Hệ toạ độ cực

Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - ĐÀO THỊ THANH HUYỀN HỆ TỌA ĐỘ CỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TH.S Đinh Thị Kim Thuý Hà Nội, năm 2010 Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ nhiệt tình cô Đinh Thị Kim Thuý Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới cô Thuý bảo quan tâm đóng góp ý kiến thầy, cô giáo tổ Hình học, thầy, cô giáo khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội giảng dạy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới cô Nguyệt, bạn bè người thân động viên, ủng hộ, giúp đỡ em thời gian qua Do điều kiện hạn chế thời gian kiến thức, lực thân nên khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo, nhận xét, đóng góp thầy cô bạn bè sinh viên để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ cô Thuý, thầy cô khoa Toán, cô Nguyệt… Khóa luận em viết kiến thức trích dẫn khoá luận trung thực, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC Nội dung Trang A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ Mối quan hệ toạ độ cực toạ độ đề vuông góc Bài tập thêm 12 Hướng dẫn giải tập thêm 13 §2 Phƣơng trình cực đƣờng cong 16 Khái niệm 16 Phương trình cực đường tròn 19 Phương trình đường coníc hệ toạ độ cực 21 Phương trình cực đường xoắn ốc 23 Bài tập thêm 25 Hướng dẫn giải tập thêm 27 Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp §3 Dựng đƣờng cong cho phƣơng trình cực Tiếp tuyến đƣờng cong 30 Dựng đường cong cho phương trình cực 30 1.1 Đồ thị phương trình cực 30 1.2 Nhận xét 33 Tiếp tuyến đường cong 35 Bài tập thêm 40 Hướng dẫn giải tập thêm 41 §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực 44 Đổi biến số tích phân kép 44 Độ dài cung hệ toạ độ cực 46 2.1 Định lý 46 2.2 Áp dụng 47 Diện tích hệ toạ độ cực 49 3.1 Khái niệm hình quạt 49 3.2 Công thức tính diện tích 50 3.3 Áp dụng 52 Bài tập thêm 54 Hướng dẫn giải tập thêm 55 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ xa xưa, trước yêu cầu thực tiễn, Toán học đời tồn hình thức kinh nghiệm Cùng với thời gian, qua nhiều tìm tòi, phát minh, kinh nghiệm ngày đa dạng phong phú hơn, nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành lý thuyết Toán học mà ngày sở, tảng để nghiên cứu môn học khác Hình học phận quan trọng cấu thành nên Toán học Đây môn học thú vị tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic trừu tượng cao Nhiều toán Hình học, việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn có thường dài Lựa chọn công cụ thích hợp việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian công sức Trong trình học tập, nghiên cứu chuyên ngành Hình học, em tiếp cận với Hệ tọa độ cực, phận Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ việc giải toán làm đơn giản số vấn đề Hình học phức tạp Từ niềm yêu thích thân với môn giúp đỡ cô Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề “HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ Hệ tọa độ cực, tính chất số ứng dụng vào việc giải toán Hình học Lịch sử nghiên cứu Hiện nay, chưa có đề tài nghiên cứu cách đầy đủ hệ thống Hệ tọa độ cực Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận việc làm có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Mục đích, đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức Hệ tọa độ cực số ứng dụng vào việc giải toán Hình học, giúp cho người học hiểu biết thêm phần Hệ tọa độ cực - Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, số toán Hình học - Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…) - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh hệ thống hóa Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mục đích, kết luận danh mục sách tham khảo, cấu trúc khoá luận bao gồm: §1 Hệ tọa độ cực §2 Phương trình cực đường cong §3 Dựng đường cong cho phương trình cực Tiếp tuyến đường cong §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Như ta biết, hệ toạ độ cực mặt phẳng cho thấy mối liên hệ cặp hai số thứ tự với điểm mặt phẳng Điều đơn giản, có tác dụng lớn việc tìm hiểu nhiều toán Hình học, đặc biệt nghiên cứu tính chất đường cong, phương pháp đại số giải tích Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề vuông góc, ta đặt mặt phẳng hai trục vuông góc Tuy nhiên, thường xảy trường hợp đường cong xuất mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, đường hành tinh xung quanh quỹ đạo nó, xác định lực hấp dẫn mặt trời Đường cong mô tả tốt chuyển động điểm mà vị trí rõ hướng đến gốc toạ độ khoảng cách đến gốc toạ độ Đó xác mà hệ toạ độ cực miêu tả M  O Đào Thị Thanh Huyền Hình 1.1 x K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Mặt phẳng định hướng a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng, xét điểm O tuỳ ý, xung quanh O có chiều quay Nếu ta chọn hai chiều chiều dương, chiều lại chiều âm ta nói mặt phẳng định hướng b, Quy ƣớc: Thông thường, ta quy ước chiều quay quanh O (như trên) dương chiều quay ngược chiều kim đồng hồ âm chiều quay chiều kim đồng hồ 2.1.2 Góc định hướng vectơ a, Định nghĩa:   Trong mặt phẳng định hướng, cho vectơ a b (đều khác vectơ không):   TH1: a b chung gốc O Khi đó, góc định hướng vectơ, có     vectơ đầu a vectơ cuối b , kí hiệu a, b góc thu quay     vectơ đầu a xung quanh O tới trùng vectơ cuối b   TH2: a b không chung gốc: Từ điểm (gọi điểm gốc) O mặt phẳng ấy, dựng vectơ     OA  a , OB  b (như hình bên)  a A  b Đào Thị Thanh Huyền O B Hình 1.2 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp  Với vectơ đầu a , vectơ cuối     hướng, kí hiệu a, b với số đo: a, b =sđ       b ta xác định góc định   OA, OB  b, Nhận xét:  - Gọi  giá trị đầu thu quay a theo góc hình học bé    quanh O tới trùng b a, b    k 2 , k  Z     - Góc  góc định hướng cặp vectơ a b giá trị âm   hay dương tuỳ theo ta quay a quanh O tới b theo chiều âm hay dương mặt phẳng Ta thường quy ước:   +, góc   a quay quanh O tới b theo chiều ngược chiều kim đồng hồ   góc   a quay quanh O tới b theo chiều chiều kim +, đồng hồ (như lượng giác) 2.1.3 Hệ toạ độ cực - Giả sử mặt phẳng ta định hướng Chọn điểm O cố định  trục Ox với vectơ phương đơn vị i Khi đó, ta có hệ toạ  độ cực Oi , điểm O gọi gốc cực (cực) hệ toạ độ Với điểm M mặt phẳng, ta đặt:  Khoảng cách tính khoảng cách định hướng r đo gốc cực O tới điểm cuối M gọi bán kính: r  OM    Góc  gọi góc định hướng cặp vectơ i OM Khi đó, cặp số (r , ) gọi toạ độ cực điểm M hệ toạ  độ cực Oi chọn Đào Thị Thanh Huyền 10 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Làm tương tự ta có đường cong ý 2 ) 3 ) trực giao với Bài 5: r1   , r2   Suy r1 ( )   tan   r2 ( )   tan   2  tan      2   ( )( )   Để hai đường cong r1   , r2  trực giao thì:   tan tan         1 Vậy hai đường cong có trực giao điểm   Bài 6: Giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình 2a cos 2  a  cos2     => đường lemniscate giao với đường tròn theo góc 60 Bài 7: r  r ( )  a  cos  sin  a sin  r  cos   tan         tan      (1  cos ) r sin  2 2sin cos 2 Từ phương trình r  a  e  : suy đường cong parabol  cos Vậy tiếp tuyến điểm parabol góc với đường nằm ngang qua điểm đường nối từ gốc tới điểm Đào Thị Thanh Huyền 48 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp §4 Một vài ứng dụng hệ tọa độ cực Đổi biến tích phân kép Tọa độ cực có tác dụng hữu ích việc đổi biến số Nhiều trường hợp tích phân kép  f ( x, y)dxdy tính theo biến x, y không thuận lợi, ta D đổi sang hệ tọa độ cực: - Trường hợp x, y đươc chuyển sang hai biến r,  theo công thức: x = rcos  , y = rsin  : I   f ( x, y)dxdy   f  r cos  , r sin  .r.drd D D (ta thường dùng hệ tọa độ cực phương trình biên miền D có chứa biểu thức x2+ y2, thay x2+ y2 = r2 phương trình đơn giản theo r,  ) - Trường hợp x, y chuyển sang tọa độ cực suy rộng: x  x0  r cos    ( tọa độ cực tịnh tiến) thì: y  y0  r sin   I   f ( x, y)dxdy   f  x0  r cos  , y0  r sin  .r.drd +, D +, x  ar cos    y  br sin   D (tọa độ cực co dãn) thì: I   f ( x, y)dxdy   f  ar cos  , br sin  .r.drd D D (ta thường dùng D miền elip) Ví dụ 1: Chuyển tích phân I   f ( x, y)dxdy sang hệ tọa độ cực, xác định D cận r,  với D miền x  y  x Lời giải: D miền phía đường tròn x  y  x  ( x  1)2  y  Đào Thị Thanh Huyền 49 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Cách 1: Dùng tọa độ cực thông thường: Chuyển phương trình đường tròn sang hệ tọa độ cực r  2r cos   r  cos  Vậy cận r r1=0 r2= cos  Miền D ứng với  biến thiên từ  Vậy: I    d 2cos    O   O’(1; 0) f (rcos , r sin  ).rdr x Hình 4.1.1 Cách 2: Dùng hệ tọa độ cực suy rộng: x   r cos  , y  r sin  với gốc cực là: O’(1;0) Khi đó, đường tròn ( x  1)2  y  trở thành r  hay r  nên cận r từ đến 1, gốc cực là: O’(1,0) nên miền D ứng với  biến thiên từ  2 Do đó: I 2 0  d  f (1  rcos , r sin  ).rdr Ví dụ 2: Tính I   (12  3x  y)dxdy lấy theo miền D xác định D x2  y  Lời giải: D miền elip x2  y2  - Số hạng 4y lẻ y miền D đối xứng theo biến y nên tích phân số hạng không - Số hạng 12  3x chẵn với x miền D đối xứng theo biến x nên ta có: I   (12  x ) dxdy với D+ nửa bên phải elip (ứng với x  ) D Dùng hệ tọa độ cực suy rộng x  2r cos  , y  r sin  , phương trình elip   2 trở thành r2=1 =>r=1, cận  ứng với miền D+ từ   , Jacobi 2r Đào Thị Thanh Huyền 50 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp  I  2  d  (12  3.4r cos  ).2rdr  48  d  (1  r cos  ).rdr  2   2  r r2 1  48  (  cos  )d  48  (  cos 2 ) d 4   2   2  18 Độ dài cung hệ tọa độ cực 2.1 Định lý Như ta biết, hệ toạ độ vuông góc độ dài cung là: y  y  x  , a  x  b L    y '( x)dx Nếu đường cong cho dạng tham số phương trình: x  x(t ), y  y(t ), (t0  t  t1 ) Ở x(t ), y (t )  C (1) t0 , t1  t1 '2 '2 độ dài cung đường cong L bằng: L   x (t )  y (t ).dt t0 Bây từ định nghĩa công thức tính độ dài cung với biểu diễn tham số, ta dễ dàng tính độ dài cung với phương trình cho hệ toạ độ cực Định lý: Giả sử  cung với phương trình cực r  r ( ) , r hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  ,   Khi độ dài cung  2 đoạn đường cong tương ứng : L   r ( )  r ' ( ).d (*)  Chứng minh: Như ta biết, x  r ( ).cos , y  r ( ).sin  lấy đạo hàm theo  theo quy tắc đạo hàm tích ta được: x '( )  r ( ).sin   r '( ).cos y '( )  r ( ).cos  r '( ).sin  Đào Thị Thanh Huyền ,    ,   51 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp  x '( )  y '2 ( )   r ( ).sin   r '( ).cos    r ( ).cos  r '( ).sin   2  r ( ).sin   r '2 ( ).cos 2  2r ( ).r '( ).sin  cos  r ( ).cos 2  r '2 ( ).sin   2r ( ).r '( ).sin  cos  r ( )  r '2 ( ) ,    ,   Vì x '( ) y '( ) liên tục  ,   nên độ dài  là:  L   x '2 ( )  y '2 ( ).d Mà: x '( )  y '2 ( )  r ( )  r '2 ( ) với    ,     Từ suy công thức: L   r ( )  r '2 ( ).d  2.2 Áp dụng Ví dụ 1: Tính độ dài cung tròn Γ có phương trình cực là: r ( )  R,   1 ,    0,   , R số dương Lời giải: Áp dụng công thức (*) ta có độ dài cung Γ là: L 2   R  02 d  R(1   ) Ví dụ 2: Tính độ dài cung Γ đường xoắn ốc Acsimet: r ( )  a ,   0, 2  Lời giải: Áp dụng công thức (*) ta có độ dài cung Γ là: 2 L       2 a a   a d      ln        2  a   2 4   ln 2  4 2  Ví dụ 3: Tính tổng chiều dài đường cardioid: r  a(1  cos ) Lời giải: Từ phương trình cực đường cong, ta có: r '( )  a.sin  ; r ( ) , r '( ) tuần hoàn chu kỳ 2 Đào Thị Thanh Huyền 52 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Đường cong quen thuộc với r ( )  r '2 ( )   a(1  cos )   (a sin  ) 2  a (1  cos )  a sin    2a (1  cos )  2a 2sin   a 2.sin 2 r    r '2    2a sin    Ta có sin  với    2 , ta hoàn toàn Hình 4.2.1 viết: L 2  r ( )  r ' ( ).d  2 2    2a.sin d  4a.cos 2  4a  (4a)  L  8a Hoặc cách khác: đường cong đường cong kín, đối xứng qua trục nằm ngang nên ta có tổng chiều dài đường cong cách lấy tích phân từ đến  nhân với 2:     L  2 2a.sin d  8a.cos   (8a)  20 L  8a Chú ý: Ngoài ra, công thức (*) hệ toạ độ cực dùng để tính diện tích mặt tròn xoay Ta có: diện tích mặt tạo nên quay đường cong trơn AB B t1 A t0 quanh trục Ox là: P  2  y.dl  2  y x '2 (t )  y '2 (t ).dt Ở dl vi phân cung (Một phần tử độ dài cung dl sinh phần tử diện tích mặt: ) L   dl ; dP  2 y.dl  Mà y  r sin  nên có : P  2  r.sin  r ( )  r '2 ( ).d  Ta làm Ví dụ áp dụng sau đây: Đào Thị Thanh Huyền 53 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 4: Tính diện tích xung quanh đường cong cardioid (đường hình tim): r  a(1  cos ) quanh trục cực Lời giải: Ta có: Một phần tử độ dài cung dl sinh phần tử diện tích mặt : dP  2 y.dl Trongđó: y  r.sin , dl  r ( )  r '2 ( ).d  dl   a(1  cos )  (a.sin  ) d  2a  cos d  dP  2 a  cos sin  2.a  cos d  2 a sin  (1  cos )3 d Diện tích mặt tròn xoay lần diện tích nửa sinh dl chuyển động dọc theo phần đường cardioid góc phần tư thứ thứ hai tức  tăng từ đến    P  2 2 a sin  (1  cos ) d  2 a   (1  cos ) d (1  cos )   2 a (1  cos ) 5  16 2 a Diện tích hệ tọa độ cực 3.1 Khái niệm hình quạt Γ D   Hình 4.3.1 Giả sử Γ cung mà phương trình cực r  r ( ),    ,   , r ( )  với    ,    0, 2  Đào Thị Thanh Huyền 54 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Tập hợp D mặt phẳng giới hạn cung Γ hai đường thẳng    ,    : D  (r , ) :      ,  r  r ( ) : gọi hình quạt 3.2 Công thức tính diện tích Vấn đề ta tìm diện tích S miền bị chặn đường cong r  f ( ) hai nửa đường thẳng    ,    , hình 4.3.2 4.3.3 S r     A Hình 4.3.2 Hình 4.3.3 Khi làm việc diện tích hệ toạ độ đề vuông góc, ta sử dụng dải vuông mỏng dựa vào diện tích hình chữ nhật Trong hệ toạ độ cực, minh hoạ hình 4.3.3, diện tích quạt đường tròn bán kính r góc tâm  (đo rađian) A 1 r  (do   ; S  rA  r d ) r 2 Trong hình 4.3.2, phần tử diện tích dS diện tích nhiều quạt mỏng với bán kính r góc tâm d , dS  r d Diện tích toàn phần S kết việc cộng phần tử diện tích dS quạt nhỏ quét ngang miền, tức  tăng từ  đến    1 S   dS   r d   r d 2  Đào Thị Thanh Huyền 55 (1) K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Ta nhắc lại, chất trình lấy tích phân ta tính toàn lượng cách cắt thành nhiều phần nhỏ thuận lợi lấy tổng Giờ ta lập luận toán học tiếp cận với công thức (1) sau: Định lý: Nếu:   r ( ) hàm số khả tích  ,   hình quạt D  đo theo nghĩa Joocđan diện tích là: S   r ( ).d 2 Chứng minh: Giả sử  n  dãy chuẩn tắc phân hoạch  ,   :  n :     1    n   ( M i , i 1 ) (mi ,  i ) Γ Ui   O Hình 4.3.4 Các đường thẳng:   i , i  0,1, , n chia hình quạt D thành hình quạt Di  (r , ) :0  r  r ( ), i 1    i , i  1, , n Đặt: mi  inf r ( ) ,  i1 ,i  M i  sup r    i1 ,i  Gọi U i Vi quạt tròn giới hạn hai đường thẳng:   i 1 ,  i đường tròn: r  mi , r  M i U i   r ,  :  r  mi ;i 1    i  Vi   r ,  :  r  M i ;i 1    i  Đào Thị Thanh Huyền 56 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Tổng diện tích quạt tròn U i là: sn  n  mi i  i 1  i 1 Tổng diện tích quạt tròn Vi là: Sn  n M i i  i 1   i 1 Đó tổng Đacbu hàm số:   r   ứng với phép phân hoạch  n đoạn  ,   Vì hàm số r   khả tích  ,   (do r khả tích đoạn  lim sn  lim S n   r  d n  n  2 này) nên: Vậy hình quạt D đo theo nghĩa Joocđan diện tích là:  S   r  d 2 3.3 Áp dụng Ví dụ 1: Sử dụng tích phân để tìm diện tích đường tròn r  2acos Lời giải: Toàn đường tròn quét góc  tăng từ:   đối xứng đường tròn ta lấy tích phân từ đến    Bởi tính chất đến  nhân với 2  2 1 A  2 r d  2 4a 2cos 2 d  4a  (1  cos2 )d 2 0    a  2a (  sin 2 )   a 2 Hình 4.3.5 Đây đường tròn có bán kính a, kết biết ( S   a ), lại yên tâm thu kết tương tự theo phương pháp Đào Thị Thanh Huyền 57 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Tính diện tích hình quạt D giới hạn cung: r ( )   cos ,  0; 2   hai đường thẳng   0,   Lời giải: Γ O Hình 4.3.6  Ta có: D  (r , ) :  r   cos ,      2 Diện tích hình quạt D là: S   2  1 12 2 (2  c os  ) d   (4  c os   cos  ) d   (9  8cos  cos 2 )d 0 0 0  9  (   2sin   sin 2 )    8 (Γ cung đường ốc sên Patxcan r   cos ) Ví dụ 3: Tìm diện tích phần đường tròn r  6acos phần đường hình tim r  2a(1  cos ) Lời giải: Bằng cách đặt phương trình r giải cho  , giao điểm hai r  6acos r  2a(1  cos ) đường cong nghiệm hệ phương trình:  Giải cho  : 6acos  2a(1  cos )  cos     Đào Thị Thanh Huyền 58  K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy hai đường cong giao góc phần tư thứ    , hình vẽ 4.3.7 Khi ta có phần diện tích cần tìm là: 1 1 dS  r12 d  r2 d  r12  r2  d  36a 2cos  4a (1  cos )2  d 2 2 2  2a 8cos   2cos  1 d Do tính đối xứng, diện tích ta cần tìm gấp đôi phần góc phần tư thứ Suy ra:   S  2 2a 8cos 2  2cos  1 d  4a   4(1  cos2  2cos 1) d 3 0   4a 3  2sin 2  2sin    4 a 2 Vậy S= 4 a Bài tập thêm 2 Bài 1: Tính I   a  x  y dxdy với D mặt tròn D x  y  a , x  0, y  2 Bài 2: Tính I   xydxdy với D nửa mặt tròn ( x  2)  y  D Bài 3: Tính chiều dài đường cong cho phương trình: r a  cos      2  Bài 4: Tính chiều dài đường cong  : r  a.em , (m  0)  r  a Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh đường cong lemniscate r  a 2cos2 a, Quay quanh trục cực (ox) Đào Thị Thanh Huyền 59 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp b, Quay quanh trục    (oy) Bài 6: Tìm diện tích toàn phần phần đường hoa hồng r  sin 2 Bài 7: Tìm diện tích toàn phần bao quanh đường lemniscate r  2a 2cos2 Hƣớng dẫn giải tập thêm Bài 1: I   a3 Bài 2: I  Bài 3: I  a   ln 1   Bài 4:     , L   a  m2 m Bài 5: a, p  2 a 2   b, p  2 a2 Bài 6: S   Bài 7: r  2a 2cos2 Đường cong cho đường cong kín, đối xứng với đường thẳng rcos  rsin  Vì vậy: từ tính đối xứng đó, ta tính diện tính góc phần tư thứ nhân với Khi đó:   S   2a cos2 d  2a sin   2a 0 2 Nhận xét: Bài toán cho ta minh hoạ tốt giá trị việc lợi dụng tính đối xứng đường cong Nếu ta không cẩn thận kết lấy tích phân đường từ đến 2 cuối 0, hiển nhiên kết sai Đào Thị Thanh Huyền 60 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khoá luận “HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nghiên cứu, tìm hiểu số định nghĩa, tính chất, định lí ứng dụng Hệ tọa độ cực vào việc giải toán Hình học Do thời gian hoàn thành nghiên cứu lực thân hạn chế, kinh nghiệm lại chưa nhiều nên khoá luận đạt số kết định chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp, trao đổi thầy, cô bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền 61 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (1993), Bài tập Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích 2, NXB GD [4] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính (1987), Đại số tuyến tính hình học, NXB GD [5] Vũ Tuấn, Giải tích Toán học tập 3, NXB GD [6] Jean – Marie Monier (2003), Giáo trình Toán tập 7, NXB GD [7] Y.Y.Liaskô.A.C.Boiatruc – Ia.G.Gai.G.P.Golovac (1979), Nhập môn giải tích phần I, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Đào Thị Thanh Huyền 62 K32G – Toán [...]... (3, ) và Q (3, ) là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O 3 3 3 Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc   Giả sử có hệ toạ độ cực Oi Ta chọn vectơ đơn vị j vuông góc với   vectơ i sao cho hệ toạ độ Oi j là hệ tọa độ đêcác vuông góc thuận Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi (r , ) là toạ độ cực của nó, còn ( x, y ) là toạ độ đêcác vuông góc của điểm M Khi đó:   i  (1;0) ; j... 0 chính là gốc cực, không cần đến giá trị của    6 4 Chẳng hạn, các cặp (0;0) ; (0; ) ; (0;  ) ;…đều là các toạ độ cực của điểm gốc cực O 2.2 Ví Dụ  Ví dụ 1: Cho điểm P có tọa độ cực (2; ) Vẽ hình minh hoạ và xác định một 4 vài toạ độ cực khác của điểm P Lời giải: P 2 O  4 x P ’ 2 Hình 1.3  Điểm P trong hình vẽ 1.3 có toạ độ cực là: (2; ) 4   4 4 Nhưng nó cũng có toạ độ cực là: (2;  2... tọa độ cực (3; ) 2 3 b, ymax = 2 tại điểm (2;   6 ) Bài 6: Cách làm tương tự như bài 5 ta được kết quả: xmin = x( 2 1 ) = - tại điểm có tọa độ cực: (0; 2 ) 3 2 3 Đào Thị Thanh Huyền 20 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp §2 Phƣơng trình cực của một đƣờng cong 1 Khái niệm Cũng như hệ tọa độ Đềcác vuông góc, một đường cong Г cũng có  phương trình đối với hệ tọa độ cực Giả sử, ta đã chọn hệ tọa độ cực. .. Huyền 11 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: (2; 5 ) 4   Ví dụ 2: Cho tọa độ cực của hai điểm M (2, ) và P (3, ) Tìm tọa độ cực 3 6 khác của hai điểm này với r có dấu ngược nhau Lời giải: Tọa độ của một điểm trong Hệ tọa độ cực có dấu của r ngược nhau là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O  P (3, ) 3  M (2, ) 6 N (2, 7 ) 6 Q(3, O 4... cực Tiếp tuyến của đƣờng cong 1 Dựng đƣờng cong cho bởi phƣơng trình cực 1.1 Đồ thị của một phương trình cực Cũng như trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc, tọa độ của phương trình cực F (r , ) = 0 là tập hợp tất cả các điểm sao cho tọa độ cực của điểm này thỏa mãn phương trình F (r , ) = 0 Từ một điểm P (r , ) có nhiều tọa độ cực khác nhau, cần thiết phải xác định rằng P nằm trên đồ thị nếu một tọa độ. .. hệ trục tọa độ vuông góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và bán kính bằng a Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực Lời giải: Đường tròn tâm (a,0) có bán kính bằng a có phương trình trong hệ tọa độ vuông góc là: ( x  a)2  y 2  a 2 hay x 2  y 2  2ax (1) Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta được: r 2  2ar cos   r  2a cos  (2) Ta có hình vẽ 2.3 và 2.4 là hình biểu diễn đường tròn trong hệ. .. hình biểu diễn đường tròn trong hệ tọa độ vuông góc và hệ tọa độ cực: P(r , ) P(x, y) O a a (a; 0)  O A Hình 2.3 2a A Hình 2.4 Nhận xét: Bài toán trên minh họa một phương pháp tìm phương trình cực của một đường cong, cụ thể là biến đổi phương trình của nó trong hệ tọa độ vuông góc sang phương trình trong hệ tọa độ cực Một phương pháp khác, có thể tìm phương trình cực của đường cong bất cứ lúc nào là... các đƣờng conic trong hệ tọa độ cực Ta đã biết phương trình các đường côníc trong Hệ tọa độ Đềcác vuông góc và đường côníc là elip, parabol hay hypebol tuỳ thuộc vào e < 1, e = 1 hay e > 1 Bây giờ chúng ta đi tìm phương trình của nó trong Hệ toạ độ cực bằng cách xét bài toán cụ thể sau: Bài toán 1: Tìm phương trình cực của phần đường conic với tâm sai e nếu tiêu điểm tại gốc tọa độ và đường chuẩn tương...Khoá luận tốt nghiệp - Toạ độ cực (r , ) của mỗi điểm M khác với điểm O không duy nhất Nếu (r , ) là một toạ độ cực của điểm M thì (r ,  2k ) , (k  Z) cũng là toạ độ cực của điểm M, hay nói cách khác: Mỗi điểm của mặt phẳng đều có nhiều tọa độ cực - Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp những tình huống... 2 Do đó, tọa độ cực của điểm M này là (2; ) 3 3 M (1, 3) 3 2 3 1 1 O  3 M (1,  3) Hình 1.6  Một tọa độ cực khác của điểm M cũng thỏa mãn là: (-2;  ) 3 Đào Thị Thanh Huyền 14 K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vuông góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực sau:  a, (2; ) 4  c, (0; ) 2  b, (2;  ) 2 d, (0;  ) Lời giải:   a, Giả sử: điểm M có tọa độ cực (2; ) => r= ... B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ Mối quan hệ toạ độ cực toạ độ đề vuông góc Bài... vài ứng dụng hệ toạ độ cực 44 Đổi biến số tích phân kép 44 Độ dài cung hệ toạ độ cực 46 2.1 Định lý 46 2.2 Áp dụng 47 Diện tích hệ toạ độ cực ... giác) 2.1.3 Hệ toạ độ cực - Giả sử mặt phẳng ta định hướng Chọn điểm O cố định  trục Ox với vectơ phương đơn vị i Khi đó, ta có hệ toạ  độ cực Oi , điểm O gọi gốc cực (cực) hệ toạ độ Với điểm