Phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ cong

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận này, em nhận quan tâm, động viên khích lệ thầy giáo, cô giáo tổ giải tích nói riêng khoa Toán trường ĐHSPHN2 nói chung với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khoá luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phí Thị Thanh Phí Thị Thanh -1- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường với cố gắng thân em Trong trình thực khoá luận em có tham khảo số tài liệu (như nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan nội dung trình bày khoá luận kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày…tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phí Thị Thanh Phí Thị Thanh -2- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu 5 Cấu trúc khoá luận PHẦN NỘI DUNG CHÍNH Chương Một số kiến thức chuẩn bị Bài toán vật lí dẫn tới phương trình truyền nhiệt Hệ toạ độ cong, hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu Biểu thức toạ độ toán tử Laplace hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu 15 Chương Truyền nhiệt hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu 23 Truyền nhiệt hệ toạ độ trụ 23 Truyền nhiệt hệ toạ độ cầu 31 Một số ví dụ 35 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Phí Thị Thanh -3- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học ngành khoa học phục vụ cho nó, mà đặc biệt trở thành công cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng Nó bao gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc ngành như: Hàm thực, hàm phức, phương trình vi phân, phép tính tích phân…Các kiến thức toán học cần thiết cho bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành nghiên cứu môn học khác học trường, mà công cụ toán hữu ích cho công tác họ sau trường Bước đầu khám phá sâu vào công cụ toán học ứng dụng vật lý Đề tài “PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG” số công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý Nó giúp giải toán vật lý cách đơn giản Vì chọn đề tài em muốn sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu công cụ toán học dùng vật lý MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng cách linh hoạt nghiên cứu vật lý cho thân - Tìm hiểu phương trình truyền nhiệt hệ toạ độ cong, đặc biệt hai hệ toạ độ thường gặp vật lý : Hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt - Xây dựng phương trình truyền nhiệt hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu Phí Thị Thanh -4- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu tra cứu CẤU TRÚC CỦA KHOÁ LUẬN Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung khoá luận gồm hai chương : Chương I : Một số kiến thức chuẩn bị Chương II : Truyền nhiệt hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu Phí Thị Thanh -5- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN TỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Xét môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u(x,y,z,t) nhiệt độ điểm p(x,y,z) thời điểm t Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Fourier: Nhiệt lượng Q qua mảnh mặt kín S theo phương pháp tuyến r n thời gian t tỉ lệ với Q S, t đạo hàm pháp tuyến k x, y, z u : n u n t S (1) Trong k hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng r pháp tuyến môi trường đẳng hướng ta thường coi số, n vectơ pháp tuyến S hướng theo chiều giảm nhiệt độ Bây ta xét thể tuỳ ý V giới hạn mặt kín trơn S xét biến thiên nhiệt lượng thể tích từ thời gian t1 đến t Từ (1) ta suy nhiệt lượng truyền vào mặt S từ thời điểm t1 đến t là: Q t dt Ñk x, y, z t S u dS n r Trong n vectơ pháp tuyến hướng vào bên mặt S Áp dụng định lí Ôtxtrôgraxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp coi k hắng số, ta có: t Q k dt divgradu dV t V Vì ta có: divgradu Phí Thị Thanh u 2u x2 2u y2 -6- 2u z2 K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp t Nên: Q k dt dV t V Giả sử vùng V có nguồn nhiệt có mật độ g(x,y,z,t) (nghĩa nhiệt lượng sinh đơn vị thể tích sau đơn vị thời gian), từ thời điểm t1 đến t , thể tích V xuất nhiệt lượng là: t Q dt gdV t V Mặt khác nhiệt lượng cần cho thể tích V thay đổi từ u x, y, z, t đến u x, y, z, t là: Q u x, y, z, t V u x, y, z, t c x, y, z Trong c nhiệt dung, mật độ môi trường Tính xác đến đại lượng nhỏ so với u x, y, z, t x, y, z dV u x, y, z, t V, ta có: t u dt t t Vậy: Q t dt c t V u dV t Nhiệt lượng phải Q Q vậy: Q Q Q t Hay: dt c t V u k u g dxdydz t Vì khoảng thời gian nên: Phí Thị Thanh -7- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội V Khóa luận tốt nghiệp c ut k u g dxdydz Đồng thời vùng V tuỳ ý nên thời điểm môi trường, ta phải có đẳng thức: c ut k u g ut a2 u xx u yy u zz Hay: a2 Trong đó: g x, y, z, t c (2) k c Phương trình (2) gọi phương trình truyền nhiệt, nghiệm u u x, y, z, t phương trình mô tả phân bố nhiệt độ môi trường truyền nhiệt Nếu g , ta có phương trình truyền nhiệt Ngược lại, phương trình không HỆ TỌA ĐỘ CONG, HỆ TỌA ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TỌA ĐỘ CẦU 2.1 HỆ TỌA ĐỘ CONG Vị trí điểm M không gian xác định bán kính vectơ r Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz r r r ur ur xi y j zk Trong nhiều toán, để xác định vị trí điểm M, thay cho ba số x, y, z người ta dùng ba số khác q1, q2, q3 phù hợp thuận tiện với toán xét Ngược lại, ta giả thiết ba số q 1, q2, q3 ứng với bán r kính vectơ r , ứng với điểm M không gian Các đại lượng q1, q2, q3 gọi tọa độ cong điểm M Vì điểm M ứng với ba tọa độ q1, q2, q3 tọa độ r hàm cuả bán kính vectơ r Phí Thị Thanh -8- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội q q q r r r r r r Khóa luận tốt nghiệp q x, y, z q x, y, z q x, y, z Ngược lại, bán kính vectơ điểm không gian xác r định hoàn toàn cho ba số q1, q2 , q3 Nghĩa ba thành phần x, y, z r hàm số q1, q2, q3 x x q ,q ,q y y q ,q ,q z z q ,q ,q Các mặt mức qi = C ( i = 1, 2, 3) tạo thành họ mặt Mỗi họ mặt mức có mặt qua điểm M không gian Ta gọi mặt mặt tọa độ Giao tuyến hai mặt tọa độ gọi đường tọa độ Chẳng hạn, giao tuyến hai mặt q2 = C q1 = C cho ta đường tọa độ q3 Dọc theo đường tọa độ này, có tọa độ q3 biến thiên, hai tọa độ q1, q2 giữ nguyên giá trị 2.2 HỆ TOẠ ĐỘ CONG TRỰC GIAO Hệ toạ độ cong q , q , q mà đường toạ độ vuông góc với đôi điểm gọi hệ toạ độ cong trực giao Hệ toạ độ Descartes hệ tọa độ cong trực giao, đặc biệt hệ toạ độ trụ, hệ tọa độ cầu hệ toạ độ cong trực giao Ta nhận thấy hệ toạ độ Descartes hướng vectơ ei không phụ thuộc vào vị trí M, hệ toạ độ cong, ba vectơ đơn vị trực giao e , e , e phụ thuộc vào vị trí M Phí Thị Thanh -9- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt toạ độ qi Ci hướng theo chiều tăng qi ei Trong hệ toạ độ cong trực giao ei ei 2.2.1.Hệ tọa độ trụ Trong không gian R3 với hệ tọa độ Descartes Oxyz ta xét hệ ba số r, φ, z Trong r ≥ 0, ≤ φ ≤ 2π cho tương ứng ba số với điểm M có cao độ z hình chiếu lên mặt phẳng Oxyz có tọa độ r φ Rõ ràng ba số tương ứng với điểm M ngược lại điểm M Tương ứng với ba số r, φ, z, r ≥ 0, ≤ φ ≤2π, −∞ < z < +∞ (Trừ trường hợp điểm M nằm trục Oz, r z xác định đơn trị góc φ nhận giá trị tùy ý) Những số r, φ, z gọi tọa độ trụ điểm M, q1 = r, q2 = φ, q3 = z Ta dễ dàng thiết lập liên hệ hệ tọa độ trụ hệ tọa độ Descartes: x = r cosφ, y = r sinφ, z = z z= x2 y2 , arctagy/x , z = z Các mặt tọa độ: Mặt tọa độ r = const mặt trụ có trục Oz, mặt tọa độ φ = const nửa mặt phẳng giới hạn trục Oz, mặt z = const mặt phẳng song song với mặt Oxy Các đường tọa độ: Đường z đường thẳng song song với trục Oz, đường φ đường tròn có tâm nằm trục Oz mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường r nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz song song với mặt Oxy 2.2.2.Hệ tọa độ cầu Cho ba số ρ, θ, φ đặc trưng cho điểm M sau: ρ khoảng cách từ gốc tọa độ đến diểm M, θ góc chiều dương trục bán kính vectơ M, Phí Thị Thanh -10- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội J n u r, , , t k Pn cos Trong n,m k na k t r e Khóa luận tốt nghiệp n m r r n r A cos k mnk m n nghiệm phương trình J n B sin k mnk m n ; hệ số A B xác định theo công thức sau: mnk mnk r m k n f r, , r J r sin Pn cos sin k drd d n r0 00 A mnk r2 n k ! m J n k 2n n k ! n r B mnk f r, , 00 Với k Phí Thị Thanh (3.10) r2J m n r sin P k cos cos k drd d n n r0 2 r2 n k ! m J 2n n k ! n n (3.11) , k , k -36- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.MỘT SỐ VÍ DỤ 3.1 Một số ví dụ VÍ DỤ 1: Giải phương trình ut a 2u xx , < x < L u 0, t u L, t u x,0 Ax Giải: Giả sử nghiệm tìm dạng u x, t X x T t , thay vào phương trình ta có: T t a2T t a2 X x T t X xT t X x X x Vì vế trái đẳng thức không phụ thuộc vào x, vế phải không phụ thuộc vào t, T / T X / X không phụ thuộc vào x t, nghĩa T t a 2T t X x X x (1) Từ điều kiện biên cho ta u 0, t X 0T t u L, t X LT t X X L Đi đến giải toán đơn giản giá trị riêng: Tìm giá trị tham số có nghiệm không tầm thường toán X 2X , X Sau biện luận giá trị thường (2) thấy rằng: để (2) có nghiệm không tầm Khi ta có: X x X Phí Thị Thanh X L D cos x D sin x D 0, X L D sin L -37- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Suy phương trình tìm giá trị riêng: n L sin L Do đó, toán có nghiệm không tầm thường giá trị riêng 2 n L n , n 1,2,3 Tương ứng ta có hàm riêng: Xn x sin n x L Giải phương trình T t được: T t Tn t e 2 na t a2n2 2t L2 e , n 1,2,3 Ta tìm số vô hạn nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng là: u x, t un x, t a2n2 t n x L2 sin e , n 1,2,3 L (3) Theo nguyên lý chồng chất, nhân nghiệm với số tuỳ ý cộng tất nghiệm thành nghiệm tổng quát Như nghiệm tổng quát có dạng: u x, t a2n2 t n x L2 Bn sin e L n Điều kiện ban đầu đòi hỏi hệ số Bn chọn cho: u x,0 Ax n Bn sin n x L Đây khai triển chuỗi Fourier theo hàm sin hàm Ax với hệ số khai triển Fourier Bn Hệ số tìm từ biểu thức: Phí Thị Thanh -38- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Bn Khóa luận tốt nghiệp 2L n x Ax sin dx ; n 1,2,3 L0 L n LA Bn n Vậy nghiệm toán cho là: u x, t 2LA n 1 n n n a 2t n x e L sin L VÍ DỤ 2: Giải phương trình ut a 2u xx f x ,0 x L u 0, t 0, u x L, t q u x,0 x Giải: Đặt nghiệm dạng: u x, t có: ut x, t a2vxx a2w x v x, t , thay vào phương trình ta w x f x Chọn w cho: w x w x w f x a x y f a2 0 0, w x L x f a w x d A d dy Ax B q Từ điều kiện w ta có: w B L f a w L A Phí Thị Thanh L f a2 d d A q qx -39- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội x y f a 0 w x Khóa luận tốt nghiệp x L f a d dy d qx Như vậy, hàm v thoả mãn phương trình điều kiện biên Nghiệm có dạng: 2k a t 2L v x, t C e k k sin 2k 2L x Hệ số C xác định từ điều kiện ban đầu: k 2L L0 C k x 2k 2L w x sin x dx Kết quả: u x, t w x v x, t , với: 2k a t 2L v x, t w x Trong đó: C k 2L L0 C e k k x y f d dy w x sin 2k 2L a2 0 x sin 2k 2L x L f a2 x d x qx dx VÍ DỤ : Tìm phân bố nhiệt độ x L , với bề mặt cách nhiệt , đầu mút x cách nhiệt , đầu mút x L có dòng nhiệt không đổi Q vào Nhiệt độ ban đầu không ut a 2u xx ,0 x L u x 0, t 0, u x L, t Q u x,0 Phí Thị Thanh -40- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giải: Chọn nghiệm có dạng u x, t W x, t W x, t x2 Wx 0, t x Wx L, t xQ | v x, t , W x, t thoả mãn: x Q Q| x L x 0 (1) 2L Q Giải (1) thu được: x2 Q , a2Wxx x, t 2L W x, t a2Q 2L (2) Bây ta cần phải giải phương trình: a2vxx vt a2Q ,0 x L 2L (3) thoả mãn điều kiện: Đặt: vx 0, t , vx L, t v x,0 W x, t x2Q 2L a2Q n x Cn cos 2L n L a 2Q Đây khai triển chuỗi Fourier theo hàm cos hàm 2L với hệ số khai triển Fourier sau: C Cn xác định a2Q , Cn n 2L Nghiệm v x, t có dạng: v x, t n x Tn t cos L n (4) Từ điều kiện ban đầu v x, t (3) ta có: Phí Thị Thanh -41- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x2Q 2L n x Tn cos L n Tn Q 2L3 L2 k QL n x x cos dx L L n Q L3 2L2 QL x dx L 2L T 0 n a n x Tn t cos L L Tn t Do T t k (5) 2QL k a 2Q 2L a2Q 2L n a Tn t L Nên ta suy ra: Tn t QL k (6) (7) (8) (9) Từ phương trình (8) ta suy ra: a2T t M 2L T t (10) với M số Từ điều kiện ban đầu ta có: T 0 Tn t (11) a2 L QL t 2L QL Vậy T t So sánh (11) (5) suy M Từ (9) suy ra: M n a 2t Pe L (12) Từ điều kiện ban đầu ta có: Tn 2QL k k P Thay vào (12) ta được: Tn t Phí Thị Thanh 2QL k -42- n a 2t k e L K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nghiệm toán có dạng; x2Q a 2Qt QL 2QL 2L 2L n k u x, t n a 2t k n x e L cos L Hay là: u x, t a2t 3x2 L2 Q Q 2L 6L n a 2t k n x e L cos L 2L n k2 VÍ DỤ : Giải phương trình: ut u xx sin x , x thỏa mãn điều kiện biên: u x 0, t điều kiện ban đầu: u x,0 , ux 1, t 0 Giải: Chọn hàm riêng có dạng: X n cos n x , n 0,1,2 Khai triển nghiệm dạng: u x, t n Tn t cos n x Khai triển hàm sin3πx thành chuỗi sin x n Cn cos n x Thay vào phương trình ut n Tn t n u xx sin x ta có: Tn t cos n x n Cn cos n x Giải phương trình cho T ta thu được: T t Phí Thị Thanh C T t -43- C t D 0 K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tn t n Khóa luận tốt nghiệp Tn t Cn , n 1,2 Cn n 2t Tn e , n 1,2 n Tn t Như nghiệm có dạng: u x, t C t D T e 0 n n n 2t Cn cos n x n Sử dụng điều kiện ban đầu ta có: u x,0 Cn cos n x n D T 0 n n D 0 Cn n ; Tn Cn n 2t C t e cos n x n n Do đó: u x, t Các hệ số tìm sau: sin x n Cn cos n x 12 C ; Cn 2k , n 2k , n 2k Kết là: u x, t 12 t k 2k Phí Thị Thanh 2k -44- e 2k t cos n x K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp VÍ DỤ 5: Tìm nhiệt độ ống trụ tròn dài vô hạn có bán kính , nhiệt độ ban đầu có dạng u | f r, t r r r ;0 0 , biết bề mặt trụ trì nhiệt độ không Giải: Phương trình có dạng: u t 2u r2 u r r r r a2 Thoả mãn điều kiện: - Hàm nhiệt độ miền xét phải hữu hạn: u r , , t - Theo biến hàm nhiệt độ có tính tuần hoàn u r, , t u r, ,t Chọn nghiệm dạng tách biến u r , , t R r T t thay vào phương trình ta có: T t a2T t r2 n2 Chọn: Nghiệm rR r r R r n2 có dạng: A cos n Do tính tuần hoàn B sin n suy n 0,1,2, Phương trình T t R r là: T t a2 2T t r R r rR r Phí Thị Thanh 2r n R r -45- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Phương trình thứ hai có nghiệm hàm Bessel chọn x x2 R x R x n Jn x Điều kiện R ta có R r n Jn x n2 R x xR x r nYn x , từ điều kiện ban đầu n hàm Yn 0 ,đánh số không điểm hàm Bessel r n n n n , , , , , k 0,1,2, k nk n k xác đến hệ r số số , hàm theo biến r có dạng: R r R r nk Jn n k r r Phương trình theo biến t có nghiệm: n a k t r T t T t nk e Nghiệm tổng quát phương trình cho có dạng: u r, , t n,k Jn n k r A cos n nk r na k t r B sin n nk e Do tính trực giao hàm Bessel tính trực giao hàm 1,cos n ,sin n : r rJ r dr V r 0 Phí Thị Thanh r2 J V -46- r2 J V K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp cos n cos n d , n n , n n , n n sin n sin n d 0 , n n ,n n , n n Suy công thức tính hệ số là: A nk B nk r n n k r Jn 0 r 2 r Jn Với n n k 0 rf r , rf r , cosn J n n k r drd r sin n J n n k drd r , n , n 3.2 MỘT SỐ VÍ DỤ TƯƠNG TỰ VÍ DỤ 6: Giải phương trình ut a 2u xx , x L u 0, t u x L, t u x,0 x VÍ DỤ 7: Giải phương trình ut a 2u xx , x L u x 0, t u L, t u x,0 A( L x) VÍ DỤ 8: Giải phương trình ut a 2u xx , x L u x 0, t u x L, t u x,0 Phí Thị Thanh U -47- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp VÍ DỤ 9: Giải phương trình ut a2u xx x , x L u 0, t u L, t u x,0 x VÍ DỤ 10: Giải phương trình ut a 2u xx u , x L u 0, t u x L, t x u x,0 sin 2L VÍ DỤ 11: Giải phương trình x ut a 2u xx u sin , x L L u 0, t u L, t u x,0 VÍ DỤ 12: Tìm phân bố nhiệt độ x L với bề mặt cách nhiệt, đầu mút trì nhiệt độ không đổi : u 0, t U const ; u L, t U = const Nhiệt độ ban đầu f x U const VÍ DỤ 13: Tìm nhiệt độ ống quạt trụ dài vô hạn có mặt cắt hình quạt với bán kình r r r ;0 0 u| f r, t 0 nhiệt độ ban đầu có dạng , biết bề mặt trụ hai phần mặt phẳng hình quạt trì nhiệt độ không Phí Thị Thanh -48- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu đề tài với nỗ lực học tập thân với giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung đặc biệt bảo tận tình thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, đến nay, em hoàn thành khóa luận đạt số kết quả: - Tìm hiểu toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt - Tìm hiểu hệ tọa độ cong đặc biệt hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Nghiên cứu phương trình truyền nhiệt hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán đặc biệt thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận Do thời gian nghiên cứu hạn chế lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Sinh viên Phí Thị Thanh Phí Thị Thanh -49- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Thanh (1996), Phƣơng pháp toán lý, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Hùng - Lê Văn Trực(2007), Phƣơng pháp toán cho Vật lý, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Mạnh Hùng(2002), Phƣơng trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục Phan Huy Thiện(2006), Phƣơng trình toán lý, NXB Giáo dục Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1971), Phƣơng trình Vật lý Toán, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Phí Thị Thanh -50- K33A Toán [...]... được gọi là hệ tọa độ cầu Hệ số Lame h 1, h r , h r sin , do đó các toán tử grad và toán tử Laplace 1 2 3 trong hệ tọa độ trụ được viết: gradu u Phí Thị Thanh 1 2 sin sin u 1 u er e r r u 2 -23- 1 r sin u u sin ez 1 sin 2u 2 K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG II TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ CẦU 1 TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ 1.1 TỌA ĐỘ TRỤ XUYÊN... z 2 Hơn nữa trong hệ toạ độ cong trực giao ei , e j 0 , với i grad qi , grad q j Suy ra: j 0 , với i j 0 với i j Hay qi q j x x qi q j y y qi q j z z Công thức trên chính là điều kiện cần và đủ để một hệ toạ độ cong là trực giao 3 BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ CẦU 3.1 GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Trong không gian ta cho hệ tọa độ q , q , q... Từ hệ thức divgradu 2 ta có: 2 Phí Thị Thanh -22- K33A Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3.5.1 Trong hệ toạ độ trụ Xét hệ tọa độ cong x r , x 1 2 ,x 3 z liên hệ với hệ tọa độ Descartes bởi các hệ thức x r cos , y r sin , z z , các bề mặt của hệ tọa độ cong này khi r const là mặt trụ, khi const là mặt phẳng, khi z const là mặt phẳng, vì thế còn được gọi là hệ tọa độ trụ Hệ số... toán tử grad và toán tử Laplace trong hệ tọa độ trụ được viết: gradu u 1 u er e r r u e z z Ta có toán tử Laplace u h h 23 r h r 1 1 hh h 123 u 1 r u u r r r hh 31 h 2 hh 12 z h z 3 2u 1 2u r r 2 z2 3.5.2 Trong hệ toạ độ cầu Xét hệ tọa độ cong x r , x 1 2 liên hệ với hệ tọa độ ,x 3 Descartes bởi các hệ thức x r sin cos , y r sin sin , z r cos , các bề mặt của hệ tọa độ cong này khi r const là mặt cầu,... r, lim 0 z lim z 1 z 0 Hệ số Lame h , h , h trong hệ toạ độ cầu: h Do s 3 sin sin lim s 3 0 nên: h lim sin sin 0 Tương tự: h h lim s 0 lim s 1 1 lim s 0 s 2 0 lim 0 2.4 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HỆ TOẠ ĐỘ LÀ TRỰC GIAO Trong không gian R3 với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz ta xét hệ toạ độ cong q , q , q Xét điểm M có bán kính vectơ r q , q , q trên 1 2 3 1 2 3 đường toạ độ q và điểm M có bán kính... tính các hệ số A và B là: mnk mnk r 2 L 0 2 n A mnk 2 0 0 0 n k Lr 2 J n 0 r 2 L 0 4 B mnk n k Lr 2 J n 0 Với n 2 0 0 0 rf r , m z cos n sin J L n n k r drd dz r 0 rf r , m z sinn sin J L n n k r drd dz r 0 1 , n=0 2 , n 0 2 TRUYỀN NHIỆT TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CẦU Tìm nhiệt độ của quả cầu bán kính r 0 r r ;0 0 0 nếu nhiệt độ ban đầu có dạng u | f r, , t 0 ;0 2 , biết rằng trên bề mặt cầu duy trì nhiệt độ bằng... Cũng như vậy ta có định nghĩa hệ số Lame đối với toạ độ hệ thứ hai tại điểm M h q ,q ,q 2 1 2 3 Trong đó M q , q , q , M q , q 1 2 3 2 1 2 s 2 lim q 0 q2 2 q , q và 2 3 s là độ dài cung 2 MM Tương tự ta có hệ số Lame đối với toạ độ thứ ba 2 Chú ý: Khi biết hệ số Lame, ta có thể tính gần đúng độ dài cung của các đường toạ độ như sau: Nếu như q , q , q khá bé, từ định nghĩa hệ số Lame ta có thể viết: 1... A 3 hh 12 q 1 Ah 11 q 1 Ah 33 Và Ah 2 2 q 2 Ah 11 Trong hệ tọa độ trụ, đối với trường A Ar er A e Az ez Rota được tính theo công thức: rotA A r Az 1 r Ar z er z Az e r A r 1 r Ar ez r Trong hệ tọa độ cầu: A A e 1 A 1 2 sin rotA A A A e A e e 1 sin A sin ( A sin ) e e 3.4 TOÁN TỬ “nabla” Kí hiệu là toán tử “ nabla ” hay toán tử Hamilton Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, nó có dạng: i Dùng kí hiệu... Oxy Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba số ρ, θ, φ ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π và ngược lại ba số này tương ứng với một điểm xác định trong không gian Sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes: x = ρ sinθcosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ x2 và y2 z2 , arccos z x2 y 2 z 2 , arctagy/x Các mặt tọa độ: Mặt ρ = const là mặt cầu với tâm dặt tại gốc tọa độ, mặt φ = const là nửa... các hệ số Ai theo công thức: f r ,J Ai J 0 0 ir ir 2 r 0 2 r2J 2 0 1 rf r J i r0 0 0 i r dr (1.9) Do đó nghiệm cuối cùng có dạng: u u r, t J r r 2 0 i 0 f r 2 i 1 J 2 ir 0 0 1 0 J 0 i d (1.10) 1.2 TOẠ ĐỘ TRỤ KHÔNG XUYÊN TÂM Tìm nhiệt độ của ống trụ tròn dài vô hạn có bán kính r 0 r r ;0 0 0 2 nếu nhiệt độ ban đầu có dạng u | f r, t 0 , biết rằng trên bề mặt trụ duy trì nhiệt độ bằng không Phương trình ... hiểu toán vật lý dẫn tới phương trình truyền nhiệt - Tìm hiểu hệ tọa độ cong đặc biệt hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Nghiên cứu phương trình truyền nhiệt hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Một lần em xin... trình truyền nhiệt Ngược lại, phương trình không HỆ TỌA ĐỘ CONG, HỆ TỌA ĐỘ TRỤ VÀ HỆ TỌA ĐỘ CẦU 2.1 HỆ TỌA ĐỘ CONG Vị trí điểm M không gian xác định bán kính vectơ r Trong hệ tọa độ Descartes... toạ độ cong, hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu Biểu thức toạ độ toán tử Laplace hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu 15 Chương Truyền nhiệt hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu 23 Truyền nhiệt hệ toạ độ