Tiểu luận hệ tọa độ cực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài HỆ TỌA ĐỘ CỰC Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh Tp HCM, 2016 LỜI NGỎ Tọa độ điểm số đặc trưng cho vị trí điểm mặt phẳng, khơng gian Tọa độ gắn liền với hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức hệ tọa độ xác định vị trí điểm mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, thực tế, số trường hợp, ta cần sử dụng đến số hệ tọa độ khác, bao gồm hệ tọa độ cực Hệ tọa độ có ưu điểm lớn khảo sát đường cong xuất mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ Ngoài ra, hệ tọa độ cực hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với Mặc khác, tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho thú vị ,bổ ích cần thiết Những tri thức vận dụng để nghiên cứu, giải đáp số tập cách dể dàng so với nhiều phương pháp khác hay ứng dụng số lĩnh vực thiết thực hàng hải, thiên văn, Chính lý mà nhóm định chọn “ Khảo sát hàm số hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận Trong q trình thực hiện, nhóm nhiều thiếu sót Mong nhận góp ý từ thầy HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngoài tọa độ Descartes thường gặp chương trình học phổ thơng hệ tọa độ cực công cụ giúp ta giải số toán mà hệ Descartes khó giải Hệ tọa độ cực hữu ích trường hợp quan hệ hai điểm viết dạng góc khoảng cách I.ĐỊNH NGHĨA Hệ tọa độ cực hệ tọa độ chiều, điểm biểu diễn bẳng thành phần: Khoảng cách từ điểm đến gốc O (gốc cực) gọi bán kính Góc tạo đường thẳng từ O đến điểm với hướng gốc cho trước (trục cực) Cụ thể: Khi xét tọa độ điểm M hệ tọa độ cực hình ta dựa vào bán kính véctơ góc định hướng OM trục Ox tức góc Bán kính hướng: -Bán kính tính tỉ lệ dài, tập hợp điểm có bán kính biểu diễn mặt phẳng cực đường tròn đồng tâm gốc tọa độ Ví dụ: -Hướng đo độ radian, chiều tăng hướng chiều ngược chiều kim đồng hồ, tập hợp điểm có hướng đường thẳng qua gốc tọa độ tạo với trục góc Ở ta xét số đo hướng radian Ví dụ: +Lưu ý: -Khác với hệ tọa độ Descartes điểm xác định cặp giá trị , hệ tọa độ cực điểm có nhiều cách xác định ứng với giá trị tăng giảm so với giá trị ban đầu: -Trong tọa độ cực tồn bán kính âm, ta chuyển bán kính dương cách tăng giảm từ hướng cũ đổi dấu : +Ví dụ: Tìm tất tọa độ cực cho điểm -Với lưu ý 2, cách biểu diễn khác tọa độ cực -Sử dụng lưu ý ta tìm họ giá trị tọa độ cực là: hay Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: Ta rút mối liên hệ giá trị : +Ví dụ: 1.Chuyển từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có: 2.Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có: giá trị tọa độ cực 3.Chuyển phương trình sang tọa độ cực Ta có: 4.Chuyển phương trình sang tọa độ cực Ta có: II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Đường thẳng +Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ: 2.Đường tròn +Đặc biệt đường tròn có tâm gốc tọa độ: Ngồi có đường cong lạ mắt có phương trình chúng hệ Descartes phức tạp hệ tọa độ cực lại đơn giản như: 3.Đường xoáy ốc – Đường Archimede 4.Đường LEMNISCAT : 5.Đường hình tim – Đường Cardioide: 6.Các đường hình hoa: , 7.Đường hình bướm: III KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Các tính chất đối xứng : a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: thuộc đồ thị thuộc đồ thị Đồ thị đối xứng qua Ox Ví dụ: b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ thuộc đồ thị thuộc đồ thị Đồ thị đối xứng qua Oy Ví dụ: c.Đối xứng tâm: Nếu thuộc đồ thị Ví dụ: 2.Các bước khảo sát + Tìm miền xác định -Trong hệ tọa độ cực hay xảy trường hợp hàm số khảo sát tuần hồn Do ta có số nhận xét tính tuần hồn sau: �T T �  , � � Hàm số tuần hồn với chu kì � khảo sát � 2 �, qua đồ thị lần góc khơng sinh nhánh � đồ thị đường cong  0,T  Nếu hàm số lẻ : đồ thị đối xứng qua Oy Nếu hàm số chẵn : đồ thị đối xứng qua Ox + Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính , với góc tia bán kính tiếp tuyến điểm khảo sát : tiếp tuyến trùng bán kính : tiếp tuyến vng góc bán kính BBT Ví dụ: a.Khảo sát hàm số MXĐ: Ta có hàm số lẻ � đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì khảo sát Có: , BBT Do hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được: 10 b.Khảo sát hàm số MXĐ: Ta có hàm số chẵn � đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì Có: BBT 11 khảo sát Lấy đối xứng qua Ox ta được: IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC 1.Trong toán học -Trong số trường hợp, chuyển sang tọa độ cực phép tính tích phân đơn giản cận lẫn cơng thức tính tích phân Một ứng dụng điển hình dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tia là: +Ví dụ: tính diện tích giới hạn đường Cardioide: Đạo hàm đổi dấu nên diện tích 2.Trong lĩnh vực hàng hải thiên văn +Trong hàng hải:Các nhà hàng hải quân đội sử dụng mặt phẳng tọa độ u thích nhà tốn học Bán kính gọi phạm vi, đơn vị thực tế thường ghi rõ, mét (m) hay ki-lô-mét (km) Góc hay hướng gọi góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, đo độ từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ Góc phương vị ký hiệu � (chữ Hy Lạp cổ), phạm vi ký hiệu � Vị trí điểm xác định cặp số (�, �) 12 +Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) lập bảng hàm dây cung cho biết chiều dài dây cung cho góc Có tài liệu cho ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí thiên hà TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 ... từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có: 2.Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực Ta có: giá trị tọa độ cực 3.Chuyển phương trình sang tọa độ cực Ta có: 4.Chuyển phương trình sang tọa độ. .. số hệ tọa độ cực làm đề tài tiểu luận Trong q trình thực hiện, nhóm nhiều thiếu sót Mong nhận góp ý từ thầy HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngoài tọa độ Descartes thường gặp chương trình học phổ thơng hệ tọa độ. ..LỜI NGỎ Tọa độ điểm số đặc trưng cho vị trí điểm mặt phẳng, không gian Tọa độ gắn liền với hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes