Tiểu luận: Hệ tọa độ cực

Tiểu luận với nội dung trình bày hệ tọa độ cực có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ. Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó. Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ  MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài HỆ TỌA ĐỘ CỰC Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm thực hiện:  Nguyễn Bình An Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh Tp. HCM, 2016 LỜI NGỎ Tọa độ của một của điểm là một bộ số đặc trưng cho vị trí của điểm đó trong   mặt phẳng, khơng gian. Tọa độ này ln gắn liền với một hệ tọa độ xác định   bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ Từ  trước đến nay, ta thường quen với hệ  tọa độ  Decartes tức là hệ  tọa độ  xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ  (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên thực tế, trong một số  trường hợp, ta cần sử  dụng đến một số  hệ  tọa độ  khác, trong đó bao gồm hệ  tọa độ  cực. Hệ  tọa   độ  này có  ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối  quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ngồi ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn  đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó Mặc khác, những tri thức mà hệ  tọa độ  cực đem lại cho chúng ta khá thú vị  ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để  nghiên cứu,  giải đáp một số  bài tập một cách dể  dàng hơn so với nhiều phương pháp   khác hay có thể   ứng dụng được trong một số  lĩnh vực thiết thực như  hàng   hải, thiên văn, Chính vì những lý do trên mà nhóm đã quyết định chọn “ Khảo sát hàm số  trong hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận Trong q trình thực hiện, nhóm vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được sự  góp ý từ thầy HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngồi tọa độ Descartes thường gặp trong chương trình học phổ thơng thì hệ  tọa độ  cực cũng là một trong những cơng cụ  giúp ta giải quyết một số  bài  tốn mà hệ  Descartes khó có thể  giải quyết được. Hệ  tọa độ  cực hữu ích   trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm được viết dưới dạng   góc và khoảng cách I.ĐỊNH NGHĨA Hệ  tọa độ  cực là một hệ  tọa độ  2 chiều, trong đó mỗi điểm bất kì được biểu diễn   bẳng 2 thành phần: Khoảng cách từ điểm đó đến gốc O  Góc tạo bởi đường thẳng từ O đến điểm  trước (trục cực) (gốc cực) gọi là bán kính đó với hướng gốc cho  Cụ thể: Khi xét tọa độ của điểm M trên hệ tọa độ cực như hình ta dựa vào bán kính   véctơ  và góc định hướng giữa OM và trục Ox tức là góc  1. Bán kính và hướng:  ­Bán kính được tính bằng các tỉ  lệ  dài, tập hợp các điểm có cùng bán kính được   biểu diễn trên mặt phẳng cực bằng các đường tròn đồng tâm tại gốc tọa độ  Ví dụ:  ­Hướng được đo bằng độ hoặc radian, chiều tăng của hướng là chiều ngược chiều   kim đồng hồ, tập hợp các điểm có cùng hướng là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và   tạo với trục  một góc bằng . Ở đây ta xét số đo hướng là radian Ví dụ:  +Lưu ý: ­Khác với hệ  tọa độ  Descartes mỗi điểm chỉ  được xác định bởi duy nhất một cặp   giá trị  , trong hệ  tọa độ  cực mỗi điểm  có nhiều cách xác định  ứng với các giá trị  tăng hoặc giảm  so với giá trị ban đầu:  ­Trong tọa độ  cực tồn tại bán kính âm, ta có thể  chuyển về  bán kính dương bằng  cách tăng hoặc giảm  đi từ hướng cũ và đổi dấu :  +Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm   ­Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của  là  ­Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của  là:  hay  2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị  và : +Ví dụ:  1.Chuyển  từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có:    2.Chuyển  từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có:   là một giá trị tọa độ cực của  3.Chuyển phương trình  sang tọa độ cực Ta có: 4.Chuyển phương trình  sang tọa độ cực Ta có: II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Đường thẳng  +Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ:  2.Đường tròn  +Đặc biệt đường tròn có tâm là gốc tọa độ:  Ngồi ra còn có những đường cong lạ  mắt có phương trình của chúng trong hệ  Descartes rất phức tạp nhưng ở hệ tọa độ cực lại khá đơn giản như: 3.Đường xốy ốc – Đường Archimede  4.Đường LEMNISCAT : hoặc  5.Đường hình tim – Đường Cardioide:  6.Các đường hình hoa:  hoặc ,  7.Đường hình bướm:  III. KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Các tính chất đối xứng : a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn:   thuộc đồ thị thì  cũng thuộc đồ thị  Đồ thị đối xứng qua Ox     Ví   b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ   thuộc đồ thị thì  cũng thuộc đồ thị   Đồ thị đối xứng qua Oy Ví dụ:  c.Đối xứng tâm: Nếu  thuộc đồ thị thì  cũng vậy Ví dụ:   2.Các bước khảo sát + Tìm miền xác định dụ: ­Trong hệ tọa độ cực hay xảy ra trường hợp các hàm số được khảo sát tuần hồn.  Do đó ta có một số nhận xét về tính tuần hồn như sau: Hàm số  tuần hồn với chu kì  khảo sát trong  hoặc  , qua đồ  thị  mỗi lần một góc   cho đến khi khơng sinh ra nhánh mới  đồ thị đường cong  Nếu hàm số lẻ : đồ thị đối xứng qua Oy.  Nếu hàm số chẵn : đồ thị đối xứng qua Ox + Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính , với  là góc giữa tia bán kính và tiếp tuyến tại điểm  khảo sát : tiếp tuyến trùng bán kính : tiếp tuyến vng góc bán kính BBT Ví dụ: a.Khảo sát hàm số  MXĐ: Ta có  là hàm số lẻ  đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì   khảo sát trên  Có: , .  BBT 10 Do    là  hàm   lẻ,  lấy   đối  xứng  qua   Oy  ta được: b.Khảo sát hàm số  11 MXĐ: Ta có  là hàm số chẵn  đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì   khảo sát trên  Có:  BBT Lấy đối xứng qua Ox ta được: IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC 12 1.Trong tốn học ­Trong một số  trường hợp, khi chuyển sang tọa độ  cực thì phép tính tích phân sẽ  đơn giản hơn cả  về  cận lẫn cơng thức tính tích phân. Một  ứng dụng điển hình là  dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  và các tia  là: +Ví dụ: tính diện tích giới hạn bởi đường Cardioide:  Đạo hàm  đổi dấu tại  nên diện tích  2.Trong lĩnh vực hàng hải và thiên văn +Trong hàng hải:Các nhà hàng hải và qn đội sử dụng mặt phẳng tọa độ  như  sự  u thích của các nhà tốn học. Bán kính được gọi là phạm vi, và các đơn vị thực tế  thường được ghi rõ, như mét (m) hay ki­lơ­mét (km). Góc hay hướng được gọi là góc  phương vị, vị trí, hay phương hướng, và được đo bằng độ từ hướng Bắc theo chiều   kim đồng hồ. Góc phương vị được ký hiệu  ? (chữ cái Hy Lạp cổ), và phạm vi được   ký hiệu ?. Vị trí của điểm được xác định bằng cặp số (?, ?) +Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190­120 TCN) đã lập một bảng  hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ơng  sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 ... dụng đến một số hệ tọa độ  khác, trong đó bao gồm hệ tọa độ cực. Hệ tọa   độ  này có  ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối  quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ngồi ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn ... Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị  và : +Ví dụ:  1.Chuyển  từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có:    2.Chuyển  từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có:   là một giá trị tọa độ cực của  3.Chuyển phương trình  sang tọa độ cực. .. +Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm   ­Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của  là  ­Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của  là:  hay  2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: