Tiểu luận với nội dung trình bày hệ tọa độ cực có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ. Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó. Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài HỆ TỌA ĐỘ CỰC Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh Tp. HCM, 2016 LỜI NGỎ Tọa độ của một của điểm là một bộ số đặc trưng cho vị trí của điểm đó trong mặt phẳng, khơng gian. Tọa độ này ln gắn liền với một hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức là hệ tọa độ xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên thực tế, trong một số trường hợp, ta cần sử dụng đến một số hệ tọa độ khác, trong đó bao gồm hệ tọa độ cực. Hệ tọa độ này có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ngồi ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn, Chính vì những lý do trên mà nhóm đã quyết định chọn “ Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận Trong q trình thực hiện, nhóm vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý từ thầy HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngồi tọa độ Descartes thường gặp trong chương trình học phổ thơng thì hệ tọa độ cực cũng là một trong những cơng cụ giúp ta giải quyết một số bài tốn mà hệ Descartes khó có thể giải quyết được. Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm được viết dưới dạng góc và khoảng cách I.ĐỊNH NGHĨA Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ 2 chiều, trong đó mỗi điểm bất kì được biểu diễn bẳng 2 thành phần: Khoảng cách từ điểm đó đến gốc O Góc tạo bởi đường thẳng từ O đến điểm trước (trục cực) (gốc cực) gọi là bán kính đó với hướng gốc cho Cụ thể: Khi xét tọa độ của điểm M trên hệ tọa độ cực như hình ta dựa vào bán kính véctơ và góc định hướng giữa OM và trục Ox tức là góc 1. Bán kính và hướng: Bán kính được tính bằng các tỉ lệ dài, tập hợp các điểm có cùng bán kính được biểu diễn trên mặt phẳng cực bằng các đường tròn đồng tâm tại gốc tọa độ Ví dụ: Hướng được đo bằng độ hoặc radian, chiều tăng của hướng là chiều ngược chiều kim đồng hồ, tập hợp các điểm có cùng hướng là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với trục một góc bằng . Ở đây ta xét số đo hướng là radian Ví dụ: +Lưu ý: Khác với hệ tọa độ Descartes mỗi điểm chỉ được xác định bởi duy nhất một cặp giá trị , trong hệ tọa độ cực mỗi điểm có nhiều cách xác định ứng với các giá trị tăng hoặc giảm so với giá trị ban đầu: Trong tọa độ cực tồn tại bán kính âm, ta có thể chuyển về bán kính dương bằng cách tăng hoặc giảm đi từ hướng cũ và đổi dấu : +Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của là Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của là: hay 2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị và : +Ví dụ: 1.Chuyển từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có: 2.Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có: là một giá trị tọa độ cực của 3.Chuyển phương trình sang tọa độ cực Ta có: 4.Chuyển phương trình sang tọa độ cực Ta có: II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Đường thẳng +Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ: 2.Đường tròn +Đặc biệt đường tròn có tâm là gốc tọa độ: Ngồi ra còn có những đường cong lạ mắt có phương trình của chúng trong hệ Descartes rất phức tạp nhưng ở hệ tọa độ cực lại khá đơn giản như: 3.Đường xốy ốc – Đường Archimede 4.Đường LEMNISCAT : hoặc 5.Đường hình tim – Đường Cardioide: 6.Các đường hình hoa: hoặc , 7.Đường hình bướm: III. KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Các tính chất đối xứng : a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: thuộc đồ thị thì cũng thuộc đồ thị Đồ thị đối xứng qua Ox Ví b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ thuộc đồ thị thì cũng thuộc đồ thị Đồ thị đối xứng qua Oy Ví dụ: c.Đối xứng tâm: Nếu thuộc đồ thị thì cũng vậy Ví dụ: 2.Các bước khảo sát + Tìm miền xác định dụ: Trong hệ tọa độ cực hay xảy ra trường hợp các hàm số được khảo sát tuần hồn. Do đó ta có một số nhận xét về tính tuần hồn như sau: Hàm số tuần hồn với chu kì khảo sát trong hoặc , qua đồ thị mỗi lần một góc cho đến khi khơng sinh ra nhánh mới đồ thị đường cong Nếu hàm số lẻ : đồ thị đối xứng qua Oy. Nếu hàm số chẵn : đồ thị đối xứng qua Ox + Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính , với là góc giữa tia bán kính và tiếp tuyến tại điểm khảo sát : tiếp tuyến trùng bán kính : tiếp tuyến vng góc bán kính BBT Ví dụ: a.Khảo sát hàm số MXĐ: Ta có là hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì khảo sát trên Có: , . BBT 10 Do là hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được: b.Khảo sát hàm số 11 MXĐ: Ta có là hàm số chẵn đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì khảo sát trên Có: BBT Lấy đối xứng qua Ox ta được: IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC 12 1.Trong tốn học Trong một số trường hợp, khi chuyển sang tọa độ cực thì phép tính tích phân sẽ đơn giản hơn cả về cận lẫn cơng thức tính tích phân. Một ứng dụng điển hình là dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và các tia là: +Ví dụ: tính diện tích giới hạn bởi đường Cardioide: Đạo hàm đổi dấu tại nên diện tích 2.Trong lĩnh vực hàng hải và thiên văn +Trong hàng hải:Các nhà hàng hải và qn đội sử dụng mặt phẳng tọa độ như sự u thích của các nhà tốn học. Bán kính được gọi là phạm vi, và các đơn vị thực tế thường được ghi rõ, như mét (m) hay kilơmét (km). Góc hay hướng được gọi là góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, và được đo bằng độ từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ. Góc phương vị được ký hiệu ? (chữ cái Hy Lạp cổ), và phạm vi được ký hiệu ?. Vị trí của điểm được xác định bằng cặp số (?, ?) +Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190120 TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ơng sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 ... dụng đến một số hệ tọa độ khác, trong đó bao gồm hệ tọa độ cực. Hệ tọa độ này có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ngồi ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn ... Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị và : +Ví dụ: 1.Chuyển từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có: 2.Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có: là một giá trị tọa độ cực của 3.Chuyển phương trình sang tọa độ cực. .. +Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của là Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của là: hay 2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: