HỆ tọa độ cực TRONG các bài TOÁN vật lý l23

HỆ TỌA ĐỘ CỰC TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ LỜI NĨI ĐẦU: Trong chương trình vật lý trung học phổ thông chuyên bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia dạy học phần toán sử dụng hệ tọa độ cực, trụ việc sử dụng hệ tọa độ giúp cho việc giải toán thuận tiện dễ dàng nhiều so với giải tốn hệ tọa độ Descates, hệ tọa độ cực áp dụng nhiều toán học thiên thể, chuyển động vệ tinh, hành tinh ngồi hệ tọa độ cực áp dụng nhiều toán lưỡng cực điện, chuyển động phức tạp điện tích điện trường, từ trường , tơi thấy cần phải có chun đề mang tính hệ thống kèm theo ví dụ tiêu biểu phần Vì phần kiến thức tổng hợp đề cập nhiều kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý, kỳ thi chọn đội tuyển dự thi AphO, IPhO kỳ thi APhO IPhO Sau nội dung chuyên đề: - Tóm tắt kiến thức liên quan - Các ứng dụng - Các tập tổng hợp có lời giải chi tiết - Các tập tự luyện tập với đáp số A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Đặt vấn đề Chúng ta quen thuộc với hệ tọa độ Đề mặt phẳng, ta đặt hai trục vng góc cố định Vị trí điểm mặt phẳng xác định hồnh độ tung độ Có cách khác xác định vị trí điểm P mặt phẳng khoảng cách điểm với điểm cho trước O Tuy nhiên, biết thông số khoảng cách ta khơng biết vị trí xác điểm mặt phẳng, cần thêm uuu r OP thông số cách đưa trục Ox cố định, ta cần biết góc tạo vec tơ Ox Trong vật lý, xét chuyển động vật trường lực xuyên tâm, chẳng hạn chuyển động hành tinh quanh Mặt Trời lực hấp dẫn Mặt Trời, việc dùng hệ tọa độ cực để khảo sát chuyển động vật cần thiết NỘI DUNG: I Hệ tọa độ cực 0.Mục tiêu - Người đọc nắm thành phần tọa độ hệ tọa độ cực, biết chuyển đổi hệ tọa độ cực, tọa độ trụ hệ tọa độ Decastes, biết cách thu công thức vận tốc, gia tốc hệ tọa độ cực -Vận dụng hệ tọa độ cực việc giải số tập Vị trí hạt r -Mặt phẳng tọa độ e O : gốc cực (cố định) r O  Ox: trục cực (cố định) Chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ -Vị trí với bán kính,  góc tạo hướng P r er x Quy ước r �0,0 � �2 (hoặc  � � ) điểm mặt phẳng tương ứng với cặp giá trị r r e -Véc tơ đơn vị: r , e (liên kết với chuyển động xuyên tâm ngang hạt P) Chú ý véc tơ đơn vị có hướng thay đổi theo thời gian uuu r r r OP  r  rer (1) *Như hệ tọa độ cực ta cần thông số để xác định vị trí hạt Ta chuyển đổi hệ tọa độ Đề tọa độ cực Ví dụ đơn giản chọn gốc tọa độ Đề trùng gốc cực, trục hoành trùng trục cực x  r cos  , y  r sin  2.Vận tốc hạt r r dr v dt - vectơ vận tốc - Ban đầu hạt vị trí P (r,  ), sau khoảng thời gian nhỏ t , tọa độ hạt P’(r’,    ) uuur r � '   , PP '   r POP t P (r,  ) ��� P’(r’,    ) Các đại lượng ta có: r ,  nhỏ nên gần r uuur uuu r uuu r r r  r  PP '  PA  PB  re r  r e r r r Viết dạng vi phân: d r  dre r  rd e Gọi r& r r e  rr er B r  r r O P r e d 2r d 2 dr d & & r& & & dt , dt , dt , dt r r r &e & v  re  r  r Chia vế phương trình cho dt, ta (2) r r r dr d r d er &r  r  ( re r )  re dt Lấy đạo hàm vế (1) theo t ta được: dt dt r r r d e r &r d e   e  &e r So sánh với (2) ta suy dt Từ biểu thức suy dt Ý nghĩa: đạo hàm theo thời gian vec tơ đơn vị làm quay góc 90 độ theo chiều (+) r r d e  &e r Bài tập nhỏ chứng minh: dt x r r r r r r d r r d e r d e r r e e r | e | | e r | cos90=0 � (e e r )  � e r  e  dt dt dt r r d e r &r d e r   e e r  & dt dt Sử dụng ta suy r r r r uuuuur d r r d e r d e r r e � e r  const� (e e r ) er e dt dt dt Mặt khác r r r r r d e r &r d er r d e r d e r d e r   e �e  �e r  e r  & Do dt nên dt => dt => dt // e r Kết hợp dt r r d e  &e r suy điều phải chứng minh dt 3.Gia tốc hạt Từ (2) ta có: r r dv d r r d & r )  ( r&e ) a  ( re dt dt dt r r r r r d er d e  & &r  r&  r& & re &e  r& e  r& dt dt r r r d e r &r d e r r r   e  &e r & & & & & & & a  ( r  r  ) e  ( r   r  ) e r  Sử dụng dt dt ta được: Trong trường lực xun tâm khơng có thành phần gia tốc theo phương r r � a  (& r& r&2 )e r � �& & && ngang: �r  2r  Tóm lại cơng thức cần ghi nhớ: r r r r r r & 2r& r& r&2 )e r  (r& &)e & r  r&e , a  (& v  re II Hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ trụ tương tự hệ tọa độ cực, có thêm tọa độ , thành phần vận tốc gia tốc vật có thêm vận tốc gia tốc theo phương là: Vận tốc: Gia tốc r r r r & r  r&e  k z v  re r r r r & 2r& a  (& r& r&2 )e r  ( r& &)e  k z III Bài toán Keple 1.Định luật bảo toàn momen động lượng Định luật II Keple -Định nghĩa momen lực: Mô men lực trục quay đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay lực quanh trục ấy, viết dạng vec tơ: r uur r ur r r M O  r �F  r �ma , với r vec tơ nối điểm tác dụng lực tới tâm quay Về độ lớn M, M=F.d, d=r sin  , M lực nhân cánh tay đòn -Định nghĩa mơ men động lượng: Mơ men động lượng chất điểm có khối lượng m điểm O: ur r r LO  r �mv Về độ lớn: L  rmv v , = r&= v sin  -Định luật bảo toàn MMĐL: Nếu tổng momen lực tác dụng lên vật rắn (hay hệ vật) trục tổng momen động lượng vật rắn (hay hệ vật) trục bảo tồn Dưới ta khảo sát vật có kích thước nhỏ, coi chất điểm Vì chuyển r r r �a  (do động trường lực xuyên tâm (cánh tay đòn 0) nên r r uur r e r �e r  ) � M O  u r r r LO  r �mv ur r r r dr r r r r r uur d LO d r dv r  ( r �mv )  �mv  r �m  v �mv  r �ma  M O dt dt dt dt u r d LO r uur r 0 Nếu M O  => dt u r r r uuuuur � LO  r �mv  const ur r r r r r r & r  r&e )  mr 2&(e r �e )  mr 2&e z LO  rer �m(re LO  Lz  mr 2& C (Vec tơ momen động lượng vng góc với mặt phẳng quỹ đạo.) -Chứng minh định luật II Keple: r Trong khoảng thời gian t , vector r quét góc  , độ dài cung PP’ ; r => diện tích tam giác OPP’là z 1 S  OP.PP '  r  2 , chia vế cho t Lz viết Oz dạng vi phân: dS d & LO  r  r dt dt 2m =const Đây biểu thức toán học định luật II y x P   P’ Keple dS dt tốc độ quét diện tích vector Phát biểu ĐL II Keple: Đoạn thẳng nối Mặt Trời hành tinh quét diện tích khoảng thời gian 2.Phương trình quỹ đạo Định luật I Keple * Quỹ đạo elip hệ tọa độ Đecac +) Định nghĩa elip: Cho điểm cố định F1,F2 độ dài không đổi 2a> F1,F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1+MF2=2a Các điểm F1,F2 tiêu điểm elip Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự elip MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu +)Trong hệ tọa độ Đề các,có thể chứng minh M(x,y) thuộc elip x2 y  1 a b +) Khái niệm tâm sai: gọi tâm sai-độ lệch tâm, ý nghĩa cho biết độ dẹt elip.Với elip Khi elip trở thành hình tròn, e gần elip dẹt đường thẳng +)Khái niệm thơng số:từ tiêu điểm F kẻ đường vng góc trục ox, cắt elip A, khoảng cách AF2 đặt p, gọi thông số CM p= b2 /a= a(1-e2) Theo ĐN elip: AF1 + AF2 =2a=> AF1 + p =2a=> =4a2-4ap+p2 Mặt khác, tam giác F1 F2A vuông F2 nên Từ suy 4a2- 4ap+p2 , với =>4a2-4ap=4 => ae2 hay p= a(1- e2)=b2/a Đặc biệt: hình tròn coi dạng suy biến hai tiêu điểm elip hợp lại thành Để lập phương trình quỹ đạo ( theo  ), ta dùng biến số : a.Công thức Bi-nê (Binet): cho biểu thức vận tốc gia tốc hạt theo biến số u  (đạo hàm r theo t chuyển sang đạo hàm u theo  ) r r r &e & v  re  r  r -Nhắc lại: +công thức vận tốc hệ tọa độ cực: +công thức gia tốc (trong trường lực xuyên tâm) hệ tọa độ r r &2 )e r & & a  ( r  r  cực: Cách thành lập công thức Bi-nê: (Cách chứng minh: r r& dr d d dt & r& dr& d d dt r=1/u; &rút từ L) -Biểu diễn lại v �1 � d�� L Lu du d dr d dr L du u  2 r& r&   � �  d dt ; d m => m d d u d ; dt mr r a -Biểu diễn lại & r& Ta Lu Lu & � r   u m m r L � du r r � �v �  er  ue � m � d �(*) d L Lu dr& d L du  2 r&  m d dt , sử dụng m d dt mr & r& d d L2u d 2u � L du �Lu    � � m d � m d �m �Lu � L2u r&  � � u �m � m r �r L2 u �d u a   � u� er m �d � (**) (*), (**) gọi công thức Bi-nê vận tốc gia tốc b.Lập phương trình quỹ đạo -Ta xét lực xuyên tâm lực hấp dẫn gây vật có khối lượng : ur r GMm r F   e r   Ku e r r , với -Áp dụng công thức Bi-nê vào định luật II Niu-tơn ta có: ur r � L2u �d 2u F  ma �  Ku   �  u� m �d � d u mK u 0 d L d2 Hay viết lại: d � mK � � mK � u  � � u  � � � L �� L � (Phương trình vi phân bậc 2, dạng dao động điều hòa, tần số góc ) Nghiệm phương trình là: Đặt , (chọn biên độ nên ) ta có: u mK  A cos(  0 ) L2 1 1  pA cos(   )   A cos(   )   A cos(  0 )  r p p => r p r p  e cos(   ) => Đây phương trình quỹ đạo hạt chuyển động trường lực hấp dẫn viết hệ tọa độ cực p r  e cos  Có thể chọn qua cận điểm, ta có 0  , viết lại pt quỹ đạo: Phương trình cho biết quỹ đạo đường conic mà gốc (tâm lực) tiêu điểm, thông số, tâm sai quỹ đạo có đơn vị độ dài, khơng có đơn vị c.Quỹ đạo elip Bài toán: Chứng minh hệ tọa độ cực thỏa mãn phương trình r p  e cos  () chuyển sang hệ tọa độ Đề thỏa mãn phương trình x2 y2 p  1 a 2 a b  e2 , b  a  e , với Cách chứng minh -Bước 1: Từ phương trình quỹ đạo hạt ta có: Khi rmin  p p , rmax  1 e 1 e Chuyển động hành tinh theo quỹ đạo kín nên góc từ 0-2π ln có r>0=> e 0, ta có 20 mr04 d 4 qp cos / d �cos 2 mr04 qp � max  qp 20 mr04  =  Khi  =  /  = 3 /  � , hạt quay trở lại Nghĩa hạt dao động nửa vòng tròn từ  / � �3 / (Hình b) Chu kì chuyển động: T 10, 48 2 mr04 qp y y M M x O x O Hình a Hình b Bài 15 KẾT CỤC KHƠNG MONG MUỐN CỦA MỘT VỆ TINH Chuyển động thường thấy tàu không gian liên quan tới thay đổi vận tốc dọc theo hướng bay, gia tốc để đạt quỹ đạo lớn hãm lại để vào vùng khí trái đất Trong tốn này, nghiên cứu thay đổi quỹ đạo vệ tinh động đẩy tác động theo phương bán kính Ảnh: ESA Để rút giá trị số ta sử dụng kiện sau: bán kính Trái đất , gia tốc trọng trường bề mặt Trái đất , lấy độ dài ngày thiên văn Ta xem xét vệ tinh thông tin địa tĩnh (có chu kỳ T 0) có khối lượng m dang chuyển động đường tròn xích đạo có bán kính Vệ tinh có động cung cấp lực đẩy theo phương tiếp tuyến quỹ đạo để đưa tới quỹ đạo cuối Bài (1.1)[0,3 điểm] Tính giá trị số (1.2)[0,3+0,1 điểm] Viết biểu thức vận tốc tính giá trị số đại lượng (1.3)[0,4+0,4 điểm] Tính momen động lượng theo , m, g vệ tinh theo g, , vệ tinh Khi vệ tinh hoạt động bình thường quỹ đạo lỗi điều khiển phát từ mặt đất khiến cho động hoạt động trở lại Lực đẩy động hướng phía Trái đất, trạm điều khiển Trái đất kịp phát tắt động cơ, thay đổi không mong muốn vận tốc vệ tinh thiết lập vệ tinh Ta biểu diễn thay đổi thông qua tỉ số Thời gian hoạt động động nhỏ, bỏ qua so với chu kì chuyển động vệ tinh, đó, hoạt động động gần tức thời Bài Giả sử (2.1)[0,4+0,5 điểm] Xác định thông số quỹ đạo mới, thông số tâm sai theo (2.2)[1,0 điểm] Tính góc tạo trục lớn quỹ đạo véc-tơ bị trí vệ tinh thời điểm xảy cố mở động (2.3)[1,0+0,2 điểm] Viết biểu thức khoảng cách nhỏ vệ tinh so với tâm Trái đất, theo lượng cho trường hợp lớn , tính giá trị số đại (2.4)[0,5+0,2 điểm] Xác định chu kì chuyển động T quỹ đạo theo , tính giá trị số Bài (3.1)[0,5 điểm] Tính thơng số đẩy cực tiểu để vệ tinh thoát khỏi hấp dẫn Trái đất (3.2)[1,0 điểm] Trong trường hợp này, xác định khoảng cách gần mà vệ tinh đạt so với tâm Trái đất quỹ đạo theo Bài Xét trường hợp (4.1)[1,0 điểm] Tính vận tốc vệ tinh đạt xa, theo (4.2)[1,0 điểm] Rút ‘thông số va chạm’ vệ tinh theo tiệm cận hướng vơ (Xem hình F-2) (4.3)[1,0+0,2 điểm] Xác định góc đường tiệm cận hướng vơ vệ tinh theo Tính số giá trị cho 1,5 P HƯỚNG DẪN Dưới tác dụng lực hướng tâm dạng nghịch đảo bình phương khoảng cách, vật chuyển động theo quỹ đạo elip, parabol hoạc hyperbol Trường hợp , xem tâm khối M nằm tiêu điểm quỹ đạo Phương trình toạ độ cực quỹ đạo có dạng (xem hình F-3) , với số dương, gọi thông số quỹ đạo tâm sai Với quỹ đạo xác định, ta có: G số Niutơn, L độ lớn momen động lượng vật E năng, với gốc vơ Ta kể đến trường hợp sau đây: i) Nếu , quỹ đạo elip (đường tròn có ) ii) iii) Nếu Nếu , quỹ đạo parabol , quỹ đạo hyperbol Giải: 1.1 1.2 1.3 2.1 Giá trị thông số l thu từ điều kiện mô men động lượng hai quỹ đạo: Giá trị tâm sai: Với E vệ tinh, Kết hợp hai biểu thức ta Đậy quỹ đạo elip 2.2 Quỹ đạo ban đầu cuối qua điểm P ( hình 4) 2.3 Từ biểu thức r, ta thu giá trị lớn nhỏ r tương ứng với (hình 4) Thay vào Với, ta ( thu từ điều kiện bảo toàn MMĐL , ý vng góc viễn điểm cực cận điểm) Sau khử v phương trình bậc mà nghiệm 2.4 Sử dụng ĐL III Keple, chu kỳ T quỹ đạo thỏa mãn Với a bán trục lớn elip, Do Với = ¼ ta có 3.1 Chỉ vệ tinh theo quỹ đạo mở khỏi lực hấp dẫn Trái Đất Khi đó, tâm sai lớn Điều kiện e = Cách khác: Kết thu việc sử dụng lượng toàn phần vệ tinh phải để vệ tinh xa vô (Ep = 0) mà khơng có vận tốc thặng dư (Ek = 0) Cách khác nữa: từ từ 3.2 Do , phương trình parabol hệ tọa độ cực thông số Khoảng cách Trái Đất-vệ tinh xa tương ứng với , Kết thu từ điều kiện bảo toàn lượng (cho E = 0) từ MMĐL (L0) điểm P MMĐL điểm xa nhất, với vng góc với 4.1 Nếu vệ tinh tới vơ với vận tốc vơ , theo ĐL bảo tồn lượng, tiệm cận 4.2 P Khi quỹ đạo vệ tinh hypecbol MMĐL vệ tinh MMĐL vị trí P MMĐL vị trí vận tốc (hình 5), ta có b Do tiệm cận 4.3 Góc tiệm cận trục hyperbol tính từ phương trình quỹ đạo tọa độ cực, lấy Ta có Theo hình Với , ta C BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Quỹ đạo hạt chuyển động trường lực xuyên tâm r =const Xác định theo Gợi ý: sử dụng công thức Bi nê cho gia tốc Mô men động lượng hạt trục quay qua tâm trường bảo toàn L2 V  2mr Đáp số: Bài Một hành tinh A chuyển động theo quỹ đạo elip xung quanh Mặt Trời Tại r r r r r v r v 0 thời điểm cách Mặt Trời khoảng , vận tốc , góc  Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ Mặt Trời hành tinh hành tinh chuyển động Gợi ý: Mơ men động lượng bảo tồn Cơ E bảo tồn Dùng cơng thức vận tốc hệ tọa độ cực Khi đạt cực trị r&=0, thay vào biểu thức ta phương trình bậc ẩn r (E tính từ điều kiện ban đầu) Giải phương trình bậc giá trị nghiệm rmin , rmax Bài Một vật nhỏ bắt đầu rơi vào Mặt Trời từ khoảng cách bán kính quỹ đạo Trái Đất Vận tốc đầu vật hệ quy chiếu nhật tâm Hỏi thời gian rơi bao lâu? Gợi ý: Cơ bảo toàn, vận tốc đầu 0, suy bán trục lớn elip quỹ đạo vật rơi Thời gian rơi nửa chu kỳ vật Sử dụng ĐL III Keple suy chu kỳ T, từ suy thời gian rơi Đáp số: 64,5 ngày Bài Sao chổi Halay có chu kỳ năm Năm 1986 đến gần Mặt Trời nhất, có r = 8,9 1010 m Biết khối lượng Mặt Trời 1030kg Hỏi a) Khoảng cách xa rmax từ chổi đển Mặt Trời b) Tâm sai quỹ đạo chổi Gợi ý: sử dụng ĐL III Keple, thay số , khối lượng , chu kỳ , a Từ liên hệ rmin , rmax với suy rmax e Đáp số: rmax= 2,68 1012m; Bài Tìm lực hướng tâm làm vật chuyển động theo quỹ đạo có phương trình r  a (1  cos  ) Gợi ý: dùng công thức gia tốc trường lực xuyên tâm viết hệ tọa , &theo độ cực Mô men động lượng bảo toàn Rút biểu diễn && Dùng phương trình quỹ đạo cho rút r&theo &,  Mục đích cuối muốn biểu diễn a theo r r& F  aL2 mr Đáp số: Bài Vật chuyển động bàn ngang không ma sát, nối với qua dây xuyên qua lỗ r r a) Ban đầu có vận tốc v vị trí r Xác định rmin , rmax b) Xác định tần số dao động bán kính quỹ đạo lệch nhỏ với quỹ đạo tròn Gợi ý: Mơ men động lượng bảo tồn Viết phương trình định luật II Newton cho vật, lực căng điểm dây Chú ý & r& d ( r&2 ) dr Khi r đạt cực trị r&=0 r&=0, rút bán kính quỹ đạo r0 theo , Khi quỹ đạo tròn & Khi quỹ đạo bị lệch nhẹ khỏi quỹ đạo tròn, đặt Đáp số: L2 f   m gr  C  2 2 a) 2m1r ; b) 3m2 g r0 (m1  m2 ) Bài Hạt m chuyển động trường lực xuyên tâm, Từ số chuyển động, xác định phương trình quỹ đạo Biểu diễn góc cực  theo r Gợi ý: số chuyển động Dùng công thức vận tốc hệ tọa độ cực, thu theo Đáp số: Ldr  � r 2mr ( E  U )  L2 đoạn r >> l góc  với vec tơ l –q r +q l Hãy tìm điện mơ đun véc tơ cường độ điện trường điểm M cách tâm O lưỡng cực z mật độ điện dài  –  Khoảng cách chúng M Bài Hai sợi dây mảnh song song tích điện với Đáp số: Er   � V  l cos   � r 2 r E   1� V l sin   r�  2 r E  Er2  E2 � E  l 2 r Bài Hạt chuyển động trường lực xuyên tâm, quỹ đạo đường tròn bán kính qua tâm trường Khối lượng hạt , mô men động lượng Tính lực tác dụng lên hạt cách tâm trường quỹ đạo Gợi ý: L bảo tồn Hạt chuyển động đường tròn nên cos   r R Sử dụng dr dr d  dt d  dt Mục đích biến đổi gia tốc (viết hệ tọa độ cực biến đổi trường lực xuyên tâm) hàm phụ thuộc Đáp số: F  8L2 R mr KẾT LUẬN Hệ tọa độ cực, trụ ứng dụng tốn vật lý phần kiến thức hay, khó đa dạng, đặc biệt yêu cầu nhiều kỹ tốn học, đòi hỏi học sinh phải trang bị cơng cụ tốn học đủ mạnh, phải vận dụng nhiều thành thạo Các ví dụ ví dụ điển hình minh hoạ phần cho chuyên đề Rất mong đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực bổ ích cơng tác giảng dạy học sinh chuyên công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Olympic vật lý châu Á (2000 – 2004) NXBGD 2005 PGS – TS Nguyễn Ngọc Long, Bạch Thành Công Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý THPT, Cơ học NXBGD 2015 Tô Giang Bài tập vật lý đại cương tập (điện học & điện từ học) NXBĐHQGHN 2008 Nguyễn Quang Hậu Bài tập lời giải học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim Bài tập lời giải điện từ học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim Cơ sở vật lý Tập Điện học David Halliday NXBGD 2002 Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010) NXBGD 2011 Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2011 – 2016) NXBGD 2016 Vũ Thanh Khiết, Phạm Khánh Hội Tuyển tập đề thi Olympic vật lý quốc tế tập (2001-2005) Tài liệu lưu hành nội Nguyễn Thành Lập, Nguyễn Chí Trung 10 Problems in Classical Electromagnetism_-157 Exercises with Solutions (bản tiếng Anh) NXB Springer Andrea Macchi ... I Hệ tọa độ cực 0.Mục tiêu - Người đọc nắm thành phần tọa độ hệ tọa độ cực, biết chuyển đổi hệ tọa độ cực, tọa độ trụ hệ tọa độ Decastes, biết cách thu công thức vận tốc, gia tốc hệ tọa độ cực. .. )e r  (r& &)e & r  r&e , a  (& v  re II Hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ trụ tương tự hệ tọa độ cực, có thêm tọa độ , thành phần vận tốc gia tốc vật có thêm vận tốc gia tốc theo phương là: Vận... vec tơ Ox Trong vật lý, xét chuyển động vật trường lực xuyên tâm, chẳng hạn chuyển động hành tinh quanh Mặt Trời lực hấp dẫn Mặt Trời, việc dùng hệ tọa độ cực để khảo sát chuyển động vật cần thiết