Hệ toạ độ cực

Trongquá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cậnvới Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trongviệc giải toán và làm đơn giản một s

Người hướng dẫn khoa học

TH.S Đinh Thị Kim Thuý

Hà Nội, năm 2010Khoá luận tốt nghiệp

Đào Thị Thanh Huyền 1 K32G – Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Đào Thị Thanh Huyền 2 K32G – Toán

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này là bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoahọc Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn do chưa có nhiều kinh nghiệmtrong việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệttình của cô Đinh Thị Kim Thuý

Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới cô Thuý cũngnhư sự chỉ bảo quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo trong tổ Hìnhhọc, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giảngdạy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình Đồng thời, emcũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới cô Nguyệt, bạn bè và người thân

đã động viên, ủng hộ, giúp đỡ em trong thời gian qua

Do điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, năng lực của bảnthân nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự chỉ bảo,nhận xét, đóng góp của thầy cô cũng như bạn bè sinh viên để khoá luận nàyđược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Thanh Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành là do sự cố gắng nỗlực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của cô Thuý, cácthầy cô khoa Toán, cô Nguyệt…

Khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khoáluận là trung thực, không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU 1

1.Lí do ch ọn đề tài 1

2.L ịc h s ử nghiên c ứu 1

3 Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khoá luận 2

B NỘI DUNG §1 Hệ tọa độ cực 3

1.M ở đầu 3

2.Định ngh ĩa h ệ to ạ độ c ực 4

2.1 Định ngh ĩa 4

2.2.Ví d ụ 6

3.M ối quan h ệ gi ữa to ạ độ c ực và to ạ độ đề các vuông góc 7

4.Bài t ập thêm 12

5 Hướng dẫn giải bài tập thêm 13

§2 P hươn g trình cực của một đư ờng cong 16

1.Khái ni ệm 16

2 Phương trình cực của các đường tròn 19

3 Phương trình của các đường coníc trong hệ toạ độ cực 21

4 Phương trình cực của các đường xoắn ốc 23

5.Bài t ập thêm 25

6 Hướng dẫn giải bài tập thêm 27

§3 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

Tiếp tuyến của đường cong 30

1 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực 30

1.1 Đồ thị của phương trình cực 30

1.2 Nh ận xét 33

2 Tiếp tuyến của đường cong 35

3.Bài t ập thêm 40

4 Hướng dẫn giải bài tập thêm 41

§4 Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực 44

1 Đổi biến số trong tích phân kép 44

2 Độ dài cung trong hệ toạ độ cực 46

2.1 Định lý 46

2.2.Áp d ụng 47

3 Diện tích trong hệ toạ độ cực 49

3.1 Khái ni ệm hình qu ạt 49

3.2.Công th ức tính di ện tích 50

3.3.Áp d ụng 52

4.Bài t ập thêm 54

5 Hướng dẫn giải bài tập thêm 55

K ẾT LU ẬN 56

TÀI LI ỆU THAM KH ẢO 57

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Từ xa xưa, trước những yêu cầu của thực tiễn, Toán học ra đời chỉ tồntại dưới hình thức là những kinh nghiệm Cùng với thời gian, qua nhiều tìmtòi, phát minh, các kinh nghiệm ngày càng đa dạng và phong phú hơn, đượccác nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành các lý thuyết Toán học

mà ngày nay là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu các môn học khác

Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành nên Toán học Đây làmôn học thú vị nhưng tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic và trừutượng cao Nhiều bài toán trong Hình học, việc tìm ra lời giải còn gặp nhiềukhó khăn hoặc nếu có thì thường rất dài Lựa chọn một công cụ thích hợp làviệc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức Trongquá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cậnvới Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trongviệc giải toán và làm đơn giản một số vấn đề Hình học phức tạp

Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này và sự giúp đỡ của côĐinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề

“HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ hơn thế nào là Hệ tọa độ cực,

tính chất và một số ứng dụng của nó vào việc giải toán trong Hình học

2 Lịch sử nghiên cứu

Hiện nay, chưa có một đề tài nào nghiên cứu một cách đầy đủ và hệthống về Hệ tọa độ cực Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoáluận này là một việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các kiến thức về Hệ tọa độ cực và một sốứng dụng của nó vào việc giải các bài toán Hình học, giúp cho người họchiểu biết thêm phần nào về Hệ tọa độ cực

- Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, một số bài toán trong Hình học

- Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…)

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo và các tài liệu có liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh và hệ thống hóa

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mục đích, kết luận và danh mục sách tham khảo, cấu trúckhoá luận bao gồm:

§1 Hệ tọa độ cực

§2 Phương trình cực của một đường cong

§3 Dựng đường cong cho bởi phương trình cực

Tiếp tuyến của đường cong

§4 Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực

Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề các vuông góc, trong đó tađặt trong mặt phẳng hai trục vuông góc Tuy nhiên, thường xảy ra trường hợp

là đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, như là đường đicủa một hành tinh xung quanh quỹ đạo của nó, được xác định bởi lực hấp dẫncủa mặt trời Đường cong như vậy được mô tả tốt nhất như chuyển động điểm

mà vị trí của nó được chỉ rõ bởi hướng đến gốc toạ độ và khoảng cách đếngốc toạ độ Đó chính xác là những gì mà hệ toạ độ cực sẽ miêu tả

2.1.2 Góc định hướng giữa 2 vectơ

 B

b Hình 1.2

O

quay quanh O tới b

theo chiều ngược chiều kim

theo chiều cùng chiều kim

2.1.3 Hệ toạ độ

cực

(như trong lượng giác)

- Giả sử mặt phẳng của ta đã được định hướng Chọn một điểm O cố định



và một trục Ox nào đó với vectơ chỉ phương đơn vị là i Khi đó, ta có hệ toạ



độ cực Oi , và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ toạ độ

Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:

• Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo bởi gốccực O tới điểm cuối M gọi là bán kính:

Khoá luận tốt nghiệp

 

- Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp những

tình huống trong đó r là số âm Trong trường hợp này thường được hiểu:

thay vì di chuyển từ gốc theo hướng đã xác định bằng hướng cuối của

θ , ta chuyển qua gốc O một khoảng

( −r)

theo hướng ngược lại

- Giá trị r =

0chính là gốc cực, không cần đến giá trị của θ Chẳng hạn, các cặp (0; 0) ; (0; π

) ; (0; − π

) ;…đều là các toạ độ cực của điểm

4vài toạ độ cực khác của điểm P

Lời giải:

Khoá luận tốt nghiệp

Điểm P trong hình vẽ 1.3 có toạ độ cực là: (2; π

) .4

Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: (−2; 5π

) .4

Ví dụ 2: Cho tọa độ cực của hai

điểm

M (2,

π

) và6

P(3, π

) Tìm tọa độ cực

3khác của hai điểm này với r có dấu ngược nhau

M (2, π

) 6

N (− 2, 7π

) 6

Q(− 3, 4π

) 3

O

Hình 1.4

Nhìn vào hình 1.4 ta có hai điểm π M (2,

) và6

N (−2, 7π

) ,6

là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O

3 Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc

Giả sử có hệ toạ độ cực Oi Ta chọn vectơ đơn vị j vuông góc vớivectơ i sao cho hệ toạ độ  là hệ tọa độ đêcác vuông góc thuận

Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi

(r,θ) là toạ độ cực của nó, còn (x, y) là toạ

độ đêcác vuông góc của điểm M Khi đó:



OM = (x, y) ; i

= (1;0 ) ;

và OM

Oi j

My

− 3

M (1, − 3)

Hình 1.6

Một tọa độ cực khác của điểm M cũng thỏa mãn là: (-2; −π

) 3

2 2

Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vuông góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực

dụ 3: Cho a là một số dương và giả sử có các điểm F=(a,0) và F’=(-a,0).

Tập hợp tất cả các điểm P sao cho tích khoảng cách PF và PF’ bằng a2: đượcgọi là đường lemniscate

a, Hãy tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ tọa độĐềcác vuông góc

⇔

b, Tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ toạ độ cực.

⇔ (x2 + y2 ) 2 = 2a2 (x2 − y2 ) : Đây phương trình đường

lemniscate trong hệ tọa độ vuông góc

b, Chuyển phương trình (x2 + y2 )2 = 2a2

(x2 − y2 )

sang dạng cực, ta có:

(r2 ) 2 = 2a2 (r2cos2θ − r2 sin 2θ ) ⇔ r4 = 2a2r2cos2θ

⇔ r2 = 2a2cos2θ : Đây là phương trình lemniscate trong hệ tọa

độ cực

1

2

4 Bài tập thêm

Bài

1: Một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r =1 có một

đỉnh nằm trên trục dương x Tìm tọa độ cực tất cả các đỉnh của ngũ giác đó

Bài 2: Cho đường cong r = 4sinθ Hãy chuyển phương trình này

sangphương trình tương đương trong hệ tọa vuông góc, và chứng minh nó làphương trình đường tròn

4: Biến đổi các phương trình cực đã cho sau đây thành các phương trình

vuông góc tương đương:

a, r = 2 e, r2

= 2a2

cos 2θ : ptr lemniscate

sinθ để tìm giá trị lớn nhất của y trên:

a, Đường hình tim cardioid: r = 2(1+ cosθ )

b, Đường lemniscate: r2

= 8 cos 2θ

6: Sử dụng công thức x =

rcosθ để tìm tọa độ cực của các điểm trên

đường hình tim cardioid:

của x là bao nhiêu?

r = 2(1 + cosθ ) có tọa độ x nhỏ nhất Tọa độ nhỏ nhất

O

A D

Giả sử ta có ngũ giác đều

ABCDE nội tiếp trong đường tròn (0;1)

A thuộc truc dương ox, (như hình vẽ 1.9),

Khi đó:

OA=OB= OC= OD= OE= r= 1,

AOB = BOC = COD = DOE = EOA = 2π

5Như vậy, A(1;0), B(1; 2π

cosθ −2 cosθ

4: Dựa vào công thức: x = rcosθ , y = rsinθ ta có:

a, x2 + y2 = 4 Đây là phương trình đường tròn với tâm O(0;0), R=2

b, θ = π

⇒ tanθ = 1 ⇒ y = 1 ⇒ y = x : Đây là phương trình đường phân giác góc

Theo giả thiết: y = rsinθ với sinθ ≠ 0 ,

tại điểm có tọa độ cực: (0; 2π )

3

Hay nói cách khác: f(r,θ ) sẽ gọi là phương trình của đường cong Г nếu điểm M thuộc Г thì tọa độ cực (r, θ ) của nó thỏa mãn phương trình f(r,θ ) = 0.

cong với phương trình cực r = r(θ )

Ví dụ 1: Cho F1 và F2 là hai điểm có tọa độ là: (a;0) và (-a;0)

Nếu b là một hằng số dương, tìm quỹ tích của điểm P chuyển động sao chotích các khoảng cách từ P đến F1 và F2 bằng b2

Hình 2.1

- Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:

Trong ΔOPF1 : d 2 = r2 + a2 − 2ar cosθ (1)Trong ΔOPF2 : d 2 = r2 + a2 − 2ar

gốc tọa độ Đây là phương trình lemniscate

(5): Đường cong đi qua

+, Khi b > a, đường cong bao gồm một vòng đơn

+, Khi b < a, đường cong chia thành hai vòng tròn tách rời nhau.

Và nói chung các đường cong này được gọi là đường cong oval củaCassini

1

2

1 2

Hình 2.2

Ví dụ 2: Đường ốc sên Patxcan (Pascal): Cho đường tròn đường kính OA=

a và một số dương b Giả sử M là một điểm của đường tròn và Ou là trục có

giá

là đường thẳng OM Trên Ou lấy một điểm N sao cho ON

N O



Tập hợp Γ các điểm N gọi là đường ốc sên Patxcan

Hãy viết phương trình của đường ốc sên Patxcan đó

Lời giải :

- Chọn điểm O là trục cực và đường thẳng OA hướng từ O đến A làm

trục cực Ox Khi đó, nếu θ là một số đo góc

của

(Ox,

Ou) thì OM = a

cosθ

Đó là phương trình cực của đường tròn đường kính OA

Nếu (r, θ ) là một cặp tọa độ cực của điểm N thì từ (1) suy ra r =

acosθ + b (2)

- Đảo lại, nếu N là một điểm của mặt phẳng có cặp tọa độ cực (r, θ

) thỏa mãn (2) thì tồn tại một trục Ou đi qua N sao cho ta có (1): ON

= OM + b , trong đó M là giao điểm thứ hai của đường thẳng ON với đường tròn đã cho Vậy (2) là phương trình cực của đường ốc sên Patxcan

P

Hình 2.3

Nhậ n xét : Ta thấy rằng, nếu viết phương trình của đường

Patxcan trong hệ trục tọa độ đề các vuông góc thì sẽ rất khó và dài Tachuyển sang viết phương trình của nó trong hệ tọa độ cực thì sẽ dễ dàng hơn

Sau đây, ta sẽ xét phương trình của một số đường cong thường gặp:

O (a; A

Hình 2.3

2 Phương trình cực của các đường tròn

Bài

toán 1: Trong hệ trục tọa độ vuông góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và

bán kính bằng a Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực

Trong trường hợp đường tròn đã xét ở trên, ta sử dụng tính chất rằngΔOPA là tam giác vuông, với cạnh kề với góc nhọn θ là r, cạnh huyền

OA = 2a Khi đó, hiển nhiên ta có: r = 2acosθ .

Như vậy, để tìm phương trình cực của đường cong, ta có thể sử dụngphương pháp thứ hai (phương pháp hình học)

Xét bài toán mở rộng của bài toán 1 như sau:

Bài

toán 2: Tìm phương trình cực của đường tròn với bán kính bằng a và tâm

tại C có tọa độ cực là: (b;α ), trong đó giả sử b là số dương

có r là cạnh đối diện với góc nhọn θ , cạnh huyền OA = 2a nên ta có:

r = 2asinθ

y P D

r

px=-p

3 Phương trình của các đường conic trong hệ tọa độ cực

Ta đã biết phương trình các đường côníc trong Hệ tọa độ Đềcác vuônggóc và đường côníc là elip, parabol hay hypebol tuỳ thuộc vào e < 1, e = 1hay e > 1 Bây giờ chúng ta đi tìm phương trình của nó trong Hệ toạ độ cựcbằng cách xét bài toán cụ thể sau:

Bài

toán 1: Tìm phương trình cực của phần đường conic với tâm sai e nếu

tiêu điểm tại gốc tọa độ và đường chuẩn tương ứng là đường thẳng x = -p nằm

ở bên trái gốc tọa độ

Lời giải :

Giả sử P là một điểm bất kì trên đường côníc có tọa độ cực là (r;θ )

Và ta có các kí hiệu như hình 2.7 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai )

Ta biết rằng: đường conic ở trên là tập hợp các điểm P mà tỉ số khoảngcách từ P đến tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng bằng e, tức là:

Thay PF và PD vào (1) ta được :

dụ 1: Viết phương trình cực của đường conic với tâm sai

tiêu điểm tại gốc tọa độ, và đường chuẩn x = -4

r = 3

1 − 1 .cosθ

31

3 − cosθ

Ta thấy e = < 1 nên đường cong này là elip.

3Quan sát thấy rằng mẫu số ở đây luôn khác không, do đó r bị chặn với mọi θ

Ví dụ 2: Cho conic có phương

4 − 5cosθ

Lời giải :

P Dr

và e p =

25 4nên p = 5

Đường chuẩn là đường thẳng x = -5, và đường cong là hypebol

Nhận thấy, mẫu số bằng 0 khi

5 , nên r dần ra vô cùng theo hướng này

Bài

toán 2: Tìm phương trình cực của phần đường côníc với tâm sai e nếu

tiêu điểm nằm ở gốc toạ độ và đường chuẩn tương ứng x = p nằm ở bên phảigốc tọa độ

4 Phương trình cực của các đường xoắn ốc

4.1 Đường cong Г với phương trình cực ốc

Asimet (Archimede)

a,θ > 0

gọi là đường xoắn

Các đường xoắn ốc Asimet có thể xác

định như là quỹ tích của điểm P, bắt đầu từ

gốc và đi xa dần với một tốc độ đều theo một

đường kính r, góc θ quay quanh gốc