Phân tích thống kê quá trình điểm poisson

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán o0o NGUYỄN THỊ THU HÀ PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH ĐIỂM POISSON khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – 2008 -1- Mục lục Trang Mở đầu……………………………………………………………… Bảng kí hiệu………………………………………………………… Chương 1: Quá trình điểm Poisson……………………………… 1.1 Các định nghĩa…………………………………………… 1.2 Một số tính chất trình điểm Poisson…… 11 1.3 Mômen độ đo mômen trình điểm Poisson…… 15 1.4 Phân phối khoảng cách lân cận gần trình điểm Poisson………………………………………………………… 18 1.5 Phân phối khoảng cách biến cố………………… 20 1.6 Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất…… 20 Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson………… 21 2.1 ước lượng cường độ……………………………………… 21 2.2 Kiểm định giả thuyết…………………………………… 23 2.2.1 Kiểm định giả thuyết tính dừng trình điểm Poisson……………………………………………………………… 23 2.2.2 Kiểm định giả thuyết trình Poisson…………… 24 Kết luận…………………………………………………………… 34 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 35 -2- mở đầu Xác suất thống kê phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Nói cách khác tượng ngẫu nhiên tượng nói trước xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên thực quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hoàn cảnh nhiều trường hợp ta rút kết luận khoa học tượng Trong thời đại khoa học kĩ thuật ngày nay, Xác suất thống kê lĩnh vực toán học có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực hoạt động khác người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nông học tới y học Với mong muốn tìm hiểu sâu môn toán ứng dụng, hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, em chọn đề tài: “Phân tích thống kê trình điểm Poisson” Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Quá trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày khái niệm kết trình điểm Poisson mômen độ đo mômen, phân phối trình Poisson Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày tổng quan thống kê trình điểm Poisson ước lượng cường độ, kiểm định giả thuyết… Trước khó khăn nghiên cứu đề tài, em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo, bạn sinh viên khoa Đặc biệt, -3- em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà -4- Bảng kí hiệu d : Không gian Ơclít d chiều Ax :  {y  x y  A} b(a,r) :  {x   d : x  a  r} d : Thể tích hình cầu đơn vị  d ( , A, P) : Không gian xác suất Bd :  - đại số Borel  d d : Độ đo Lebesgue  d 1B : Hàm tiêu tập B -5- Chương Quá trình điểm Poisson 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một trình điểm  d ánh xạ đo  từ không gian xác suất ( , A, P) vào không gian đo [N, N], N họ tất tập hợp   d N  - đại số N thoả mãn điều kiện:   đơn giản ( xi ,x j  x i  x j , i  j )   hữu hạn địa phương (mỗi tập giới nội  d chứa số hữu hạn điểm  )  N  - đại số nhỏ N cho tất ánh xạ   (B) đo với tập Borel B Định nghĩa 1.2 Phân phối P trình điểm  xác định P(B)  P (  B)  P ( : ()  B), B  N (1.1) Định nghĩa 1.3 Quá trình điểm  phân phối P gọi là:  dừng (hay nhất) đặc trưng bất biến phép dịch chuyển, tức   x n  x  x n  x có phân phối với x   d  đẳng hướng đặc trưng bất biến phép quay, tức  r  có phân phối với phép quay r quanh gốc Một trình điểm vừa dừng vừa đẳng hướng gọi bất biến chuyển động (motion – invarriance) -6- Định nghĩa 1.4 Cho không gian xác suất ( , A, P) X không gian tôpô Hausdorff compact địa phương Một độ đo ngẫu nhiên X ánh xạ đo  : ( , A, P)  (M, M ) Trong đó: M = M( X ) tập hợp tất độ đo  hữu hạn địa phương ( X , B) M  - đại số nhỏ M cho tất ánh xạ   (B) đo với B B Chú ý 1.1 Quá trình điểm xem tập ngẫu nhiên điểm rời rạc độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi vào miền không gian Tương ứng với ta có kí hiệu sau:  x  khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên trường hợp ta kí hiệu   x n   (B)  n khẳng định tập B chứa n điểm   Từ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.4 ta thấy  trình điểm  d  độ đo ngẫu nhiên  d kết độ đo ngẫu nhiên áp dụng vào lý thuyết trình điểm Định nghĩa 1.5 Hệ thống xác suất P ((B1)  n1, (B2 )  n , , (Bk )  n k ) (1.2) B1,B2 , ,Bk tập Borel giới nội n1,n , ,n k  gọi phân phối hữu hạn chiều  Chú ý 1.2 Theo lý thuyết trình điểm phân phối  [N, N] xác định tập phân phối hữu hạn chiều nó, k = 1, 2, 3, Định nghĩa 1.6 Xác suất trống (void - probabilities) trình điểm  xác định -7- B  P( N : (B)  0)  P ((B)  0) , B tập Borel Định lý sau Olav Kallenberg cho thấy vai trò tập xác suất trống Định lý 1.1 Cho S không gian tôpô Hausdorff compact địa phương S  - đại số Borel S Kí hiệu S* vành tập compact tương đối S Khi ta có: Giả sử 1  hai trình điểm đơn giản S Khi 1  có phân phối P (1(B)  0)  P (2 (B)  0) , B  S* Giả sử 1  hai trình điểm đơn giản độ đo ngẫu nhiên khuếch tán S với c > cố định Khi 1  có phân phối E ec1 (B)  E ec2 (B) , B  S* Giả sử 1 trình điểm đơn giản độ đo ngẫu nhiên khuếch tán S  độ đo ngẫu nhiên S Khi 1  có phân phối 1(B)  2 (B) , B  S* Nhận xét 1.1 Từ định lý  trình điểm đơn giản phân phối P xác định giá trị k , K K - họ tất tập compact  d Định nghĩa 1.7 Quá trình điểm  gọi trình điểm Poisson với cường độ  (     )  d thoả mãn điều kiện sau: d  Nếu B1,B2, ,Bn  B Bi  Bj   với i  j biến ngẫu nhiên   B1  ,   B2  , ,   Bn  độc lập  Với B B giới nội   B có phân phối Poisson với trung bình d .d  B -8- Tính chất 1.1 Quá trình điểm Poisson định nghĩa bất biến chuyển động Thật vậy, với B B giới nội   B có phân phối Poisson với d trung bình .d  B Mặt khác, x   d x  B    Bx  có phân phối Poisson với trung bình .d  Bx   .d  B (vì d độ đo Lebesgue bất biến phép dịch chuyển) Do  dừng Hơn nữa, từ tính bất biến độ đo Lebesgue phép quay quanh gốc nên  đẳng hướng Như vậy,  bất biến chuyển động Tính chất 1.2 Nếu B B d  B đủ nhỏ ta có d P    B  0 =1 -  d  B  o 1  B  P    B  1 =  d  B  o 1  B  (1.3) P    B  1 = o d  B Chứng minh Với B B giới nội   B có phân phối Poisson với trung bình d  d  B d  B Theo khai triển Taylor ta có P    B  0 = e  d  B  o  d  B  với d  B đủ nhỏ  d  B P    B  1 =  d  B e   d  B 1  d  B  o  d  B  =  d  B  o  d  B  d  B đủ nhỏ Suy P    B  1 =1- P    B  0 - P    B  1 = 0  d  B  -9-  1- d  B đủ nhỏ Nhận xét 1.2 Giả sử B tập Borel với d  B =1 Khi E   B   Như  số điểm trung bình  tập tích đơn vị Định nghĩa 1.7 Độ đo cường độ  trình điểm  xác định  (B)  E (B)   (B)P(d), B Bd (1.4) Tính chất 1.3 Nếu  trình điểm dừng độ đo cường độ  thoả mãn (B)  .d (B),   Chứng minh Vì  dừng nên x   d B Bd ta có:  (B)  E (B)  E  x (B)  E (Bx )  (Bx ) Suy  bất biến dịch chuyển Do vậy, theo tính chất độ đo tồn số   cho (B)  .d (B), B Bd  Hằng số  gọi cường độ  Nếu ta chọn B cho d (B)   hiểu số điểm trung bình  đơn vị thể tích Ta giả thiết     Định nghĩa 1.9 Hàm phân phối tiếp xúc HB (đối với tập tiêu chuẩn B ) trình điểm  xác định HB (r)   P  (rB)  0 , với r  , d B B với  B d (B)  Chú ý 1.3 Giả sử f hàm đo ( d , Bd)  Tổng f(x) với x  viết theo cách sau: f (x1)  f (x1)  ,  f (x) x -10- Vị trí hạt  máy dò hình vuông 60 x 60 với đơn vị 117 = m Ta có ước lượng cho cường độ    60 -24- Hình 2.1: Vị trí hạt  máy dò 60 x 60 (Stoyan,1995)  Dựa vào sác xuất trống (void – probabilities): Đối với tập Borel B xác suất trống d  P ((B)  0)  ed (B) Với giả thiết trình  quan sát qua cửa sổ W W chia thành số lớn miền vuông có diện tích a2 Gọi p0 tỉ lệ số miền vuông trống tổng số miền vuông cửa số W Khi ta có p0  exp(.a2 ) (2.2) Dựa vào (2.2) ta có ước lượng cho   (W) có phân phối  Khoảng tin cậy cho tham số  : Vì (W)   Poisson Nếu (W) lớn, dựa (2.1) với độ tin cậy 100(1 - ) % khoảng tin cậy cho          (W)   (W)    (W)          (2.3)  phân vị mức  phân phối chuẩn tắc,  = 1.65, 1.96 2.58 với  = 0.10, 0.05 0.01 tương ứng Khoảng tin cậy (2.3) sử dụng để ước lượng diện tích cửa sổ W Giả sử  độ rộng mong muốn ước lượng khoảng,  độ tin cậy yêu cầu, ta có -25- 2       2 (W)    2 (W)  1    2 (W)      Điều suy từ  (W)  4.2  2 ,  ước lượng ước lượng thô sử dụng thông tin tiên nghiệm Ví dụ 2.2 Nếu  = 0.05,  = 0.0325  = 0.01 cửa sổ W có diện tích 2(W)  5000 2.2 Kiểm định giả thuyết 2.2.1 Kiểm định giả thuyết tính dừng trình Poisson Với giả thuyết trình điểm Poisson dừng  quan sát qua cửa sổ W đại lượng sau F 2 (W1)(2n2  1) 2 (W2 )(2n1  1) có phân phối xác suất xấp xỉ phân phối F với (2n1  1, 2n2  1) bậc tự n1, n2 số điểm hai miền W1,W2 rời W Kết phân phối xấp xỉ cho phép ta xây dựng tiêu chuẩn để kiểm định giả thuyết tính dừng trình Poisson Ví dụ 2.3 Cho mẫu điểm Hình 2.2 Hình 2.2: Vị trí tâm 42 tế bào hình vuông đơn vị (Numata,1977) -26- Ta xét W1,W2 hình vẽ với n1  11, n2  31 2(W1)  3, 2(W2 )  Tù ta có F  1.35 Vì với mức ý nghĩa   0.05 ta có F23,63  1.86 từ F  F23,63 ta chấp nhận giả thuyết trình dừng 2.2.2 Kiểm định giả thuyết trình Poisson *Phương pháp khoảng cách  Với giả thuyết trình Poisson theo Định lý 1.5 ta có đẳng thức D(r)  HS(r),r  (2.4) Đẳng thức khẳng định với giả thuyết trình điểm Poisson phân phối khoảng cách lân cận gần phân phối tiếp xúc cầu Từ phép đo khoảng cách ta tính toán hàm phân phối thực nghiệm tương ứng D HS , từ kiểm định chúng  Byth Ripley (1980) đưa phương pháp để giải toán Chọn ngẫu nhiên 2m vị trí cửa sổ W m điểm số sử dụng để đo khoảng cách tới điểm gần mẫu, kí hiệu khoảng cách u1, u2, , um m điểm lại dùng để xác định miền cho mẫu điểm nghiên cứu thấu đáo Các miền chọn cho có khoảng điểm mẫu rơi vào Mỗi miền chọn ngẫu nhiên điểm mẫu xác định khoảng cách lân cận gần Kí hiệu khoảng cách 1, 2, , m Với giả thuyết trình Poisson (D(r)  HS(r)) mẫu lấy từ phân phối xác suất F(r)   exp(.r ), r  (bỏ qua ảnh hưởng biên) Nếu m không lớn mẫu xấp xỉ độc lập với Byth Ripley giá trị m nên vào khoảng 5% tổng số điểm cửa sổ W Với giả thuyết trình điểm Poisson đại lượng u12, u22, , u2m , -27- 12, , 2m xấp xỉ độc lập có phân phối mũ với tham số  Vì thống kê m hF   u2i i 1 m  2i i 1 m u2i hN   m i 1 ui  2i có phân phối xấp xỉ phân phối F với (2m, 2m) bậc tự phân phối chuẩn có trung bình m phương sai tương ứng (Các đại lượng ui , i 12 công thức hN tính theo cặp Các cặp lấy cách ngẫu nhiên) Các kết phân phối xấp xỉ cho phép xây dựng tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết trình điểm Poisson Các giá trị lớn hay nhỏ hF hN chứng tỏ độ sai lệch từ giả thuyết Poisson Vấn đề dùng thống kê cho phù hợp Điều phụ thuộc vào đối thiết Nếu đối thiết liên quan đến nhóm (đến kết tập) hF phù hợp hN thích hợp với đối thiết mô tả tính quy mẫu *Phương pháp dựa vào phân phối khoảng cách biến cố Giả sử  quan sát qua cửa sổ W với hàm phân phối khoảng cách biến cố H(t) biết Kí hiệu t ij khoảng cách biến cố  1(t) mẫu Khi hàm phân phối khoảng cách thực nghiệm, kí hiệu H xác định -28-  1(t)  { n(n  1)} 1 #(t  t) H ij n số biến cố mẫu Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết trình điểm Poisson dựa hàm phân phối khoảng cách điểm sau:  1(t) hoành Biểu diễn điểm lên mặt phẳng toạ độ với tung độ H độ H(t) Khi liệu phù hợp với trình điểm Poisson đồ thị  1(t) thu gần tuyến tính Mức ý nghĩa tìm từ phân phối H mẫu giả thiết trình Poisson Tuy nhiên điều phức tạp phụ thuộc khoảng cách điểm với điểm cuối, ta xử lí sau:  i (t), i  2,3, ,s từ s  mô Tính hàm phân phối thực nghiệm H độc lập n điểm độc lập, phân phối W định nghĩa bao trên, bao sau  i (t)} ; L(t) {H  i (t)} U(t)  max {H i 2,3, ,s i 2,3, ,s Các bao bao sử dụng để bác bỏ giả thiết Theo tiêu chuẩn Monte Carlo, giả thuyết trình điểm Poisson, với t  1(t)  U(t)} = P {H  1(t)  L(t)}  s1 P{H Ví dụ 2.4 Cho mẫu điểm Hình 2.3 -29- Hình 2.3: Vị trí 65 thông non Nhật Bản hình vuông 5.7m x 5.7m (Numata,1961)  1(t), U(t), L(t) H(t) Từ hình vẽ ta thấy Hình vẽ 2.4 cho hình ảnh H  1(t) ứng với liệu nằm U(t) L(t) miền giá đồ thị H trị nó, điều sở cho ta chấp nhận giả thuyết trình Poisson Dựa tiêu chuẩn phù hợp  Bartlett (1964), Besag Diggle (1977) đưa khẳng định tương tự Hình 2.4: bao bao từ 99 mô phỏng, đường đường ứng với liệu Ví dụ 2.5 Cho mẫu điểm Hình 2.5 Hình 2.5: vị trí 62 thông Nhật Bản hình vuông 23m Ripley, 1977) -30-  23m (Strauss, 1975;  1(t),U(t),L(t) H(t) Từ sơ đồ ta Hình vẽ 2.6 cho hình ảnh H  1(t) lớn U(t) H(t) nhận giá trị nhỏ ta có thấy H  1(0.08)  H(0.08) hay H  1(0.08)  H  i (0.08), i  2,3, ,s Vì giả thuyết H trình Poisson bị bác bỏ Bằng phương pháp Chỉ số tán xạ phần sau ta có kết luận tương tự Hình 2.6: bao bao từ 99 mô phỏng, đường đường ứng với liệu *Phương pháp dựa vào phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần Cho mẫu điểm gồm n vị trí n biến cố quan sát W Một mẫu điểm gồm m điểm W chọn Kí hiệu x i khoảng cách từ điểm đến biến cố gần W Khi hàm phân phối thực nghiệm 1(x) 1(x)  m1 #(x  x) đo “miền trống” W theo nghĩa  F F i ước lượng cho diện tích Bx miền Bx gồm tất điểm W mà khoảng cách đến biến cố n biến cố W không nhỏ x -31- Lotwich (1981), dựa vào thuật toán Green – Sibson, mô tả thuật toán tính xác Bx W hình chữ nhật Trong thực hành, m điểm lấy W lưới điểm vuông k  k Việc chọn giá trị k cho hợp lý phụ thuộc vào hình dạng n biến cố W Diggle (1981) đề nghị lấy k  n Việc dùng hàm phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần để nhận biết trình Poisson tiến hành tương tự hàm phân phối khoảng cách biến cố *Phương pháp đếm ô vuông (quadrat count methods) Xét trường hợp mẫu điểm lấy số điểm rơi vào miền Giả sử cửa sổ W chia thành ô vuông có diện tích 2 (Q) Khi với giả thuyết trình điểm Poisson dừng số điểm rơi vào ô vuông (hay số đếm ô vuông) có phân phối Poisson độc lập với có trung bình 2 (Q) Các tiêu chuẩn kiểm định dựa tính chất phân phối  Tiêu chuẩn Chỉ số tán xạ (Index-of-dispersion): Dựa trung bình phương sai phân phối Poisson, tiêu chuẩn phù hợp cổ điển  xét phân phối số đếm ô vuông Chỉ số tán xạ I xác định (n  1)S2 I X n số ô vuông, X số điểm trung bình ô vuông S2 phương sai mẫu số điểm ô vuông Khi với giả thuyết trình điểm Poisson dừng số I có phân phối  với (n - 1) bậc tự (điều kiện n > 2 (Q) > 1) Với mức ý nghĩa      1   I  2n1( ) I  2n1(1  ) ta bác bỏ giả thuyết trình điểm Poisson 2 -32- Ví dụ 2.6 Cho mẫu điểm hình 2.7 Sử dụng lưới gồm  ô vuông ta có kết 10 15 Ta có n = 9, X = 7.22, S2 = 13.7 số tán xạ I = 15.17 Khi với độ tin cậy  = 0.05 ta có 82 (0.025)  17.5 82 (0.975)  2.18 So sánh với I ta chấp nhận giả thuyết trình Poisson Hình 2.7: Vị trí 65 thông non Nhật Bản hình vuông 5.7m 1961) Ví dụ 2.7 Cho mẫu điểm hình 2.8 -33-  5.7m (Numata, Hình 2.8: Vị trí 62 thông Nhật Bản hình vuông 23m  23m (Strauss, 1975; Ripley, 1977) Sử dụng lưới gồm  ô vuông ta có kết 13 13 Ta có n = 9, X = 6.778, S2 = 19.94 số tán xạ I = 23.54 Khi với độ tin cậy  = 0.05 ta có 82 (0.025)  17.5 82 (0.975)  2.18 So sánh với I ta bác bỏ giả thuyết trình Poisson  Tiêu chuẩn phù hợp  Giả sử trình điểm  với cường độ  quan sát qua cửa sổ W Giả thiết cửa sổ mẫu chia thành ô vuông có diện tích 2 (Q) Kí hiệu ni số ô vuông chứa i điểm, i = 0, 1, 2, Khi với giả thuyết trình Poisson số điểm mẫu rơi vào ô độc lập có phân phối Poisson với tham số 2 (Q) Trong trường hợp này, dãy số liệu n0,n1,n2 , giá trị quan sát biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 2 (Q) Dựa tiêu chuẩn phù hợp ta kiểm định xem  (Q) dãy số liệu n0,n1,n2 , có phù hợp với phân phối Poisson với tham số  hay không (  ước  theo phần trên) Nếu dãy số liệu phù hợp với phân phối Poisson, ta chấp nhận giả thuyết trình điểm Poisson  Phương pháp Greig-Smith Phương pháp không dùng số đếm ô vuông riêng biệt mà dùng số đếm ô vuông nhóm lại ô vuông lân cận -34- Giả sử số ô vuông n  2q, q số tự nhiên Các đại lượng s1,s2, ,sn đếm 2q1s12   ( Số điểm ô vuông thứ i )2 i  ( số điểm thuộc cặp ô vuông thứ k)2  2k 2q s22   ( Số điểm ô vuông thứ j)2 j  ( số điểm thuộc cặp ô vuông thứ k)2  2k Trong trường hợp q = ô vuông đánh số theo kí hiệu bàn cờ, 2q  64 Các cặp ô vuông (a1,a2 ), (a3,a4 ), , (b1,b2 ), (b3,b4 ), Các cặp ô vuông (a1a2,b1,b2 ), (a3,a4,b3,b4 ), Các đại lượng s2i ước lượng không chệch cho phương sai số điểm ô vuông nhỏ Vì công thức số tán xạ tính toán theo số j I j  2q j s2j X tiêu chuẩn  dùng số X số điểm trung bình ô vuông số bậc tự cho thống kê I 1, I 2, , 2q1, 2q2 , Ta có kết luận sau: Giả thuyết trình điểm Poisson dừng chấp nhận tất số I j nằm giá trị tiêu chuẩn hai phía thống kê  Nếu trái lại ta bác bỏ giả thuyết trình điểm Poisson Ví dụ 2.8 Kết quan sát núi lửa bề mặt hoả hình 2.9 -35- Hình 2.9: Số miệng núi lửa lớn 32 miền có diện tích bề mặt Sao Hoả (Lipskij, 1977) Trong trường hợp này, ta áp dụng phương pháp Greig-Smith với q = X = 0.97 Tính toán ta có bảng số liệu sau i Bậc tự s2i  (0.95) Ii  (0.05) 16 1.97 8.0 32.5 26.3 0.84 2.7 6.9 15.5 4.48 0.7 20.0 9.5 0.16 0.1 0.3 6.0 7.03 0.0 7.2 3.8 Dựa vào bảng ta so sánh giá trị I i với giá trị    0.05 thấy với i = 1, số tán xạ vượt giá trị tiêu chuẩn nên ta bác bỏ giả thuyết trình Poisson -36- kết luận Nghiên cứu đề tài sở kiến thức Lý thuyết xác suất Thống kê ứng dụng ta có hội tìm hiểu sâu trình điểm Poisson, tính chất bản, mômen, độ đo mômen trình điểm Poisson, đặc biệt phân tích thống kê trình điểm Poisson Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên khoá luận đạt số kết định Vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo toàn thể bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện hơn, đồng thời em có thêm kinh nghiệm việc nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn ! -37- Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Đào Hữu Hồ (2006), Xác suất thống kê, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Kallenberg, O (1975), Random measures, Akademie – Verlagg Kallenberg, O (1997), Foundations of Modern Probability, Springer Ripley, B.D (1981), Spatial Statistics, Willey – Interscience Stoyan, D , Kendall, W.S Mecke (1995), Stochastic geometri and its applications, 2nd edition, Willey -38- [...]... chọn m điểm, kí hiệu B là tập hợp các điểm này -22- Gọi x là các khoảng cách từ các điểm của B đến các biến cố gần nhất trong mẫu W Kí hiệu F(x),x  0 là hàm phân phối khoảng cách của các điểm tới biến cố gần nhất trong W Đối với quá trình Poisson thì hàm này trùng với hàm phân phối lân cận gần nhất D  x  , tức là F(x)  1  exp{ x2} , x  0 Chương 2 Phân tích thống kê quá trình điểm poisson. .. về quá trình điểm Poisson từ đó ước lượng các đặc trưng và nhận dạng quá trình 2.1 ước lượng cường độ Bài toán: Cho  là quá trình điểm Poisson trong  2 với tham số cường độ  (chưa biết) Giả sử  được quan sát qua cửa sổ W Vấn đề đặt ra là dựa trên các quan sát đó tìm ước lượng  cho tham số   Dựa vào tính chất của quá trình điểm Poisson với mỗi tập Borel giới nội B thì (B) có phân phối Poisson. .. của quá trình điểm Poisson Theo Định nghĩa 1.9, với B = b(0,1) ta có phân phối tiếp xúc cầu, kí hiệu là HS  r  Tính chất 1.6 Hàm phân phối tiếp xúc cầu HS r  của quá trình điểm Poisson  cho bởi   HS r   1  exp .dr d , r  0 (1.7) Đây chính là hàm phân phối của khoảng cách từ 0 đến điểm gần nhất của  Định nghĩa 1.12 Cho W là tập compact trong  d Điểm ngẫu nhiên  được gọi là có phân. .. B2  + d  B1  B2  B3  , B1, B2, B3 B d n Đối với quá trình Poisson dừng thì mật độ tích của   đối với độ đo Lebegues cho bởi công thức n    x1,x 2, ,x n    n -20- (1.15) 1.4 phân phối khoảng cách lân cận gần nhất đối với quá trình điểm poisson Định nghĩa 1.14 Hàm phân phối khoảng cách lân cận gần nhất D đối với quá trình điểm Poisson dừng  cho bởi: D(r)  P ((b(0,r))  1  0)  1... với mọi tập con Borel A trong W Định nghĩa 1.13 Quá trình điểm   1, 2, , n được gọi là quá trình điểm nhị thức của n điểm trên tập compact W   d nếu thoả mãn:  1, 2, , n là độc lập  1, 2, , n có phân phối đều trong W, nghĩa là với mỗi i 1  i  n thì -14-  A  P  i  A   d d  W  (1.9) Ta kí hiệu quá trình điểm nhị thức của n điểm trong tập compact W là  n  n  n  W...   d  W  n n nk (1.11) Định lí 1.2 Giải sử  là một quá trình điểm Poisson và W là tập compact của  d Khi đó quá trình  trên W với điều kiện   W   n là một quá trình nhị thức của n điểm trên W Chứng minh Từ Tính chất 1.7 và Nhận xét 1.1 để chứng minh định lý ta đã chỉ ra hệ thống xác suất trống k , K là tập compact của W, của quá trình  trên W với điều kiện   W   n có dạng (1.10) Thật... phải chứng minh 1.3 Mômen và độ đo mômen của quá trình điểm poisson Định lí 1.4 Cho  là một quá trình điểm Poisson có cường độ  trên  d Khi đó ta có   B   E   B , B  B d và d 2    B1  B2   E   B1    B2  , B1, B2  B d d d lần lượt là các độ đo trên (  d ,B ) và (  d x  d , B xB ) tương ứng Chứng minh d Theo định nghĩa quá trình điểm Poisson thì với mỗi B  B thì   B  E ... có diện tích 2(W)  5000 2.2 Kiểm định giả thuyết 2.2.1 Kiểm định giả thuyết về tính dừng của quá trình Poisson Với giả thuyết quá trình điểm Poisson dừng  được quan sát qua cửa sổ W khi đó đại lượng sau F 2 (W1)(2n2  1) 2 (W2 )(2n1  1) có phân phối xác suất xấp xỉ phân phối F với (2n1  1, 2n2  1) bậc tự do ở đây n1, n2 là số điểm trong hai miền con W1,W2 rời nhau của W Kết quả của phân phối... như sau:  1(t) và hoành Biểu diễn các điểm lên mặt phẳng toạ độ với tung độ là H độ là H(t) Khi đó nếu dữ liệu phù hợp với quá trình điểm Poisson thì đồ thị  1(t) thu được là gần tuyến tính Mức ý nghĩa có thể được tìm từ phân phối H của mẫu dưới giả thiết quá trình Poisson Tuy nhiên điều này là phức tạp vì sự phụ thuộc giữa khoảng cách của các điểm với cùng điểm cuối, vì vậy ta xử lí như sau:  i... trường hợp mẫu điểm được lấy bởi số điểm rơi vào những miền con Giả sử cửa sổ W được chia thành những ô vuông có diện tích bằng nhau và bằng 2 (Q) Khi đó với giả thuyết quá trình điểm Poisson dừng thì số điểm rơi vào trong mỗi ô vuông (hay số đếm trong mỗi ô vuông) có phân phối Poisson độc lập với nhau và có trung bình là 2 (Q) Các tiêu chuẩn kiểm định có thể dựa trên tính chất phân phối này  ... tài: Phân tích thống kê trình điểm Poisson Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Quá trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày khái niệm kết trình điểm Poisson mômen độ đo mômen, phân. .. Poisson mômen độ đo mômen, phân phối trình Poisson Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày tổng quan thống kê trình điểm Poisson ước lượng cường độ, kiểm định... gần trình điểm Poisson ……………………………………………………… 18 1.5 Phân phối khoảng cách biến cố………………… 20 1.6 Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất…… 20 Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson ………