Hệ toạ độ cực

luan van,khoa luan, thac si , su pham 1document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - ĐÀO THỊ THANH HUYỀN HỆ TỌA ĐỘ CỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TH.S Đinh Thị Kim Thuý Hà Nội, năm 2010 Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si1download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 2document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ nhiệt tình Đinh Thị Kim Thuý Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới cô Thuý bảo quan tâm đóng góp ý kiến thầy, giáo tổ Hình học, thầy, giáo khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội giảng dạy, giúp đỡ em hồn thành khố luận tốt nghiệp Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới Nguyệt, bạn bè người thân động viên, ủng hộ, giúp đỡ em thời gian qua Do điều kiện hạn chế thời gian kiến thức, lực thân nên khố luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo, nhận xét, đóng góp thầy bạn bè sinh viên để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si2download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 3document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ cô Thuý, thầy cô khoa Tốn, Nguyệt… Khóa luận em viết kiến thức trích dẫn khố luận trung thực, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si3download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 4document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC Nội dung Trang A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ Mối quan hệ toạ độ cực toạ độ đề vng góc Bài tập thêm 12 Hướng dẫn giải tập thêm 13 §2 Phƣơng trình cực đƣờng cong 16 Khái niệm 16 Phương trình cực đường tròn 19 Phương trình đường coníc hệ toạ độ cực 21 Phương trình cực đường xoắn ốc 23 Bài tập thêm 25 Hướng dẫn giải tập thêm 27 Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si4download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 5document,pdf,docx Khố luận tốt nghiệp §3 Dựng đƣờng cong cho phƣơng trình cực Tiếp tuyến đƣờng cong 30 Dựng đường cong cho phương trình cực 30 1.1 Đồ thị phương trình cực 30 1.2 Nhận xét 33 Tiếp tuyến đường cong 35 Bài tập thêm 40 Hướng dẫn giải tập thêm 41 §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực 44 Đổi biến số tích phân kép 44 Độ dài cung hệ toạ độ cực 46 2.1 Định lý 46 2.2 Áp dụng 47 Diện tích hệ toạ độ cực 49 3.1 Khái niệm hình quạt 49 3.2 Cơng thức tính diện tích 50 3.3 Áp dụng 52 Bài tập thêm 54 Hướng dẫn giải tập thêm 55 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si5download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 6document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ xa xưa, trước yêu cầu thực tiễn, Toán học đời tồn hình thức kinh nghiệm Cùng với thời gian, qua nhiều tìm tòi, phát minh, kinh nghiệm ngày đa dạng phong phú hơn, nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành lý thuyết Toán học mà ngày sở, tảng để nghiên cứu mơn học khác Hình học phận quan trọng cấu thành nên Toán học Đây mơn học thú vị tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic trừu tượng cao Nhiều tốn Hình học, việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn có thường dài Lựa chọn cơng cụ thích hợp việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức Trong q trình học tập, nghiên cứu chuyên ngành Hình học, em tiếp cận với Hệ tọa độ cực, phận Hệ tọa độ, có tác dụng khơng nhỏ việc giải toán làm đơn giản số vấn đề Hình học phức tạp Từ niềm u thích thân với môn giúp đỡ cô Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề “HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ Hệ tọa độ cực, tính chất số ứng dụng vào việc giải tốn Hình học Lịch sử nghiên cứu Hiện nay, chưa có đề tài nghiên cứu cách đầy đủ hệ thống Hệ tọa độ cực Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận việc làm có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si6download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 7document,pdf,docx Khố luận tốt nghiệp Mục đích, đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức Hệ tọa độ cực số ứng dụng vào việc giải tốn Hình học, giúp cho người học hiểu biết thêm phần Hệ tọa độ cực - Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, số tốn Hình học - Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…) - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh hệ thống hóa Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mục đích, kết luận danh mục sách tham khảo, cấu trúc khố luận bao gồm: §1 Hệ tọa độ cực §2 Phương trình cực đường cong §3 Dựng đường cong cho phương trình cực Tiếp tuyến đường cong §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực Đào Thị Thanh Huyền tai lieu,dh su pham, luan van thac si7download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 8document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Như ta biết, hệ toạ độ cực mặt phẳng cho thấy mối liên hệ cặp hai số thứ tự với điểm mặt phẳng Điều đơn giản, có tác dụng lớn việc tìm hiểu nhiều tốn Hình học, đặc biệt nghiên cứu tính chất đường cong, phương pháp đại số giải tích Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề vng góc, ta đặt mặt phẳng hai trục vng góc Tuy nhiên, thường xảy trường hợp đường cong xuất mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, đường hành tinh xung quanh quỹ đạo nó, xác định lực hấp dẫn mặt trời Đường cong mô tả tốt chuyển động điểm mà vị trí rõ hướng đến gốc toạ độ khoảng cách đến gốc toạ độ Đó xác mà hệ toạ độ cực miêu tả M  O Đào Thị Thanh Huyền Hình 1.1 tai lieu,dh su pham, luan van thac si8download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc x K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 9document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Mặt phẳng định hướng a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng, xét điểm O tuỳ ý, xung quanh O có chiều quay Nếu ta chọn hai chiều chiều dương, chiều lại chiều âm ta nói mặt phẳng định hướng b, Quy ƣớc: Thông thường, ta quy ước chiều quay quanh O (như trên) dương chiều quay ngược chiều kim đồng hồ âm chiều quay chiều kim đồng hồ 2.1.2 Góc định hướng vectơ a, Định nghĩa:   Trong mặt phẳng định hướng, cho vectơ a b (đều khác vectơ không):   TH1: a b chung gốc O Khi đó, góc định hướng vectơ, có     vectơ đầu a vectơ cuối b , kí hiệu a, b góc thu quay     vectơ đầu a xung quanh O tới trùng vectơ cuối b   TH2: a b không chung gốc: Từ điểm (gọi điểm gốc) O mặt phẳng ấy, dựng vectơ     OA  a , OB  b (như hình bên)  a A  b Đào Thị Thanh Huyền O B Hình 1.2 tai lieu,dh su pham, luan van thac si9download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 10document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp  Với vectơ đầu a , vectơ cuối     hướng, kí hiệu a, b với số đo: a, b =sđ       b ta xác định góc định   OA, OB  b, Nhận xét:  - Gọi  giá trị đầu thu quay a theo góc hình học bé    quanh O tới trùng b a, b    k 2 , k  Z     - Góc  góc định hướng cặp vectơ a b giá trị âm   hay dương tuỳ theo ta quay a quanh O tới b theo chiều âm hay dương mặt phẳng Ta thường quy ước:   +, góc   a quay quanh O tới b theo chiều ngược chiều kim đồng hồ   góc   a quay quanh O tới b theo chiều chiều kim +, đồng hồ (như lượng giác) 2.1.3 Hệ toạ độ cực - Giả sử mặt phẳng ta định hướng Chọn điểm O cố định  trục Ox với vectơ phương đơn vị i Khi đó, ta có hệ toạ  độ cực Oi , điểm O gọi gốc cực (cực) hệ toạ độ Với điểm M mặt phẳng, ta đặt:  Khoảng cách tính khoảng cách định hướng r đo gốc cực O tới điểm cuối M gọi bán kính: r  OM    Góc  gọi góc định hướng cặp vectơ i OM Khi đó, cặp số (r , ) gọi toạ độ cực điểm M hệ toạ  độ cực Oi chọn Đào Thị Thanh Huyền 10 tai lieu,dh su pham, luan van thac si10download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 48document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Làm tương tự ta có đường cong ý 2 ) 3 ) trực giao với Bài 5: r1   , r2   Suy r1 ( )   tan   r2 ( )   tan   2  tan      2   ( )( )   Để hai đường cong r1   , r2  trực giao thì:   tan tan         1 Vậy hai đường cong có trực giao điểm   Bài 6: Giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình 2a cos 2  a  cos2     => đường lemniscate giao với đường tròn theo góc 60 Bài 7: r  r ( )  a  cos  sin  a sin  r  cos   tan         tan      (1  cos ) r sin  2 2sin cos 2 Từ phương trình r  a  e  : suy đường cong parabol  cos Vậy tiếp tuyến điểm parabol góc với đường nằm ngang qua điểm đường nối từ gốc tới điểm Đào Thị Thanh Huyền 48 tai lieu,dh su pham, luan van thac si48download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 49document,pdf,docx Khố luận tốt nghiệp §4 Một vài ứng dụng hệ tọa độ cực Đổi biến tích phân kép Tọa độ cực có tác dụng hữu ích việc đổi biến số Nhiều trường hợp tích phân kép  f ( x, y)dxdy tính theo biến x, y khơng thuận lợi, ta D đổi sang hệ tọa độ cực: - Trường hợp x, y đươc chuyển sang hai biến r,  theo công thức: x = rcos  , y = rsin  : I   f ( x, y)dxdy   f  r cos  , r sin  .r.drd D D (ta thường dùng hệ tọa độ cực phương trình biên miền D có chứa biểu thức x2+ y2, thay x2+ y2 = r2 phương trình đơn giản theo r,  ) - Trường hợp x, y chuyển sang tọa độ cực suy rộng: x  x0  r cos    ( tọa độ cực tịnh tiến) thì: y  y0  r sin   I   f ( x, y)dxdy   f  x0  r cos  , y0  r sin  .r.drd +, D +, x  ar cos    y  br sin   D (tọa độ cực co dãn) thì: I   f ( x, y)dxdy   f  ar cos  , br sin  .r.drd D D (ta thường dùng D miền elip) Ví dụ 1: Chuyển tích phân I   f ( x, y)dxdy sang hệ tọa độ cực, xác định D cận r,  với D miền x  y  x Lời giải: D miền phía đường tròn x  y  x  ( x  1)2  y  Đào Thị Thanh Huyền 49 tai lieu,dh su pham, luan van thac si49download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 50document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Cách 1: Dùng tọa độ cực thông thường: Chuyển phương trình đường tròn sang hệ tọa độ cực r  2r cos   r  cos  Vậy cận r r1=0 r2= cos  Miền D ứng với  biến thiên từ  Vậy: I    d 2cos    O   O’(1; 0) f (rcos , r sin  ).rdr x Hình 4.1.1 Cách 2: Dùng hệ tọa độ cực suy rộng: x   r cos  , y  r sin  với gốc cực là: O’(1;0) Khi đó, đường tròn ( x  1)2  y  trở thành r  hay r  nên cận r từ đến 1, gốc cực là: O’(1,0) nên miền D ứng với  biến thiên từ  2 Do đó: I 2 0  d  f (1  rcos , r sin  ).rdr Ví dụ 2: Tính I   (12  3x  y)dxdy lấy theo miền D xác định D x2  y  Lời giải: D miền elip x2  y2  - Số hạng 4y lẻ y miền D đối xứng theo biến y nên tích phân số hạng khơng - Số hạng 12  3x chẵn với x miền D đối xứng theo biến x nên ta có: I   (12  x ) dxdy với D+ nửa bên phải elip (ứng với x  ) D Dùng hệ tọa độ cực suy rộng x  2r cos  , y  r sin  , phương trình elip   2 trở thành r2=1 =>r=1, cận  ứng với miền D+ từ   , Jacobi 2r Đào Thị Thanh Huyền 50 tai lieu,dh su pham, luan van thac si50download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 51document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp  I  2  d  (12  3.4r cos  ).2rdr  48  d  (1  r cos  ).rdr  2   2  r r2 1  48  (  cos  )d  48  (  cos 2 ) d 4   2   2  18 Độ dài cung hệ tọa độ cực 2.1 Định lý Như ta biết, hệ toạ độ vng góc độ dài cung là: y  y  x  , a  x  b L    y '( x)dx Nếu đường cong cho dạng tham số phương trình: x  x(t ), y  y(t ), (t0  t  t1 ) Ở x(t ), y (t )  C (1) t0 , t1  t1 '2 '2 độ dài cung đường cong L bằng: L   x (t )  y (t ).dt t0 Bây từ định nghĩa cơng thức tính độ dài cung với biểu diễn tham số, ta dễ dàng tính độ dài cung với phương trình cho hệ toạ độ cực Định lý: Giả sử  cung với phương trình cực r  r ( ) , r hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  ,   Khi độ dài cung  2 đoạn đường cong tương ứng : L   r ( )  r ' ( ).d (*)  Chứng minh: Như ta biết, x  r ( ).cos , y  r ( ).sin  lấy đạo hàm theo  theo quy tắc đạo hàm tích ta được: x '( )  r ( ).sin   r '( ).cos y '( )  r ( ).cos  r '( ).sin  Đào Thị Thanh Huyền ,    ,   51 tai lieu,dh su pham, luan van thac si51download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 52document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp  x '( )  y '2 ( )   r ( ).sin   r '( ).cos    r ( ).cos  r '( ).sin   2  r ( ).sin   r '2 ( ).cos 2  2r ( ).r '( ).sin  cos  r ( ).cos 2  r '2 ( ).sin   2r ( ).r '( ).sin  cos  r ( )  r '2 ( ) ,    ,   Vì x '( ) y '( ) liên tục  ,   nên độ dài  là:  L   x '2 ( )  y '2 ( ).d Mà: x '( )  y '2 ( )  r ( )  r '2 ( ) với    ,     Từ suy cơng thức: L   r ( )  r '2 ( ).d  2.2 Áp dụng Ví dụ 1: Tính độ dài cung tròn Γ có phương trình cực là: r ( )  R,   1 ,    0,   , R số dương Lời giải: Áp dụng công thức (*) ta có độ dài cung Γ là: L 2   R  02 d  R(1   ) Ví dụ 2: Tính độ dài cung Γ đường xoắn ốc Acsimet: r ( )  a ,   0, 2  Lời giải: Áp dụng cơng thức (*) ta có độ dài cung Γ là: 2 L       2 a a   a d      ln        2  a   2 4   ln 2  4 2  Ví dụ 3: Tính tổng chiều dài đường cardioid: r  a(1  cos ) Lời giải: Từ phương trình cực đường cong, ta có: r '( )  a.sin  ; r ( ) , r '( ) tuần hoàn chu kỳ 2 Đào Thị Thanh Huyền 52 tai lieu,dh su pham, luan van thac si52download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 53document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Đường cong quen thuộc với r ( )  r '2 ( )   a(1  cos )   (a sin  ) 2  a (1  cos )  a sin    2a (1  cos )  2a 2sin   a 2.sin 2 r    r '2    2a sin    Ta có sin  với    2 , ta hồn tồn Hình 4.2.1 viết: L 2  r ( )  r ' ( ).d  2 2    2a.sin d  4a.cos 2  4a  (4a)  L  8a Hoặc cách khác: đường cong đường cong kín, đối xứng qua trục nằm ngang nên ta có tổng chiều dài đường cong cách lấy tích phân từ đến  nhân với 2:     L  2 2a.sin d  8a.cos   (8a)  20 L  8a Chú ý: Ngồi ra, cơng thức (*) hệ toạ độ cực dùng để tính diện tích mặt tròn xoay Ta có: diện tích mặt tạo nên quay đường cong trơn AB B t1 A t0 quanh trục Ox là: P  2  y.dl  2  y x '2 (t )  y '2 (t ).dt Ở dl vi phân cung (Một phần tử độ dài cung dl sinh phần tử diện tích mặt: ) L   dl ; dP  2 y.dl  Mà y  r sin  nên có : P  2  r.sin  r ( )  r '2 ( ).d  Ta làm Ví dụ áp dụng sau đây: Đào Thị Thanh Huyền 53 tai lieu,dh su pham, luan van thac si53download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 54document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 4: Tính diện tích xung quanh đường cong cardioid (đường hình tim): r  a(1  cos ) quanh trục cực Lời giải: Ta có: Một phần tử độ dài cung dl sinh phần tử diện tích mặt : dP  2 y.dl Trongđó: y  r.sin , dl  r ( )  r '2 ( ).d  dl   a(1  cos )  (a.sin  ) d  2a  cos d  dP  2 a  cos sin  2.a  cos d  2 a sin  (1  cos )3 d Diện tích mặt tròn xoay lần diện tích nửa sinh dl chuyển động dọc theo phần đường cardioid góc phần tư thứ thứ hai tức  tăng từ đến    P  2 2 a sin  (1  cos ) d  2 a   (1  cos ) d (1  cos )   2 a (1  cos ) 5  16 2 a Diện tích hệ tọa độ cực 3.1 Khái niệm hình quạt Γ D   Hình 4.3.1 Giả sử Γ cung mà phương trình cực r  r ( ),    ,   , r ( )  với    ,    0, 2  Đào Thị Thanh Huyền 54 tai lieu,dh su pham, luan van thac si54download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 55document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Tập hợp D mặt phẳng giới hạn cung Γ hai đường thẳng    ,    : D  (r , ) :      ,  r  r ( ) : gọi hình quạt 3.2 Cơng thức tính diện tích Vấn đề ta tìm diện tích S miền bị chặn đường cong r  f ( ) hai nửa đường thẳng    ,    , hình 4.3.2 4.3.3 S r     A Hình 4.3.2 Hình 4.3.3 Khi làm việc diện tích hệ toạ độ đề vng góc, ta sử dụng dải vng mỏng dựa vào diện tích hình chữ nhật Trong hệ toạ độ cực, minh hoạ hình 4.3.3, diện tích quạt đường tròn bán kính r góc tâm  (đo rađian) A 1 r  (do   ; S  rA  r d ) r 2 Trong hình 4.3.2, phần tử diện tích dS diện tích nhiều quạt mỏng với bán kính r góc tâm d , dS  r d Diện tích tồn phần S kết việc cộng phần tử diện tích dS quạt nhỏ quét ngang miền, tức  tăng từ  đến    1 S   dS   r d   r d 2  Đào Thị Thanh Huyền 55 tai lieu,dh su pham, luan van thac si55download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc (1) K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 56document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Ta nhắc lại, chất q trình lấy tích phân ta tính tồn lượng cách cắt thành nhiều phần nhỏ thuận lợi lấy tổng Giờ ta lập luận toán học tiếp cận với công thức (1) sau: Định lý: Nếu:   r ( ) hàm số khả tích  ,   hình quạt D  đo theo nghĩa Joocđan diện tích là: S   r ( ).d 2 Chứng minh: Giả sử  n  dãy chuẩn tắc phân hoạch  ,   :  n :     1    n   ( M i , i 1 ) (mi ,  i ) Γ Ui   O Hình 4.3.4 Các đường thẳng:   i , i  0,1, , n chia hình quạt D thành hình quạt Di  (r , ) :0  r  r ( ), i 1    i , i  1, , n Đặt: mi  inf r ( ) ,  i1 ,i  M i  sup r    i1 ,i  Gọi U i Vi quạt tròn giới hạn hai đường thẳng:   i 1 ,  i đường tròn: r  mi , r  M i U i   r ,  :  r  mi ;i 1    i  Vi   r ,  :  r  M i ;i 1    i  Đào Thị Thanh Huyền 56 tai lieu,dh su pham, luan van thac si56download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 57document,pdf,docx Khố luận tốt nghiệp Tổng diện tích quạt tròn U i là: sn  n  mi i  i 1  i 1 Tổng diện tích quạt tròn Vi là: Sn  n M i i  i 1   i 1 Đó tổng Đacbu hàm số:   r   ứng với phép phân hoạch  n đoạn  ,   Vì hàm số r   khả tích  ,   (do r khả tích đoạn  lim sn  lim S n   r  d n  n  2 này) nên: Vậy hình quạt D đo theo nghĩa Joocđan diện tích là:  S   r  d 2 3.3 Áp dụng Ví dụ 1: Sử dụng tích phân để tìm diện tích đường tròn r  2acos Lời giải: Tồn đường tròn qt góc  tăng từ:   đối xứng đường tròn ta lấy tích phân từ đến    Bởi tính chất đến  nhân với 2  2 1 A  2 r d  2 4a 2cos 2 d  4a  (1  cos2 )d 2 0    a  2a (  sin 2 )   a 2 Hình 4.3.5 Đây đường tròn có bán kính a, kết biết ( S   a ), lại yên tâm thu kết tương tự theo phương pháp Đào Thị Thanh Huyền 57 tai lieu,dh su pham, luan van thac si57download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 58document,pdf,docx Khố luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Tính diện tích hình quạt D giới hạn cung: r ( )   cos ,  0; 2   hai đường thẳng   0,   Lời giải: Γ O Hình 4.3.6  Ta có: D  (r , ) :  r   cos ,      2 Diện tích hình quạt D là: S   2  1 12 2 (2  c os  ) d   (4  c os   cos  ) d   (9  8cos  cos 2 )d 0 0 0  9  (   2sin   sin 2 )    8 (Γ cung đường ốc sên Patxcan r   cos ) Ví dụ 3: Tìm diện tích phần đường tròn r  6acos phần ngồi đường hình tim r  2a(1  cos ) Lời giải: Bằng cách đặt phương trình r giải cho  , giao điểm hai r  6acos r  2a(1  cos ) đường cong nghiệm hệ phương trình:  Giải cho  : 6acos  2a(1  cos )  cos     Đào Thị Thanh Huyền 58 tai lieu,dh su pham, luan van thac si58download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc  K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 59document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp Vậy hai đường cong giao góc phần tư thứ    , hình vẽ 4.3.7 Khi ta có phần diện tích cần tìm là: 1 1 dS  r12 d  r2 d  r12  r2  d  36a 2cos  4a (1  cos )2  d 2 2 2  2a 8cos   2cos  1 d Do tính đối xứng, diện tích ta cần tìm gấp đơi phần góc phần tư thứ Suy ra:   S  2 2a 8cos 2  2cos  1 d  4a   4(1  cos2  2cos 1) d 3 0   4a 3  2sin 2  2sin    4 a 2 Vậy S= 4 a Bài tập thêm 2 Bài 1: Tính I   a  x  y dxdy với D mặt tròn D x  y  a , x  0, y  2 Bài 2: Tính I   xydxdy với D nửa mặt tròn ( x  2)  y  D Bài 3: Tính chiều dài đường cong cho phương trình: r a  cos      2  Bài 4: Tính chiều dài đường cong  : r  a.em , (m  0)  r  a Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh đường cong lemniscate r  a 2cos2 a, Quay quanh trục cực (ox) Đào Thị Thanh Huyền 59 tai lieu,dh su pham, luan van thac si59download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 60document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp b, Quay quanh trục    (oy) Bài 6: Tìm diện tích tồn phần phần đường hoa hồng r  sin 2 Bài 7: Tìm diện tích tồn phần bao quanh đường lemniscate r  2a 2cos2 Hƣớng dẫn giải tập thêm Bài 1: I   a3 Bài 2: I  Bài 3: I  a   ln 1   Bài 4:     , L   a  m2 m Bài 5: a, p  2 a 2   b, p  2 a2 Bài 6: S   Bài 7: r  2a 2cos2 Đường cong cho đường cong kín, đối xứng với đường thẳng rcos  rsin  Vì vậy: từ tính đối xứng đó, ta tính diện tính góc phần tư thứ nhân với Khi đó:   S   2a cos2 d  2a sin   2a 0 2 Nhận xét: Bài toán cho ta minh hoạ tốt giá trị việc lợi dụng tính đối xứng đường cong Nếu ta khơng cẩn thận kết lấy tích phân đường từ đến 2 cuối 0, hiển nhiên kết sai Đào Thị Thanh Huyền 60 tai lieu,dh su pham, luan van thac si60download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 61document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khoá luận “HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nghiên cứu, tìm hiểu số định nghĩa, tính chất, định lí ứng dụng Hệ tọa độ cực vào việc giải tốn Hình học Do thời gian hồn thành nghiên cứu lực thân hạn chế, kinh nghiệm lại chưa nhiều nên khoá luận đạt số kết định chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp, trao đổi thầy, bạn sinh viên để khố luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền Đào Thị Thanh Huyền 61 tai lieu,dh su pham, luan van thac si61download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán luan van,khoa luan, thac si , su pham 62document,pdf,docx Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (1993), Bài tập Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích 2, NXB GD [4] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Văn Như Cương, Hồng Xn Sính (1987), Đại số tuyến tính hình học, NXB GD [5] Vũ Tuấn, Giải tích Tốn học tập 3, NXB GD [6] Jean – Marie Monier (2003), Giáo trình Tốn tập 7, NXB GD [7] Y.Y.Liaskơ.A.C.Boiatruc – Ia.G.Gai.G.P.Golovac (1979), Nhập mơn giải tích phần I, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Đào Thị Thanh Huyền 62 tai lieu,dh su pham, luan van thac si62download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc K32G – Toán ... B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ Mối quan hệ toạ độ cực toạ độ đề vng góc Bài... vài ứng dụng hệ toạ độ cực 44 Đổi biến số tích phân kép 44 Độ dài cung hệ toạ độ cực 46 2.1 Định lý 46 2.2 Áp dụng 47 Diện tích hệ toạ độ cực ... giác) 2.1.3 Hệ toạ độ cực - Giả sử mặt phẳng ta định hướng Chọn điểm O cố định  trục Ox với vectơ phương đơn vị i Khi đó, ta có hệ toạ  độ cực Oi , điểm O gọi gốc cực (cực) hệ toạ độ Với điểm