Phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ cong

Phí Thị Thanh -1- K33A Toán LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải

Trang 1

Phí Thị Thanh -1- K33A Toán

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích nói riêng và khoa Toán trường ĐHSPHN2 nói chung cùng với sự hỗ trợ giúp đỡ của các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn

thành được khoá luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Phí Thị Thanh

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo –

Tiến sĩ Bùi Kiên Cường cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá

trình thực hiện khoá luận em có tham khảo một số tài liệu (như đã nêu trong mục tài liệu tham khảo )

Em xin cam đoan những nội dung trình bày trong khoá luận là kết quả của quá trình tìm hiểu, tham khảo và học tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Trang 3

MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 4

1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Cấu trúc của khoá luận 5

PHẦN 2 NỘI DUNG CHÍNH 6

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1 Bài toán vật lí dẫn tới phương trình truyền nhiệt 6

2 Hệ toạ độ cong, hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu 8

3 Biểu thức toạ độ của toán tử Laplace trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu 15

Chương 2 Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu 23

1 Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ 23

2 Truyền nhiệt trong hệ toạ độ cầu 31

3 Một số ví dụ 35

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Trang 4

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho chính nó, mà

nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng Nó bao gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: Hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán học này không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của

họ sau khi ra trường

Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng

dụng của nó trong vật lý Đề tài “PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG” cũng là một trong số những công cụ toán có

nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn Vì vậy khi chọn đề tài này em muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng trong vật lý

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý cho bản thân

- Tìm hiểu phương trình truyền nhiệt trong hệ toạ độ cong, đặc biệt là hai

hệ toạ độ thường gặp trong vật lý đó là : Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt

- Xây dựng phương trình truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu

Trang 5

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp giải tích toán học

- Đọc tài liệu và tra cứu

5 CẤU TRÚC CỦA KHOÁ LUẬN

Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính của khoá luận gồm hai chương :

Chương I : Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II : Truyền nhiệt trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu

Trang 6

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN TỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Xét một môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u(x,y,z,t) là nhiệt độ của

nó tại điểm p(x,y,z) ở thời điểm t Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Fourier: Nhiệt lượng Q đi qua một mảnh mặt kín bất kì Stheo phương pháp tuyến

Bây giờ ta xét một thể tuỳ ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn S và xét

sự biến thiên nhiệt lượng trong thể tích đó từ thời gian t1 đến t2 Từ (1) ta suy

ra nhiệt lượng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t1 đến t2 là:

2

, ,1

211

Trang 7

12

221

Trong đó c là nhiệt dung, là mật độ của môi trường

Tính chính xác đến các đại lượng nhỏ so với V, ta có:

u x y z t u x y z t dt

t t

Vậy:

231

Trang 8

0

c u t k u g dxdydz V

Đồng thời vùng V cũng là tuỳ ý nên ở một thời điểm bất kì của môi trường, ta phải có đẳng thức:

x, y, z người ta dùng bộ ba số khác q1, q2, q3 phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét Ngược lại, ta giả thiết bộ ba số q1, q2, q3 ứng với một bán kính vectơ rr, do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian

Các đại lượng q1, q2, q3 được gọi là tọa độ cong của điểm M

Vì mỗi điểm M ứng với ba tọa độ q1, q2, q3 do đó mỗi một tọa độ này là một hàm cuả bán kính vectơ rr

Trang 9

Ngược lại, bán kính vectơ của mỗi điểm trong không gian được xác định hoàn toàn khi cho ba số q1, q2 , q3 Nghĩa là ba thành phần x, y, z của rr

là hàm số của q1, q2, q3

, ,

1 2 3, ,

2.2 HỆ TOẠ ĐỘ CONG TRỰC GIAO

Hệ toạ độ cong , ,

1 2 3

q q q mà các đường toạ độ vuông góc với nhau từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ toạ độ cong trực giao

Hệ toạ độ Descartes là hệ tọa độ cong trực giao, đặc biệt hệ toạ độ trụ, hệ tọa

độ cầu là các hệ toạ độ cong trực giao

Ta nhận thấy rằng trong hệ toạ độ Descartes hướng của các vectơ e i

không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ toạ độ cong, ba vectơ đơn vị trực giao , ,

1 2 3

e e e phụ thuộc vào vị trí của M

Trang 10

Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt toạ độ q i C i và

hướng theo chiều tăng của q i là i e

Trong hệ toạ độ cong trực giao thì e i e i

φ có thể nhận giá trị tùy ý)

Những số r, φ, z được gọi là tọa độ trụ của điểm M, q1 = r, q2 = φ, q3 = z

Ta có thể dễ dàng thiết lập sự liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ Descartes:

x = r cosφ, y = r sinφ, z = z

và z = x2 y2 , arctagy/x , z = z

Các mặt tọa độ: Mặt tọa độ r = const là mặt trụ có trục là Oz, mặt tọa

độ φ = const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz, mặt z = const là mặt phẳng song song với mặt Oxy

Các đường tọa độ: Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường φ là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt Oxy

2.2.2.Hệ tọa độ cầu

Cho ba số ρ, θ, φ đặc trưng cho điểm M như sau: ρ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến diểm M, θ là góc giữa chiều dương của trục bán kính vectơ M,

Trang 11

φ là góc giữa chiều dương của trục Ox và hình chiếu của bán kính vectơ lên mặt phẳng Oxy

Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba số ρ, θ, φ

ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π và ngược lại ba số này tương ứng với một điểm xác định trong không gian

Sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes:

x = ρ sinθcosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ

Các đường tọa độ: Đường ρ là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O, đường φ là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu, đường θ là đường kinh tuyến trên mặt cầu

Trong không gian cho một điểm M nào đó, gọi ,e i i 1,2,3 là các vectơ

đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường toạ độ q i và hướng theo chiều

tăng của các toạ độ q i

Trang 12

1

11

s

h q q q

q q

Rõ ràng rằng hệ số Lame, nói chung, phụ thuộc vào vị trí của điểm M Cũng như vậy ta có định nghĩa hệ số Lame đối với toạ độ hệ thứ hai tại điểm M

MM Tương tự ta có hệ số Lame đối với toạ độ thứ ba

Chú ý: Khi biết hệ số Lame, ta có thể tính gần đúng độ dài cung của các đường toạ độ như sau:

h h h trong hệ toạ độ Descartes: Cho x một số gia

x thì độ dài đoạn thẳng nối diểm M x y z, , và , ,

Trang 13

s h

2.4 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HỆ TOẠ ĐỘ LÀ TRỰC GIAO

Trong không gian 3R với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz ta xét

Trang 14

q tiến đến vectơ cùng phương,

cùng chiều với vectơ đơn vị

1

e tại M Ta gọi vectơ đó là vectơ đạo hàm

1

r q

Trang 15

1 ,

Ta thấy grad q i có phương vuông góc với mặt toạ độ q i C i và theo

chiều tăng của q i, nên grad q i cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị

pháp tuyến i e , ta có thể viết grad q i grad q e i i

Trang 16

3.1 GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

Trong không gian ta cho hệ tọa độ , ,

1

e Như ta đã biết, hình chiếu của gradien của hàm f lên một hướng nào đó bằng đạo hàm của hàm f theo hướng này

Trang 17

Mặt khác đạo hàm theo hướng

11

Trang 18

3.2 DIVE TRONG HỆ ĐỘ CONG

A n dS S

có đỉnh tại M đang xét, các mặt bên

trùng với các mặt tọa độ, các mặt đối

diện với các mặt tọa độ đi qua điểm

N.Trong hệ tọa độ cong trực giao:

Trang 19

1

A h h dq q q q q

Tương tự thông lượng qua hai mặt

Thông lượng qua hai mặt

Cộng cả ba biểu thức trên ta được thông lượng toàn phần qua mặt S , ,

1

e bằng tỉ số lưu thông theo một chu tuyến bất kỳ bao quanh

M và diện tích S được giới hạn bởi chu tuyến này hướng dọc theo vectơ

1

e

Ta có định nghĩa:

lim1

Ad rot A e

S

lÑ

Trang 20

Dùng làm bề mặt này, để thuận tiện, ta chọn mặt tọa độ ons

1

q c t đi qua điểm M và miền S là miền

Trang 21

Nếu tác dụng toán tử lên chúng một lần nữ ta được toán tử vi phân cấp hai Ta có các lược đồ sau:

Trang 22

Trang 23

phẳng, vì thế còn được gọi là hệ tọa độ trụ Hệ số Lame 1, , 1

phẳng, khi z const là mặt nón, vì thế còn được gọi là hệ tọa độ cầu Hệ số

Trang 24

CHƯƠNG II TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ CẦU

1 TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ

1.1 TỌA ĐỘ TRỤ XUYÊN TÂM

Xét quá trình truyền nhiệt trong một thanh trụ dài với thiết diện hình tròn, giả sử nhiệt độ của thanh có dạng u u r t, là hàm của bán kính r và thời gian t:

22

12

00

R r Chia cả hai vế của phương trình

trên cho a R r T t2 ta thu được:

1

12

Trang 25

1

T t a T t (1.4) 1

1 ta có phương trình Bessel cấp không Nghiêm tổng quát của phương trình này có dạng:

a t i

Do đó nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.1) có dạng:

Trang 26

2 2,

0

a t i

u i u r t i R r T t i i J i r e

Vậy nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng:

2 2,

01

a t i

u r t A J i i r e

i

(1.8) Điều kiện ban đầu đòi hỏi:

,0

01

1.2 TOẠ ĐỘ TRỤ KHÔNG XUYÊN TÂM

Tìm nhiệt độ của ống trụ tròn dài vô hạn có bán kính

Trang 27

Các điều kiện:

- Hàm nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn: u r, ,t

- Theo biến hàm nhiệt độ có tính tuần hoàn

Trang 28

0

n k

nk r (`1.16)

Phương trình (1.14) có nghiệm

20

n a

r n

0 , n n , n = n = 0sin sin

r Jn k

Trang 29

202

1.3 TOẠ ĐỘ TRỤ VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN

Tìm nhiệt độ của ống tròn dài hữu hạn, có bán kính

- Hàm nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn: u r, , ,z t

- Theo biến hàm nhiệt độ có tính tuần hoàn:

Trang 30

Trang 31

0

n k

Phương trình (2.3) có nghiệm:

22

20

n

r L

nk

22

n k

Trang 32

20

204

20

n r

2 TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CẦU

- Hàm nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn u r, , ,t

, , 2 , , , ,

Trang 33

Chọn nghiệm dưới dạng tách biến u r, ,t R r Y , T t thay vào phương trình ta có:

, hàm thoả mãn phương trình:

sin2

k k

k (3.3)

Hàm phụ thuộc sẽ có chỉ số k và n:

21

Trang 34

Ta thu được hàm cầu:

kn

kn Các phương trình của T t và R r là:

d R dx

rồi thay vào phương trình (3.7) ta có:

Trang 35

Hay là:

22

n m

Trang 36

102

2

0os

n m

r n

Trong đó n là nghiệm của phương trình m 0

12

r n

Trang 37

Đi đến giải bài toán đơn giản nhất về giá trị riêng: Tìm giá trị của tham

số để cho có nghiệm không tầm thường của bài toán

X X X X L (2) Sau khi biện luận các giá trị thấy rằng: để (2) có nghiệm không tầm thường thì 0 Khi đó ta có:

Trang 38

Suy ra phương trình tìm giá trị riêng:

Theo nguyên lý chồng chất, có thể nhân các nghiệm này với một hằng

số tuỳ ý và cộng tất cả các nghiệm này thành nghiệm tổng quát Như vậy nghiệm tổng quát có dạng:

2 2 22

Điều kiện ban đầu đòi hỏi hệ số Bn được chọn sao cho:

Đây chính là khai triển chuỗi Fourier theo các hàm sin của hàm Ax với

các hệ số khai triển Fourier là Bn Hệ số này được tìm từ biểu thức:

Trang 39

2

0

112

n LA

Vậy nghiệm của bài toán đã cho là:

21

12

2 0

B L

Trang 40

1w

Trang 41

với các hệ số khai triển Fourier là Cn được xác định như

Trang 42

2

0 cos

20

k

Thay vào (12) ta được:

22

12

n a t k

k

Trang 43

Nghiệm của bài toán có dạng;

thỏa mãn điều kiện biên: u x 0,t 0 , u x 1,t 0

và điều kiện ban đầu: u x,0 0

Trang 44

Trang 45

Thoả mãn các điều kiện:

- Hàm nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn: u r, ,t

Do tính tuần hoàn 2 suy ra n 0,1,2,

Phương trình đối với T t và R r là:

Trang 46

Phương trình thứ hai có nghiệm là hàm Bessel nếu chọn x r

Phương trình theo biến t có nghiệm:

20

n a

r n

Trang 47

0 , 2

,

20

202

20

n r

Trang 48

Trang 49

KẾT LUẬN

Qua một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu đề tài với sự nỗ lực học tập của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán nói chung và

đặc biệt là sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, đến

nay, em đã hoàn thành khóa luận và đạt được một số kết quả:

- Tìm hiểu các bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt

- Tìm hiểu về hệ tọa độ cong đặc biệt là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Nghiên cứu phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới các thầy

giáo, cô giáo trong khoa Toán và đặc biệt là thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế và lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Toán

Sinh viên

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	1,98 MB