HỆ tọa độ cực TRONG các bài TOÁN vật lý l23

HỆ TỌA ĐỘ CỰC TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝLỜI NÓI ĐẦU: Trong chương trình vật lý trung học phổ thông chuyên và bồi dưỡng cácđội tuyển học sinh giỏi quốc gia khi dạy và học về phần các bài

HỆ TỌA ĐỘ CỰC TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ

LỜI NÓI ĐẦU:

Trong chương trình vật lý trung học phổ thông chuyên và bồi dưỡng cácđội tuyển học sinh giỏi quốc gia khi dạy và học về phần các bài toán sử dụngcác hệ tọa độ cực, trụ và việc sử dụng các hệ tọa độ này giúp cho việc giảicác bài toán thuận tiện và dễ dàng hơn rất nhiều so với khi giải các bài toán

đó trong hệ tọa độ Descates, hệ tọa độ cực được áp dụng trong rất nhiều cácbài toán cơ học thiên thể, chuyển động của vệ tinh, hành tinh và ngoài ra hệtọa độ cực còn được áp dụng rất nhiều trong các bài toán lưỡng cực điện,chuyển động phức tạp của điện tích trong điện trường, từ trường , do đó tôithấy cần phải có chuyên đề mang tính hệ thống và kèm theo các ví dụ tiêubiểu về phần này Vì phần này là kiến thức tổng hợp và được đề cập nhiềutrong các kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt là học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý,

kỳ thi chọn đội tuyển dự thi AphO, IPhO và trong các kỳ thi APhO và IPhO.Sau đây là nội dung của chuyên đề:

- Tóm tắt các kiến thức liên quan

- Các ứng dụng

- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

- Các bài tập tự luyện tập với đáp số

Chúng ta quen thuộc với hệ tọa độ Đề các trên mặt phẳng, trong đó ta đặt haitrục vuông góc cố định Vị trí của 1 điểm trên mặt phẳng được xác định bởihoành độ và tung độ.

Có cách khác xác định vị trí của 1 điểm P trong mặt phẳng bằng khoảng cáchcủa điểm đó với 1 điểm cho trước O Tuy nhiên, nếu chỉ biết thông sốkhoảng cách thì ta không biết vị trí chính xác của điểm trên mặt phẳng, vậycần thêm thông số bằng cách đưa 1 trục Ox cố định, ta cần biết góc tạo bởivec tơ OP

và Ox

Trong vật lý, khi xét chuyển động của một vật trong trường lực xuyên tâm,chẳng hạn chuyển động của một hành tinh quanh Mặt Trời bởi lực hấp dẫncủa Mặt Trời, việc dùng hệ tọa độ cực để khảo sát chuyển động của vật là rấtcần thiết

-Vận dụng hệ tọa độ cực trong việc giải một số bài tập

OP=r là bán kính,  góc tạo bởi OP và hướng Ox

Quy ước r0,0   2 (hoặc      ) thì mỗi điểm trong mặt phẳngtương ứng với duy nhất 1 cặp giá trị (r ,)

d r r dt





,

d dt





,

2 2

d dt





Chia cả 2 vế của phương trình trên cho dt, ta được v re r r e(2)

Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo t ta được: ( )



//er Kết hợp . r

d e e dt

Oz Lz

1.Định luật bảo toàn momen động lượng Định luật II Keple

-Định nghĩa momen lực: Mô men lực đối với một trục quay là đại lượng đặc

trưng cho tác dụng làm quay của lực quanh trục ấy, viết dưới dạng vec tơ:

Về độ lớn của M,

M bằng lực nhân cánh tay đòn

-Định nghĩa mô men động lượng: Mô men động lượng của chất điểm có

khối lượng m đối với một điểm O:

Dưới đây ta khảo sát vật có kích thước nhỏ, coi như chất điểm Vì chuyển

động trong trường lực xuyên tâm (cánh tay đòn bằng 0) nên r a 0

(Vec tơ momen động lượng vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo.)

-Chứng minh định luật II Keple:

Phát biểu ĐL II Keple: Đoạn thẳng nối Mặt Trời và một hành tinh bất kỳ

quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau.

2.Phương trình quỹ đạo Định luật I Keple

* Quỹ đạo elip trong hệ tọa độ Đecac

+) Định nghĩa elip:

+)Trong hệ tọa độ Đề các,có thể chứng minh được nếu M(x,y) thuộc elip

dẹt của elip.Với elip

0≤e<1. Khi e=0 thì elip trở thành hình tròn, e càng gần 1 thì elip càng dẹt như đường thẳng.

=>4a 2 -4ap=4¿ => a− p=¿ae 2 hay p= a(1- e 2 )=b 2 /a.

yP

Đặc biệt: hình tròn được coi là dạng suy biến khi hai tiêu điểm của elip hợp lại thành một

Để lập được phương trình quỹ đạo (r theo  ), ta dùng biến số mới : u=1/r

a.Công thức Bi-nê (Binet): cho các biểu thức của vận tốc và gia tốc của hạt

theo các biến số u và  (đạo hàm của r theo t chuyển sang đạo hàm của utheo  )

-Nhắc lại: +công thức vận tốc trong hệ tọa độ cực: v re rr e

+công thức gia tốc (trong trường lực xuyên tâm) trong hệ tọa độcực: a(r r  2)er

Cách thành lập công thức Bi-nê:

dr d r

.

dr d r

2 2 2 2

2 2

d L du Lu L u d u r

b.Lập phương trình quỹ đạo

-Ta xét lực xuyên tâm là lực hấp dẫn gây ra bởi 1 vật có khối lượng M ≫m:

2 2 2 2

2 2

Nghiệm của phương trình này là: 2 cos( 0)

e 





Phương trình trên cho biết quỹ đạo là đường conic mà gốc O (tâm của lực) là

1 tiêu điểm, p là thông số, e là tâm sai của quỹ đạo p có đơn vị độ dài, e

không có đơn vị

c.Quỹ đạo elip

Bài toán: Chứng minh trong hệ tọa độ cực nếu M (r ,) thỏa mãn phương trình

e 



 Trong hệ tọa độ Đề các(hình vẽ), ta biểu diễn x,y theo r, :

y r  x O r 

x

Biểu thức của x đúng với cả góc tù và nhọn.

Đã cm được O’O= ea Theo bài b a 1 e2

d Biểu diễn cơ năng trong hệ tọa độ cực, liên hệ e và E

-E là cơ năng của hạt, Et là thế năng

2

,

r



GMm r



Nếu lực xuyên tâm là lực đẩy Culong giữa 2 điện tích cùng dấu thì đặt K=¿



  , với e >1.Đây là phương trình của 1 nhánh hypebol có tiêu điểm nằm ở tâm của trườnglực Nếu chọn trục Ox đi qua cận điểm thì góc  0=0 Phương trình trên chothấy rmin khi góc cực  =0; rmax khi mẫu số tiến tới 0 nên tồn tại tiệm cận củagóc cực

Trong hệ tọa độ cực, một parabol với tiêu điểm tại gốc và đường chuẩn trên trục dương x được cho bởi phương trình r(1+ cos )=p.

3.Định luật III Keple

Từ công thức tính tốc độ quét diện tích 2 0 2 0

dt  m    mtrong đó T là chu kỳ chuyển động của hạt m , S là diện tích của elip Người tachứng minh được S=ab

1

( ) 2

4

LT ab m LT

IV Điện trường, điện thế của lưỡng cực điện trong hệ tọa độ cực

1 Điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện

Theo công thức tính điện thế, điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện tại điểm

M cách lưỡng cực (trung điểm O của AB) một khoảng r có biểu thức:

Trong đó r1, r2 là khoảng cách từ M đến các điện tích – q và + q

Vì r1, r2 >> l nên r r1 2 lcos (với  là góc giữa OM và AB) và r r1 2 r2

Do đó : 0 2 0 2

cos cos

e M

p ql

Dựa vào hệ thức giữa cường độ điện

trường và điện thế, từ biểu thức (5) của điện

thế ta tìm được cường độ điện trường E

tạiđiểm M do lưỡng cực điện gây ra

2 Điện trường của lưỡng cực điện

Trong hệ tọa độ cực, liên hệ giữa điện trường

và điện thế là:

+q– q

BA

3 0

cos 2

e t

p V

4

e r

p V E

1 3cos 4

e r

B BÀI TẬP VÍ DỤ Bài 1

Một hạt khối lượng m chịu tác dụng của hai lực là lực hướng tâm F1=f (r)r

O2 O1

2

m

m O

Gọi x là độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo phương xuyên tâm, ta có x=r −R

Theo định luật II Newton

Cho một cơ hệ như hình vẽ Một sợi

dây dài, một đầu được giữ cố định ở

điểm O, đầu kia vắt qua một ròng rọc

nhỏ ở điểm O1 và treo vật khối lượng

m Hai điểm O, O1 ở cùng một độ cao

Một vòng nhỏ được luồn vào dây ở

giữa đoạn OO1 Một vật khác có khối

lượng cũng là m được treo vào vòng

bằng một đoạn dây ngắn Các dây

không có khối lượng, không dãn Bỏ

qua ma sát Ban đầu hệ được giữ như

hình vẽ, rồi thả không vận tốc đầu

Tìm gia tốc của hai vật khi đi qua vị

trí cân bằng tĩnh

Giải:

-Sau khi thả hệ vật với vận tốc ban

đầu bằng 0, vật 2 sẽ đi xuống, vật 1

đi lên (do OO2<OO1, 2 vật cùng

-Do O2 ở chính giữa O, O1 nên lực căng

tác dụng lên vật 2 có tính chất đối xứng Hợp lực tác dụng lên mỗi vật cóphương thẳng đứng, do đó 2 vật chuyển động theo phương thẳng đứng

-Mặt khác ON+NO 1 +O 1 M=const (M là điểm gắn với vật 1)

3 3 3

Vật 1 chuyển động nhanh chậm dần qua VTCB, vật 2 chuyển động chậm dầnqua VTCB.

Bài 4

Bốn con rùa đứng ở bốn đỉnh của hình vuông cạnh a, chúng bắt đầu chuyểnđộng với vận tốc không đổi, độ lớn v sao cho mỗi con rùa luôn hướng về conbên cạnh theo chiều kim đồng hồ

a) Hỏi các con rùa gặp nhau ở đâu, sau bao lâu?

b) Quỹ đạo chuyển động của mỗi con rùa có dạng như thế nào? Coi mỗicon rùa là một chất điểm

a

.Bốn con rùa gặp nhau ở tâm sau thời gian:

t=¿ 2 | r |

v

v  Phần b:

Xác định phương trình quỹ đạo r() của con rùa 1

Từ

2 2

r

v dt

v r dt

Đây là phương trình quỹ đạo của con rùa 1

Con rùa 1 ở vị trí góc  thì con rùa 2,3,4 lần lượt ở vị trí

Bài 5

Một hạt cổ điển có năng lượng là E và mô men động lượng L đối với điểm M

chuyển động tiến tới một vùng trong đó có một trường thế hấp dẫn xuyêntâm V =−G

r (với tâm là điểm M) Hạt đó bị tán xạ bởi trường thế đó

a) Giả thiết năng lượng và mô men động lượng được bảo toàn, tìmphương trình vi phân dr dθ theo E , L ,r , m

b) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hạt và tâm tán xạ (r min¿

Giải

a) Xét bài toán trong hệ tọa độ cực

Một vệ tinh, có khối lượng m, quay quanh Trái Đất, khối lượng M, theo mộtquỹ đạo tròn, bán kính R0 Nếu vệ tinh bị nhiễu loạn nhẹ và tức thời theophương bán kính, sao cho nó bị lệch khỏi quỹ đạo tròn ban đầu Tính chu kỳdao động T của r quanh khoảng cách trung bình R0.

dt   =>r 2 là hằng số

(Có thể diễn đạt theo cách khác: do

chuyển động trong trường lực xuyên tâm

nên mô men động lượng được bảo toàn,

C r r

Do nhiễu loạn nhẹ, r lệch khỏi R0 khoảng nhỏ Ta đặt r =R 0+z , với ¿z∨¿R0

Ta viết phương trình dao dộng theo biến z:

xr

y

M

m

.MMĐL tại điểm cận và viễn bằng nhau: r1v1= r2v2 nên v2= r1v1/ r2

Thay công thức rút được ở trên vào ĐL bảo toàn cơ năng có:

Coi Trái Đất (T) chuyển động xung quanh Mặt Trời (S) theo một quỹ đạotròn bán kính R T  150.10 m9 với chu kỳ T 0 và vận tốcv T Một sao chổi (C)chuyển động với quỹ đạo nằm trong mặt phẳng quỹ đạo của Trái Đất, đi gầnMặt Trời nhất ở khoảng cách bằngkR Tvới vận tốc ở điểm đó làv 1 Bỏ quatương tác của sao chổi với Trái Đất và các hành tinh khác trong hệ Mặt Trời.

1 Xác định vận tốcvcủa sao chổi khi nó cắt quỹ đạo của Trái Đất theo

T

k, v vàv 1 Cho biết k  0, 42; v T  3.104m/s và v 1  65, 08.103m/s

2 Chứng minh rằng quỹ đạo của sao chổi này là một elip Hãy xác địnhbán trục lớn a dưới dạng a  R T và tâm sai e của elip này theok, v Tvàv 1.Biểu diễn chu kỳ quay của sao chổi quanh Mặt Trời dưới dạng T  nT 0 Xácđịnh trị số của  , evàn.

3 Gọi  là khoảng thời gian mà sao chổi còn ở bên trong quỹ đạo củaTrái Đất, tức là r  CS  R T Giá trị của  cho ta biết cỡ độ lớn của khoảngthời gian có thể quan sát được sao chổi này từ Trái Đất Hãy biểu diễn  dướidạng một tích phân và hãy tính gần đúng tích phân đó

(2)trong đó m và M S lần lượt là khối lượng của sao chổi và của Mặt Trời

Vì quỹ đạo của Trái Đất là tròn, ta có:

T T

GM v

Điều này có nghĩa là quỹ đạo của sao chổi là một elip.

+ Năng lượng của sao chổi và bán trục lớn a của quỹ đạo của nó liên hệ với nhau bởi hệ thức

1

2 T

1 17.9 v

+ Theo định luật ba Kepler:

ở đây L là mô men động lượng và tại điểm cận nhật vận tốc của sao chổi

vuông góc với véctơ bán kính Phương trình quỹ đạo của sao chổi như đã biết

là elip

p r

1 e cos



  với

2 1

2 T

trong đó  0 là góc ứng với giao điểm của

quỹ đạo sao chổi và quỹ đạo Trái Đất

(xem hình vẽ)

Vì chỉ cần xác định cỡ độ lớn, hơn nữa

trong trường hợp đang xét e = 0,977 nên

trong tích phân trên ta có thể lấy gần đúng e =1 Khi đó:

r = RT

PS

C

p R cos

1 T 1

ra, máy thăm dò được truyền thêm vận tốc V theo phương 0y, sau đó trạm

vũ trụ vẫn chuyển động tròn đều với tốc độ u (Hình 1) Gọi góc hợp bởi tia0y và tia nhìn từ tâm Trái Đất qua vật thể cần quan sát là góc nhìn

2 Khi góc nhìn máy thăm dò

là  thì máy thăm dò cách tâm

Trái Đất là bao nhiêu?

3 Tốc độ V phải thỏa mãn điều kiện nào thì quỹ đạo của máy thăm dò sẽ

là kín (quỹ đạo elip)?

y

Hình 2

x

ghy

Hình 1

x

C C

Quỹ đạo Quỹ đạo

Trái Đất Trái Đất

4 Trong trường hợp quỹ đạo không kín, hãy tìm góc giới hạn gh hợp bởivéctơ vận tốc của máy thăm dò và tia 0y khi máy thăm dò ra xa vô cùng(Hình 2).

5 Trong trường hợp quỹ đạo kín (quỹ đạo elip), hãy tìm bán trục lớn vàbán trục nhỏ của quỹ đạo máy thăm dò

-Quỹ đạo máy thăm dò là đường nét đứt vòng cung, quỹ đạo trạm là đườngtròn nét liền

Giải:

1 Đối với trạm hay máy thăm dò:

r 2

phương trình này không chứa khối lượng của chúng

Phương trình (3) cho thấy dv là như nhau đối với cả trạm và máy khi véc

tơ vị trí quay được một góc d như nhau

u u  v v

o o

        (điều phải chứng minh)

2 Áp dụng bảo toàn mô men động lượng cho máy thăm dò:

Hình 6

x0

y

r

0

2 2

Từ (4) ta có  

uR r

V

 

Vậy gh

u arcsin



 

(điểm cực cận trên trục x) min

a) Chứng minh rằng nếu hành tinh chỉ chịu tác dụng bởi lực hấp dẫn củaMặt Trời thì Z 

là một vectơ không đổi, hướng từ S về phía điểm cận nhật P(xem hình vẽ)

b) Dùng vectơ Z, hãy chứng tỏ phương trình quỹ đạo trong toạ độ cựccủa hành tinh là:

p r

hành tinh xung quanh Mặt Trời (cả hai đều được giả thiết là các quả cầuđồng chất) cần phải được mô tả bởi thế hấp dẫn Niutơn

GMm U(r)

r



cộngvới một thế nhiễu loạn

2

GM L 1 U

elip Viết biểu thức của vectơ Z 

khi có tính đến thế nhiễu loạn Tính

dZ dt

vàbiểu diễn nó như một hàm số của , G, M,

d dt

c) Tính góc quay  của quỹ đạo Thủy tinh theo một chu kì như là mộthàm số của G, M, c và các khoảng cách cực đại và cực tiểu r Avà r P

d) Từ những kết quả trên suy ra “độ dịch thế kỉ” đối với Thủy tinh là góc

 mà trục lớn quỹ đạo quay được trong một thế kỉ Tính  ra giây (góc).Thực nghiệm đo được góc này là  42,60,9 Hãy so sánh kết quả này

và kết quả bạn vừa tìm được dựa trên thuyết tương đối

(1 e cos ) sin d 0).





Như vậy độ biến thiên  Zcủa Z vuông góc với Z và có độ lớn rất nhỏ so với

Z, điều này có nghĩa là thế nhiễu loạn làm biến dạng quỹ đạo tương ứng với

sự quay chậm của bán trục lớn của quỹ đạo elip trong mặt phẳng của nó

c) Góc  mà quỹ đạo quay trong thời gian một chu kì là

Z tan( )

Cần nhớ rằng theo định nghĩa

2 2

L p GMm



, suy ra

2 2

L pGM

m  Thay vào biểuthức trên ta được

Bài 11.

Một lưỡng cực điện điểm, với mô men điện

p

, có tâm O, được đặt dọc theo trục x’Ox

Lưỡng cực đặt trong điện trường ngoài đều có

vec tơ cường độ bằng E 0

hướng theo trục x’Ox

a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm

lưỡng cực và điện trường tại một điểm M có tọa

độ cực r, và

góc , ở đủ xa lưỡng cực Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều E 0

bằng không tại điểm gốc O

b) Xác định mặt đẳng thế V = 0 Xác định kích thước mặt đẳng thế đó c) Chứng minh rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V = 0 có giátrị 3E c 0 os

d) Thay mặt đẳng thế đó bằng một mặt cầu kim loại mà không làm thayđổi điện thế tại mọi điểm bên ngoài Tính mật độ điện mặt  tại mọi điểmcủa mặt cầu

Tại điểm O, x = 0, V0 = 0 nên V E E x0 E r c 0 os

Điện thế của lưỡng cực ở M xa điểm O là: 0 2

os 1

4

e

p c V

e

p r

e r

p V

e

p V

e

p E r

Trong không gian chân không giữa Anốt là một hình trụ rỗng bán kính R và

Catốt của một đèn điện tử là một dây đốt thẳng và nhỏ nằm dọc theo trụcAnốt (hình 1), người ta tạo ra một điện trường xuyên tâm E

hướng từ Anốtđến Catốt, có độ lớn không đổi và một từ trường đều B

có hướng trùng vớihướng Catốt Bằng cách dùng hiệu ứng nhiệt, Catốt

phát ra các electron với vận tốc ban đầu nhỏ không

đáng kể

1 Viết phương trình vi phân trong hệ toạ độ

trụ (r, θ , z) mô tả chuyển động của electron trong

khoảng không gian giữa Catốt và Anốt

2 Hãy lập phương trình quỹ đạo của electron

3 Tìm vận tốc dài của electron tại thời điểm t

Theo định luật II Newton           F ma                 

, viết trong toạ độ trụ, ta có: