa ta ước lượng giá St cổ phiếu Giả sử ta ghi nhận số liệu giá cổ phiếu khoảng thời gian [0, T ], cụ thể sau: Nếu ta chia khoảng [0, T ] thành n khoảng nhỏ có độ dài ∆t, ti+1 − ti = ∆t với i = 0, 1, , n ta giả sử biết giá chứng khoán điểm cuối ti+1 khoảng nhỏ [ti , ti+1 ] Vậy ta có n + quan sát S1 , , Sn+1 Bước Tạo dãy số liệu: Ui = ln(Si+1 ) − ln(Si ) (4.5) U1 , U2 , , Un dãy số Tuy nhiên, trước thu thập số liệu quan sát cơng thức chuyển động Brown hình học (4.4) cho phép ta biểu thị giá trị cụ thể Ui σ2 Ui = σ(Wti+1 − Wti ) + (µ − )∆t (4.6) Chú ý rằng, Wt trình Wiener, nên ta có tính chất sau: • Wti+1 − Wti , i = 0, 1, , n biến ngẫu nhiên độc lập; 4.1 Giới thiệu mô hình Black-Scholes 71 • Wti+1 − Wti biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai ∆t Bước Tìm trung bình phương sai dãy số liệu U1 , U2 , , Un theo cơng thức thống kê • Trung bình mẫu U= n • Phương sai mẫu S = n−1 n Ui , i=1 n (Ui − U )2 i=1 Đó ước lượng cho trung bình phương sai lý thuyết biến ngẫu nhiên U mà thể U1 , U2 , , Un Nếu vào biểu thức (4.6) trung bình phương sai tính σ2 • Trung bỡnh: (à )t ã Phng sai: ∆t Bước Giải phương trình tìm µ σ Đồng kỳ vọng phương sai, ta σ2 U = (µ − )∆t, S = σ ∆t Từ đó, ta S2 U+ σ = √S µ= ∆t ∆t Ví dụ 4.1.1 Giá cổ phiếu hãng máy tính IBM Mỹ lúc đóng cửa khoảng thời gian từ ngày 28/10/1997 đến ngày 9/12/1997 thống kê lại gồm 33 số liệu sau (tính theo đơn vị la Mỹ) 99.375 98.25 95.812 98.5 101.625 101.938 102.75 101.062 99.5 97.688 99.0 96.625 99.125 101.5 99.125 101.5 103.5 102.125 103.062 104.75 105.562 103.125 107.375 109.75 109.75 109.5 112.562 110.75 110.375 109.25 112.25 113.062 110.375 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khoán 72 Với số liệu từ bảng trên, ta tính U = 0.00264441 S = 0.020256795 Trong bước 3, ta ước lượng µ σ theo tỷ lệ xích hàng năm ∆t = 365 Do đó, tham số µ σ ước lượng là: S2 U+ = 1.04 σ = √S = 0.367 µ= ∆t ∆t Vậy giá cổ phiếu vào ngày t nào, theo công thức (4.4), ước lượng 0.3672 St = S0 exp 0.367Wt + (1.04 − )t = S0 exp(0.367Wt + 0.9725274t) 4.2 4.2.1 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khốn Phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 4.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính phương trình có dạng dX(t) = α(t)X(t)dt + β(t)X(t)dWt (4.7) α(t), β(t) hàm số t Wt trình Wiener với điều kiện đầu X(0) = X0 Cách giải Trước hết, ta tìm nghiệm phương trình (4.7) trường hợp đặc biệt, α(t) = • Giải phương trình dX(t) = β(t)X(t)dWt X(0) = (4.8) 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khoán 73 Ta xét trình Y (t) = − t t β (s)ds + β(s)dWs (4.9) với vi phân tương ứng dY = − β (t)dt + β(t)dWt Sử dụng công thức Itô với ϕ(t, y) = ey , ta có ∂ϕ ∂ϕ2 dX(t) = dϕ(t, Yt ) = dYt + β (t)dt ∂y ∂y 1 = eYt − β (t)dt + β(t)dWt + β (t)dt 2 Yt = e β(t)dWt = β(t)X(t)dWt Do vậy, ta có X(t) = exp − t t β (s)ds + β(s)dWs Nếu ta thay điều kiện ban đầu X(0) = điều kiện X(0) = X0 , ta có nghiệm phương trình dX(t) = β(t)X(t)dWt X(0) = X0 (4.10) trình ngẫu nhiên X(t) = X0 exp − t t β (s)ds + β(s)dWs (4.11) • Giải phương trình dX(t) = α(t)X(t)dt + β(t)X(t)dWt X(0) = X0 (4.12) Ta tìm nghiệm (4.12) dạng X(t) = X1 (t).X2 (t), X1 (t) thỏa điều kiện dX1 (t) = β(t)X1 (t)dWt (4.13) X1 (0) = X0 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khoán 74 X2 (t) thỏa điều kiện dX2 (t) = A(t)dt + B(t)dWt X2 (0) = (4.14) với A(t) B(t) hàm ta chọn sau Khi đó, ta có dX(t) = d(X1 (t).X2 (t)) = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + β(t)X1 (t)B(t)dt = β(t)X(t)dWt + X1 (t)dX2 (t) + B(t)X1 (t)B(t)dt Ta chọn A(t) B(t) cho dX2 (t) + β(t)B(t)dt = α(t)X2 (t)dt Cụ thể, ta lấy: A(t) = α(t)X2 (t) B(t) = Khi đó, phương trình (4.14) trở thành dX2 (t) = α(t)X2 (t)dt X2 (0) = (4.15) Từ phương trình (4.15), cho ta t X2 (t) = exp α(s)ds Mặt khác, phương trình (4.13) có nghiệm X1 (t) = X0 exp − t t β (s)ds + β(s)dWs Kết hợp X1 (t) X2 (t) cho ta nghiệm phương trình (4.12) t X(t) = X0 exp t β(s)dWs + 0 α(s) − β (s) ds (4.16) Định nghĩa 4.2.2 (Phương trình vi phân tuyến tính - dạng tổng qt) Phương trình vi phân tuyến tính phương trình có dạng dX(t) = (α(t)X(t) + f (t))dt + (β(t)X(t) + g(t))dWt (4.17) α(t), β(t), f (t), g(t) hàm t Wt trình Wiener với điều kiện ban đầu X(0) = X0 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khốn 75 Cách giải Ta tìm nghiệm phương trình (4.17) dạng X(t) = X1 (t).X2 (t) đó, X1 (t) nghiệm phương trình tuyến tính dX1 (t) = α(t)X1 (t)dt + β(t)X1 (t)dWt X1 (0) = (4.18) X2 (t) nghiệm phương trình dX2 (t) = A(t)dt + B(t)dWt X2 (0) = X0 (4.19) với A(t) B(t) hàm ta chọn sau Khi đó, ta có dX(t) = d(X1 (t).X2 (t)) = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + g(t)X1 (t)B(t)dWt Cụ thể, ta chọn A(t) B(t) cho X1 (t) [A(t)dt + B(t)dWt ] + g(t)X1 (t)B(t)dt = f (t)dt + g(t)dWt Khi đó, ta thu A(t) = [f (t) − β(t)g(t)] B(t) = g(t) X1 (t) X1 (t) (4.20) Sử dụng kết phương trình vi phân tuyến tính nhất, theo phương trình (4.16), ta có t X1 (t) = exp t β(s)dWs + 0 α(s) − β (s) ds Từ đó, ta suy t X2 (t) = X0 + [f (s) − β(s)g(s)] ds + X1 (s) t g(s) dWs X1 (s) Kết hợp X1 (t) X2 (t), ta có nghiệm phương trình (4.17) X(t) = X1 (t)X2 (t) 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khoán 4.2.2 76 Bài tốn đầu tư Bằng cơng cụ vi - tích phân ngẫu nhiên, ta xét đến biến động giá hai loại tài sản thị trường chứng khoán • Loại tài sản phi rủi ro X0 (t)(chẳng hạn trái phiếu, ) với biến động giá cho phương trình vi phân dX0 (t) = λ(t)X0 (t)dt, X0 (0) = (4.21) • Loại tài sản có rủi ro X1 (t)(chẳng hạn cổ phiếu, ) với biến động giá cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dX1 (t) = α(t)X1 (t)dt + β(t)X1 (t)dWt , X1 (0) > (4.22) đó, λ(t) = λ(t, ω), α(t) = α(t, ω), β(t) = β(t, ω), ω ∈ Ω, t ∈ [0, T ] trình ngẫu nhiên F− thích nghi thỏa điều kiện T |λ(t)| + |α(t)| + β (t) dt < ∞ E Ta ký hiệu τ0 (t) = τ0 (t, ω), τ1 (t) = τ1 (t, ω); ω ∈ Ω, t ∈ (0, T ) đơn vị vốn đầu tư cho loại tài sản phi rủi ro có rủi ro tương ứng Khi đó, ta gọi τ (t) = (τ0 (t), τ1 (t)) phương án đầu tư, tổng giá trị tài sản thời điểm t V (τ ) (t) = τ0 (t)X0 (t) + τ1 (t)X1 (t) (4.23) Phương án đầu tư τ (t) gọi tự tài trợ ta có dV (τ ) (t) = τ0 (t)dX0 (t) + τ1 (t)dX1 (t) (4.24) 4.2 Bài toán định giá tài sản rủi ro thị trường chứng khoán 77 Ta giả định τ (t); t ∈ [0, T ] tự tài trợ Khi đó, ta có V (τ ) (t) − τ1 (t)X1 (t) τ0 (t) = X0 (t) (4.25) Từ (4.23) (4.24) sử dụng (4.21), ta dV (τ ) (t) = λ(t) V (τ ) (t) − τ1 (t)X1 (t) dt + τ1 (t)dX1 (t) Sau đó, từ (4.22), ta thu dV (τ ) (t) = λ(t)V (τ ) (t) + (α(t) − λ(t))τ1 (t)X1 (t) dt + β(t)τ1 (t)X1 (t)dWt (4.26) Đến đây, ta thấy phương trình (4.26) phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính mà cách giải tổng quát trình bày Mặt khác, thực tế thường xét đến việc tìm phương án đầu tư τ (t), t ∈ [0, T ] để thu giá trị V (τ ) (T ) = F, P − h.c.c (4.27) đó, F FT − đo Phương án đầu tư gọi phương án đáp ứng (replicating portfolio) Từ đó, ta thấy cần sử dụng vốn đầu tư ban đầu V (τ ) (0) phương án đầu tư τ (t), t ∈ [0, T ] cần sử dụng? Kết luận Các công cụ giải tích ngẫu nhiên vi tích phân ngẫu nhiên đặt từ nửa cuối kỷ XX đến đầu kỷ XXI, có phát triển mạnh mẽ có ứng dụng thuyết phục kỹ thuật, cơng nghệ, kinh tế tài Các vấn đề trình bày luận văn nêu lên số kết mặt lý thuyết giải tích ngẫu nhiên ứng dụng thị trường chứng khốn Với vốn kiến thức cịn hạn hẹp ban đầu, tác giả luận văn mong muốn tiếp tục nghiên cứu thu kết khả quan hơn, có ý nghĩa thực tiễn Ngồi ra, tác giả hy vọng kết luận văn phần bổ sung thêm vào đề tài nghiên cứu Toán ứng dụng nhằm đưa toán học vào ứng dụng đời sống, mà cụ thể đóng góp cơng nghệ, kinh tế, tài ngày tốt Do thời gian nghiên cứu có hạn lực cịn khiếm khuyết nên việc trình bày vấn đề luận văn chưa hồn chỉnh hay cịn sai sót, tác giả mong nhận đóng góp chân thành quý Thầy, Cơ bạn, nhằm giúp luận văn hồn thiện Tài liệu tham khảo [1] Dương Tôn Đảm, Quá trình ngẫu nhiên, Phần mở đầu, NXB ĐHQG Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006 [2] Dương Tơn Đảm, Q trình ngẫu nhiên, Phần I - Tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 [3] Dương Tơn Đảm, Q trình ngẫu nhiên, Phần II - Các phép toán Malliavin, NXB ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh, 2010 [4] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình Xác suất ứng dụng, Phần III Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [5] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2000 [6] Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 [7] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở Lý thuyết Xác suất, NXB ĐHGQ Hà Nội, 2002 [8] Trần Hùng Thao, Nhập mơn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2003 [9] Nguyễn Văn Hữu - Vương Quân Hoàng, Các Phương pháp Tốn học Tài chính, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 [10] Hui - Hsiung Kuo, Introduction to Stochatic Integration, Springer, 2005 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 [11] Fima C Klebaner, Introduction to Stochatic calculus with Applications, Second edition, Imperial College Press Publisher, 2004 [12] Mario Lefebvre, Applied Schotastic Processes, Springer, 2005 [13] David Nualart, The Mallianvin Calculas and Related Topics, Springer, 2005 [14] Gennady Samorodnitsky Murad S Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes, CH, 1994 [15] Zhi Ouyang, Stable Process 3, 2006 [16] Rama Cont - Peter Tankov, Finalcial Modelling With Jump Processes, CRC Press LLC, 2004 [17] Giulia Di Nunno - Bernt Øksendal - Frank Proske, Malliavin Calculus for Levy Processes with Applications to Finance, Springer, 2008 [18] Andreas E Kyprianou, Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications, Springer, 2006 [19] Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations - An Introduction with Application, Springer, 2005 [20] Ken Iti Sato, Levy Processes and Infinitely Divisible Distribution, Cambridge U.P, 1999 PHẦN LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên: Nguyễn Điệp Ngày, tháng, năm sinh: 14/08/1978 Nơi sinh: Quảng Ngãi Địa liên lạc: khoa Giáo dục đại cương, trường Cao đẳng Công Thương Tp.HCM Số 20 Tăng Nhơn Phú, P Phước Long B, Q.9, Tp.HCM QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Từ năm 1997 đến năm 2002: Học đại học, khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM Từ tháng 09 năm 2009 đến nay: Học Thạc sĩ Toán ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Q TRÌNH CƠNG TÁC Từ năm 2003 đến tháng 11 năm 2005: Làm việc Công ty Sách - Thiết bị trường học Bà Rịa Vũng Tàu Từ tháng 12 năm 2005 đến tháng năm 2009: Giảng dạy trường Cao đẳng Cộng đồng Bà Rịa Vũng tàu Từ tháng 09 năm 2009 đến nay: Giảng dạy trường Cao đẳng Cơng thương Tp Hồ Chí Minh ... phân • Chương trình bày phân phối ổn định tích phân ngẫu nhiên ổn định Từ đó, khẳng định mối liên hệ tích phân ngẫu nhiên ổn định tích phân ngẫu nhiên chương • Chương trình bày tích phân Wiener... 72 76 Chương Quá trình ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) Cho (Ω, F, P ) khơng gian xác suất Một q trình ngẫu nhiên X = {Xt... trường chứng khoán Luận văn gồm bốn chương: • Chương trình bày khái niệm q trình ngẫu nhiên, từ xây dựng số tích phân ngẫu nhiên: Tích phân Wiener, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich λ- tích phân