Luận văn sư phạm Hệ toạ độ cực

Khoá lu n t t nghi p TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA TOÁN - - ÀO TH THANH HUY N H T A C C KHịA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Hình h c Ng ih IH C ng d n khoa h c TH.S inh Th Kim Thuý Hà N i, n m 2010 Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p L IC M B n khoá lu n b h c Tr N c đ u em làm quen v i vi c nghiên c u khoa c s b ng g p nhi u khó kh n ch a có nhi u kinh nghi m vi c ti n hành nghiên c u khoa h c, em nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a cô inh Th Kim Thuý Qua đây, em xin bày t lòng c m n chân thành nh t t i cô Thuý c ng nh s ch b o quan tâm đóng góp ý ki n c a th y, giáo t Hình h c, th y, giáo khoa Tốn - Tr ng HSP Hà N i gi ng d y, giúp đ em hồn thành khố lu n t t nghi p c a ng th i, em c ng xin g i l i c m n t i gia đình, t i Nguy t, b n bè ng i thân đ ng viên, ng h , giúp đ em th i gian qua Do u ki n h n ch v th i gian c ng nh ki n th c, n ng l c c a b n thân nên khố lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong s ch b o, nh n xét, đóng góp c a th y c ng nh b n bè sinh viên đ khoá lu n đ c hoàn thi n h n Em xin chơn thƠnh c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Th Thanh Huy n Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p L I CAM OAN Em xin cam đoan khoá lu n đ c hoàn thành s c g ng n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân v i s giúp đ c a Th, th y khoa Tốn, Nguy t… Khóa lu n em vi t nh ng ki n th c trích d n khoá lu n trung th c, không trùng l p v i k t qu c a đ tài khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Th Thanh Huy n Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p M CL C N i dung A M Trang U 1 Lí ch n đ tài L ch s nghiên c u M c đích, đ i t Ph ng, ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c u C u trúc khoá lu n B N I DUNG §1 H t a đ c c M đ u nh ngh a h to đ c c 2.1 nh ngh a 2.2 Ví d M i quan h gi a to đ c c to đ đ vuông góc Bài t p thêm 12 H §2 Ph ng d n gi i t p thêm 13 ng trình c c c a m t đ ng cong 16 Khái ni m 16 Ph ng trình c c c a đ Ph ng trình c a đ Ph ng trình c c c a đ ng tròn 19 ng coníc h to đ c c 21 ng xo n c 23 Bài t p thêm 25 H ng d n gi i t p thêm 27 Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p §3 D ng đ ng cong cho b i ph Ti p n c a đ D ng đ 1.1 ng cong 30 ng cong cho b i ph th c a ph ng trình c c ng trình c c 30 ng trình c c 30 1.2 Nh n xét 33 Ti p n c a đ ng cong 35 Bài t p thêm 40 H ng d n gi i t p thêm 41 §4 M t vƠi ng d ng c a h to đ c c 44 i bi n s tích phân kép 44 dài cung h to đ c c 46 2.1 nh lý 46 2.2 Áp d ng 47 Di n tích h to đ c c 49 3.1 Khái ni m hình qu t 49 3.2 Công th c tính di n tích 50 3.3 Áp d ng 52 Bài t p thêm 54 H ng d n gi i t p thêm 55 K T LU N 56 TÀI LI U THAM KH O 57 Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p A M U Lí ch n đ tƠi T t id xa x a, tr c nh ng yêu c u c a th c ti n, Toán h c đ i ch t n i hình th c nh ng kinh nghi m Cùng v i th i gian, qua nhi u tìm tịi, phát minh, kinh nghi m ngày đa d ng phong phú h n, đ c nhà Toán h c t ng k t, đ ng th i phát tri n thành lý thuy t Toán h c mà ngày c s , n n t ng đ nghiên c u mơn h c khác Hình h c m t b ph n quan tr ng c u thành nên Tốn h c mơn h c thú v nh ng t t ây ng đ i khó, có tính h th ng ch t ch , logic tr u ng cao Nhi u toán Hình h c, vi c tìm l i gi i cịn g p nhi u khó kh n ho c n u có th ng r t dài L a ch n m t cơng c thích h p vi c làm c n thi t, giúp ti t ki m đ c th i gian cơng s c Trong q trình h c t p, nghiên c u v chuyên ngành Hình h c, em đ c ti p c n v i H t a đ c c, m t b ph n c a H t a đ , có tác d ng khơng nh vi c gi i tốn làm đ n gi n m t s v n đ Hình h c ph c t p T ni m yêu thích c a b n thân v i b môn s giúp đ c a cô inh Th Kim Thuý, em m nh d n th c hi n khoá lu n t t nghi p v i tiêu đ “H T A C C” nh m m c đích làm rõ h n th H t a đ c c, tính ch t m t s ng d ng c a vào vi c gi i tốn Hình h c L ch s nghiên c u Hi n nay, ch a có m t đ tài nghiên c u m t cách đ y đ h th ng v H t a đ c c Do v y, vi c l a ch n đ tài nghiên c u cho khoá lu n m t vi c làm có ý ngh a khoa h c th c ti n Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p M c đích, đ i t ng vƠ ph m vi nghiên c u - M c đích nghiên c u: Nghiên c u ki n th c v H t a đ c c m ts ng d ng c a vào vi c gi i tốn Hình h c, giúp cho ng i h c hi u bi t thêm ph n v H t a đ c c - it ng nghiên c u: H t a đ c c, m t s tốn Hình h c - Khách th : Ng i h c (h c sinh, sinh viên…) - Ph m vi nghiên c u: Nghiên c u sách giáo khoa, sách tham kh o tài li u có liên quan Ph ng pháp nghiên c u Tham kh o tài li u, phân tích, so sánh h th ng hóa C u trúc khóa lu n Ngồi ph n m c đích, k t lu n danh m c sách tham kh o, c u trúc khố lu n bao g m: §1 H t a đ c c §2 Ph ng trình c c c a m t đ §3 D ng đ ng cong ng cong cho b i ph Ti p n c a đ ng trình c c ng cong §4 M t vài ng d ng c a h to đ c c Th Thanh Huy n K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p B N I DUNG §1 H t a đ c c M đ u Nh ta bi t, m t h to đ c c m t ph ng cho th y m i liên h gi a m t c p hai s s p th t v i m t m m t ph ng i u đ n gi n, nh ng có tác d ng l n vi c tìm hi u nhi u tốn Hình h c, đ c bi t nghiên c u tính ch t c a đ ng cong, b ng ph ng pháp c a đ i s gi i tích ng quen thu c v i H to đ Chúng ta th vng góc, ta đ t m t ph ng hai tr c vng góc Tuy nhiên, th đ ng x y tr ng cong xu t hi n m i quan h đ c bi t v i g c to đ , nh đ c a m t hành tinh xung quanh qu đ o c a nó, đ c a m t tr i ng cong nh v y đ mà v trí c a đ c ch rõ b i h ng h p ng c xác đ nh b i l c h p d n c mô t t t nh t nh chuy n đ ng m ng đ n g c to đ kho ng cách đ n g c to đ ó xác nh ng mà h to đ c c s miêu t M  O Th Thanh Huy n Hình 1.1 x K32G – Tốn Khố lu n t t nghi p nh ngh a h to đ c c 2.1 nh ngh a 2.1.1 M t ph ng đ nh h a, ng nh ngh a: Trong m t ph ng, xét m O tu ý, xung quanh O có chi u quay N u ta ch n m t hai chi u chi u d ta nói m t ph ng đ b, Quy c đ nh h ng, chi u cịn l i chi u âm ng c: Thông th ng, ta quy chi u quay ng c chi u quay quanh O (nh trên) d ng n u c chi u kim đ ng h âm n u chi u quay chi u kim đ ng h 2.1.2 Góc đ nh h a, ng gi a vect nh ngh a:   Trong m t ph ng đ nh h ng, cho vect a b (đ u khác vect không):   TH1: a b chung g c O Khi đó, góc đ nh h ng gi a vect , có     vect đ u a vect cu i b , kí hi u a , b góc thu đ c quay     vect đ u a xung quanh O t i trùng vect cu i b   TH2: a b không chung g c: T m t m (g i m g c) O m t ph ng y, d ng vect     OA  a , OB  b (nh hình bên)  a A  b Th Thanh Huy n O B Hình 1.2 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p h  V i m i vect đ u a , vect cu i     ng, kí hi u a , b v i s đo: a , b =sđ       b ta xác đ nh đ   OA, OB c m t góc đ nh  b, Nh n xét:  - G i  giá tr đ u thu đ c quay a theo góc hình h c bé nh t    quanh O t i trùng b a , b    k 2 , k  Z     ng gi a c p vect a b giá tr âm   ng tu theo ta quay a quanh O t i b theo chi u âm hay d ng - Góc  góc đ nh h hay d c a m t ph ng Ta th c:   +, góc   n u a quay quanh O t i b theo chi u ng đ ng h ng quy c chi u kim   góc   n u a quay quanh O t i b theo chi u chi u kim +, đ ng h (nh l ng giác) 2.1.3 H to đ c c - Gi s m t ph ng c a ta đ c đ nh h m t tr c Ox v i vect ch ph ng Ch n m t m O c đ nh  ng đ n v i Khi đó, ta có h to  đ c c Oi , m O đ c g i g c c c (c c) c a h to đ V i m i m M b t kì m t ph ng, ta đ t:  Kho ng cách đ c tính b i kho ng cách đ nh h ng r đo b i g c c c O t i m cu i M g i bán kính: r  OM  Góc  g i góc đ nh h Khi đó, c p s (r , ) đ   ng gi a c p vect i OM c g i to đ c c c a m M đ i v i h to  đ c c Oi ch n Th Thanh Huy n 10 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p Làm t ng t ta c ng có đ ng cong ý 2 ) 3 ) c ng tr c giao v i Bài 5: r1   , r2   Suy r1 ( )   tan   r2 ( )   tan   2  tan      2   ( )( )   ng cong r1   , r2  tr c giao thì: hai đ   tan tan         1 V y hai đ ng cong có tr c giao t i m   Bài 6: Giao m c a hai đ 2a cos 2  a  cos2  ng cong nghi m c a ph    => đ ng trình ng lemniscate giao v i đ ng trịn theo góc 60 Bài 7: r  r ( )  a  cos  sin  a sin  r  cos   tan         tan      r (1  cos ) sin  2 2sin cos 2 T ph ng trình r  a  e  : suy đ  cos ng cong parabol V y ti p n t i m t m b t kì parabol t i góc b ng v iđ ng n m ngang qua m đ Th Thanh Huy n 48 ng n i t g c t i m K32G – Tốn Khố lu n t t nghi p §4 M t vƠi ng d ng c a h t a đ c c i bi n tích phơn kép T a đ c c có tác d ng r t h u ích vi c đ i bi n s Nhi u tr h p tích phân kép  f ( x, y)dxdy ng tính theo bi n x, y khơng thu n l i, ta D đ i sang h t a đ c c: - Tr ng h p x, y đ c chuy n sang hai bi n m i r,  theo công th c: x = rcos  , y = rsin  : I   f ( x, y)dxdy   f  r cos  , r sin  .r drd D (ta th D ng dùng h t a đ c c ph ng trình biên c a mi n D có ch a bi u th c x2+ y2, thay x2+ y2 = r2 s đ c ph ng trình đ n gi n h n theo r,  ) ng h p x, y đ - Tr c chuy n sang t a đ c c suy r ng: x  x0  r cos    ( t a đ c c t nh ti n) thì: y  y0  r sin   I   f ( x, y)dxdy   f  x0  r cos  , y0  r sin  .r drd +, D +, x  ar cos    y  br sin   D (t a đ c c co dãn) thì: I   f ( x, y)dxdy   f  ar cos  , br sin  .r drd D (ta th D ng dùng D mi n elip) Ví d 1: Chuy n tích phân I   f ( x, y)dxdy sang h t a đ c c, xác đ nh D c n r,  v i D mi n x2  y2  x L i gi i: D mi n phía c a đ Th Thanh Huy n ng tròn x2  y2  x  ( x  1)2  y2  49 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p Cách 1: Dùng t a đ c c thông th Chuy n ph ng trình đ ng: ng trịn sang h t a đ c c r  2r cos   r  cos  V y c n c a r r1=0 r2= cos  Mi n D ng v i  bi n thiên t  V y: I    d 2cos    O   O’(1; 0) f (rcos , r sin  ).rdr x Hình 4.1.1 Cách 2: Dùng h t a đ c c suy r ng: x   r cos  , y  r sin  v i g c c c là: O’(1;0) Khi đó, đ ng trịn ( x  1)2  y2  tr thành r  hay r  nên c n c a r t đ n 1, g c c c là: O’(1,0) nên mi n D ng v i  bi n thiên t I 2 0  2 Do đó:  d  f (1  rcos , r sin  ).rdr Ví d 2: Tính I   (12  3x  y)dxdy l y theo mi n D đ c xác đ nh b i D x2  y2  L i gi i: D mi n elip x2  y2  - S h ng 4y l đ i v i y mi n D đ i x ng theo bi n y nên tích phân s h ng b ng không - S h ng 12  3x2 ch n v i x mi n D c ng đ i x ng theo bi n x nên ta có: I   (12  x ) dxdy v i D+ n a bên ph i c a elip ( ng v i x  ) D Dùng h t a đ c c suy r ng x  2r cos  , y  r sin  , ph   2 ng trình elip tr thành r2=1 =>r=1, c n c a  ng v i mi n D+ t   , Jacobi 2r Th Thanh Huy n 50 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p   I  d  (12  3.4r  2  cos  ).2rdr  48  d  (1  r 2cos 2 ).rdr    r r2 1  48  (  cos  )d  48  (  cos 2 ) d 4   2   2  18 dƠi cung h t a đ c c 2.1 nh lý Nh ta bi t, h to đ vng góc đ dài c a m t cung là: y  y  x , a  x  b b ng L    y '( x)dx N u đ s b i ph ng cong cho d ng trình: x  x(t ), y  y(t ), (t0  t  t1 ) i d ng tham x(t ), y(t )  C (1) t0 , t1  t1 đ dài m t cung c a đ '2 '2 ng cong L b ng: L   x (t )  y (t ).dt t0 Bây gi t đ nh ngh a cơng th c tính đ dài c a cung v i bi u di n tham s , ta d dàng tính đ c đ dài c a cung v i ph ng trình cho h to đ c c nh lý: Gi s  m t cung v i ph ng trình c c r  r ( ) , r m t hàm s có đ o hàm liên t c đo n  ,   Khi đ dài cung c a  đo n đ ng cong t 2 ng ng s b ng : L   r ( )  r ' ( ).d (*)  Ch ng minh: Nh ta bi t, x  r ( ).cos , y  r ( ).sin  l y đ o hàm theo  theo quy t c đ o hàm c a tích ta đ x '( )  r ( ).sin   r '( ).cos y '( )  r ( ).cos  r '( ).sin  Th Thanh Huy n c: ,    ,   51 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p  x '( )  y '2 ( )   r ( ).sin   r '( ).cos    r ( ).cos  r '( ).sin   2  r ( ).sin   r '2 ( ).cos 2  2r ( ).r '( ).sin  cos  r ( ).cos 2  r '2 ( ).sin   2r ( ).r '( ).sin  cos ,    ,    r ( )  r '2 ( ) Vì x '( ) y '( ) đ u liên t c  ,   nên đ dài c a  là:  L   x '2 ( )  y '2 ( ).d Mà: x '( )  y '2 ( )  r ( )  r '2 ( ) v i m i    ,     T suy cơng th c: L   r ( )  r '2 ( ).d  2.2 Áp d ng Ví d 1: Tính đ dài cung trịn có ph ng trình c c là: r ( )  R,   1 ,    0,   , R m t s d ng L i gi i: Áp d ng công th c (*) ta có đ dài cung L 2   là: R2  02 d  R(1   ) Ví d 2: Tính đ dài cung ng xo n c Acsimet: r ( )  a ,   0, 2  c ađ L i gi i: Áp d ng cơng th c (*) ta có đ dài cung L 2   2 a a   a d      ln        2  a   2 4   ln 2  4 2  Ví d     là: 3: Tính t ng chi u dài c a đ ng cardioid: r  a (1  cos ) L i gi i: T ph ng trình c c c a đ ng cong, ta có: r '( )  a.sin  ; r ( ) , r '( ) tu n hoàn chu k 2 Th Thanh Huy n 52 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p ng cong quen thu c v i r ( )  r '2 ( )   a (1  cos )   (a sin  ) 2  a (1  cos )  a sin    2a (1  cos )  2a 2sin   a 2.sin 2 r    r '2    2a sin    Ta có sin  v i    2 , v y ta hồn tồn Hình 4.2.1 có th vi t: L 2  r ( )  r ' ( ).d  2 2    2a.sin d  4a.cos Ho c cách khác: đ ng cong đ tr c n m ngang nên ta c ng có th có đ 2  4a  (4a )  L  8a ng cong kín, đ i x ng qua c t ng chi u dài c a đ ng cong b ng cách l y tích phân t đ n  r i nhân v i 2:     L  2 2a.sin d  8a.cos   (8a )  20 L  8a Chú ý: Ngồi ra, cơng th c (*) h to đ c c c ng có th đ c dùng đ tính di n tích c a m t trịn xoay Ta có: di n tích c a m t đ B t1 A t0 c t o nên quay đ quanh tr c Ox là: P  2  y.dl  2  y x '2 (t )  y '2 (t ).dt ng cong tr n AB dl vi phân cung (M t ph n t c a đ dài cung dl sinh ph n t c a di n tích m t: ) L   dl ; dP  2 y.dl  Mà y  r sin  nên có : P  2  r sin  r ( )  r '2 ( ).d  Ta làm Ví d áp d ng sau đây: Th Thanh Huy n 53 K32G – Tốn Khố lu n t t nghi p Ví d 4: Tính di n tích xung quanh c a đ ng cong cardioid (đ ng hình tim): r  a (1  cos ) quanh tr c c c L i gi i: Ta có: M t ph n t c a đ dài cung dl sinh ph n t c a di n tích m t : dP  2 y.dl Trongđó: y  r sin , dl  r ( )  r '2 ( ).d  dl   a (1  cos )  (a.sin  ) d  2a  cos d  dP  2 a  cos sin  2.a  cos d  2 a sin  (1  cos )3 d Di n tích c a m t trịn xoay b ng l n di n tích c a n a sinh b i dl chuy n đ ng d c theo ph n c a đ ng cardioid góc ph n t th nh t th hai t c  t ng t đ n    P  2 2 a sin  (1  cos ) d  2 a   (1  cos ) d (1  cos )   2 a (1  cos ) 5  16 2 a Di n tích h t a đ c c 3.1 Khái ni m hình qu t D   Hình 4.3.1 Gi s m t cung mà ph ng trình c c r  r ( ),    ,   , r ( )  v i m i    ,    0, 2  Th Thanh Huy n 54 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p T p h p D m t ph ng gi i h n b i cung hai đ ng th ng    ,    : D  (r , ) :      ,  r  r ( ) : g i m t hình qu t 3.2 Cơng th c tính di n tích V n đ c a ta tìm di n tích S c a m t mi n b ch n b i đ cong r  f ( ) hai n a đ ng ng th ng    ,    , nh hình 4.3.2 4.3.3 S  r    A Hình 4.3.2 Hình 4.3.3 Khi làm vi c v di n tích h to đ đ vng góc, ta s d ng d i vuông m ng d a vào di n tích c a hình ch nh t Trong h to đ c c, nh minh ho hình 4.3.3, r ng di n tích c a m t qu t c a m t đ ng tròn bán kính r góc tâm  (đo b ng rađian) A 1 r  (do   ; S  rA  r d ) r 2 Trong hình 4.3.2, ph n t di n tích dS di n tích c a nhi u qu t m ng v i bán kính r góc tâm d , v y dS  r d Di n tích tồn ph n S k t qu c a vi c c ng ph n t di n tích dS nh qu t nh quét ngang mi n, t c  t ng t  đ n    1 S   dS   r d   r d 2  Th Thanh Huy n 55 (1) K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p Ta nh c l i, b n ch t c a trình l y tích phân ta tính tồn b m t l ng b ng cách c t thành r t nhi u ph n nh thu n l i l y t ng c a Gi ta s ch m t l p lu n toán h c ti p c n v i công th c (1) nh sau: nh lý: N u:   r ( ) m t hàm s kh tích  ,   hình qu t D đo đ  c theo ngh a Joocđan di n tích c a là: S   r ( ).d 2 Ch ng minh: Gi s  n  m t dãy chu n t c phân ho ch  ,   :  n :     1    n   ( Mi , i 1 ) (mi ,  i ) Ui   O Hình 4.3.4 Các đ ng th ng:   i , i  0,1, , n chia hình qu t D thành hình qu t Di  (r , ) :0  r  r ( ), i 1    i , i  1, , n t: mi  inf r ( ) ,  i1 ,i  Mi  sup r    i1 ,i  G i U i Vi qu t tròn gi i h n b i hai đ   i 1 ,  i đ ng th ng: ng tròn: r  mi , r  Mi U i   r ,  :  r  mi ;i 1    i  Vi   r ,  :  r  Mi ;i 1    i  Th Thanh Huy n 56 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p T ng di n tích qu t tròn U i là: sn  n  mi i  i 1  i 1 T ng di n tích qu t trịn Vi là: Sn  n Mi i  i 1   i 1 ó t ng acbu c a hàm s :   r   ng v i phép phân ho ch  n đo n  ,   Vì hàm s r   kh tích  ,   (do r kh tích đo n  lim sn  lim Sn   r  d n  n  2 này) nên: V y hình qu t D đo đ c theo ngh a Joocđan di n tích c a là:  S   r  d 2 3.3 Áp d ng Ví d 1: S d ng tích phân đ tìm di n tích đ ng trịn r  2acos L i gi i: Toàn b đ đ i x ng c a đ  ng trịn qt m t góc  t ng t :   ng tròn ta có th l y tích phân t đ n   B i tính ch t đ n  r i nhân v i 2  2 1 A  2 r d  2 4a 2cos 2 d  4a  (1  cos2 )d 2 0    a  2a (  sin 2 )   a 2 Hình 4.3.5 ây đ ng trịn có bán kính b ng a, k t qu bi t ( S   a ), nh ng l i yên tâm h n thu đ ph c k t qu t ng t theo m t ng pháp m i Th Thanh Huy n 57 K32G – Toán Khố lu n t t nghi p Ví d 2: Tính di n tích hình qu t D gi i h n b i cung: r ( )   cos ,  0; 2   hai đ ng th ng   0,   L i gi i: O Hình 4.3.6  Ta có: D  (r , ) :  r   cos ,      2 Di n tích hình qu t D là: S   2  1 12 2 (2 c os ) d (4 c os cos ) d (9  8cos  cos 2 )d           0 0 0  9  (   2sin   sin 2 )    8 ( cung c a đ ng c sên Patxcan r   cos ) Ví d 3: Tìm di n tích ph n c a đ ngồi đ ng trịn r  6acos ph n ng hình tim r  2a (1  cos ) L i gi i: B ng cách đ t ph đ ng trình c a r gi i cho  , giao m c a hai ng cong nghi m c a h ph r  6acos r  2a (1  cos ) ng trình:  Gi i cho  : 6acos  2a (1  cos )  cos     Th Thanh Huy n 58  K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p V y hai đ ng cong giao góc ph n t th nh t t i    , nh hình v 4.3.7 Khi ta có ph n di n tích c n tìm là: 1 1 dS  r12 d  r2 d  r12  r2  d  36a 2cos  4a (1  cos )2  d 2 2 2  2a 8cos   2cos  1 d Do tính đ i x ng, di n tích ta c n tìm g p đơi ph n góc ph n t th nh t Suy ra:   S  2 2a 8cos 2  2cos  1 d  4a   4(1  cos2  2cos 1) d 3 0   4a 3  2sin 2  2sin    4 a 2 V y S= 4 a BƠi t p thêm 2 Bài 1: Tính I   a  x  y dxdy v i D m t tròn D x2  y2  a , x  0, y  2 Bài 2: Tính I   xydxdy v i D n a c a m t tròn ( x  2)  y  D Bài 3: Tính chi u dài c a đ ng cong cho b i ph r Bài 4: Tính chi u dài c a đ a  cos ng trình:      2  ng cong  : r  a.em , (m  0)  r  a Bài 5: Tính di n tích c a m t tròn xoay sinh b i đ ng cong lemniscate r  a 2cos2 a, Quay quanh tr c c c (ox) Th Thanh Huy n 59 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p b, Quay quanh tr c    (oy) Bài 6: Tìm di n tích tồn ph n c a ph n đ ng hoa h ng r  sin 2 Bài 7: Tìm di n tích tồn ph n bao quanh b i đ ng lemniscate r  2a 2cos2 H ng d n gi i bƠi t p thêm Bài 1: I   a3 Bài 2: I  Bài 3: I  a   ln 1   Bài 4:     , L   a  m2 m Bài 5: a, p  2 a 2   b, p  2 a Bài 6: S   Bài 7: r  2a 2cos2 ng cong cho đ rcos  r sin  Vì v y: t ng cong kín, đ i x ng v i đ ng th ng tính đ i x ng đó, ta tính di n tính c a góc ph n t th nh t r i nhân v i Khi đó:   S   2a cos2 d  2a sin   2a 0 2 Nh n xét: Bài toán cho ta m t minh ho t t giá tr c a vi c l i d ng tính đ i x ng c a đ c đ ng cong N u ta không c n th n k t qu l y tích phân ng t đ n 2 cu i b ng 0, hi n nhiên m t k t qu sai Th Thanh Huy n 60 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p K T LU N Khoá lu n “H T A C C” nghiên c u, tìm hi u m t s đ nh ngh a, tính ch t, đ nh lí c b n c ng nh ng d ng c a H t a đ c c vào vi c gi i tốn Hình h c Do th i gian hoàn thành nghiên c u n ng l c c a b n thân h n ch , kinh nghi m l i ch a nhi u nên khoá lu n ch đ t m t s k t qu nh t đ nh ch c ch n không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp, trao đ i c a th y, cô b n sinh viên đ khoá lu n đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Th Thanh Huy n Th Thanh Huy n 61 K32G – Toán Khoá lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O [1] Bùi V n Bình, Nguy n V n V n (1993), Giáo trình Hình h c s c p, NXB Hà N i [2] Bùi V n Bình (1993), Bài t p Hình h c s c p, NXB Hà N i [3] Nguy n Xuân Liêm (2001), Gi i tích 2, NXB GD [4] ồn Qu nh (ch biên), V n Nh C ng, Hồng Xn Sính (1987), i s n tính hình h c, NXB GD [5] V Tu n, Gi i tích Tốn h c t p 3, NXB GD [6] Jean – Marie Monier (2003), Giáo trình Tốn t p 7, NXB GD [7] Y.Y.Liaskơ.A.C.Boiatruc – Ia.G.Gai.G.P.Golovac (1979), Nh p mơn gi i tích ph n I, NXB Th Thanh Huy n i h c trung h c chuyên nghi p 62 K32G – Toán