Phân tích thống kê phân phối chuẩn

Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, trƣớc hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô giáo khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt thời gian hoàn thành khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.s Nguyễn Trung Dũng - ngƣời tạo điều kiện tốt bảo tận tình giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng LỜI CAM ĐOAN Đề tài em đƣợc hình thành dƣới hƣớng dẫn thầy Th.s Nguyễn Trung Dũng cố gắng thân Trong suốt thời gian nghiên cứu thực khoá luận em tham khảo số tài liệu (đã nêu phần tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu em, không trùng với tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng LỜI NÓI ĐẦU Toán ứng dụng ngành toán học có ý nghĩa to lớn chiếm vị trí quan trọng Nó cầu nối để đƣa kết đƣợc nghiên cứu lý thuyết giải tích , đại số, hình học vào ngành khoa học khác thực tế sống Lý thuyết xác suất môn có tính ứng dụng rộng rãi ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội thực tế sống Nó công cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực nhƣ kinh tế, sinh học , tâm lý – xã hội Do môn đƣợc đƣa vào giảng dạy hầu hết trƣờng đại học cao đẳng Trong đó, phân phối chuẩn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất, đồng thời chiếm vị trí trung tâm kết luận thống kê ứng dụng Trong thực tế nhiều biến ngẫu nhiên , nhiều quy luật tuân theo luật chuẩn gần chuẩn Ngoài ra, phân phối chuẩn đƣợc ứng dụng để mô tả nhiều tƣợng địa chất nhƣ hàm lƣợng nƣớc đá trầm tích, hàm lƣợng số nguyên tố hoá học…và đặc biệt, phân phối chuẩn đƣợc ứng dụng toán ƣớc lƣợng toán kiểm định giả thiết, sở đƣa đƣợc kết luận thống kê có giá trị Với mong muốn làm rõ ý nghĩa thống kê đời sống thông qua số ứng dụng phân phối chuẩn Em chọn đề tài “Phân tích thống kê phân phối chuẩn” làm đề tài khoá luận Nội dung khoá luận bao gồm Chƣơng 1: Cơ sở Chƣơng 2: Phân tích thống kê phân phối chuẩn Với khoá luận tốt nghiệp trên, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG 1: CƠ SỞ 1.1 Phân phối chuẩn 1.2 Mẫu phân phối mẫu chuẩn 14 1.3 Ƣớc lƣợng điểm 14 1.3.1 Một số định nghĩa 14 1.3.2 Các phƣơng pháp tìm ƣớc lƣợng điểm 16 1.4 Ƣớc lƣợng khoảng 18 1.4.1 Một số định nghĩa 18 1.4.2 Phƣơng pháp P-Q-M tìm ƣớc lƣợng khoảng 19 CHƢƠNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ VỚI PHÂN PHỐI CHUẨN 20 2.1 Ƣớc lƣợng tham số 20 2.2 Khoảng tin cậy tham số 22 2.3 Kiểm định giả thuyết tham số 28 2.3.1 Kiểm định giả thuyết giá trị trung bình 28 2.3.2 Kiểm định giả thuyết hai kỳ vọng toán hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 32 2.3.3 Kiểm định giả thuyết phƣơng sai 36 2.3.4 Kiểm định giả thuyết hai phƣơng sai 37 2.3.5 Kiểm định k phƣơng sai k biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn38 2.3.6 Kiểm định giả thuyết quy luật phân phối xác suất 38 2.4 Một số toán 39 2.4.1 Bài toán ƣớc lƣợng tham số 39 2.4.2 Bài toán khoảng tin cậy tham số 42 2.4.3 Bài toán kiểm định tham số 46 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng CHƢƠNG CƠ SỞ 1.1 Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn hàm mật độ xác suất X có dạng fX  x   x    2 e 2 2 , - ∞ <  < +∞ , <  < +∞,   x   Kí hiệu X ~ N(  ,  ) Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ~ N(  ,  ) có dạng FX  x   P  X  x   x    t    2 e 2 2 dt , x   Trƣờng hợp đặc biệt Nếu µ = σ² = X gọi có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu X ~ N ( 0,1) e Chú ý Nếu X ~ N ( 0,1 ) f X  x   2  x2 x ,   x    e FX  x   2  t 2 ,x   dt Định lý 1.1 Biến ngẫu nhiên X ~ N (  ,  )  Z  X    N( 0,1 ) Chứng minh  Giả sử X ~ N (  ,  ) Ta cần chứng minh Z  Thật vậy, X ~ N (  ,  ) nên f X  x   Xét biến đổi Z  X   2 X    x    e ,  Ta có X   Z   , Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 2  N( 0,1 ) dX   liên tục nên Z có dZ Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng phân phối liên tục tuyệt đối Nhƣ Tức Z  fZ  z   X    Giả sử Z     Z    2 e 2  2 dX  z2  e dZ 2  N( 0,1 ) X    N( 0,1 ) Ta cần chứng minh X ~ N (  ,  ),   Ta có X   Z   ,  có phép biến đổi ngƣợc z  X   dz ,  liên tục  dx  Do X có phân phối liên tục tuyệt đối có  dz  21( x )2 1 f X ( x )  f Z  z( x )  e  e dx  2 2  x   2 2 Tức X ~ N (  ,  ) Định lý 1.2 Giả sử X ~ N ( 0,1 ) Khi ta có E( X 2n1 )  0; E( X 2n )  ( 2n )! , n  n ( n!) Định lý 1.3 Cho X ~ N (  , ) Khi ta có EX   ; DX   Hàm sinh mômen X M X  t   e t   2t 2 Chứng minh EX   Thật theo định nghĩa kì vọng toán biến ngẫu nhiên liên tục, ta có  EX   xf ( x )dx   2  Ta thực phép biến đổi biến số z    xe  ( x   )2 2 dx  x  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Khi x   z   Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng dx   dz Khi đổi biến cận lấy tích phân không thay đổi Ta có  EX  2  2 Ta có 2    ze  z2  (  z   )e  z2 dz     ze   z2 dz  2   e  z2 dz  dz  hàm dƣới dấu tích phân hàm lẻ mà cận lấy   tích phân lại đối xứng qua gốc tọa độ.Và tích phân  e  z2 dz  2 ( tích  phân Poisson ) Do đó: EX    DX   Thật theo định nghĩa phƣơng sai biến ngẫu nhiên liên tục, ta có DX   2  (x) e  ( x   )2 2 dx  Ta thực phép biến đổi biến số: z  x  Khi x     z dx   dz Ta có  (    z )2  z2 EX   e  dz    2 2  2  Z2 2 dz  2   z     e  z e dz  2  ze dz    Z2 Z2       2     e dz    z.e 2          Z2  2   0   e dZ       2     Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán  z2 2 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Nhƣ DX         Ta có M X  t   EetX    2     2  e  t  e etxe   x   2 2  dx       2t [ x   2t   ]2 t   2 2 e 2 dx  e t  etxe  t 2 2  2t    e  x2 2 2 e  e t 2 2 x e e  2 2 dx  [ x   2t  ]2 2 dx  2t 2 Định lý 1.4 Cho X ~ N (  , ) Khi ta có a P  X  a      ,a      b a b  a P  a  X  b   P  Z                   Ở x   x   e 2  t 2 dt,x   Chứng minh Do X ~ N (  , )  Z  X    N( 0,1 ) Nên ta có P( X  a )  P(  Z    a )  P(  Z  a   ) a  P( Z  ) ( Do X ~ N (  , )  Z  a   X   )  N( 0,1 ) Ta có P( a  X  b )  P( a   Z    b ) Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng  P( a     Z  b   ) a b  P( Z  )  ( b   )  ( a  ) Tính chất 1.1 (  x )   ( x ) Định lý 1.5 Cho X i  N( i , i2 ) , i  1,n biến ngẫu nhiên độc lập Khi n n n i 1 i 1 i 1 X   X i có phân phối chuẩn với  X   i  X2   i2 1.2 Mẫu phân phối mẫu chuẩn Định nghĩa 1.2 ( Mẫu ngẫu nhiên ) Cho biến ngẫu nhiên X Tiến hành n quan sát độc lập X Gọi Xi quan sát thứ i,i  1,n Khi X1,X2,…,Xn gọi mẫu ngẫu nhiên cỡ n quan sát biến ngẫu nhiên X Chú ý Cho (X1,X2,…,Xn ) mẫu ngẫu nhiên quan sát biến ngẫu nhiên X Khi ta có  X1,X2,…,Xn biến ngẫu nhiên độc lập  X1,X2,…,Xn biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X Giả sử xi giá trị cụ thể lần quan sát thứ i Khi (x1, ,xn ) gọi mẫu số liệu cụ thể mà mẫu ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xn ) nhận Định lý 1.6 Giả sử X i  N( i , i2 ) , i  1,n Khi n n a X i 1 i i có phân phối n chuẩn với  X   i    ai2 i2 i 1 X i 1 Định nghĩa 1.3 (Phân phối  ) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi phân phối theo quy luật bình phương với k bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng x n 1  2 e x  n  f X ( x )   2  ( n )  0 Kí hiệu  ~  (k) Ở  ( x )   t ,x > ,x  x 1  t e dt hàm Gamma Nếu k số nguyên  ( k  1)  k ! Nếu  ~  (k ) Khi ta có EX = k DX = 2k Định lý 1.7 Nếu X ~ N (0,1) X ~ (21 )  X  Nếu X ~ N (  , )   ~ ( k )    2 Định lý 1.8 Nếu Zi có phân phối chuẩn tắc Zi ~ N (0,1), i  1,k biến ngẫu nhiên độc lập Khi k U   Zi2 ~ 2k  i 1  Hệ Giả sử Xi ~ N (  , ) , i  1,k biến ngẫu nhiên độc lập Khi k  i 1 ( X i  i )2  ~ (2k )  X  X ~ N(  , )  Z    ~ N( 0,1)    Định nghĩa 1.4 (Phân phối T-student) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi 2 phân phối theo quy luật Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất xác định biểu thức sau fX ( t )  n ( )  t2    n   n1   ( n  )  ( ) Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán  n , t   , 10 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng 57  0,57  X  1100  0,57.20  1111,4 100 383 su2   ( 0,57 )2  3,5051  s X2  ( 20 )2 3,5051  1402,04 100 u Ta có ( 1150.10  1160.15  1170.20  1180.30  1190.15  1200.10 )  1175,5 100 sY2  204,75 Vậy Ƣớc lƣợng điểm cho EX X  1111,4 ( ) Ƣớc lƣợng điểm cho EY Y  1175,5 ( ) Y Ƣớc lƣợng điểm cho DX sX2  1402,4 Ƣớc lƣợng điểm cho DY sY2  204,75 Ví dụ Để xác định độ xác cân tạ sai số hệ thống , ngƣời ta tiến hành lần cân độc lập (cùng vật) Kết nhƣ sau 94,1 94,8 96 95.4 95.2 (kg) Xác định ƣớc lƣợng không chệch phƣơng sai số trƣờng hợp a Biết khối lƣợng vật cân 95 b Không biết khối lƣợng vật cân Giải a Khi biết trị trung bình lý thuyết X  0,95 ƣớc lƣợng không chệch phƣơng sai đƣợc tính theo công thức n ( xi  95 )  0,41 ( xi  X )   n i 1 i 1 b Nếu khối lƣợng vật cân, ta phải ƣớc lƣợng theo công thức n X   xi   xi 95,5 n i 1 i 1 Vậy ƣớc lƣợng không chệch phƣơng sai s2  n ( x  X )  ( xi  95,5 )2  0,7   i n  i 1 i 1 Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 41 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng 2.4.2 Bài toán khoảng tin cậy tham số Ví dụ Trọng lƣợng loại sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn gam Cân thử 25 sản phẩm loại ta thu đƣợc kết sau Trọng lƣợng(gam) 18 19 20 21 Số sản phẩm tƣơng ứng 15 Với độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy đối xứng trọng lƣợng trung bình loại sản phẩm nói Giải Gọi X trọng lƣợng sản phẩm Theo giả thiết X phân phối chuẩn với   Vậy trọng lƣợng trung bình sản phẩm tham số  Đây toán ƣớc lƣợng khoảng tin cậy đối xứng giá trị tham số  phân phối N( µ,σ²) biết phƣơng sai Nên áp dụng công thức ta có khoảng tin cậy          X  u( )  X  u( )  n n   Lấy từ tổng thể mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n= 25 , gọi Xi trọng lƣợng sản phẩm thứ i (i = 1, ,25 ) ta có 25 X   Xi 25 i 1  Với độ tin cậy 1-   0,95  0,025 Tra bảng giá trị tới hạn chuẩn ta có u 0,025 =1,96 Vậy khoảng tin cậy đối xứng  1   1, 96 , X  1, 96    X  0, 392; X  0, 392  X  25 25   Kết thu đƣợc cho biết 95% số mẫu kích thƣớc n=25 chứa đựng tham số  khoảng  X  0, 392; X  0, 392  Từ bảng số liệu tìm đƣợc trung bình mẫu cụ thể Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 42 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng 3.18  5.19  15.20  2.21  19, 64 25 Vậy với độ tin cậy 95% khoảng đối xứng  là: X 19,64  0, 392;19, 64  0, 392  Hay (19,248 <  < 20,032) Ví dụ Để xác định trọng lƣợng trung bình bao bột có kho, ngƣời ta đem cân ngẫu nhiên 15 bao kho tìm đƣợc X  39, 8kg ; s  0, 144 Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng trọng lƣợng trung bình bao bột kho với yêu cầu độ tin cậy việc ƣớc lƣợng 99% Giả thiết trọng lƣợng đóng bao bao bột biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải Gọi X trọng lƣợng bột đóng bao, theo giả thiết X phân phối chuẩn Vậy trọng lƣợng đóng bao trung bình giá trị  Đây toán ƣớc lƣợng khoảng tin cậy đối xứng giá trị tham số  phân phối N( µ,σ²) chƣa biết  X Vậy ta có khoảng tin cậy  sˆ  sˆ   ; X  tn1 ( )  X  tn1 ( )  n n   Cân ngẫu nhiên 15 bao bột, gọi Xi( i= 1, ,15 ) trọng lƣợng bao thứ i Với độ tin cậy 1-  = 0,99  = 0,005 tra bảng phân phối Student ta có t014,005  2, 977 Vậy với độ tin cậy 0,99 khoảng tin cậy đối xứng  sˆ sˆ   ; X  2, 977  X  2, 977  15 15   Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 43 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Với mẫu cụ thể ta tính đƣợc X  39, 8kg; s  0, 144  s = 0,397 Vậy với độ tin cậy 0,99 qua mẫu cụ thể này, khoảng tin cậy đối xứng  0, 397 0, 397   39 ,  , 977 ; X  , 977   15 15   Hay (39,5023 <  < 40,0977) Ví dụ Để tham khảo độ xác dụng cụ đo độ dài ngƣời ta đo mục tiêu 30 lần dụng cụ Kết nhân đƣợc sˆ =0,05 Hãy tìm ƣớc lƣợng khoảng độ xác dụng cụ đo với độ tin cậy 95% Giải Ta có sai số biến ngẫu nhiên X tuân theo luật chuẩn N( 0,σ²) Đây toán ƣớc lƣợng phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn chƣa biết kỳ vọng toán µ Vì để ƣớc lƣợng cho độ xác dụng cụ đo ta có khoảng tin cậy    (n  1) sˆ2 (n  1) sˆ2  ,       n 1 ( )  n21 (1  )   2  Ta có  292 (0, 975)  16 ;  292 (0, 025)  45, Vậy khoảng tin cậy (0,032 ; 0,09) Ví dụ Mức hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản xuất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình 20 gam Để ƣớc lƣợng mức độ phân tán mức hao phí ngƣời ta cân thử sản phẩm thu đƣợc kết sau Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 44 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Hao phí nguyên liệu ( gam ) 19,5 20,0 20,5 18 Số sản phẩm tƣơng ứng Với độ tin cậy 1-  = 0,9 ƣớc lƣợng σ² với Giải  = 0,05 Gọi X mức hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm, X phân phối chuẩn với kỳ vọng toán biết   20 Đây toán ƣớc lƣợng phƣơng sai phân phối N( µ,σ²) biết µ Vậy ta có công thức tìm khoảng tin cậy σ² ns   ( ) n   ns 2   (1  ) n Ta có   252 ( )   252 (0, 05)  37 , 65   252 (1  )   252 (0, 95)  14, 61 2 Để tìm s ta lập bảng xi ni ( xi- µ ) ( xi- µ )2 ni( xi- µ )2 19,5 20,0 20,5 18 -0,5 0,0 0,5 0,25 0,00 0,25 1,25 0,00 0,50 n = 25 Ta có s2   = 1,75 n 1,75 ni ( xi   ) =  0, 07  n i 1 25 Vậy với độ tin cậy 0,09 qua mẫu cụ thể này, khoảng tin cậy σ²  25.0,07 25.0,07  ;   hay 0,0464    0,1198   37,65 14,61  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 45 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Ví dụ Giá cổ phiếu hai công ty A B biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Theo dõi giá cổ phiếu hai công ty 10 ngày tìm đƣợc phƣơng sai mẫu tƣơng ứng 0,51 0,2.Với độ tin cậy 0,9 ƣớc lƣợng tỷ số hai phƣơng sai cuả giá cổ phiếu hai công ty Giải Gọi X Y giá cổ phiếu hai công ty A B Theo giả thiết X Y phân phối chuẩn Vậy phƣơng sai  X2  Y2 Ta có khoảng tin cậy tỷ số hai phƣơng sai nhƣ sau  s2   s2   P  X2 f ( m1,n1) (1  )  X2  X2 f ( m1,n1) ( )      Y sY   sY Từ hai mẫu cụ thể ta có n1 = 10  X2 = 0,51 n2 = 10  Y2  0,2 Và với 1-  = 0,9 f( 9;9 )( 0,05 )  31,8 f( 9;9 )( 0,95 )  1   0,31 f( 9;9 )( 0,05 ) 3,18 Từ 0, 51  0, 51 0, 31  X2  3, 0,  Y 0,  X2  0,79   8, 11 Y 2.4.3 Bài toán kiểm định tham số Ví dụ Trong năm trƣớc trọng lƣợng trung bình trƣớc xuất chuồng bò trại chăn nuôi 380 kg Năm ngƣời ta áp dụng thử chế độ chăn nuôi với hi vọng bò tăng trọng lƣợng nhanh Sau thời gian áp dụng thử ngƣời ta lấy ngẫu nhiên 50 bò trƣớc xuất chuồng đem cân tính Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 46 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng đƣợc trọng lƣợng trung bình chúng 390 kg Vậy với mức ý nghĩa  =0,01 cho trọng lƣợng trung bình bò trƣớc xuất chuồng có tăng lên hay không? Giả thiết trọng lƣợng bò biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 35,2 kg Giải Gọi X trọng lƣợng bò trƣớc xuất chuồng Theo giả thiết X phân phối chuẩn với  = 35,2 Vậy trọng lƣợng xuất chuồng trung bình  Đây toán kiểm định giá trị tham số  biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn biết phƣơng sai tổng thể Ta có cặp giả thuyết thống kê có dạng H :   380 ; K :   380 Tiêu chuẩn kiểm định U X  380 50 35, Trong X trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n = 50 Với  =0,01 ta có u(  ) = u 0,01 = 2,33 Từ mẫu cụ thể ta có X = 390 Vậy giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định U Ta thấy 390  380 50  2, 01 35, U = 2,01 < u 0,01 = 2,33 Nhƣ với mức ý nghĩa  =0,01 , qua mẫu cụ thể cho ta chƣa có sở để bác bỏ H Kết cho thấy trung bình mẫu thu đƣợc qua mẫu cụ thể cho không khác biệt cách có ý nghĩa so với trung bình tổng thể Ví dụ Trọng lƣợng đóng bao bao gạo kho biến ngẫu nhiên phân Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 47 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng phối chuẩn với trọng lƣợng trung bình theo quy định 50 kg Nghi ngờ bao gạo bị đóng thiếu, ngƣời ta đem cân ngẫu nhiên 25 bao thu đƣợc số liệu sau Trọng lƣợng bao ( kg ) 48,0 - 48,5 48,5 - 49,0 49,0 – 49,5 49,5 – 50,0 50,0 – 50,5 Số bao tƣơng ứng 10 n = 25 Với ý nghĩa  = 0,01 kết luận điều nghi ngờ nói Giải Gọi X trọng lƣợng đóng bao Theo giả thiết X phân phối chuẩn Vậy trọng lƣợng đóng bao trung bình tham số  Đây toán kiểm định giả thuyết tham số  phân phối chuẩn N(  , ) chƣa biết  Cặp giả thuyết thống kê H :   50 ; K :   50 -tn-1(  )= -t24 ( 0,01) = - 2,402 Xét Từ mẫu cụ thể ta lập bảng tính X ,s xi ni nixi 48,25 48,75 49,25 49,75 50,25 10 n = 25 96,5 243,75 492,5 298,5 100,5 ni xi2 4656,125 11882,8125 24255,625 14850,375 5050,125   1231, 75   60695, 062 Từ X 1231,75  49,27 25 Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 48 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn s= Th.s Nguyễn Trung Dũng 25  60695, 062 25   49, 27   0, 27  0, 53  24  25 24  Vậy giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định t (49, 27  50 ) 25  6 , 887 0, 53 Ta thấy t < - t24 (0,01) nên ta bác bỏ H chấp nhận K, tức qua mẫu cụ thể thừa nhận bao gạo bị đóng thiếu với mức ý nghĩa 0,01 Ví dụ 10 Một nghiên cứu đƣợc thực với 20 ngƣời phƣờng 19 ngƣời phƣờng khác thành phố để xem thu nhập trung bình hàng năm ( tính triệu đồng ) dân cƣ hai phƣờng có thực khác hay không Các số liệu mẫu thu đƣợc nhƣ sau: n1 = 20 n2 = 19 X  18, 27 Y  16 ,78 S X2  8,74 SY2  6,58 Vậy với mức ý nghĩa 0,05 cho thu nhập trung bình dân cƣ hai phƣờng khác hay không? Giả thiết thu nhập hàng năm dân cƣ hai phƣờng phân phối chuẩn với phƣơng sai nhƣ Giải Gọi X Y tƣơng ứng thu nhập hàng năm dân cƣ hai phƣờng Theo giả thiết X Y phân phối chuẩn với phƣơng sai  X2   Y2 Do để kiểm định cặp giả thuyết H :  X  Y ; K :  X  Y Ta sử dụng công thức kiểm định Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 49 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng    X Y   S  T  ; T  tn  m  ( )   1  SP    n m  Với  = 0,05  tn m2 ( )  t37 (0, 025)  2, 021 Từ mẫu cụ thể ta tính đƣợc SP  19.8,74  18.6 , 58  2,773 20  19  Do T 18, 27  16 ,78  1, 677 1 2,773  20 19 Ta thấy T = 1,677 < t37 (0,025) = 2,021 Do với mức ý nghĩa 0,05 qua hai mẫu cụ thể cho chƣa có sở để bác bỏ H tức xem trung bình hàng năm dân cƣ hai phƣờng nhƣ Ví dụ 11 Ngƣời ta cân trẻ sơ sinh hai khu vực thành thị nông thôn, thu đƣợc kết sau Khu vực Số trẻ đƣợc cân Trọng lƣợng trung bình Phƣơng sai Nông thôn n = 2500 X  3, sX2  200 Thành thị m = 500 Y  3,1 sY2  Với mức ý nghĩa 0,01 coi trọng lƣợng trung bình trẻ sơ sinh hai khu vực đƣợc không? Giải Gọi trọng lƣợng trẻ sơ sinh nông thôn thành thị tƣơng ứng X Y Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 50 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Vậy trọng lƣợng trẻ sơ sinh trung bình  X Y Đây toán kiểm định cặp giả thuyết H :  X  Y ; K :  X  Y Khi chƣa biết phƣơng sai  X2  Y2 Do n > 30 m > 30 nên ta có công thức tiêu chuẩn kiểm định có dạng X Y T sX2 sY2  2500 500  Do   0, 01   0, 05  u0 ,005  2, 576 Qua mẫu cụ thể tính đƣợc 3,  3, U  0, 33 200  2500 500 Ta thấy U = -0,33 < u 0,005 = 2,576 nên chƣa có sở để bác bỏ H Nhƣ coi trọng lƣợng trẻ sơ sinh nông thôn thành thị nhƣ Ví dụ 12 Có hai giống lúa có suất lúa trung bình xấp xỉ nhƣ song mức độ phân tán suất khác Để kiểm tra điều ngƣời ta gặt mẫu hai vùng trồng hai giống lúa thu đƣợc kết sau Giống lúa Số điểm gặt Phƣơng sai A B n1 = 41 n = 30 sˆ12  11, 41 sˆ22  6,52 Với mức ý nghĩa  = 0,05 kết luận vấn đề trên, biết suất lúa biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải Gọi X Y suất hai giống lúa A B X Y phân phối chuẩn 2 2 Đây toán kiểm định cặp gả thuyết H:    với K: 1   Ta có tiêu chuẩn kiểm định có dạng sˆ12 F sˆ2 Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 51 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Do   0, 05 nên F40 ,29 (  ) =F40 ,29 ( 0,025 )  2,03 F40 ,29 (   ) F29 ,40 (   )  0,52 1,94 Với mẫu cụ thể ta có 11, 41 F  1,75 , 52 Ta thấy F = 1,75 < F40 ,29 ( 0,025 )  2,03 nên chƣa có sở bác bỏ H hay độ phân tán suất hai giống lúa nhƣ Ví dụ 13 Gặt ngẫu nhiên 200 ruộngcủa vùng thu đƣợc số liệu sau Năng suất ( Tạ / ) Số ruộng tƣơng ứng 4–6 6–8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 15 26 25 30 26 21 24 20 13 n = 200 Với mức ý nghĩa  = 0,05 coi suất vùng có phân phối theo quy luật chuẩn đƣợc không? Giải Cặp giả thuyết thống kê H: Năng suất lúa X phân phối chuẩn K: Năng suất lúa X không phân phối chuẩn Qua mẫu cụ thể trên, ƣớc lƣợng hợp lý tối đa  X  12, 65 ,  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 52 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng s x2i = 22,04 s xi = 4,695 Để tính xác suất  x    xi 1    pi  P  xi 1  X  xi     i     (i = 1,k )        xi  x   xi 1  x  p         i Hay  sx   sx2  i i     Với khoảng thứ (x – x1) ta thay  ,x1  khoảng cuối (xk - – x k ) thay ( xk 1 ; ) để hợp tất khoảng tạo thành toàn trục số Lập bảng tính toán sau x i -1 - xi Ui -1 = Ui = xi 1  x s xi xi  x sxi    6–8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20   -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57  (U i 1 )  (U i ) pi =  (U i ) - ni'  npi (U i 1 ) -0,5 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 0,5 0,0793 0,0818 0,1266 0,1606 0,1658 0,1501 0,0917 0,0689 0,0582 15,86 16,36 25,32 32,12 33,16 30,02 21,74 13,78 11,6   1, 00   200 Giá trị quan sát k G  2   i 1 (ni  ni' ) = 13,32 ni' Do  = 0,05  k2r 1 ( )  62 (0, 05)  12, Ta thấy  = 13,32 > 6 (0,05)  12,6 Ta bác bỏ giả thuyết H chấp nhận K, tức thừa nhận X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 53 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng KẾT LUẬN Phân phối chuẩn có vai trò vị trí đặc biệt quan trọng lý thuyết xác suất Đồng thời chiếm vị trí trung tâm sở kết luận thống kê ứng dụng Với phạm vi khoá luận tốt nghiệp, đề tài “ Phân tích thống kê phân phối chuẩn ” dừng lại việc tổng hợp kiến thức liên quan tới phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên, đồng thời đƣa ứng dụng phân phối chuẩn số toán thống kê Hi vọng rằng, kết khoá luận tốt nghiệp tài liệu tham khảo hữu ích cho muốn tìm hiểu ứng dụng phân phối chuẩn nói riêng nhƣ môn xác suất thống kê nói chung khoa học đời sống Do kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian nghiên hạn chế nên khoá luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đƣợc góp ý chân thành từ thầy cô giáo bạn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian hoàn thành khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quan tâm, giúp đỡ tận tình nhận xét, góp ý quý báu thầy giáo Nguyễn Trung Dũng – Giảng viên tổ Toán ứng dụng, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội suốt thời gian hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 54 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ ( 2004 ), “Hướng dẫn giải toán Xác suất thống kê ”, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đào Hữu Hồ ( 2007 ) , “Xác suất thống kê ” , Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng ( 2008), “ Thống kê ứng dụng ”, Nxb Giáo dục [4] Nguyễn Cao Văn ( 2008), Lý thuyết xác suất thống kê toán , Nxb Đại học Kinh tế quốc dân [5] Nguyễn Duy Tiến , Vũ Viết Yên ( 2003 ), “Lý thuyết xác suất ”, Nxb Giáo dục Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 55 [...]... và d sao cho P c  c( ˆ , )  d  1   Từ c  c( ˆ , )  d Ta tìm đƣợc khoảng tin cậy cho     , 2  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 19 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng CHƢƠNG 2 PHÂN TÍCH THỐNG KÊ VỚI PHÂN PHỐI CHUẨN 2.1 Ƣớc lƣợng tham số Tính chất 2.1 Cho X1,X2,…,Xn là mẫu quan sát về biến ngẫu nhiên X ~ N(  ,1 ) Khi đó ˆ  X là ƣớc lƣợng hợp lý cực đại cho.. .Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng trong đó  (x) là hàm Gamma Kí hiệu X ~ T(n) n n2 là các biến ngẫu nhiên độc lập Khi Nếu X ~ T(n) Khi đó ta có các đặc trưng EX  0 , DX  Định lý 1.9 Cho Z ~ N(0,1) và U ~ (2n ) Z có phân phối Student với n bậc tự do U n Định nghĩa 1.5 (Phân phối FISHER – SNEDECOR ) Biến ngẫu nhiên liên đó T  tục F được gọi là phân phối theo quy... nm2 Ta biết rằng T phân phối Student với n+m-2 bậc tự do Với điều kiện giả thuyết đúng thì tiêu chuẩn kiểm định trở thành Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 33 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng X Y 1 1 Sp  n m Và vẫn phân phối Tm+n-2 Do đó tùy thuộc vào giả thuyết đối ta có miền bác U bỏ mức  nhƣ sau a) H :  X  Y ; K :  X  Y Ta có miền tiêu chuẩn là     X... phương sai  2 đã biết Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể phân phối theo quy luật chuẩn N ( , 2 ) với phƣơng sai đã biết nhƣng chƣa biết kỳ vọng toán µ Nếu có cơ sở để giả thiết rằng giá trị của nó bằng 0 ta đƣa ra giả thuyết Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 28 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng thống kê H :   0 Để kiểm định giả thuyết trên từ tổng thể mẫu kích... n ~ N( 0,1 ) X   n có phân phối xác suất không phụ thuộc vào bất kỳ tham số nào Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 22 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng Vì N(0,1) là phân phối đối xứng nên ta chọn d = -c ,c > 0 sao cho P  C ( ˆ ,  )  d   P  C ( ˆ ,  )  d   Đặt u(  2       ) = d  P  C ( ˆ ,  )  u ( )  , u ( ) đƣợc gọi là phân vị mức của 2  2 2 2... Student tn-1(  ), ta có miền tiêu chuẩn là   X  0 n  1  tn1(  ) S = (X 1 , ,X n ) / s   Trong đó Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 31 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng P Tn1  tn1(  )   P Tn1  tn1(  )  P Tn1  tn1( 1   )   2.3.2 Kiểm định giả thuyết về hai kỳ vọng toán của hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giả sử có hai tổng thể nghiên...  n ~ N (0, 1) Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 23 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn (n  1) Sˆ 2 Ta có  2 ~  n21 X   T Đặt Th.s Nguyễn Trung Dũng n (n  1) sˆ2  2 (n  1) ~ Tn1 X  n ~ Tn1 ˆs X  Đặt C( ˆ ,  ) = n có phân phối xác suất không phụ thuộc vào bất kỳ Hay T=  tham số nào Vì Tn-1 là các biến ngẫu nhiên có phân phối đối xứng nên ta chọn d = -c , c < 0 sao cho P  C (... Tn+m-2 có thuộc miền tiêu chuẩn hay không để kết luận Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 34 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng 2 2  Trường hợp 3: Nếu chưa biết phương sai  X và  Y song không có cơ sở để cho rằng chúng bằng nhau  X2   Y2 Cho hai mẫu độc lập kích thƣớc n và m: X1, ,Xn và Y1, ,Ym Lúc đó tiêu chuẩn kiểm định đƣợc chọn là thống kê X  Y  (  X  Y ) G... miền tiêu chuẩn là    X Y    S  ;T  tk ( )  2 2  sX  sY   n m  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 35 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng c) H :  X  Y ; K :  X  Y Ta có miền tiêu chuẩn là    X Y    S  ; T  tk ( )  2 2  sX  sY   n m  2.3.3 Kiểm định giả thuyết về phƣơng sai Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối N  ... sao cho P(c < Z < d ) = 1-  Vì Z có phân phối đối xứng ta chọn c = - d ,d > 0 Chọn d sao cho P ( Z  d )   2 Kh d = u (  2 ) đƣợc gọi là phân vị mức  2 của Z Khi đó ta có     X  Y  (  X  Y )   P  u ( )   u( )   1    2 2   X2  Y2    n m   Xét bất phƣơng trình Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 26 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn  u ( )  2 X  Y  (  X  Y ... sở đƣa đƣợc kết luận thống kê có giá trị Với mong muốn làm rõ ý nghĩa thống kê đời sống thông qua số ứng dụng phân phối chuẩn Em chọn đề tài Phân tích thống kê phân phối chuẩn làm đề tài khoá... Chƣơng 2: Phân tích thống kê phân phối chuẩn Với khoá luận tốt nghiệp trên, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán Phân tích thống kê phân phối Chuẩn. ..  ,  Nguyễn Thị Huyền Trang - K32 CNToán 19 Phân tích thống kê phân phối Chuẩn Th.s Nguyễn Trung Dũng CHƢƠNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ VỚI PHÂN PHỐI CHUẨN 2.1 Ƣớc lƣợng tham số Tính chất 2.1 Cho X1,X2,…,Xn