Hệ toạ độ cực

Trong quá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cận với Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trong việc giải toán và làm đơn giản mộ

Người hướng dẫn khoa học

TH.S Đinh Thị Kim Thuý

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này là bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô Đinh Thị Kim Thuý

Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới cô Thuý cũng như sự chỉ bảo quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo trong tổ Hình học, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới cô Nguyệt, bạn bè và người thân

đã động viên, ủng hộ, giúp đỡ em trong thời gian qua

Do điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, năng lực của bản thân nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự chỉ bảo, nhận xét, đóng góp của thầy cô cũng như bạn bè sinh viên để khoá luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Thanh Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của cô Thuý, các thầy cô khoa Toán, cô Nguyệt…

Khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khoá luận là trung thực, không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 1

3 Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khoá luận 2

B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực 3

1 Mở đầu 3

2 Định nghĩa hệ toạ độ cực 4

2.1 Định nghĩa 4

2.2 Ví dụ 6

3 Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ đề các vuông góc 7

4 Bài tập thêm 12

5 Hướng dẫn giải bài tập thêm 13

§2 Phương trình cực của một đường cong 16

1 Khái niệm 16

2 Phương trình cực của các đường tròn 19

3 Phương trình của các đường coníc trong hệ toạ độ cực 21

4 Phương trình cực của các đường xoắn ốc 23

5 Bài tập thêm 25

§3 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

Tiếp tuyến của đường cong 30

1 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực 30

1.1 Đồ thị của phương trình cực 30

1.2 Nhận xét 33

2 Tiếp tuyến của đường cong 35

3 Bài tập thêm 40

4 Hướng dẫn giải bài tập thêm 41

§4 Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực 44

1 Đổi biến số trong tích phân kép 44

2 Độ dài cung trong hệ toạ độ cực 46

2.1 Định lý 46

2.2 Áp dụng 47

3 Diện tích trong hệ toạ độ cực 49

3.1 Khái niệm hình quạt 49

3.2 Công thức tính diện tích 50

3.3 Áp dụng 52

4 Bài tập thêm 54

5 Hướng dẫn giải bài tập thêm 55

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Từ xa xưa, trước những yêu cầu của thực tiễn, Toán học ra đời chỉ tồn tại dưới hình thức là những kinh nghiệm Cùng với thời gian, qua nhiều tìm tòi, phát minh, các kinh nghiệm ngày càng đa dạng và phong phú hơn, được các nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành các lý thuyết Toán học

mà ngày nay là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu các môn học khác

Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành nên Toán học Đây là môn học thú vị nhưng tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic và trừu tượng cao Nhiều bài toán trong Hình học, việc tìm ra lời giải còn gặp nhiều khó khăn hoặc nếu có thì thường rất dài Lựa chọn một công cụ thích hợp là việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức Trong quá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cận với Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trong việc giải toán và làm đơn giản một số vấn đề Hình học phức tạp

Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này và sự giúp đỡ của cô Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề

“HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ hơn thế nào là Hệ tọa độ cực,

tính chất và một số ứng dụng của nó vào việc giải toán trong Hình học

2 Lịch sử nghiên cứu

Hiện nay, chưa có một đề tài nào nghiên cứu một cách đầy đủ và hệ thống về Hệ tọa độ cực Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận này là một việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các kiến thức về Hệ tọa độ cực và một số ứng dụng của nó vào việc giải các bài toán Hình học, giúp cho người học hiểu biết thêm phần nào về Hệ tọa độ cực

- Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, một số bài toán trong Hình học

- Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…)

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo

và các tài liệu có liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh và hệ thống hóa

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mục đích, kết luận và danh mục sách tham khảo, cấu trúc khoá luận bao gồm:

§1 Hệ tọa độ cực

§2 Phương trình cực của một đường cong

§3 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

Tiếp tuyến của đường cong

§4 Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực

Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề các vuông góc, trong đó ta đặt trong mặt phẳng hai trục vuông góc Tuy nhiên, thường xảy ra trường hợp

là đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, như là đường đi của một hành tinh xung quanh quỹ đạo của nó, được xác định bởi lực hấp dẫn của mặt trời Đường cong như vậy được mô tả tốt nhất như chuyển động điểm

mà vị trí của nó được chỉ rõ bởi hướng đến gốc toạ độ và khoảng cách đến gốc toạ độ Đó chính xác là những gì mà hệ toạ độ cực sẽ miêu tả

Thông thường, ta quy ước chiều quay quanh O (như trên) là dương nếu

chiều quay này là ngược chiều kim đồng hồ và là âm nếu chiều quay này là cùng chiều kim đồng hồ

2.1.2 Góc định hướng giữa 2 vectơ

a, Định nghĩa:

Trong mặt phẳng định hướng, cho 2 vectơ a và b

(đều khác vectơ không):

TH1: a

và b

cùng chung gốc O Khi đó, góc định hướng giữa 2 vectơ, có

vectơ đầu là a và vectơ cuối là b

, kí hiệu là  a b ,

là góc thu được khi quay

vectơ đầu a xung quanh O tới trùng vectơ cuối b

Với mỗi vectơ đầu a, vectơ cuối b ta xác định được một góc định hướng, kí hiệu  a b ,

hay dương tuỳ theo khi ta quay a quanh O tới b

theo chiều âm hay dương của mặt phẳng

Ta thường quy ước:

+, góc   0 nếu a

quay quanh O tới b

theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

+, góc   0 nếu a

quay quanh O tới b

theo chiều cùng chiều kim đồng hồ

(như trong lượng giác)

2.1.3 Hệ toạ độ cực

- Giả sử mặt phẳng của ta đã được định hướng Chọn một điểm O cố định

và một trục Ox nào đó với vectơ chỉ phương đơn vị là  i

Khi đó, ta có hệ toạ

độ cực Oi 

, và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ toạ độ

Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:

 Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo bởi gốc cực O tới điểm cuối M gọi là bán kính:

rOM

- Toạ độ cực ( , )r của mỗi điểm M khác với điểm O không duy nhất Nếu( , )r  là một toạ độ cực của điểm M thì ( ,r  2k), (kZ) cũng là toạ

độ cực của điểm M, hay nói cách khác: Mỗi điểm của mặt phẳng đều có nhiều tọa độ cực

- Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp

những tình huống trong đó r là số âm Trong trường hợp này thường được

hiểu: thay vì di chuyển từ gốc theo hướng đã xác định bằng hướng cuối của

, ta chuyển qua gốc O một khoảng ( r) theo hướng ngược lại

- Giá trị r  0 chính là gốc cực, không cần đến giá trị của 

Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: ( 2;5 )

Lời giải:

Tọa độ của một điểm trong Hệ tọa độ cực có dấu của r ngược nhau là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O

Nhìn vào hình 1.4 ta có hai điểm (2, )

là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O

3 Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc

Giả sử có hệ toạ độ cực Oi

Ta chọn vectơ đơn vị j

vuông góc với vectơ i

sao cho hệ toạ độ Oi j



là hệ tọa độ đêcác vuông góc thuận

Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi ( , )r  là toạ độ cực của nó, còn ( , )x y là toạ

độ đêcác vuông góc của điểm M Khi đó:

O

(2, ) 6

P 

4 ( 3, ) 3

Q  

Hình 1.4

(gọi chung là tọa độ cực suy rộng)

Ví dụ 1: Tọa độ vuông góc của điểm M là ( 1; 3)  Hãy tìm tọa độ cực của điểm M

3

( 1, 3)

M 

2 3

Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vuông góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực

Ví dụ 3: Cho a là một số dương và giả sử có các điểm F=(a,0) và F’=(-a,0)

Tập hợp tất cả các điểm P sao cho tích khoảng cách PF và PF’ bằng a2: được

gọi là đường lemniscate

a, Hãy tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ tọa độ

Lời giải:

a,

a>0, F(a,0), F’(-a,0)

Giả sử P(x,y) là tọa độ vuông góc của điểm P nằm trên đường cong lemniscate Ta đặt d1= PF, d2= PF’

4 Bài tập thêm

Bài 1: Một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r =1 có một

đỉnh nằm trên trục dương x Tìm tọa độ cực tất cả các đỉnh của ngũ giác đó

Bài 2: Cho đường cong r 4sin Hãy chuyển phương trình này sang phương trình tương đương trong hệ tọa vuông góc, và chứng minh nó là phương trình đường tròn

Bài 3: Biến đổi các phương trình vuông góc đã cho sau đây thành phương

Bài 4: Biến đổi các phương trình cực đã cho sau đây thành các phương trình

vuông góc tương đương:

Bài 5: Sử dụng công thức yrsin  để tìm giá trị lớn nhất của y trên:

a, Đường hình tim cardioid: r 2(1cos )

5 Hướng dẫn giải bài tập thêm

Bài 1:

Giả sử ta có ngũ giác đều

ABCDE nội tiếp trong đường tròn (0;1)

A thuộc truc dương ox, (như hình vẽ 1.9),

Khi đó:

OA=OB= OC= OD= OE= r= 1,

5

AOBBOCCODDOEEOA 

Như vậy, A(1;0), B(1;2

5

), C(1;4

5

), D(1;6

5

), E(1;8

5

)

Bài 2: r  4sin 

Đổi sang hệ tọa độ đề các vuông góc : cos 4 sin cos

Bài 4: Dựa vào công thức: x = rcos, y = rsin ta có:



 Thay vào (1) ta được:

1 os

3 2

2 tại điểm có tọa độ cực (3;

3

)

b, ymax = 2 tại điểm ( 2; )

2 tại điểm có tọa độ cực: (0; 2

3

 )

§2 Phương trình cực của một đường cong

1 Khái niệm

Cũng như hệ tọa độ Đềcác vuông góc, một đường cong Г cũng có phương trình đối với hệ tọa độ cực Giả sử, ta đã chọn hệ tọa độ cực Oi

, f là một hàm số với biến số thực Tập hợp Г các điểm M của mặt phẳng có ít nhất một cặp tọa độ cực (r, ) thỏa mãn phương trình f(r,) = 0 gọi là đường cong với phương trình cực f( r,) = 0

Hay nói cách khác: f(r,) sẽ gọi là phương trình của đường cong Г nếu điểm M thuộc Г thì tọa độ cực (r, ) của nó thỏa mãn phương trình f(r,) = 0

Đặc biệt, nếu r:  r( )  là một hàm số xác định trên tập hợp I  R thì tập hợp Г các điểm M của mặt phẳng có tọa độ cực ( ( ); )r   gọi là đường cong với phương trình cực r r( )

Ví dụ 1: Cho F1 và F2 là hai điểm có tọa độ là: (a;0) và (-a;0)

Nếu b là một hằng số dương, tìm quỹ tích của điểm P chuyển động sao cho tích các khoảng cách từ P đến F1 và F2 bằng b2

- Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:

Trong ΔOPF1 : d12 r2a2  2arcos (1) Trong ΔOPF2 : d22 r2a2 2arcos(  ) (2)

Từ cos(   )= - cos ta có thể viết phương trình (2) dưới dạng:

+, Khi b > a, đường cong bao gồm một vòng đơn

+, Khi b < a, đường cong chia thành hai vòng tròn tách rời nhau

Và nói chung các đường cong này được gọi là đường cong oval của Cassini

Hình 2.2

Ví dụ 2: Đường ốc sên Patxcan (Pascal): Cho đường tròn đường kính OA= a

Tập hợp Γ các điểm N gọi là đường ốc sên Patxcan

Hãy viết phương trình của đường ốc sên Patxcan đó

Lời giải:

- Chọn điểm O là trục cực và đường thẳng OA hướng từ O đến A làm trục cực Ox Khi đó, nếu  là một số đo góc của (Ox, Ou) thì OM acos

Đó là phương trình cực của đường tròn đường kính OA

Nếu (r, ) là một cặp tọa độ cực của điểm N thì từ (1) suy ra r = acos+ b (2)

- Đảo lại, nếu N là một điểm của mặt phẳng có cặp tọa độ cực (r, ) thỏa mãn (2) thì tồn tại một trục Ou đi qua N sao cho ta có (1): ONOMb, trong đó M là giao điểm thứ hai của đường thẳng ON với đường tròn đã cho Vậy (2) là phương trình cực của đường ốc sên Patxcan

Nhận xét: Ta thấy rằng, nếu viết phương trình của đường Patxcan

trong hệ trục tọa độ đề các vuông góc thì sẽ rất khó và dài Ta chuyển sang viết phương trình của nó trong hệ tọa độ cực thì sẽ dễ dàng hơn

Sau đây, ta sẽ xét phương trình của một số đường cong thường gặp:

2 Phương trình cực của các đường tròn

Bài toán 1: Trong hệ trục tọa độ vuông góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và

bán kính bằng a Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực

Trong trường hợp đường tròn đã xét ở trên, ta sử dụng tính chất rằng ΔOPA là tam giác vuông, với cạnh kề với góc nhọn  là r, cạnh huyền

Xét bài toán mở rộng của bài toán 1 như sau:

Bài toán 2: Tìm phương trình cực của đường tròn với bán kính bằng a và tâm

tại C có tọa độ cực là: (b;), trong đó giả sử b là số dương

Lời giải:

- Lấy P=(r, ) là một điểm tùy ý trên đường tròn

Xét Δ OPC, áp dụng định lý cosin trong tam giác

ta có: a2= r2 + b2 - 2brcos(   ) (3)

Đây là phương trình cực của đường tròn cần tìm

- Đối với đường tròn đi qua gốc tọa độ ta có

Hoặc bằng phương pháp hình học trực tiếp

ta có thể thu được (4):

với

2



  : ΔPOA vuông tại P

có r là cạnh đối diện với góc nhọn , cạnh huyền OA = 2a nên ta có:

3 Phương trình của các đường conic trong hệ tọa độ cực

Ta đã biết phương trình các đường côníc trong Hệ tọa độ Đềcác vuông góc và đường côníc là elip, parabol hay hypebol tuỳ thuộc vào e < 1, e = 1 hay e > 1 Bây giờ chúng ta đi tìm phương trình của nó trong Hệ toạ độ cực bằng cách xét bài toán cụ thể sau:

Bài toán 1: Tìm phương trình cực của phần đường conic với tâm sai e nếu

tiêu điểm tại gốc tọa độ và đường chuẩn tương ứng là đường thẳng x = -p nằm

ở bên trái gốc tọa độ

Lời giải:

Giả sử P là một điểm bất kì trên đường côníc có tọa độ cực là ( ; )r 

Và ta có các kí hiệu như hình 2.7 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai )

Ta biết rằng: đường conic ở trên là tập hợp các điểm P mà tỉ số khoảng cách từ P đến tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng bằng e, tức là:

PF e

Thay PF và PD vào (1) ta được :



 (*) Sau đây, ta xét các ví dụ minh hoạ cụ thể với kết luận trong bài toán 1

Ví dụ 1: Viết phương trình cực của đường conic với tâm sai 1

3

e , tiêu điểm tại gốc tọa độ, và đường chuẩn x = -4

4 3

e < 1 nên đường cong này là elip

Quan sát thấy rằng mẫu số ở đây luôn khác không, do đó r bị chặn với mọi 

Ví dụ 2: Cho conic có phương trình: 25

Đường chuẩn là đường thẳng x = -5, và đường cong là hypebol

Nhận thấy, mẫu số bằng 0 khi os 4

5

c  , nên r dần ra vô cùng theo hướng này

Bài toán 2: Tìm phương trình cực của phần đường côníc với tâm sai e nếu

tiêu điểm nằm ở gốc toạ độ và đường chuẩn tương ứng x = p nằm ở bên phải gốc tọa độ

4 Phương trình cực của các đường xoắn ốc

4.1 Đường cong Г với phương trình cực ra; ,a  0 gọi là đường xoắn

ốc Asimet (Archimede)

Các đường xoắn ốc Asimet có thể xác

định như là quỹ tích của điểm P, bắt đầu từ

gốc và đi xa dần với một tốc độ đều theo một

đường kính r, góc  quay quanh gốc theo

chiều ngược chiều kim đồng hồ, từ vị trí ban

Trong hình vẽ ta giả thiết rằng:  bắt đầu từ 0 và tăng dần  0

Trường hợp 0, khi đó ta có phần khác của đường xoắn ốc mà ta không vẽ nhằm giữ cho hình vẽ không bị rối)

4.2 Đường cong Г với phương trình cực r a; ,a  0



  gọi là đường xoắn

ốc hypebolic

Trong hình xoắn ốc ta xét ở 2.9, r tỉ lệ thuận với , r a

Bây giờ ta xét trường hợp r tỉ lệ nghịch với : r a



 hay r a trong đó a là

hằng số dương

Hình 2.10

Với các giá trị dương của , ta có đường cong hình 2.10

Đường cong này gọi là đường xoắn ốc hyperbolic do sự giống nhau của

r a với phương trình biểu diễn hyperbolic trong hệ tọa độ vuông góc

xy = a

Khi =0, r không xác định

Khi  nhỏ và dương, r lớn và dương (do r và  tỉ lệ nghịch với nhau)

và khi  tăng đến vô cùng, r giảm tới 0

Điều này cho ta thấy một biến đổi của điểm P trên đồ thị của đường

theo một số vô hạn vòng thắt dần khi  tăng vô hạn

4.3 Nhận xét

- Ở 4.1 và 4.2, nếu  được cho giá trị âm, ta có một phần khác của đường cong, mà ta không vẽ để tránh hình vẽ bị quá rối Bản chất của phần đường cong này có thể thấy được một cách dễ dàng bằng cách để ý rằng: nếu

r và  được thay thế bởi - r và - thì phương trình các đường xoắn ốc ở trên không thay đổi Điều đó có nghĩa là với mọi điểm (r,) trên đường cong, điểm đối xứng qua trục oy: (-r,-) cũng nằm trên đường cong Do đó, phần khác của đường cong là một đường xoắn ốc thứ hai quay quanh gốc theo chiều kim đồng hồ khi   

- Các đường xoắn ốc này khi xem xét trong hệ tọa độ cực sẽ dễ dàng nhiều hơn trong hệ tọa độ đề các vuông góc

Bài 2: Cho một đường conic với tâm sai e, có tiêu điểm tại gốc và đường

chuẩn tương ứng y = -p dưới gốc Chứng minh rằng phương trình cực của nó

Bài 4: Một tam giác ABC, có hai điểm A, B cố định và góc A luôn gấp đôi

góc B Hãy tìm quỹ tích điểm C (dùng hệ tọa độ cực, trong đó điểm A là cực

và trục cực là AB)

Bài 5: Cho parabol có điểm tiêu F, một dây cung AB thay đổi luôn đi qua F

và FAFB Trên tia FA lấy điểm C sao cho FC = FA - FB

Tìm quỹ tích điểm C

Bài 6: Một dây cung bất kì AB đi qua điểm tiêu F của một đường bậc hai

Chứng minh rằng: 1 1

FAFB không phụ thuộc vào dây cung AB

Bài 7: Kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp chia ba một góc AOB bằng

sử dụng đường xoắn ốc của Acsimet: r a  (hình 2.9) với 3 bước:

Bước 1, Cho OB giao với đường xoắn ốc tại P, và dựng điểm Q chia ba đoạn OP, khi đó: OQ = 1