Hệ toạ độ cực

Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - ĐÀO THỊ THANH HUYỀN HỆ TỌA ĐỘ CỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TH.S Đinh Thị Kim Thuý Hà Nội, năm 2010 Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Đào Thị Thanh Huyền K32G – Toán LỜI CẢM ƠN Bản khoá luận bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ nhiệt tình Đinh Thị Kim Th Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới cô Thuý bảo quan tâm đóng góp ý kiến thầy, giáo tổ Hình học, thầy, giáo khoa Tốn - Trường ĐHSP Hà Nội giảng dạy, giúp đỡ em hồn thành khố luận tốt nghiệp Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới Nguyệt, bạn bè người thân động viên, ủng hộ, giúp đỡ em thời gian qua Do điều kiện hạn chế thời gian kiến thức, lực thân nên khố luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo, nhận xét, đóng góp thầy bạn bè sinh viên để khố luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khố luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ cô Thuý, thầy khoa Tốn, Nguyệt… Khóa luận em viết kiến thức trích dẫn khố luận trung thực, khơng trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Thanh Huyền MỤC LỤC Nội dung Trang A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận .2 B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực Mở đầu .3 Định nghĩa hệ toạ độ cực 2.1 Định nghĩa 2.2 Ví dụ .6 Mối quan hệ toạ độ cực toạ độ đề vng góc Bài tập thêm .12 Hướng dẫn giải tập thêm .13 §2 Phƣơng trình cực đƣờng cong 16 Khái niệm 16 Phương trình cực đường tròn 19 Phương trình đường coníc hệ toạ độ cực 21 Phương trình cực đường xoắn ốc 23 Bài tập thêm .25 Hướng dẫn giải tập thêm .27 §3 Dựng đƣờng cong cho phƣơng trình cực Tiếp tuyến đƣờng cong 30 Dựng đường cong cho phương trình cực .30 1.1 Đồ thị phương trình cực 30 1.2 Nhận xét 33 Tiếp tuyến đường cong .35 Bài tập thêm .40 Hướng dẫn giải tập thêm .41 §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực 44 Đổi biến số tích phân kép 44 Độ dài cung hệ toạ độ cực 46 2.1 Định lý 46 2.2 Áp dụng 47 Diện tích hệ toạ độ cực 49 3.1 Khái niệm hình quạt 49 3.2 Cơng thức tính diện tích 50 3.3 Áp dụng 52 Bài tập thêm .54 Hướng dẫn giải tập thêm .55 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ xa xưa, trước yêu cầu thực tiễn, Tốn học đời tồn hình thức kinh nghiệm Cùng với thời gian, qua nhiều tìm tòi, phát minh, kinh nghiệm ngày đa dạng phong phú hơn, nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành lý thuyết Toán học mà ngày sở, tảng để nghiên cứu mơn học khác Hình học phận quan trọng cấu thành nên Toán học Đây mơn học thú vị tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic trừu tượng cao Nhiều tốn Hình học, việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn có thường dài Lựa chọn cơng cụ thích hợp việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức Trong q trình học tập, nghiên cứu chuyên ngành Hình học, em tiếp cận với Hệ tọa độ cực, phận Hệ tọa độ, có tác dụng khơng nhỏ việc giải toán làm đơn giản số vấn đề Hình học phức tạp Từ niềm u thích thân với môn giúp đỡ cô Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề “HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ Hệ tọa độ cực, tính chất số ứng dụng vào việc giải tốn Hình học Lịch sử nghiên cứu Hiện nay, chưa có đề tài nghiên cứu cách đầy đủ hệ thống Hệ tọa độ cực Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận việc làm có ý nghĩa khoa học thực tiễn Mục đích, đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu kiến thức Hệ tọa độ cực số ứng dụng vào việc giải tốn Hình học, giúp cho người học hiểu biết thêm phần Hệ tọa độ cực - Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, số tốn Hình học - Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…) - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh hệ thống hóa Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mục đích, kết luận danh mục sách tham khảo, cấu trúc khố luận bao gồm: §1 Hệ tọa độ cực §2 Phương trình cực đường cong §3 Dựng đường cong cho phương trình cực Tiếp tuyến đường cong §4 Một vài ứng dụng hệ toạ độ cực Γ D   Hình 4.3.1 Giả sử Γ cung mà phương trình cực r = r(θ ), θ ∈[ α , β ] , r(θ ) ≥ với θ ∈[ α, β ] ⊂ [0, 2π ] Tập hợp D mặt phẳng giới hạn cung Γ hai đường thẳng θ = α, θ = β : D = {(r,θ ) : α ≤ θ ≤ β , ≤ r ≤ r(θ )} : gọi hình quạt 3.2 Cơng thức tính diện tích Vấn đề ta tìm diện tích S miền bị chặn đường cong r = f 4.3.3 (θ ) hai nửa đường thẳng θ = α, θ = β , hình 4.3.2 S r    A Hình 4.3.2 Hình 4.3.3 Khi làm việc diện tích hệ toạ độ đề vng góc, ta sử dụng dải vng mỏng dựa vào diện tích hình chữ nhật Trong hệ toạ độ cực, minh hoạ hình 4.3.3, diện tích quạt đường tròn bán kính r góc tâm θ (đo rađian) A 1 r θ (do θ = ; S = rA = r dθ ) r 2 Trong hình 4.3.2, phần tử diện tích dS diện tích nhiều quạt mỏng với bán kính r góc tâm dθ , dS = r dθ 2 Diện tích tồn phần S kết việc cộng phần tử diện tích dS quạt nhỏ quét ngang miền, tức θ tăng từ α đến β β S= ∫ dθ = dS 2= α ∫ β ∫ 2r r dθ α (1) Ta nhắc lại, chất q trình lấy tích phân ta tính tồn lượng cách cắt thành nhiều phần nhỏ thuận lợi lấy tổng Giờ ta lập luận tốn học tiếp cận với cơng thức (1) sau: hàm số khả tích [α , β ] hình quạt D Định lý: Nếu: θ → r(θ ) đo theo nghĩa Joocđan diện tích là: Chứng m inh: β S =1 r (θ ).dθ 2 α Giả sử {π n } dãy chuẩn tắc phân hoạch [α , β ] : π n : α = θ0 < θ1 < < θn = β (M i ,i1 ) Γ (mi ,i ) Ui   O Hình 4.3.4 Các đường thẳng: θ = θi , i = 0,1, , n chia hình quạt D thành hình quạt {(r,θ 1, , n} Di = = Đặt: m = inf i r(θ ) , ) :0 ≤ r ≤ r(θ ), θi−1 ≤ θ ≤ θi , i Mi = sup r (θ ) θ∈[θi−1 ,θi ] θ∈[θi− ,θi ] Gọi Ui Vi quạt tròn giới hạn hai đường thẳng: θ = đường tròn: r = mi , r = M i θi−1,θ = θi Ui = {(r,θ ) : ≤ r ≤ mi ;θi−1 ≤ θ ≤ θi } Vi = {(r,θ ) : ≤ r ≤ M i ;θi−1 ≤ θ ≤ θi } n n r (θ ) này) nên: ∑ β = lim = r Sn n n→ → ) −θ i (θ i−1 −θ ) M i=1 ứng với phép phân hoạch πn khả tích [α , β ] lim sn ∞ n = Đó tổng Đacbu hàm số: θ → r (θ ) đoạn [α , β ] Vì hàm số (θ i i−1 i=1 S i m là: i s Vi ∑ = Tổng diện tích quạt tròn Ui là: Tổng diện tích quạt tròn n (do r khả tích đoạn (θ )dθ ∞ α Vậy hình quạt D đo theo nghĩa Joocđan diện tích là: β S =1 r (θ )dθ 2α 3.3 Áp dụng Ví dụ 1: Sử dụng tích phân để tìm diện tích đường tròn Lời giải: Tồn đường tròn qt góc θ tăng từ: − r = 2acosθ π đến π Bởi tính chất đối xứng đường tròn ta lấy tích phân từ đến π 2 nhân với π π π r dθ =∫ 4a cos θ dθ == (1+ cos2θ )dθ ∫ 12 4a A = 2∫ 2 2 2 2 = 2a (θ + 2 θ θ π sin 2θ ) = π a 2 Hình 4.3.5 Đây đường tròn có bán kính a, kết biết ( S = π a ), lại yên tâm thu kết tương tự theo phương pháp Ví dụ 2: Tính diện tích hình quạt D giới hạn cung: π hai đường thẳng θ = 0, θ = r(θ ) = + cosθ ,θ ∈[0; 2π ] Lời giải: Γ O Hình 4.3.6 Ta có: π   D = (r,θ ) : ≤ r ≤ + cosθ , ≤ θ ≤   2  Diện tích hình quạt D là: π π π (4 (2 + cosθ ) ∫ + 4cosθ + cos2 S = ∫ θ )dθ = dθ = 20 20 π 12 ∫ (9 + 8cosθ + cos 2θ )dθ 9 = ( 2= 2+ π θ + 2sin θ + sin 2θ ) 8 (Γ cung đường ốc sên Patxcan r = + cosθ ) Ví dụ 3: Tìm diện tích phần đường tròn ngồi đường hình tim Lời giải: r= 6acosθ phần r = 2a(1+ cosθ ) Bằng cách đặt phương trình r giải cho θ , giao điểm hai đường cong nghiệm hệ phương trình:  Giải cho θ: r = 6acosθ r = 2a(1 + cosθ ) 6acosθ = 2a(1+ cosθ ) ⇔ cosθ = ⇔ θ= π Vậy hai đường cong giao góc phần tư thứ θ = π , hình vẽ 4.3.7 Khi ta có phần diện tích cần tìm là: 2 1 2 dS = r dθ − r dθ = r − r  dθ = 2 36a cosθ − 4a (1+ cosθ )  dθ 2 2 2 2 = 2a (8cos θ − 2cosθ −1) dθ Do tính đối xứng, diện tích ta cần tìm gấp đơi phần góc phần tư thứ Suy ra: π π 3 S = 2∫ 2a (8cos θ − ∫ [4(1+ cos2θ − = 4a [3θ + 2cosθ −1) dθ = 4a 2cosθ −1)]dθ π 2sin 2θ − 2sin θ ] = 4π a Vậy S= 4π a2 Bài tập thêm Bài 1: Tính 2 I= a − x − y dxdy với D ∫∫ mặt tròn D 2 x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ Bài 2: Tính I = ∫∫ xydxdy D 2 với D nửa mặt tròn (x − 2) + y ≤ Bài 3: Tính chiều dài đường cong cho phương trình: a r1− = cosθ π   θ≤  Bài 4: Tính chiều dài đường cong Γ :   m r = a.e , (m > 0) < r < a Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh đường cong lemniscate 2 r = a cos2θ a, Quay quanh trục cực (ox) b, Quay quanh trục θ = (oy) π Bài 6: Tìm diện tích tồn phần phần đường hoa hồng r = sin 2θ Bài 7: Tìm diện tích tồn phần bao quanh đường lemniscate r = 2a cos2θ Hƣớng dẫn giải tập thêm Bài 1: I= π a Bài 2: I = + ln Bài 3: 1+ )  ( I = a    Bài 4: −∞ < θ a